资源简介

数列1：数列基础和等差等比数列
目录
【知识点总结】 2
【题型一】 根据数列的前n项写出数列通项公式 3
【题型二】 等差数列的相关题型 4
【题型三】 等比数列的相关题型 7
【题型四】 等差等比数列的证明 12
【知识点总结】
知识点一:数列的概念
1.数列
定义：
数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
数列的一般形式为：a1，a2，a3，… ，an，… ，简记作{an}.
2.数列的通项公式
定义：
注意：①{an}表示数列，an表示数列中的第n项，an＝f(n)表示数列的通项公式；
②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一；
③不是每个数列都有通项公式.
3.数列的递推公式
定义：
如：数列“1，1，2，3，5，8，13，… ”的递推公式是：a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)
知识点二:数列的函数特性
1.从函数观点看数列
序号：① ② ③ ④ ⑤ ⑥
项 ： 4 5 6 7 8 9
如上图所示，每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射.从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N*（或它的有限子集）的函数f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1)，f(2)，f(3)，… ，f(n)，… .通常用an来代替f(n)，其图象是一群孤立点.通项公式反映了自变量n与函数an之间的关系，实质是一个函数解析式.
由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质（单调性、最值等）.
2.单调性和最值
两种方法：（1）“函数法”：建立函数模型，利用函数性质来解决.
（2）“定义法”：根据数列单调的定义，对式子进行变换.
①单调性：an＋1＞an单调递增；an＋1＜an单调递减.
②最值：ak为最大值；ak为最小值.
知识点三：数列的前n项和与通项的关系
数列的前n项和通常用Sn表示，记作Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则通项an＝.
注意：通常要检验a1是否适合当n≥2时得到的an：ⅰ若适合，则将an用一个式子表示；
ⅱ若不适合，则将an用分段形式表示.
【题型一】根据数列的前n项写出数列通项公式
【典例分析】
例题1：写出下列数列的一个通项公式：
（1）1，2，3，4，…. （2），，，，…. （3）0，1，0，1，….
（4）3，5，9，17，…. （5），3，，，…. （6）－1，，－，，….
（7）8，88，888，8888，…. （8）0.9，0.99，0.999，0.9999，….
例题2：数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，… 中x的值为________．
例题3：已知数列{an}的前4项分别为2，0，2，0，则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是（ ）
an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝2sin（） C．an＝1－cos（nπ） D．an＝
例题4:将自然数的前5个数：（1）排成1，2，3，4，5；（2）排成5，4，3，2，1；
（3）排成2，1，5，3，4；（4）排成4，1，5，3，2. 那么可以叫做数列的只有 ( )
(A)（1） (B)（1）和（2） (C)（1），（2），（3） (D)（1），（2），（3），（4）
例题5：按规律填空（ ）
(1)2，5，8，( )，( )； 　　 　(2)2，7，12，17，22，( )，( )；
(3)5，10，15，20，( )，( )； 　　(4)( )，( )，13，19，25，31，37；
例题6：数列2,3,4,5，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝n B．an＝n＋1 C．an＝n＋2 D．an＝2n
例题7:数列的一个通项公式是（ ）
A. B. C. D.
例题8:写出以下各数列的通项公式：[endnoteRef:1]
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ [1: ]
【提分秘籍】
基本规律
这个就看看就好，了解一下不是重点。 想了一想此处省一些内容。。。。先上重点内容。。。
【题型二】 等差数列的相关题型
【典例分析】
等差数列的基本量计算
例题1：在等差数列{an}中，a7＝8，前7项和S7＝42，则其公差是为____ _．
例题2：已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
例题3：已知为等差数列的前项和，若，，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
例题4：在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是 (　 　)．
A.12 B.24 C.36 D.48
例题5：设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　 　)
A．13 B．35 C．49 D．63
例题6：在等差数列中，若前项的和，，则（ ）
A．4 B．-4 C．5 D．-5
例题7：设等差数列的前项和为，已知，，则 (　 　)
A．－2008 B．2008 C．－2010 D．2010
例题8：设是等差数列的前n项和，若（ ）
A B C D
【变式演练】
若等差数列满足，则的前2016项之和（　 　）
A．1506 B．1508 C．1510 D．1512
设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
在等差数列中，若，则的值为（ ）
在等差数列中，，则为（ ）
若等差数列中，则
已知等差数列的前项和味，，.
