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3.2 函数的单调性与最大（小）值
【学习目标】
理解函数的单调性的概念，掌握判断或证明函数单调性的方法和步骤； 2.
会求函数的单调区间；
通过对函数单调性的证明及单调区间的求法的复习，培养学生的应用化归转化和分类讨论的数学思想解决问题的能力。
【知识点梳理】
考点1增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：
(1)如果 x1，x2∈D，当x1(2)如果 x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
考点2 函数的单调区间
1.定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【特别提醒】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D 定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
2. 常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数（） 当时，在上单调递增
当时，在上单调递减
反比例函数（） 当时，在和上单调递减
当时，在和上单调递增
二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增
当时，在上单调递增； 在上单调递减
考点3 函数单调性的判断与证明
1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为
①取值：任取，，且；
②作差：计算；
③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性
2、图象法
一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.
3、性质法
（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；
（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；
（3）和的公共定义区间，有如下结论；
增 增 增 不确定
增 减 不确定 增
减 减 减 不确定
减 增 不确定 减
考点4 函数的最大(小)值及其几何意义
最值 条件 几何意义
最大值 ①对于 x∈I，都有f(x)≤M， ② x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值 ①对于 x∈I，都有f(x)≥M， ② x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
考点5 求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
【解题思路】
【典例分析】
【考点1 定义法判断或证明函数的单调性】
【典例1】根据定义证明函数在区间上单调递增.
【变式1-1】（2021·浙江高一期末）已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明其结论；
（2）求函数在区间上的值域．
【变式1-2】利用单调性的定义，证明函数在上是减函数．
【考点2 性质法判断函数的单调性】
【典例2-1】（1）（2021·全国高一课时练习）函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．和
【典例2-2】（2021·全国高一课时练习）函数在区间(2，4)上（ ）
A．单调递增 B．单调递减
C．先减后增 D．先增后减
【变式2-1】（2021·青海西宁市）已知函数，则的单调增区间是（ ）
A．和 B．
C．和 D．
【变式2-2】（2020·巩义市第四高级中学高一月考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2020·台州市黄岩中学高一月考）函数f (x)＝1－（ ）
A．在(－1，＋∞)上单调递增
B．在(1，＋∞)上单调递增
C．在(－1，＋∞)上单调递减
D．在(1，＋∞)上单调递减
【考点3 分类常数法判断函数的单调性】
【典例3】（2020·全国高一单元测试）函数f(x)＝的定义域为___，单调递减区间为____.
【变式3-1】（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=在（ ）
A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增
B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减
C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增
D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减
【变式3-2】（2021·河南安阳市）函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在定义域内单调递减
【考点4 图像法判断函数的单调性】
【典例4】（2021·广东）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）.
【变式4-1】函数的单调递减区间为（ ）
A．（–∞，2] B．[2，+∞） C．[0，2] D．[0，+∞）
【变式4-2】函数的单调减区间是______．
【变式4-3】已知函数
(1)把写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数大致图像；
(2)写出函数的递减区间．
【考点5 根据单调性求参数】
【典例5-1】若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2020春 平城区校级月考）函数在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则a的取值范围为（　　）
A．a＝ B． C． D．
【变式5-2】（2019秋 浦东新区校级期末）若函数f（x）＝单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（，3） B．[，3） C．（1，3） D．（2，3）
【考点6 函数值利用单调性解不等式】
【典例6】（2021·全国高一）已知,则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）
【变式6-3】已知，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点7 函数的最值】
【典例7】画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值：
（1）；
（2），；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【变式7-1】（2018秋 芙蓉区校级期中）已知函数f（x）＝，x∈[3，6]，则f（x）的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．
【变式7-1】（2021·广东汕头市·高一期末）设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2021·广东广州市·高一期末）已知函数，若，，则的取值范围是_________.
【变式7-3】（2021·全国）函数在区间上的值域为_____
【变式7-4】（2021·浙江湖州市·湖州中学高一月考）若函数在区间上的最大值为，则实数（ ）
A． B． C． D．或
专题3.1 函数的概念（知识解读）
【学习目标】
理解函数的单调性的概念，掌握判断或证明函数单调性的方法和步骤； 2.
