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专题1 函数问题的灵魂——定义域
【高考地位】
在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数．定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题．通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小．
方法一 直接法
万能模板 内 容
使用场景 函数的解析式已知的情况下
解题模板 第一步 找出使函数所含每个部分有意义的条件，主要考 虑以下几种情形： 分式中分母不为0； 偶次方根中被开方数非负； 的底数不为零； 对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0； 正切函数的定义域为． 第二步 列出不等式（组）； 第三步 解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数的定义域．
【例1】（2021·新沂市第一中学高三模拟）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得解得或.所以原函数的定义域为.
故选：C.
【变式演练1】（2021·广东高三模拟）设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则A∩B等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，即，
函数的定义域为，则，
所以，
故选：C.
例2．【黑龙江省大庆市第四中学2020届月考】函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数有意义，
则，
解得，
所以函数的定义域为.
故选：A
【名师点睛】
本题考查了求具体函数的定义域、正切函数的性质，属于基础题.
【变式演练2】求函数的定义域．
【答案】当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为．
【解析】要使原式有意义需要满足，即
当时，是上的增函数，所以；
当时，是上的减函数，所以；
综上所述，当时，函数的定义域为；
当时，函数的定义域为．
例3．若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于函数的定义域为，所以在上恒成立，即方程至多有一个解，所以，解得，则实数取值范围是．
故选A．
【名师点睛】已知函数的定义域求有关参数问题，往往转化为不等式恒成立问题．
【变式演练3】已知函数f（x）=的定义域是R，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，只需分母不为即可，所以或 ，可得，故选A．
方法二 抽象复合法
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使用场景 涉及到抽象函数求定义域
解题模板 利用抽象复合函数的性质解答： (1)已知函数的定义域为，求复合函数的定义域： 只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域． (2)已知复合函数的定义域为，求函数的定义域： 只需根据求出函数的值域，即为函数的定义域．
例4．求下列函数的定义域：
（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）令-2≤—1≤2 得-1≤≤3，即 0≤≤3，从而 -≤≤
∴函数的定义域为．
（2）∵的定义域为，即在中∈，令，∈，则∈，即在中，∈∴的定义域为．
（3）由题得，∴函数的定义域为．
【名师点睛】（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域．第1小题就是典型的例子；（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域．第2小题就是典型的例子；（3）求函数的定义域，一般先分别求函数和函数的定义域和，在求，即为所求函数的定义域．
【变式演练4】（2021·全国高三模拟）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，解得．
因为有定义，所以当时，由，得；
当时，由，得；
当时，，恒成立．
综上，实数的取值范围是．
故选：D．
【变式演练5】【山东省泰安市2020届高三6月三模】已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令即，解得.
若有意义，则即.
故选：D.
【名师点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.
【变式演练6】（2021·湖北襄阳五中高三二模）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______．
【答案】
【解析】令，则，
在上单调递增，，，，
的定义域为.
方法三 实际问题的定义域
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使用场景 函数的实际应用问题
解题模板 第一步 求函数的自变量的取值范围； 第二步 考虑自变量的实际限制条件； 第三步 取前后两者的交集，即得函数的定义域．
例5．用长为的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）．若矩形底边长为，求此框架围成的面积与关于的函数解析式，并求出它的定义域．
【答案】，函数的定义域为
【解析】如图，设，则= ，于是，因此，即，再由题得，解之得，所以函数解析式是，函数的定义域是 ．
【名师点睛】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义的条件，还有保证实际意义；（2）该题中考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都要有意义，即，不能遗漏．
【变式演练7】（2021·全国课时练习）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为.①
求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.
【答案】定义域为，值域为，描述见解析.
【解析】定义域为，值域为，
对于数集中的任一个数t，
在数集中都有唯一确定的数与之对应.
【点睛】
本题考查函数的定义域、值域以及函数的定义，需要对函数概念及三要素的灵活掌握，属于基础题.