（1）求数列的通项公式；
设为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；．　
8已知等差数列前9项的和为27，，则（ ）
（A）100 （B）99 （C）98 （D）97
9在等差数列中，首项＝0，公差0，若，则＝( )
　A、22　　B、23　　C、24　D、25
10数列{}是等差数列，，则_________
11在等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8, a11－a4＝4, 记Sn＝a1＋a2＋a3＋……＋an，则S13等于 。
12在等差数列中，已知，公差，求．
13 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
14 已知正项等差数列的前n项和为，且满足，。
（I）求数列的通项公式；
等差数列的性质（重点 中项，等和性）
在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________．
已知等差数列{}，满足，则此数列的前11项的和( )
A．44 B．33 C．22 D．11
已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（ ）
(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24
在等差数列中，，，则此数列前30项和等于（ ）
A．810 B．840 C．870 D．900
等差数列的公差是正数,且,求它的前20项的和.
美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：
⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？
⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．
问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？
【变式演练】
1.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85% 用火柴棒按下图的方法搭三角形：
2. 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=﹣45，a4=﹣41，则Sn取得最小值时n的值为（　　）
A．23 B．24或25 C．24 D．25
在首项为81，公差为－7的等差数列中，最接近零的是第( )项
已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为(　　)
A．－9 B．－11 C．－13 D．－15
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
【题型三】 等比数列的相关题型
（1）等比数列的基本量计算
设首项为1，公比为的等比数列{}的前n项和为Sn，则(　 　)．
A．Sn＝2－1 B．Sn＝3－2 C．Sn＝4－3 D．Sn＝3－2
设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则 等于(　 　)
A.11 B.5 C.－8 D.－11
设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S6＝4S3，则a4＝_______.
记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则 等于(　 　)
A.－3 B.5 C.－31 D.33
5. 已知等比数列的前项和为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6. 数列中为的前n项和，若，则 .
7. 设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则 等于(　 　)
A．2 B．4 C. D.
8. 在等比数列{an}中，已知S4＝48，S8＝60，则S12＝_________________.
【变式演练】
设公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A.-2 B.-1 C. D.
已知等比数列{an}前n项和为Sn，且S3=8，S6=9，则公比q=　 　．
设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．1:2 B．2:3 C．3:4 D．1:3
数列{2n}的前n项和Sn等于(　 　)
A．2n－1　　　 B．2n－2 C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于(　 　)
A．31 B．33 C．35 D．37
等比数列前项和为，若,则（ 　）
(A) (B) (C) (D)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn， a1＋a3＝，且a2＋a4＝，则＝（ ）
（A）4n－1 （B）4n－1 （C）2n－1 （D）2n－1
设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)
A. B. C. D.
在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为(　　)
A．514 B．513 C．512 D．510
在等比数列中，，则公比等于（ ）
A. 4 B. 2 C. D. 或4
（2）等比数列的性质（重点 中项及等和性）
已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．
已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(　 　)
A．5 B．7 C．6 D．4
已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝ ．
在等比数列{an}中，
（1）若，则＝_______ ；
（2）若，则＝_______。
5.在等比数列中，，求
6. 在正项等比数列{an}中，an＋1A. B. C. D.
7. 某工厂去年产值为a，计划5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在等比数列{an}中，若an>0，a1·a100＝100，则lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a100＝________.
【变式演练】
等比数列{an}各项均为正数，，
则
已知数列{an}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将此报纸对折（沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为（ ）
A. B. C. D.
已知等比数列满足，，则（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则，，(　 　)．
A．是等差数列但不是等比数列 B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列也不是等比数列
已知公比为的等比数列的前项和为，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
设是各项均为正数的等比数列，，求。
在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
在等比数列｛an｝中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10＝
《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何 题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，为前天两只老鼠打洞长度之和，则 尺
已知等比数列中有，数列是等差数列，且，则（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为(　　)
A.或5 B.或5 C. D.
