资源简介

专题03 函数的单调性和最值的处理途径
【高考地位】
函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．
方法一 定义法
万能模板 内 容
使用场景 一般函数类型
解题模板 第一步 取值定大小：设任意，且； 第二步 作差：； 第三步 变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； 第四步 定符号； 第五步 得出结论.
例1 已知函数（且）.
（1）当时，写出函数的单调区间，并用定义法证明；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
【来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中数学试题
【答案】（1）增区间为，减区间为；证明见解析；（2）.
【解析】
（1）求得的定义域，运用复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求单调区间，再由单调性的定义证明；
（2）由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得的最小值，解不等式，可得所求范围.
【详解】
（1）由可得，则的定义域为，
，
当时，的增区间为，减区间为.
证明：设，的增区间为，减区间为，
当时，设，可得，，即，可得在递增；
设，可得，，
即，可得在递减.
（2）由，，可得，
所以，即为，解得，
即的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值---作差----变形----定号----下结论.
例2 已知定义域为的函数.
（1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【来源】上海市金山区2021届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题
【答案】（1）函数在上单调递减，证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明在上的单调性；
（2）首先利用定义证明的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉，转化为关于的一元二次不等式恒成立，分离转化为最值问题即可求解.
【详解】
（1）函数在上单调递减.
证明如下：任取，且，
，
因为，所以，，，
即，故函数在上单调递减.
（2）因为，
故为奇函数，
所以，
由（1）知，函数在上单调递减，
故，即对于任意恒成立，
所以，令，则，
因为，所以，
所以，
即实数的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤
1.取值：任取，，规定，
2.作差：计算，
3.定号：确定的正负，
4.得出结论：根据同增异减得出结论.
【变式演练1】（多选）【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性.
【详解】
A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意；
B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意；
C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意；
D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意.
故选：AD
例3 定义在上的奇函数，对任意时，恒有.
（1）比较与大小；【公众号：一枚试卷君】
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若对满足不等式的任意恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）函数在上为单调递增函数，证明见解析；（3）.
【解析】
试题解析：（1）利用作差法，即可比较与大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定的范围，再分离参数求最值，即可求的取值范围.
试题解析：（1）第一步，由得出：
∵，，
∴，
第二步，由奇偶性得出结论：
∴∴.
（2）第一步，取值、作差：
任取且，
.
第二步，判断符号：
∵，，∴，
第三步，下结论：
∴函数在上为单调递增函数.
（3）.
考点：函数奇偶性与单调性的综合问题.
【变式演练2】已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；
（3）若定义域为，解不等式.
【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）
【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。（2）利函数单调性定义证明单调性，按假设，作差，化简，判断，下结论五个步骤。（3）由（1）（2）奇函数在（-1，1）为单调函数，原不等式变形为f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)试题解析：（1）函数为奇函数．证明如下：
定义域为
又
为奇函数
（2）函数在（-1，1）为单调函数．证明如下：
任取，则
，
即
故在（-1，1）上为增函数
（3）由（1）、（2）可得
则
解得：
所以，原不等式的解集为
【点睛】
（1）奇偶性：判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。
（2）单调性：利函数单调性定义证明单调性，按假设，作差，化简，定号，下结论五个步骤。
方法二 导数法
万能模板 内 容
使用场景 较复杂的函数类型
解题模板 第一步 求函数的定义域； 第二步 求导； 第三步 在定义域范围内解不等式或； 第四步 得出函数的增减区间.
例4 已知函数．求的单调递减区间；
【答案】，
试题解析：第一步，求导：
因为，所以，
第二步，在定义域范围内解不等式；
令，解得或，
第三步，得出函数的减区间.
∴函数的单调递减区间为和．
【变式演练3】函数，的单调递增区间为__________．
【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题
【答案】；（区间两端开闭都可以）
【解析】
利用三角恒等变换得，再利用换元法设，利用导数和复合函数的单调性解不等式，即可得到答案；
【详解】
令，
设，则，
，
，，
，
，
在区间单调递增.
故答案为：.
【点睛】
本题考查复合函数的单调性与导数的结合，考查运算求解能力，求解时注意复合函数的单调性是同增异减的原则.
方法三 复合函数解析法
万能模板 内 容
使用场景 简单的复合函数类型
解题模板 第一步 先求函数的定义域； 第二步分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性； 第三步 根据同增异减，确定原函数的增减区间.
例5 求的单调区间
【答案】答案见解析.
