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【高分攻略】2023年高考一复习学案（理科数学）
考点01　　集合
[考纲传真]
　1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
　2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.
　3．(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
　　　(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
　　　(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
[命题分析]
　 集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在前3题的位置进行考查，难度较小．命题的热点依然会集中在集合的运算方面，常与简单的一元二次不等式结合命题．
[题型归类]
　1．集合的含义与表示
　2．.集合间的基本关系
　3．集合的基本运算
　4．德摩根定律在集合计算的运用
　5．韦恩图在集合与数量关系问题中的运用
　6．利用集合的运算求参数
　7．集合与其他知识的综合问题
　8．集合的新定义问题
题型一：集合的含义与表示
知识与方法
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或 表示．
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
例1 下列集合中表示同一集合的是(　　)
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)} B．M＝{2,3}，N＝{3,2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
解析：选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．答案　B
例2 已知集合A＝，则集合A中的元素个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：∵∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，又∵x∈Z，∴x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C.答案　C
例3 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时， m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.
例4 若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A. B. C．0 D．0或
解析：若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝，所以a的取值为0或.　选D　
题型二：集合间的基本关系
知识与方法
表示 关系 文字语言 符号语言 记法 维恩图
基本关系 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) x∈A x∈B A B或B A
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A B， x0∈B，x0 A AB或B?A
相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 A B，B A A＝B A＝B
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 x，x ， A
例1 设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为________．
解析：∵xy＞0，∴x，y同号．又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.答案：M＝P
例2 已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B A，则实数a的取值集合为________．
解析：A＝{－3,2}，（1）若a＝0，则B＝ ，满足B A，（2）若a≠0，则B＝，由B A知，＝－3或＝2，故a＝－或a＝，因此a的取值集合为.
例3 已知集合A＝{x|－1A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：用数轴表示集合A，B(如图)由A B得a≥0.答案　B
例4 已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，则实数a的取值范围为________．
解析：（1）当B＝ 时，只需2a＞a＋3，即a＞3；（2）当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，可 得或解得a＜－4或2＜a≤3.
综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
题型三：集合的基本运算
知识与方法
1.集合的基本运算
表示 运算　　 文字语言 符号语言 图形语言 记法
交集 属于A且属于B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∩B
并集 属于A或属于B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∪B
补集 全集U中不属于A的元素组成的集合 UA＝{x|x∈U，且x A} UA
2.常用结论
（1）若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.
（2）A B A∩B＝A A∪B＝B.
（3）A∩ UA＝ ；A∪ UA＝U； U( UA)＝A.
例1 (2015·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则( RP)∩Q等于(　　)
A．[0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．[1,2]
解析：∵P＝{x|x≥2或x≤0}， RP＝{x|0＜x＜2}，∴( RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.
例2 (2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A．9　　　　B．8　　　　C．5　　　　D．4
解析：[由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为9，故选A.
例3 (2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　)
A．A∩B＝ B．A∩B＝
C．A∪B＝ D．A∪B＝R
解析：[因为B＝{x|3－2x＞0}＝，A＝{x|x＜2}，所以A∩B＝，A∪B＝{x|x＜2}．故选A.
例4 (2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则 RA＝(　　)
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析：法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以 RA＝{x|－1≤x≤2}，选B.
法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以 RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
题型四：德摩根定律在集合计算的运用
知识与方法
德摩根定律：
（1）,选补后并＝选交后补;
（2）,选补后交＝选交后并;
（3）;.
例1 （2007湖北文）若,,,则（）
A. B. C. D.
解析：,,,选D.
例2 （2009江西卷理）已知全集中有个元素,中有个元素．若非空,则的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
解析：因为,所以共有个元素,故选D.
例3 (2011江西文2)若全集,则集合等于（ ）
A. B. C. D.
解析：,,,选D.
例4 已知全集,,, .
解析：画数轴如图
,.
题型五：韦恩图在集合与数量关系问题中的运用
例1 （2009陕西卷文）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有 人.
解析：由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组,设同时参加数学和化学小组的有人作出如图韦恩图： 则,解得.
例2 (2009湖南卷理)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .
解析：设两者都喜欢的人数为人,则只喜爱篮球的有人,只喜爱乒乓球的有人,作出韦恩图：
由此可得,解得,所以,即所求人数为12人.
例3 某班50名学生中,会讲英语的有36人,会讲日语的有20人,既会讲英语又会讲日语的有14人,问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人
解析：设全集U={某班50名学生},A={会讲英语的学生},B={会讲日语的学生},A∩B={既会讲英语又会讲日语的学生},则由韦恩图知,既不会英语又不会日语的学生有:50-22-14-6=8(人)
例4 某地对农户抽样调查,结果如下:电冰箱拥有率为49%,电视机拥有率为85%,洗衣机拥有率为44%,至少拥有上述三种电器中两种以上的为63%,三种电器齐全的为25%,那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为( ).