【高考再现】
1．【2017山东理】设函数的定义域，函数的定义域为，则
（A）（1，2） （B） （C）（-2，1） （D）[-2，1)
【答案】D
【考点】 1．集合的运算2．函数的定义域3．简单不等式的解法．
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理．
2．【2016·全国卷Ⅱ】 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
【答案】D　
【解析】 y＝10lg x＝x，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D满足题意．
3．【2014山东．理3】 函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由已知得即或，解得或，故选．
【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的定义域．解答本题关键是利用求函数定义域的基本方法，建立不等式组求解．本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及计算的准确性．
4．【2015高考重庆，文3】函数的定义域是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】由解得或，故选D．
【考点定位】函数的定义域与二次不等式．
【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解． 本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零．
5．【2015高考湖北，文6】函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．
【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故应选．
【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容．
【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性．
6.【2020年高考北京卷11】函数的定义域是__________．
【答案】
【解析】要使得函数有意义，则，即，∴定义域为．
【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．
7．【2015高考山东，理14】已知函数 的定义域和值域都是，则 ．
【答案】
【解析】若，则 在上为增函数，所以，此方程组无解；
若，则在上为减函数，所以，解得，所以．
【考点定位】指数函数的性质．
【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用．
8．【2019年高考江苏】函数的定义域是 ▲ ．
【答案】
【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域．
由已知得，即，解得，故函数的定义域为．
【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
【反馈练习】
1．（2021·天津高三期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，只需，解得，即函数定义域为或.故选D.
2．【云南省昆明市第一中学2020届高三考前第九次适应性训练】设函数的定义域为A，函数的值域为B，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数定义域满足：，即，所以，
函数的值域，所以，
故选：A.
【名师点睛】
本题考查了函数定义域，值域，交集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
3．（2021·哈尔滨市第三十二中学校高三期末（文））函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】欲使函数有意义，则，即，解得，故选：C.
4．【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，对于函数，，解得，即；
对于函数，，解得，即，
所以.故选：D.
【名师点睛】
本题考查函数的定义域，考查集合的交集，属于基础题.
5．（2021·广东深圳中学高三期中）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设有，由得，故选A.
【点睛】
本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.
6．【2020届百师联盟高三联考】函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：根据函数解析式，有，解得，所以函数的定义域为，故选：C.
【名师点睛】
本题考查函数的定义域，关键是使式子有意义，一元二次不等式及对数不等式的解法，属于中档题.
7．（2019·河北张家口中学月考）若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵函数f（x）的定义域为R，∴不等式mx2mx+2>0的解集为R，
①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；
②m≠0时，则，解得0＜m<8．
综上得，实数m的取值范围是，故选A．
【名师点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R时，判别式△需满足的条件．
8．（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数的定义域是__________．
【答案】
【解析】，
，解得，故函数的定义域为.
故答案为：.
9．（2021·广东金山中学高三月考）函数的定义域为______．
【答案】；
【解析】由题意，函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为.
【点睛】
方法点睛：常见的具体函数求定义域：
(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分式中的分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.
10．【上海市南模中学2019-2020学年高三模拟】函数的定义域是______.
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
所以，解得或或.
故答案为：
【名师点睛】
本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11．（2021·北京高三一模）函数的定义域为_____.
【答案】
【解析】依题意知，函数有意义，则需，解得，故定义域为．
12．（2021·贵州省思南中学高三一模（理））函数的定义域为________.
【答案】
【解析】由题意，要使函数有意义，则满足，
解得，即函数的定义域为.
13．【2020届陕西省咸阳市高三上学期期末】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出的一个“同域函数”的解析式为____________.
【答案】，（答案不唯一）
【解析】由得： 的定义域为
又为定义域内的增函数 值域为
的一个“同域函数”为，
故答案为：，（答案不唯一）
【名师点睛】
本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.
14．【2020届江西省分宜中学高三上学期第一次段考】已知函数的定义域为，则函数的定义域为________.
【答案】
【解析】因为的定义域为，即。所以此时括号的范围为
。
对于函数即是：，即
故答案为：
【名师点睛】
此题考查抽象函数求定义域问题，关键两点：定义域一定指的取值范围，同一个函数括号内的范围相同，属于简单题目。
15．（2021·全国）设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件（常数），，写出横截面的面积y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域.
【答案】定义城为，值域为.
【解析】如图，连接，过分别作的垂线，垂足为，
因为，所以，即，
因为，
所以，所以，
，
，
故当时，y有最大值，
故它的定义城为，值域为.
【点睛】
本题考查了求函数的解析式、定义域和值域的问题，解题时应认真解析题意，建立函数的解析式，求出函数的定义域和值域，是中档题.
16.【2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷】已知函数.
（1）若，求的值；
（2）求函数的定义域；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1），，解得；
（2）对于函数，有，解得且.
因此，函数的定义域为；
（3），令，由，得，参变量分离得，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.
所以，函数在区间上单调递减，
当时，该函数取得最大值，即，.
因此，实数的取值范围为.
【名师点睛】
本题考查利用函数值求参数、函数定义域的求解以及不等式恒成立问题的求解，考查参变量分离法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

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