【解析】
【解析】根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解．
【详解】第一步，求函数的定义域：
令u＝x2－3x＋2＞0，解得x＜1或x＞2．
所以函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
第二步，分解复合函数，判断内外层函数的单调性：
原函数可以看作与u＝x2－3x＋2的复合函数．
又抛物线u＝x2－3x＋2的对称轴，且开口向上．
所以u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．
而在(0，＋∞)上是单调减函数，
第三步，根据同增异减，确定原函数的增减区间：
所以的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
【点睛】对于形如的函数，可看作是由函数和函数复合而成的，其单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即当和的单调性相同时，为增函数；当和的单调性不相同时，为减函数．
【变式演练4】已知定义在上的函数是偶函数，且时，.
（1）当时，求解析式；
（2）写出的单调递增区间.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
试题解析：(1)利用奇偶性，时，，；（2）时，对称轴是，开口向上，左减右增，根据复合函数单调性可知，增区间为；同理，当，的对称轴是，开偶向上，左减右增，根据复合函数单调性可知，增区间为.复合函数单调性利用同增异减来解决.
试题解析：
（1）时，，∴，
∵是偶函数，∴，
时，.
（2）由（1）知时，，函数的单调增区间，
时，，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间，
所以函数的单调增区间为，.
考点：待定系数，导数与单调区间．
【变式演练5】函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
【来源】上海市大同中学2021届高三三模数学试题
【答案】
【解析】
根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足上符号一致.
【详解】
在上单调递增，
在单调递减，
则，即，
同时 需满足，即，
解得，
综上可知
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意时，符号必须一致是解题的关键，属于中档题.
方法四 图像法
万能模板 内 容
使用场景 图像比较容易画出的函数类型
解题模板 第一步 通过题目条件画出函数图像； 第二步 从图像中读出函数的单调区间.
例6 求函数的单调区间。
【答案】函数的单调增区间为减区间为.
第一步，根据题目条件画出函数图像：
第二步，由图像得出函数的单调区间：
【点评】函数的同种单调区间之间一般不用“”连接，用“，”隔开.
【变式演练6】已知函数．
（）用分段函数的形式表示该函数．
（）画出该函数的图象．
（）写出该函数的单调区间及值域．
【答案】（）；（）见解析；（）单调减区间，单调增区间； ．
【解析】试题解析：（1）根据x的符号分-1≤x<0和0≤x≤2两种情况，去掉绝对值求出函数的解析式；
（2）根据（1）的函数解析式，画出函数的图象；
（3）根据函数的图象求出函数的值域和函数单调区间．
试题解析：（）时， ， ，
时， ， ，
∴．
（）
（）由（）可知， 单调减区间为，单调增区间为，
，
，故值域为．
【高考再现】
1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
2.【2020年高考全国Ⅱ卷文数10】设函数，则 （）
A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减
【答案】A
【思路导引】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【解析】∵函数定义域为，其关于原点对称，而，
∴函数为奇函数．又∵函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，∴函数在上单调递增，在上单调递增．
【专家解读】本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查数学运算学科素养．解题关键是正确理解函数奇偶性、单调性的含义．
3.【2020年高考全国Ⅱ卷理数9】设函数，则 （）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【思路导引】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果．
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确．故选D．
【专家解读】本题的特点是注重函数性质的综合应用，本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解函数奇偶性、单调性的含义．
4.【2020年高考山东卷8】若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果．
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：或或
解得或，所以满足的的取值范围是，故选D．
【专家解读】本题的特点是注重函数性质的应用，本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查抽象不等式的解法，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是正确应用函数的性质，转化为不等式组来求解．
5.【2018年全国2卷】函数的单调递增区间是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由>0得：x∈( ∞, 2)∪(4,+∞)，
令t=，则y=lnt，
∵x∈( ∞, 2)时,t=为减函数；
x∈(4,+∞)时,t=为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，
故选：D.
点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.
当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；
当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.
简称为“同增异减”
6.【2018年全国新课标1卷】已知函数，则
A． 在（0，2）单调递增 B． 在（0，2）单调递减
C． 的图像关于直线x=1对称 D． 的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．
【反馈练习】
1．【陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试文】已知定义在上的偶函数在区间上递减.若，，，则，，的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由是偶函数在上递减，故在上递增，然后比较的自变量，进而判断得结果.
【详解】
因为定义在R上的偶函数在区间上递减，所以在上递增，
，，，
因为，在上递增，
所以，即，
故选:B.
