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专题04 函数的奇偶性的判断及其应用
【高考地位】
函数的奇偶性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明函数的奇偶性，利用函数的奇偶性解决实际问题．
类型一 函数奇偶性的判断
万能模板 内 容
使用场景 一般函数类型
解题模板 第一步 确定函数的定义域； 第二步 判断其定义域是否关于原点对称； 第三步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第四步 得出结论.
例1 判断下列函数的奇偶性：
；(2) ；(3).
【解析】（1）第一步，确定函数的定义域：
由不等式得，所以函数的定义域为
第二步，判断其定义域是否关于原点对称：
因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称
第三步，若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
第四步，得出结论.
所以函数为偶函数。
（2）第一步，确定函数的定义域：
由不等式得，所以函数的定义域为
第二步，判断其定义域是否关于原点对称：
因为函数的定义域为，所以定义域不关于原点对称
第三步，得出结论.
所以函数既不是奇函数也不是偶函数；。
（3）第一步，确定函数的定义域：
由不等式得或，所以函数的定义域为或
第二步，判断其定义域是否关于原点对称：
因为函数的定义域为或，所以定义域关于原点对称
第三步，若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
第四步，得出结论.
所以函数为寄函数。
【点评】确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证或其等价形式是否成立．
【变式演练1】【四川省泸州市2021届高三第一次教学质量诊断性考试数学（文科）】下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用初等函数的奇偶性逐一分析选项，利用导数判断含有三角函数的单调性即可.
【详解】
解：A选项：为奇函数，在和上单调递减，故A错误；
B选项：定义域为，但在定义域上不单调，故B错误；
C选项：，定义域为且为奇函数，取，，取，，，，在上不是单调增函数，故C错误；
D选项：，定义域为且为奇函数，，故在上单调递增，故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查判断已知函数的奇偶性和单调性，属于中档题.
结论点睛：（1）奇函数加奇函数为奇函数；
（2）偶函数加偶函数为偶函数；
（3）奇函数乘奇函数为偶函数；
（4）偶函数乘偶函数为偶函数；
（5）奇函数乘偶函数为奇函数.
【变式演练2】【四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（文）】函数部分图象大致形状为（）【公众号：一枚试卷君】
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用奇偶性的定义可证是奇函数，在利用导函数研究单调性即可确定函数图象.
【详解】
由解析式知：，即是奇函数，且，即可排除A、B；
因为，所以时有单调递减，排除D；
故选：C
【变式演练3】若函数存在个零点，则所有这些零点的和等于________．
【来源】江苏省南京师范大学《数学之友》2021届高三下学期一模数学试题
【答案】
【分析】
构造函数并讨论其奇偶性，再利用函数与的关系即可作答.
【详解】
函数，且，，
即是其定义域上的奇函数，其图象关于点(0，0)对称，而，
则图象可由图象右移一个单位而得，于是图象关于点(1，0)对称，
因存在个零点且点(1，0)不在图象上，从而为偶数，
设这个零点依次为，点与关于点(1，0)对称，即，
所以.
故答案为：
【点睛】
关键点睛：涉及某些函数的所有零点和的问题，探讨函数的对称性并利用这个性质是解题的关键.
类型二利用函数的奇偶性求函数的解析式
万能模板 内 容
使用场景 一般函数类型
解题模板 第一步 首先设出所求区间的自变量； 第二步 运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围； 第三步 利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.
例2 ．已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，求出函数的解析式.
【答案】.
【解析】第一步，首先设出所求区间的自变量：
设则，
第二步，运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围：
所以，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，
第三步，利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式：
所以函数的解析式为
【点评】（1）已知函数的奇偶性求解析式的题目，一般是求哪个区间，则设未知数在哪个区间，然后化为已知区间求解；（2）本题是求函数在R上的解析式，一定不要忘记时，函数的值.
例3 若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.
【答案】，.
【解析】第一步，首先设出所求区间的自变量：
用代换解析式中的，所以，
第二步，运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围：
因为函数是奇函数，是偶函数，所以，
第三步，利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式：
联立，解之得，.
【点评】这里运用了构造法，把符合要求的奇函数与偶函数构造出来，问题也就解决了，构造的关键是运用奇、偶函数的概念，并联系方程组的知识.
