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专题05 函数的周期性和对称性形影不离
【高考地位】
函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。
类型一 函数的周期性的判定及应用
万能模板 内 容
使用场景 几类特殊函数类型
解题模板 第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性； （1）若函数满足，则函数的周期为； （2）若函数满足或或，则函数 的周期为； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题.
例1 函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】第一步，准确求出函数的周期性：
由，可知是周期为的函数，
第二步，运用函数的周期性求解实际问题：
令故，代入解析式，得，解得，
从而，
故，故选C.
【点评】函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．
【变式演练1】【陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科数学】已知定义域为R的函数满足，且当时，，则（）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】
由得出函数的周期，所以代入解析式可得答案.
【详解】
由满足，
所以函数的周期，且当时，，
所以.
故选：C.
【变式演练2】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
【变式演练3】函数在[0，2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数是偶函数，则其图象关于轴对称，所以函数的图像关于对称，则，，函数在上单调递增，则有
，所以.选.
考点：抽象函数的周期性．
类型二 函数的对称性问题
万能模板 内 容
使用场景 几类特殊函数类型
解题模板 记住常见的几种对称结论： 第一类 函数满足时，函数的图像关于直线对称； 第二类 函数满足时，函数的图像关于点对称； 第三类 函数的图像与函数的图像关于直线对称.
例2 ．（多选）已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（ ）
A．的周期 B．的最大值为4
C． D．为偶函数
【来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第八次质量检测数学试题
【答案】ABD
【分析】
由函数的图象关于直线对称，得，又，所以，，从而可得，进而根据周期性、对称性、时的解析式即可求解.
【详解】
解：函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
对有，
函数的图象关于中心对称，
，即，
又，即，
，
，即，，
的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；
当时，，，
当时，，，即，
当时，，
又函数的图象关于直线对称，
在一个周期上，，
在上的最大值为4，选项B正确；
，选项C错误.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是，根据的图象关于直线对称，及对有，推导出，进而得.
例3 已知定义在上的函数的图象关于点对称, 且满足,又,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由得，又，
，，的图象关于点对称，所以
，由可得
，故选D.
考点：函数的周期性；函数的对称性．
例4 已知为奇函数， 与图像关于对称，若，则（ ）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
【答案】B
【解析】为奇函数，故的图象关于原点对称，而函数的图象可由图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得到，故的图象关于点对称，又与图象关于对称，故函数的图象关于点对称， ，即，故点，关于点对称，故，故选B.
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难题题.函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是利用函数的平移变换、放缩变换后根据对称性解答的.
【变式演练4】已知函数，现有下列四个命题：
①f(x)的最小正周期为π；
②f(x)的图象关于原点对称；
③f(x)的图象关于(，0)对称；
④f(x)的图象关于(π，0)对称.
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④
【来源】山西省晋城市2021届高三三模数学（理）试题
【答案】C
【分析】
利用函数的对称性和周期的判断方法直接对选项进行逐一判断即可得出答案.
【详解】
因为与的最小正周期均为π，所以f(x)的最小正周期是π.
因为，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称.
因为，所以f(x)的图象关于(，0)对称.
因为，所以f(x)的图象关于(π，0)对称.
所以①②③④均正确
故选：C
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
2．（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【解析】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
3. 【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）
（A）0 （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C.
考点： 函数图象的性质
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.
4. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）】已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：考点：函数的周期性.
【名师点睛】函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
5. 【2018年全国文科数学】已知函数，则
A． 在（0，2）单调递增B． 在（0，2）单调递减
C． 的图像关于直线x=1对称 D． 的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【考点】函数的对称性、单调性。
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．
6.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=.
【答案】-2
【解析】
考点：函数的奇偶性和周期性.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把和，利用奇偶性与周期性化为上的函数值即可．
7. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学】函数满足，且在区间上，则的值为____．
【答案】
【解析】由得函数的周期为4，所以因此
考点：函数的周期性.
【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
8. 【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是.
【答案】
【解析】，
因此
考点：分段函数，周期性质
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.
【反馈练习】
1．【河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科】设是上的奇函数且满足，当时，，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可知，是以为周期的周期函数，进而可得出，再利用奇函数的性质可求得结果.
【详解】
对任意的，，即，
所以，函数是以为周期的周期函数，，
由于函数为的奇函数，且当时，，
因此，.
故选：D.
2.【四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（文）】已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列四个结论中：①图象关于直线对称；②；③在上为减函数；④.其中正确的个数（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根据已知求得函数的周期以及单调区间，逐个选项判断即可得结论.
【详解】
因为为奇函数，所以，
所以，所以对称轴为，
因为，所以，所以周期为4，
所以对称轴，故不符合，所以①不正确；
，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，所以②正确；
因为且时，都有，
所以，即，
所以在上为增函数，所以在上为增函数，
所以在上为增函数，所以③不正确；
因为，，
所以，所以④不正确，即正确的个数为1个，
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为奇函数结合，得到和，从而得到函数的对称性和周期性，根据条件得出，得到函数的单调性.