【点睛】
方法点睛：本题考查了函数的基本性质，对于抽象函数，要灵活掌握并运用图像与奇偶性、单调性等性质，要注意定义域，还应该学会解决的基本方法与技巧，如对于选择题，可选用特殊值法、赋值法、数形结合等，应用解析、逻辑推理、联想类比等数学思想方法.
2.【上海市浦东新区2021届高三上学期一模数学】已知函数，则以下4个命题：
①是偶函数；
②在上是增函数；
③的值域为；
④对于任意的正有理数，存在奇数个零点.
其中正确命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
取特殊值可判断①②；根据值域中不含负无理数可判断③；根据为有理数或为无理数，解出可判断④.
【详解】
①因为，所以，所以不是偶函数，故错误；
②因为，所以在不是增函数，故错误；
③因为，显然的值域中不含负无理数，
故的值域不为，故错误；
④的零点即为有理数或为无理数，
对于为有理数，必有解，
对于为无理数，必有解或无解，
故有三个零点或一个，故正确；
故选：B.
3.【云南省陆良县2020届高三毕业班（9月）第一次摸底考试】已知是奇函数，且对任意且都成立，设，，，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据已知不等式可以判断出函数的单调性，再结合奇函数的性质进行判断即可.
【详解】
当时，由，
当时，由，因此函数是单调递增函数，
因为是奇函数，所以，因此当时，有，
当时，有，
因为是奇函数，所以有，
因为，所以，即，因此.
故选：B
4.【2021届百师联盟高三一轮复习联考（三）全国卷 I 文科数学】已知函数的定义域为，且当时，有，当时，有恒成立，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由已知条件得是定义在上的奇函数,且在上单调递减，，所以，然后分，，三种情况解不等式即可
【详解】
解：根据得，所以是定义在上的奇函数，则有.
又由时，有得在上单调递减.又是奇函数，则有在上也单调递减.则在上为减函数，所以.
当时，.所以，则恒有；
当时，，此时，故不成立；
当时，，所以此时，，
故，与条件矛盾，故的取值范围为.
故选：B.
5.【四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（文）】已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列四个结论中：①图象关于直线对称；②；③在上为减函数；④.其中正确的个数（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
根据已知求得函数的周期以及单调区间，逐个选项判断即可得结论.
【详解】
因为为奇函数，所以，
所以，所以对称轴为，
因为，所以，所以周期为4，
所以对称轴，故不符合，所以①不正确；
，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，所以②正确；
因为且时，都有，
所以，即，
所以在上为增函数，所以在上为增函数，
所以在上为增函数，所以③不正确；
因为，，
所以，所以④不正确，即正确的个数为1个，
故选：A.
6.【四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（理）】已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列结论正确的是（）
A．图象关于直线对称 B．图象关于点中心对称
C．在上为减函数 D．在上为增函数
【答案】B
【解析】
由是定义在上的奇函数，则结合可得函数的图像关于直线对称和函数为周期函数，从而可判断A,B选项，由条件可得，则所以在上为增函数，结合函数的对称性和周期性可判断C,D.
【详解】
由是定义在上的奇函数，则
所以，则函数的图像关于直线对称.
又，则
所以函数为周期函数， 4为函数的一个周期.
所以的对称轴方程为：，不满足，故A不正确.
由是定义在上的奇函数,则图像关于点成中心对称.
所以的对称中心满足：，所以是函数的一个对称中心，故B正确.
由且时，都有，
则，即
所以在上为增函数, 由是定义在上的奇函数
所以在上为增函数，且，所以在上为增函数
由的图像关于直线对称，所以在上为减函数，
又4为函数的一个周期.
则在上单调递增，在上单调递减.
所以在上为增函数，故C不正确.
在上为增函数,在为减函数，故D不正确.
故选：B
7.【广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）】设定义在R上的函数满足，且当时，，若存在，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
构造，由已知条件有，即为奇函数又时，可判断单调递减，结合的规则有即可求的取值范围.
【详解】
构造函数，因为，
∴，
∴为奇函数，
当时，，在上单调递减，
∴在R上单调递减.
∵存在，所以，
∴，化简得，
∴，即.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：
1、构造函数：，结合已知确定的奇偶性、单调性.
2、由的规则，有结合单调性求参数范围即可.
8．【甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高三第一学期10月月考数学（理）】已知函数，若，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据分段函数的单调性以及，可得且，令，则，然后用表示，再作差，构造函数，并利用单调性可求得结果.
