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专题59 二元权方和不等式
【方法点拨】
已知，则有：（当且仅当时，等号成立）.
说明:
1.上式其实即为二元变量的权方和不等式，用于“知和求和型”求最值，其实质就是“1”的代换.
2. 设()，实数，则，其中等号当且仅当时成立.称之为权方和不等式.
我们称为该不等式的权，权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.
【典型题示例】
例1 （2022·江苏金陵中学·网课质检卷·13）已知，且满足，则的最小值为________．
【答案】
【分析】由知：，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形，然后就可以使用权方和不等式了.
【解析】（取等条件略）.
例2 已知，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由知：，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形，然后就可以使用权方和不等式了.
【解析】（等号成立条件，略，下同）.
例3 如图，已知三角形 ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 2 ，若点 M 为线段 BC 的三等分点(靠近 B 点)，则的最小值为 　　 ．
　　
【答案】
【解析】，，
.
例4 已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】
当，即，．
例5 已知x＞0，y＞0，且则的最小值是 ．
【答案】
【解析】
当，即时，等号成立．
例5 已知x＞1，y＞1，则的最小值是 ．
【答案】8
【解析】令
当，即，两个等号同时成立．
例6 已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】
当，即，．
例7 已知，且，则的最大值与最小值之和为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】已知中两个式子、是“知和求和”的典型结构特征，而后者又是待求的，故可考虑换元法，设，用“1的代换”或权方和不等式，消去，化等式为不等式，从而构造出关于的一元二次不等式，求出其解集.
【解析】设（）
由权方和不等式得，
代入已知得
整理得，解之得
即，当且仅当时，即或时取等号
所以最大值与最小值之和为．
【巩固训练】
1.已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是 ．
2. 已知正数满足，则的最小值为 .
3. 已知，则的最小值为 .
4.已知正实数x，y满足x+y＝xy，则的最小值是　 　．
【答案与提示】
1.【答案】9
【解析】∵x＞1，y＞1，xy＝10，
∴，且
∴，当且仅当时取“＝”．
2.【答案】
【解析】
当且仅当，等号成立.
3.【答案】
【解析】
当且仅当时,等号成立.
4.【答案】15
【解析】x+y＝xy可化为，

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