3.【四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（文）】已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列四个结论中：①图象关于直线对称；②；③在上为减函数；④.其中正确的个数（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根据已知求得函数的周期以及单调区间，逐个选项判断即可得结论.
【详解】
因为为奇函数，所以，
所以，所以对称轴为，
因为，所以，所以周期为4，
所以对称轴，故不符合，所以①不正确；
，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，所以②正确；
因为且时，都有，
所以，即，
所以在上为增函数，所以在上为增函数，
所以在上为增函数，所以③不正确；
因为，，
所以，所以④不正确，即正确的个数为1个，
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为奇函数结合，得到和，从而得到函数的对称性和周期性，根据条件得出，得到函数的单调性.
4.【吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2020-2021学年高三（上）第一次联考】已知函数的周期为5，当时，，则（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】
由函数的周期把化为，再计算函数值．
【详解】
解：函数的周期为5，当时，，
则(4)，
故选：．
5．已知函数对任意的实数x都满足，且函数的图象关于点对称，若，则（ ）
A．0 B．2 C． D．2021
【来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第七次质量检测数学试题
【答案】B
【分析】
由题意可得，可得，从而求得，由题意可求出的值
【详解】
解：因为函数对任意的实数x都满足，
所以，所以，
因为函数的图像关于点对称，
所以的图像关于原点对称，所以是奇函数，所以，
所以，所以，
所以，即，
所以，所以是周期为8的周期函数，
若，则，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
故选：B
6．已知为上的奇函数，为偶函数，若当，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【来源】宁夏回族自治区银川一中2021届高三高考猜题卷数学（理）试题
【答案】C
【分析】
根据为上的奇函数可求出，又为偶函数，可推出为周期函数，利用周期性即可求解.
【详解】
解：为上的奇函数，且当时，
，即，
，
当时，，
为偶函数，
，
，
又为上的奇函数，
，
，
，
是周期为4的周期函数，
，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是根据为上的奇函数和为偶函数，推出函数为周期函数，利用周期性求解.
7.【江苏省苏州中学2021届高三（10月份）调研】若定义在上的奇函数满足对任意的，都有成立，且，则，，的大小关系是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由，可推出，从而可知函数是周期函数，周期为4，进而可得出，，，然后根据是上的奇函数，求出三个函数值，即可得出答案.
【详解】
因为，所以，即是周期函数，周期为4，
又函数是上的奇函数，所以，，
则，，，
所以.
故选：A.
8．已知奇函数定义域为，且为偶函数，若，则（ ）
A．0 B． C． D．
【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（文）试题
【答案】C
【分析】
根据函数奇偶性的性质求出函数的周期，分别求出一个周期内的函数值，结合周期性分析，即可得解.
【详解】
为偶函数，的图象关于直线对称,
，
为上的奇函数，，，
，
，即是周期为8的周期函数，
，，，
，，
，
,
故选：C.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查学生的综合计算能力，求出函数的周期是解题的关键，属于中档题.
9.【贵州省贵阳市四校2021届高三上学期联合考试】已知定义域为R的函数满足，，且当时，，则（）
A．-1 B．-2 C．0 D．1
【答案】B
【分析】
根据，，可知该函数的周期为4，然后再结合周期性、奇偶性将所求的函数值转化为已知区间上的函数值求解．
【详解】
因为，，
，
所以是周期为4的奇函数．
所以（1）．
故选：．
10．【安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高三上学期8月月考】定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
是定义在上的奇函数，，函数是定义在上的偶函数，，，可得，则的周期是，，故选C.
11．定义在上的函数满足，，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为（ ）
A． B． C． D．
【来源】黑龙江省大庆市2021届高三二模数学（文）试题
【答案】A
【分析】因为义在上的函数满足，，
所以的周期为2，且图像关于直线对称，
由于当时，，所以的图像如图所示，再作出的图像，
则由图像可知，两函数图像的交点个数为5，
故选：A
12．（多选）已知函数的图象既关于点中心对称又关于点中心对称，则（ ）
A．是周期函数
B．是奇函数
C．既没有最大值又没有最小值
D．函数是周期函数
【来源】辽宁省实验学校2020-2021学年高三下学期四模数学试题
【答案】BCD
【分析】
根据对称性，结合奇偶性定义证明它是奇函数，判断B，用反证法（反例）说明函数不是周期函数，函数无最值，判断AC，根据周期性定义判断D．
【详解】
由题意，，
因此，
所以是奇函数，B正确．
例如满足题意，但恒成立，因此在上是增函数，不是周期函数，A错；
因为是奇函数，所以若是函数的最小值，则是函数的的最大值，
设，则，与是最大值矛盾，因此函数无最大值，同理也无最小值．C正确；
是奇函数，，则也是奇函数，
的图象关于点和对称，
，所以的图象关于对称，同理也关于对称．
因此是周期函数，4就是一个周期．D正确．
故选：BCD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的奇偶性、周期性，对称性．证明时利用对称性进行函数值与自变量的转换是解题关键．转换的目标是奇偶性与周期性的定义．举反例是说明一个命题不正确的常用方法．
13．（多选）函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是周期为的周期函数 B．是周期为的周期函数
C．为奇函数 D．为奇函数
【来源】广东省2021届高三二模数学试题
【答案】BD
【分析】
AB选项，利用周期函数的定义判断；CD选项，利用周期性结合，为奇函数判断.