【详解】
因为函数在上递减，在上递增，又，
所以，且，令，则，
所以，，
所以，
设函数，，
∵在上单调递增，
∴，即，
∴，
故选：B．
9．（2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得.
【解析】因函数在R上单调递增，
则有在上递增，在上也递增，
根据增函数图象特征知，点不能在点上方，
于是得 ，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A
10．（2021·北京高三二模）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据基本初等函数的性质依次判断选项即可.
【解析】对于A选项：指数函数，底数，所以函数在上单调递减；对于B选项：幂函数，，所以幂函数在上单调递减；对于C选项：二次函数，对称轴为，所以二次函数在上单调递减，在上单调递增；对于D选项：对数函数，底数，所以对数函数在上单调递增.
故选：D.
【点睛】本题主要考查基本初等函数的单调性，基本初等函数的函数性质是整个高中数学知识的奠基，和很多专题知识都有交融，是整个数学学习的基础.
11．已知函数（ ）
A．是奇函数，单调递增 B．是奇函数，单调递减
C．是偶函数，单调递减 D．是偶函数，单调递增
【来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021届高三第三次模拟文科数学试题
【答案】D
【解析】定义域为，
因为，所以为偶函数，
任取，且，则
，
因为，，所以，所以，所以在单调递增，
故选：D
12．已知奇函数的定义域为，且有，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】押第7、9题 函数与方程-备战2021年高考数学（理）临考题号押题（全国卷2）
【答案】B
【解析】记
因为为奇函数，所以
∴，∴为偶函数；
任取，有，
∵，∴，即
∴在上，为减函数.
∵为偶函数，∴在上，为增函数；
不等式可化为：不等式；
由，，可推出
则可化为，解得：或
故解集为
故选：B
【点睛】
(1)利用单调性解不等式通常用于： ①分段函数型不等式；②复合函数型不等式；③抽象函数型不等式；④解析式较复杂的不等式；
(2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可．
13．设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【来源】内蒙古包头市2021届高三第一次模拟考试数学（文）试题
【答案】C
【解析】由得：，定义域为；
又，
为定义域内的偶函数，可排除BD；
当时，，
在上单调递减，单调递增，在上单调递减，可排除A；
为偶函数且在上单调递减，在上单调递增，C正确.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题对于函数单调性的判断的关键是能够根据的范围得到的解析式，利用复合函数单调性的判断，即“同增异减”的方法确定函数在区间内的单调性.
14．函数（其中m R）的图像不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】湖北省荆门龙泉中学、宜昌一中2021届高三下学期2月联考数学试题
【答案】C
【解析】易见，
① 当时，图像如A选项；
②当时，时，易见在递增，得在递增；
时，令，得为对勾函数，
所以在递增，递减，
所以根据复合函数单调性得在递减，递增，图像为D；
③当时，时，易见在递减，故在递减；
时为对勾函数，
所以在递减，递增，图像为B.
因此，图像不可能是C.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用对勾函数单调性来判断函数的图像，属于中档题.
15．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【来源】黑龙江省伊春林业管理局第二中学2020-2021学年高三上学期期中考试数学（文）试题
【答案】A
【解析】对A，函数在上递增，所以在区间上为增函数，符合；
对B，函数在定义域上递减，不存在增区间，不符合；
对C，函数在上递减，不存在增区间，不符合；
对D，函数在上递减，在上递增，不符合．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法则的应用，属于容易题．
16．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数，递增区间是
B．是偶函数，递减区间是
C．是奇函数，递减区间是
D．是奇函数，递增区间是
【来源】吉林省长春市东北师大附中2021届高三五模数学（文）试题
【答案】C
【解析】将函数去掉绝对值得，
画出函数的图象，如图，观察图象可知，
函数的图象关于原点对称，
故函数为奇函数，且在上单调递减，
故选：C
17．已知函数满足：①对任意、且，都有；②对定义域内的任意，都有，则符合上述条件的函数是（ ）
A． B． C． D．
【来源】广东省深圳福田区红岭中学2021届高考二模数学试题
【答案】A
【解析】由题意得：是偶函数，在单调递增，
对于，，是偶函数，
且时，，对称轴为，
故在递增，符合题意；
对于，函数是奇函数，不合题意；
对于，由，解得：，
定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数，不合题意；
对于，函数在无单调性，不合题意；
故选：A
【点睛】
本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
18．若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性月考（六）数学试题
【答案】A
【解析】∵，
∴，设，
即有，
只需要，解得.
故选：A.