会求函数的单调区间；
通过对函数单调性的证明及单调区间的求法的复习，培养学生的应用化归转化和分类讨论的数学思想解决问题的能力。
【知识点梳理】
考点1增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：
(1)如果 x1，x2∈D，当x1(2)如果 x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
考点2 函数的单调区间
1.定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【特别提醒】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D 定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
2. 常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数（） 当时，在上单调递增
当时，在上单调递减
反比例函数（） 当时，在和上单调递减
当时，在和上单调递增
二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增
当时，在上单调递增； 在上单调递减
考点3 函数单调性的判断与证明
1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为
①取值：任取，，且；
②作差：计算；
③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性
2、图象法
一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.
3、性质法
（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；
（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；
（3）和的公共定义区间，有如下结论；
增 增 增 不确定
增 减 不确定 增
减 减 减 不确定
减 增 不确定 减
考点4 函数的最大(小)值及其几何意义
最值 条件 几何意义
最大值 ①对于 x∈I，都有f(x)≤M， ② x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值 ①对于 x∈I，都有f(x)≥M， ② x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
考点5 求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
【解题思路】
【典例分析】
【考点1 定义法判断或证明函数的单调性】
【典例1】根据定义证明函数在区间上单调递增.
【解答】证明：，且，
则
==
==
，，则，
，，
，即，
函数在区间上单调递增.
【变式1-1】（2021·浙江高一期末）已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明其结论；
（2）求函数在区间上的值域．
【答案】（1）函数在上是增函数，证明见解析；（2）.
【解析】（1）函数在上是增函数.
证明：任取，且，
，
，，
，即，
函数在上是增函数；
（2）由（1）知函数在区间上是增函数，
又，，
所以函数在区间上的值域为.
【变式1-2】利用单调性的定义，证明函数在上是减函数．
【答案】证明见解析
【解析】设x1，x2是区间上任意两个实数且，
则，
∵，∴，，．
∴．
即，．
∴在上是减函数．
【考点2 性质法判断函数的单调性】
【典例2-1】（1）（2021·全国高一课时练习）函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．和
【答案】D
【解析】根据题意，函数的定义域为，
由反比例函数的单调性可知，函数在区间和上都是减函数，但在定义域上不单调，因此，函数的单调递减区间为和.故选：D.
【典例2-2】（2021·全国高一课时练习）函数在区间(2，4)上（ ）
A．单调递增 B．单调递减
C．先减后增 D．先增后减
【答案】C
【解析】函数图象的对称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增.故选：C
【变式2-1】（2021·青海西宁市）已知函数，则的单调增区间是（ ）
A．和 B．
C．和 D．
【答案】D
【解析】二次函数的对称轴为，并且开口向上
则函数在上单调递增，即D选项正确；故选：D
【变式2-2】（2020·巩义市第四高级中学高一月考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】的定义域为，
图象如图所示：
所以的单调递减区间为，
故选：C
【变式2-3】（2020·台州市黄岩中学高一月考）函数f (x)＝1－（ ）
A．在(－1，＋∞)上单调递增
B．在(1，＋∞)上单调递增
C．在(－1，＋∞)上单调递减
D．在(1，＋∞)上单调递减
【答案】B
【解析】f (x)图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示．
故选：B
【考点3 分类常数法判断函数的单调性】
【典例3】（2020·全国高一单元测试）函数f(x)＝的定义域为___，单调递减区间为____.
【答案】 和
【解析】函数f(x)的定义域为；
任取且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(－1，＋∞)上为减函数；同理，可得f(x)在(－∞，－1)上也为减函数，故的单减区间为和
故答案为：；和
【变式3-1】（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=在（ ）
A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增
B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减
C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增
D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减
【答案】C
【解析】f(x)的定义域为{x|x≠1}.f(x)==-1=-1，
因为函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移关系得，
f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增.故选：C.
【变式3-2】（2021·河南安阳市）函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在定义域内单调递减
【答案】B
【解析】因为数，所以，
因为，所以函数在递减，在上递减，故选B.
【考点4 图像法判断函数的单调性】
【典例4】（2021·广东）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）.
【答案】见解析
【解析】（1），图象如图所示：
函数在和为减函数，因为，所以，故值域为：；
（2），图象如图所示：
函数在和为减函数，在和为增函数，
当时，取得最小值，故值域：；
（3），图象如图所示：
函数在和为增函数，在为减函数，
值域为：.