【详解】
因为函数的定义域为，且与都为奇函数，
所以，，
所以，，
所以，即，故B正确A错误；
因为，且为奇函数，所以为奇函数，故D正确；
因为与相差1，不是最小周期的整数倍，且为奇函数，所以不为奇函数，故C错误.
故选：BD.
14．（多选）定义在上的函数满足：为整数时，；不为整数时，，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．的最小正周期为
【来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末数学试题
【答案】BCD
【分析】
根据函数的性质，结合奇偶性的定义和周期的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
A中，对于函数，有，
所以不恒成立，则函数不是奇函数，所以A不正确；
B中，对于函数，若为整数，则也是整数，则有，
若不为整数，则也不为整数，则有，
综上可得，所以函数是偶函数，所以B正确；
C中，若为整数，则，不为整数，则，
综上函数是整数，则，所以C正确；
D中，若为整数，则也是整数，若不为整数，则也不是整数，
总之有，所以函数的周期为1，
若，则和可能是一个整数，也可能不是整数，则有，
所以函数的最小正周期为1，所以D正确.
故选：BCD.
15．函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
① ；
② 是函数的周期；
③ 函数在区间上单调递增；
④ 函数所有零点之和为.
其中，正确结论的序号是___________.
【来源】安徽省六安市第一中学2021届高三下学期适应性考试理科数学试题
【答案】① ③ ④
【分析】
由可得直接计算即可判断① ；根据函数的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断在的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.
【详解】
对于①：由可得，故①正确；
对于② ：由可得关于直线对称，
因为是定义域为R的奇函数，所以
所以，
所以函数的周期为，故② 不正确；
对于③ ：当时，单调递增，且，
在单调递减，且，
所以在单调递增，因为是奇函数，
所以函数在区间上单调递增；故③ 正确；
对于④ ：由可得关于直线对称，作出示意图
函数所有零点之和即为函数与两个函数图象交点的横坐标之和，当时，两图象交点关于对称，此时两根之和等于 ，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于时两图象无交点 ，
所以函数所有零点之和为.故④ 正确；
故答案为：① ③ ④
【点睛】
求函数零点的方法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.
16．定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点之和为____________.
【来源】山东省济南市济南市莱芜第一中学2020-2021学年高三下学期2月月考数学试题
【答案】6
【分析】
把研究函数在上零点之和的问题转化为研究函数和 图象交点的横坐标之和的问题.通过研究函数的奇偶性，周期性，对称性作出函数和函数的简图，通过图象可得到答案.
【详解】
因为函数满足，所以函数的对称轴为直线，
又因为函数为奇函数，所以
又，所以，所以函数的周期为2，
又因为当时，，作出函数和的简图如图所示，
由图可知，有6个交点，这6个交点是关于点对称的，且关于点对称的两个点的横坐标之和为2，所以零点之和为.
故答案为：6.
17．定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是______．
【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（六）数学（理）试题
【答案】502
【分析】
根据函数周期性，得出是周期为4的周期函数，令，得，则函数在区间上的零点个数转化为与在
上的交点个数，根据周期性，即可得出结果.
【详解】
解：因为，所以，
所以是周期为4的周期函数．
令，得，
在同一坐标系下画出与的图像，
由图知，当时，函数有3个零点．
又因为，
即在区间上有167个完整的周期，零点个数为，
所以函数在区间共有502个零点.
故答案为：502．
【点睛】
本题考查函数的零点个数问题，通过转化为两函数的交点个数问题，结合函数的周期性的应用，考查数形结合思想.
18．已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.
【来源】专题2.1 函数的性质-备战2021年高考数学精选考点专项突破题集（新高考地区）
【答案】-2
【分析】
通过函数的对称性，判断函数的周期，然后利用周期性和对称性化简所求表达式，求出函数值即可．
【详解】
解：因为图像关于对称，则，
，
故是以8为周期的周期函数，
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数的周期性、函数值的求法，考查计算能力，是中档题．
19．定义在R上的函数满足．当时，，则___________；__________．
【来源】专题06函数及其性质的综合（客观题）-2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）
【答案】0 337
【分析】
先由判断周期为6，，直接计算；然后计算，把转化为，即可求解.
【详解】
因为，所以函数的周期为6的周期函数，
当时，，
所以，
因为，，，，
，，，
所以
.
故答案为0；337．
【点睛】
（1）分段函数求函数值，根据自变量代入对应的解析式进行计算；
（2）函数的周期性通常用于与年份有关的问题.

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