19．已知函数在上是减函数，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）数学（理）试题
【答案】B
【解析】因为，因为且在上是减函数，则，即，所以，，所以，则；
因为，，∴，所以，
所以，所以，则；
因为，，∴，所以，所以，所以，则，综上：，
故选：B．
20．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题
【答案】A
【解析】，当时，，则；
当时，，则，所以时，，函数单调递增，故选：A．
21．已知函数，若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】四川省成都市2022届高三文科数学零诊考试试题
【答案】A
【解析】不妨设，可得：，
可得函数在，上单调递增，则导函数在，上恒成立，
，可得：．
令，
则，所以在上恒成立，在上恒成立，
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，．
．
故选：
【点睛】
关键点点睛：将问题转化为构造的新函数的单调性问题，原函数单增转化为导函数大于等于0，再利用分参法求最值即可．
22．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（二）
【答案】B
【解析】由，得在区间上有解，
即在区间上有解，
令，则，
当时，；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减；
又因为，，，
且当，即时，在区间上单调递减，
所以，即 ，
故选：B.
23．已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】福建省宁德市2021届高三三模数学试题
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴函数关于对称，
又，
∵，
∴，
∴恒成立，则是增函数，
∵，
∴，
∴，得，
故选：A.
【点睛】
根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，需灵活应用基本不等式求最值，综合性强，属中档题.
24．设函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【来源】山东省日照第一中学2020-2021学年高三第二次联合考试数学试题
【答案】BCD
【解析】由，得x．
又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数；
由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝，
∵＝＝．
可得内层函数t＝|| 的图象如图，
在（﹣∞，）上单调递减，在（，）上单调递增，
在（，+∞）上单调递减．
又对数式y＝lnt是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减．
故选：BCD．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题．
方法点睛：复合函数单调性（1）先求内层函数的单调性；
（2）判断外层函数的单调性；
（3）依据同增异减的原则，判断整体函数的单调性.
25．已知函数满足，当时，，且.
（1）求的值，并判断的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【来源】江苏省泰兴中学、南菁高级中学2020-2021学年高一上学期12月第二次阶段考试数学试题
【答案】（1），；在上为增函数；（2）.
【解析】（1）令，得，得，
令，得，得；
设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以
，
因为，所以，所以，
因此
即在上为增函数；
（2）因为，即，即，
又，所以，
又因为在上为增函数，所以在上恒成立；
得在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，当时，取最小值，所以；
即时满足题意.
26．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求，的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围．
【来源】江苏省南通市启东中学2020-2021学年高三上学期期初数学试题
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）为上的奇函数，，可得
又（1）
，解之得
经检验当且时，，满足是奇函数．
（2）由（1）得，
任取实数、，且
则
，可得，且
，即，函数在上为减函数；
（3）根据（1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数．
不等式恒成立，即
也就是：对任意的都成立．
变量分离，得对任意的都成立，
，当时有最小值为
，即的范围是．
【点睛】
本题以含有指数式的分式函数为例，研究了函数的单调性和奇偶性，并且用之解关于的不等式，考查了基本初等函数的简单性质及其应用，属于中档题．
27.【上海市青浦区2021届高三上学期一模数学】设函数，为常数.
（1）若为偶函数，求的值；
（2）设，，为减函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）根据偶函数的定义求解即可；
（2）化简函数，根据函数减函数的定义确定a的范围.
【详解】
（1）因为为偶函数，且，所以
即
即
所以对一切成立，所以
（2）因为，且
所以，
任取，
因为，所以且
又在区间上为减函数，所以
即，所以又，所以.
28．【安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试文科数学】已知函数的一个极值点是.
（1）求a与b的关系式，并求的单调区间；
（2）设，，若存在，，使得成立，求实数a的范围.
【答案】（1），单调区间见解析；（2）
【解析】
（1）求出的导数，由题可得，即可得出，再讨论和的大小根据导数可得单调区间；
（2）根据和的单调性分别求出两个函数的最大值和最小值，将不等式转化为存在，，使得成立，即可列出不等式求解.
【详解】
（1）可求得，
的一个极值点是，，
解得，
，
当时，，单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意，
当时，令，解得，令，解得或，
当时，令，解得，令，解得或，
综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
（2），
由（1）可知，时，在单调递增，在单调递减，
，，，
，
在单调递增，，，
存在，，使得成立，
即存在，，使得成立，
，解得.
【点睛】
本题考查双变量的存在性问题，解题的关键是将不等式化为存在，，使得成立，则可得出.

展开更多......

收起↑