【变式演练4】已知函数是定义在R上的奇函数,当时,
（1）求函数的解析式;
（2）若,求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）∵时, ),∴当时，,
∴),∵函数是定义在R上的奇函数,∴即,又,
∴，
（2）∵时：,,
∴ ,∴,
∴,∴.
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，奇函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【变式演练5】设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________.
【来源】上海市控江中学2021届高三三模数学试题
【答案】
【分析】
先求出函数是定义在上的解析式，再分别讨论与在大于0和小于0时列出不等式，最后求并集.
【详解】
由于函数是定义在上的奇函数，且当时，，
当时，，，此时，. 又，
综上所述，.
①当时，由，得，解得，此时，；
②当时，即当时，
由得，整理得，解得，此时；
③当由得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为 .
故答案为：.
【点睛】
关键点睛：解决本题类型的问题关键在于由已知奇函数部分解析式求定义域上奇函数解析式，并分段讨论求不等式解集.
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
2．（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【解析】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
3．（2021·全国高考真题）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【解析】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
4.【2020年高考江苏卷7】已知是奇函数，当时，，则的值是．
【答案】
【解析】是奇函数，当时，，则．
【专家解读】本题考查了函数的奇偶性，考查数学运算学科素养．解题关键是正确应用函数的奇偶性．
5.【2020年高考山东卷8】若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果．
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：或或
解得或，所以满足的的取值范围是，故选D．
【专家解读】本题的特点是注重函数性质的应用，本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查抽象不等式的解法，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是正确应用函数的性质，转化为不等式组来求解．
6.【2017全国二文】已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则
【答案】12
【解析】
【考点】函数奇偶性
【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.
(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.
7.【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学】已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得
，
故选C
【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
（2）借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．
8.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数】已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，
选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
9. 【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．
【考点定位】函数的奇偶性判断．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性判断和常见函数性质问题，但既不是奇函数，也不是偶函数的判断可能较不熟悉，容易无从下手，因此可从熟悉的奇偶性函数进行判断排除，依题易知、、是奇偶函数，排除得出答案，属于容易题．
【反馈练习】
1．（多选）【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性.
【详解】
A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意；
B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意；
C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意；
D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意.
故选：AD
2．【安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试文科】设函数是定义在R上的奇函数，且，若，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据是奇函数，可得，即可求出，进而可求.
【详解】
是奇函数，，即，
即，，，
.
故选：C.
3．【河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科】设是上的奇函数且满足，当时，，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可知，是以为周期的周期函数，进而可得出，再利用奇函数的性质可求得结果.
【详解】
对任意的，，即，
所以，函数是以为周期的周期函数，，
由于函数为的奇函数，且当时，，
因此，.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
4.【山东省淄博市2021届高三上学期教学质量摸底检测（零模）】已知定义在上的奇函数满足，且在上有，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意可得函数是周期为4的周期函数，结合函数为奇函数可得，代入函数解析式化简即可.
【详解】
解：因为定义在上的奇函数满足，
所以，
所以，即函数是周期为4的周期函数，
又时有，
所以
故选：D.
【点睛】
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路：
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性；
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响.
5.【云南省昆明市官渡区2021届高三上学期两校联考】若定义在R上的函数满足，，且当时，，则函数在区间上的零点个数为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】
先分析函数的零点个数，即与在区间上的交点个数，再分析函数周期性、对称性和单调性画函数图象，看图即得结果.
【详解】
依题意，函数的零点个数，即与在区间上的交点个数，
定义在R上的函数f(x)满足f( x)=f(x)，f(2 x)=f(x)，
∴函数f(x)是偶函数，且函数的图象关于x=1对称，故，，满足，故函数f(x)是单位圆的，利用周期性和对称性可得函数图像.
设g(x)=xex，其定义域为R，g′(x)=(xex)′=x′ex+x(ex)′=ex+xex
令g′(x)=0，得：x= 1，且时g′(x)<0，时g′(x)0，
故函数g(x)=xex的单调递减区间为( ∞, 1)，单调递增区间为( 1,+∞)，
当x= 1时，函数g(x)=xex的极小值为，且时g(x)<0，时g(x)0，故作图如下：
将x轴下方部分图像对称到上方，即得图像，
要求与在区间上的交点个数，则作图如下：
结合图像可知，有6个交点，故函数有6个零点.