在等比数列{an}中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为 (　 　)．
A．2 B．－2 C．2或－2 D．2或－1
计算________.
差比混合计算（注意区分原有数列是等差还是等比）
已知各项均不相等的等差数列的前四项和成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
已知各项均为正数的等比数列的首项，为其前项和，若，，成等差数列，求数列的通项公式；
已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
已知等比数列的公比，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
已知公差不为0的等差数列的首项（）,该数列的前n项和为，且，，成等比数列,
（Ⅰ）求数列的通项公式及；
等比数列的前项和为，已知成等差数列.
（1）求的公比；
（2）若，求.
【变式演练】
设，数列的前项和为，已知，成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
已知是公差的等差数列，，，成等比数列，；数列是公比为正数的等比数列，且，．
（I）求数列，的通项公式；
已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于(　　)
A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2
已知数列是递减等比数列，，且,,成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
若是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列。
（I）求数列的公比q； （II）若＝4，，求数列的通项公式。
单调递增的等差数列成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为_______．
在公比为的等比数列中，与的等差中项是.求的值；
【提分秘籍】
基本规律
该部分内容为基础公式熟悉部分，知识点简单，计算问题是重点，等比多用除法。。。。
以上内容为增强公式的记忆及相关计算的技巧。多练多做提高正确率和做题速度。。。
【题型四】 等差等比数列的证明
【典例分析】
(2022·全国甲理文) 记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1．
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝7，a5＋a7＝26．
(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}为等差数列．
3. 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
4. 在数列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn．
5．数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn．
6．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝．
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3n＋1＋3(n∈N*)．
(1)设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝－，Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，求Tn．
8．(2021·全国乙)设Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2．
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
9．(2014·全国Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
10．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an－Sn－1＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在实数λ，使得数列{Sn＋(n＋2n)λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
11．若数列{bn}对于任意的n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如数
列cn，若cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足a1＝a，对于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n．
(1)求证：{an}是准等差数列；
(2)求{an}的通项公式及前20项和S20．
12．已知数列{an}的首项a1>0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝．
(1)求证：是等比数列，并求出{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn．
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时， 4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1．
(1)求a4的值；
(2)证明：为等比数列．
14．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；
(2)求证：数列为等比数列，并求出{an}的通项公式．
15．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在
直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列．
16．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，设bn＝a2n－1．
(1)求b2，b3，并证明bn＋1＝2bn＋2；
(2)①证明：数列{bn＋2}为等比数列；
②若a2k，a2k＋1,9＋a2k＋2成等比数列，求正整数k的值．
17．(2019·全国Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4．
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
18．(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝．
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an>0，S＝a－λSn＋1，其中λ为常数．
(1)证明：Sn＋1＝2Sn＋λ；
(2)是否存在实数λ，使得数列{an}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．
20．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a＝(a1，1)，b＝(1，a10)，若a·b＝24，且S11＝143，数列{bn}的前n
项和为Tn，且满足＝λTn－(a1－1)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式及数列的前n项和Mn；
(2)是否存在非零实数λ，使得数列{bn}为等比数列？并说明理由．
21．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋λ(λ为常数)．
(1)试探究数列{an＋λ}是不是等比数列，并求an；
2)当λ＝1时，求数列{n(an＋λ)}的前n项和Tn
【提分秘籍】
基本规律
1．等差数列的四个判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}是等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}是等差数列．
(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*) {an}是等差数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*) {an}是等差数列．
提醒：(1)定义法和等差中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．
(2)若要判定一个数列不是等差数列，则只需判定存在连续三项不成等差数列即可．
2．等比数列的四个判定方法
(1)定义法：＝q(q是不为0的常数，n∈N*) {an}是等比数列．
(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*) {an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*) {an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．
提醒：(1)定义法和等比中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．
若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．

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