A.10% B.12% C.15% D.27%
解析：如果把各种人群看作集合,本题就是已知全集元素个数,求某个子集元素个数的问题,因此可构造韦恩图解决 :不妨设调查了100户,U={被调查的100户农户},A={100户中拥有电冰箱的农户},B={100户中拥有电视机的农户},C={100户中拥有洗衣机的农户},由图可知, 的元素个数为49+85+44-63-25=90.∴的元素个数为100-90=10.选A.
题型六：利用集合的运算求参数
例1 若集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，集合B＝{1,2}，且A B，则实数a的取值范围是_______．
解析：①若A＝ ，则Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2；
②若1∈A，则12＋a＋1＝0，解得a＝－2，此时A＝{1}，符合题意；
③若2∈A，则22＋2a＋1＝0，解得a＝－，此时A＝，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围为[－2,2)．
例2 已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2
解析：B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B A，则a≥2，故选C.
例3 集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|yA．－1≤a<2 B．a≤2 C．a≥－1 D．a>－1
解析：∵M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y－1即可．答案D
例4 已知集合U＝R，集合M＝{x|x＋2a≥0}，N＝{x|log2(x－1)<1}，若集合M∩( UN)＝{x|x＝1或x≥3}，那么a的取值为
解析：由log2(x－1)<1，得1又M＝{x|x＋2a≥0}＝[－2a，＋∞)，M∩( UN)＝{x|x＝1或x≥3}，∴－2a＝1，解得a＝－.
题型七：集合与其他知识的综合问题
例1 设全集U＝R，函数f(x)＝lg(|x＋1|－1)的定义域为A，集合B＝{x|cosπx＝1}，则( UA)∩B的元素个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由|x＋1|－1>0，得|x＋1|>1，即x<－2或x>0，∴A＝{x|x<－2或x>0}，则 UA＝{x|－2≤x≤0}；由cosπx＝1，得πx＝2kπ，k∈Z，∴x＝2k，k∈Z，则B＝{x|x＝2k，k∈Z}．∴( UA)∩B＝{x|－2≤x≤0}∩{x|x＝2k，k∈Z}＝{－2,0}，∴( UA)∩B的元素个数为2.
例2 设集合A＝，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是(　A　)
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：∵A对应椭圆+=1上的点集，B对应指数函数y＝3x上的点集，画出椭圆和指数函数的图象(图略)可知，两个图象有两个不同交点，故A∩B有2个元素，其子集个数为22＝4.故选A.
例3 记f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.若B A，求实数a的取值范围．
易错分析　在求解含参数的集合间的包含关系时，忽视对区间端点的检验，导致参数范围扩大或缩小．
解析：∵2－≥0，∴≥0.∴x<－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．
由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0.∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝(2a，a＋1)．∵B A，∴2a≥1或a＋1≤－1，即a≥或a≤－2，而a<1，∴≤a<1或a≤－2.故当B A时，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪.
例4 已知集合A＝{x|y＝}，A∩B＝ ，则集合B不可能是(　D　)
A．{x|4x<2x＋1} B．{(x，y)|y＝x－1}
C. D．{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)}
解析：集合A＝{x|y＝}＝{x|x≥1}，对于选项A，{x|4x<2x＋1}＝{x|x<1}，满足A∩B＝ ；
对于选项B，集合为点集，满足A∩B＝ ；
对于选项C，{|yy＝sinx，－≤x≤}＝，满足A∩B＝ ；
对于选项D，{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)}＝{y|y＝log2[－(x－1)2＋2]}＝{y|y≤1}，A∩B＝{1}≠ ，故选D.
题型八：集合的新定义问题
例1 设A、B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B且x A∩B}，已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝________________.
解析：由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}．所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，所以A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：[0,1]∪(2，＋∞)
例2 (2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A*B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A*B中元素的个数为(　　)
A．77 B．49 C．45 D．30
解析：如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A?B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A?B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A?B中元素的个数为45.故选C.
例3 若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1A．{1,3,4}为“权集” B．{1,2,3,6}为“权集”
C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有元素1
解析：对于A，由于3×4与均不属于数集{1,3,4}，故A不正确；对于B，选1,2时，有1×2属于{1,2,3,6}，同理取1,3，取1,6，取2,3时也满足，取2,6时，有属于{1,2,3,6}，取3,6时，有属于{1,2,3,6}，所以B正确；由“权集”定义知1≤a1 例4 设集合M＝，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是(　　)
A. B. C. D.
解析：由已知，可得即0≤m≤；即≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝，N＝，所以M∩N＝∩＝，此时集合M∩N的“长度”的最小值为－＝，故选C.
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