（4），图象如图所示：
函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：；
（5），
函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：
【变式4-1】函数的单调递减区间为（ ）
A．（–∞，2] B．[2，+∞） C．[0，2] D．[0，+∞）
【答案】B
【解答】∵，
∴函数的单调递减区间是（–∞，2]，增区间为[2，+∞），
∴的单调递减区间是[2，+∞），
故选：B．
【变式4-2】函数的单调减区间是______．
【答案】，
【解答】去绝对值，得函数
当 时，函数 的单调递减区间为
当 时，函数的单调递减区间为
综上，函数 的单调递减区间为，
故答案为：，
【变式4-3】已知函数
(1)把写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数大致图像；
(2)写出函数的递减区间．
【解答】(1)，
函数图像如下图所示：
(2)由（1）中函数的图像可知：函数的递减区间为：.
【考点5 根据单调性求参数】
【典例5-1】若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】函数的对称轴为，开口向上，
依题意可得，解得，即；
故选：D
【典例5-2】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】因为函数是定义在R上的增函数，
所以，解得，所以实数a的取值范围为.
故选：B.
【变式5-1】（2020春 平城区校级月考）函数在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则a的取值范围为（　　）
A．a＝ B． C． D．
【答案】C
【解答】解：函数的定义域为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
求导函数可得：＝
令f′（x）＞0，可得2a﹣1＞0
∴
即时，函数在区间（﹣2，+∞）上为增函数
∴a的取值范围为
故选：C．
【变式5-2】（2019秋 浦东新区校级期末）若函数f（x）＝单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（，3） B．[，3） C．（1，3） D．（2，3）
【答案】B
【解答】解：∵函数f（x）＝单调递增，
由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3﹣a＞0且a＞1．
但应当注意两段函数在衔接点x＝7处的函数值大小的比较，
即（3﹣a）×7﹣3≤a，可以解得a≥，
综上，实数a的取值范围是[，3）．
故选：B．
【考点6 函数值利用单调性解不等式】
【典例6】（2021·全国高一）已知,则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的图象如下图所示：
由图象可知：在上单调递增，
因为，所以，
所以即，所以解集为：.
故选：C.
【变式6-1】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：C.
【变式6-2】已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）
【答案】A
【解答】因为在定义域上是减函数，
所以由，
故选：A
【变式6-3】已知，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】因为的定义域为,关于原点对称，且，
所以是偶函数，
故由可得，
当时，是增函数，
所以，解得，
故选：B
【考点7 函数的最值】
【典例7】画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值：
（1）；
（2），；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【解答】（1）图象如题所示：，
单调递减区间为，递减区间为 最大值为，无最小值；
（2）图象如图所示：，单调递减区间为，最小值为，最大值为；
（3）图象如图所示：，单调递增区间为，无最大值和最小值；
（4）图象如图所示：，单调递减区间为，最大值为；
（5）图象如图所示：，
单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值；
（6）图象如图所示：，单调递增区间为，无最大值和最小值.
【变式7-1】（2018秋 芙蓉区校级期中）已知函数f（x）＝，x∈[3，6]，则f（x）的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵f（x）＝，
∴
∵x∈[3，6]，∴函数在[3，6]上单调递减，
∴x＝6时，f（x）取得最小值
故选：B．
【变式7-1】（2021·广东汕头市·高一期末）设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，由，得，不符合题意；
当时，函数的对称轴为，
当时，函数在区间上单调递增，此时函数，
要使，恒成立，只需，解得，所以；
当时，函数在区间上单调递减，此时函数，
要使，恒成立，只需，解得，不符合题意；
综上：实数的取值范围是.
故选：B
【变式7-2】（2021·广东广州市·高一期末）已知函数，若，，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】，恒成立，
即恒成立，
设在单调递减，所以，
所以.
故答案为：.
【变式7-3】（2021·全国）函数在区间上的值域为_____
【答案】
【解析】由题：，函数在单调递减，在单调递减，
可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：
所以函数在递减，在递减，，，
所以函数的值域为.
故答案为：
【变式7-4】（2021·浙江湖州市·湖州中学高一月考）若函数在区间上的最大值为，则实数（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】函数，即，，
当时，不成立；
当，即时，在递减，可得为最大值，
即，解得成立；
当，即时，在递增，可得为最大值，
即，解得不成立；
综上可得．
故选：．

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