故选：B.
【点睛】
“以形助数”是已知两图象交点问题求参数范围常用到的方法，解决此类问题的关键在于准确作出不含参数的函数的图象，并标清一些关键点，对于含参数的函数图象要注意结合条件去作出符合题意的图形．
6.【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题首先可根据题意得出函数的图像关于点中心对称且，然后根据基本不等式得出，则函数在上单调递增，最后将不等式转化为或，通过计算即可得出结果.
【详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以函数的图像关于点中心对称，且，
当时，，
则，当且仅当时取等号，
故，函数在上单调递增，
因为函数的图像关于点中心对称，
所以函数在上单调递增，
不等式可化为或，
，即，解得，
，即，解得，
故不等式的解集为，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：若函数是偶函数，则函数的图像关于直线对称；若函数是奇函数，则函数的图像关于点中心对称，考查通过基本不等式求最值，考查根据导函数判断函数单调性，是难题.
7.【安徽省安庆市怀宁中学2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科】已知定义在R上的奇函数，对任意的实数x，恒有，且当时，，则（ ）
A．6 B．3 C．0 D．
【答案】B
【分析】
根据函数恒有，得到函数的周期是6，再由定义在R上的奇函数，得到，然后求解.
【详解】
因为函数对任意的实数x，恒有，
所以，
所以函数是以6为周期的周期函数，
又定义在R上的奇函数，
所以，
又当时，，
所以，
，
所以，
，
，
故选：B
8．【山东省枣庄三中2021届高三10月份第二次质检】函数的图象大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
判断函数为奇函数，由图像可排除C，D；然后利用特殊值，取，可排除B.
【详解】
定义域为，定义域关于原点对称，
，
是奇函数，排除C，D；
当时，，排除B；
故选：A.
9.【湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高三上学期期中联考】若函数的图象关于轴对称，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到，进而得到恒成立，根据对应项系数相同可得方程求得结果.
【详解】
图象关于轴对称，即为偶函数
即：
恒成立，即：
，解得：
本题正确选项：
10．【广西南宁市普通高中2021届高三10月摸底测试数学（文）】已知函数是上的奇函数，当时，不等式恒成立，则整数的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
由题意有，即可得，进而可知其为增函数，由不等式恒成立结合的单调性有，令利用导数研究的最值，即可求的取值范围，可得最小值.
【详解】
由题意知：，即，所以，
∴函数为上的增函数，不等式恒成立，又，
∴，得，即，
令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴当时，取极大值也是最大值，最大值为，
即，又，有.
故选：A
11．设函数在内有定义，下列函数必为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖南省岳阳市岳阳县2021届高三下学期高考适应性考试数学试题
【答案】B
【分析】
根据奇偶性的定义依次判断即可.
【详解】
对A，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故A错误；
对B，中，，所以函数为奇函数，故B正确；
对C，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故C错误；
对D，为偶函数，故D错误.
故选：B.
6．若为奇函数，当时，，则（ ）
A． B．1 C．3 D．
【来源】辽宁省丹东市2021届高三二模数学试题
【答案】C
【分析】
先求出时，的解析式，再利用奇函数求
【详解】
因为为奇函数，当时，，
所以，解得：.
所以当时，.
所以.
故选：C
【点睛】
函数奇偶性的应用:
(1)一般用或;
(2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或.
13．函数是偶函数，则实数__________．
【来源】重庆市巴蜀中学2021届高三适应性月考（十）数学试题
【答案】1
【分析】因为，且是偶函数，则，
，
即，所以实数．
故答案为: 1.
14．定义在R上的奇函数满足，当时，，则当时，不等式的解为___________.
【来源】四川省攀枝花市2021届高三一模考试数学（文）试题
【答案】
【分析】
根据奇函数的性质及条件求得函数周期，从而求得时对应的函数解析式，然后解一元二次不等式即可.
【详解】
，函数周期为2；
当时，，
则当时，，
由知，
当时，，
故时，
则不等式即，解得，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：难点在于求得函数在对应的函数解析式，从而解一元二次不等式.

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