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专题35 基于切线的恒成立问题
【方法点拨】
1.利用“形”解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况；
2.解决零点问题的最常见思路是转化为两函数图象交点问题，而求解图象交点个数常常利用相切作为“临界状态”.
【典型题示例】
例1 （2022·江苏南京市教研室考前指导·21改编）已知函数，若恒成立，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】易发现函数 、 均恒过点 ，故当且仅当点为函数的切点时，恒成立，所以 .对于“切点型零点”问题往往通过先猜后证的方式简化思维量、运算量．构造，；则，时，在上为单调增函数，分别讨论，，即可.
【解析】令，则，；
则，时，在上为单调增函数
①当时，，且，
所以函数在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，
即，符合题意．
②当时，，所以，
当时，，
所以，且，
所以存在唯一的，使得，
且在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，
所以当时，，即不恒成立，不合题意．
③当时，，所以，
当时，，所以，
所以存在唯一的，使得，
且在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，
所以当时，，即不恒成立，不合题意．
综上，．
例2 已知，若不等式恒成立，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】问题转化为，设、，则两函数左右两侧的凸凹性相反，从形上看，若（）固定不变，当变大时，抛物线的开口程度越大，此时越小，欲求使恒成立时的最小值，则两函数图象相切即为“临界状态”；另一方面，，函数的零点为、，故的几何意义是函数的一个零点，零点的最大值即的图象与轴交点运动到最优时，从形上看不能知道，零点即“公切点”时满足题意.
【解析】设、
则函数的零点即为两函数的“公切点”时满足题意
令得，，
所以，即，此即为所求的最小值．
【点评】
本题解法的实质是，构造的两函数的零点相同.
本题也可转化为再利用“形”来求解.
例3 已知函数，若对于任意实数，恒有，则的最大值是（ ）．
； B. ； C. ； D..
【答案】C.
【分析】由得，，即对任意xR，恒成立，设、，从“形”上考察，若（）固定不变（即直线的截距），当变大（即直线的斜率）时，增大，当与相切时，可使最大.
【解析】由得，，
即对任意xR，恒成立，
设，
则当与相切时，可使最大.
设切点为，则有
所以
设，易求得的最大值为
所以的最大值是．
选C.
例4 已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】依题意，有：，即恒成立，
a＝0时显然成立，
a＞0时，右边为开口向上的抛物线，不可能恒成立，
所以，要使不等式恒成立，需a≤0.
当a＜0时，设，
易知两函数的凸凹性相反，故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点，即有公切线的“临界状态”时的切点坐标.
设公切点为，则，解之得
∴切点为
为使， 只需，故
又a＜0，所以.
综上，实数a的取值范围为．
【巩固训练】
1.设函数 f(x)＝ax2－a－lnx，其中 a∈R，若不等式 f(x)≥1－a 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ．
2.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
3.（2021·天津·20改编）已知,函数，若存在,使得对于任意的成立，则实数b的取值范围是 .
4. 若不等式对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是 ．
5.（2021·八省联考·22改编）已知函数，若，则= ．
6.若存在实数，使不等式对一切正数都成立（其中为自然对数的底数），则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案或提示】
1.【答案】
【提示】即ax2≥1+ lnx，相切为下界值.设切点为（x0，1+ lnx0）
则有，解得，故有.
2.【答案】 C．
【提示】分离参数、分类讨论.当时，，而，故（当时，）；当时，，利用相切求得.
3.【答案】.
【分析】即存在，使得对于任意的成立
设，
则
易知当时，，故函数在上单增
而函数过，如下图
欲使存在,使得对于任意的成立，只有当当不在在点处的切点上方即可
所以，所以b的取值范围为.
4.【答案】(－∞，﹣1]
【分析】思路一：直接转化为为最值问题；
思路二：利用“形”， 不等式对一切xR恒成立，即，设，，因为恒过点，故只需开口朝下，且在点与有相同的公切线即可.
【解析一】令，恒成立，显然a≤0，
，则，
，
当a＝0时，在(，0)递增，(0，)递减，符合题意，
a＜0时，在(，)递减，(，0)递增，(0，)递减
x＜，，故符合题意，
综上，a≤0，b＝﹣1，因此a＋b(，﹣1]．
【解析二】不等式可化为，
令，
当时，因为恒过点，故只需直线为在点处的切线即可，易得，此时.
当时，因为恒过点，为使对一切xR恒成立，只需开口朝下，且在点与有相同的公切线即可，
故，此时.
综上，a＋b的取值范围是.
5.【答案】.
【分析】考察函数，
易知
进行大胆的合情推理，只有当（0,2）为切点时，满足题意
所以.
6.【答案】C
【解析】存在实数，使不等式对一切正数都成立，要求的最大值，临界条件即为直线恰为函数的公切线.
设的切点为，.
设的切点为，,
所以.
由题得.
设，
所以，
所以函数在上单调递减，在单调递增.
又，
当时，，
所以方程另外一个零点一定大于.
所以方程小的零点为，
所以.
故选：C.

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