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（鲁教版）2022-2023学年度第一学期八年级数学1.3 公式法 同步测试
一、单选题
1．（2021八上·玉林期末）下列因式分解错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵2a 2b＝2（a b），故选项A正确；
x2 9＝（x＋3）（x 3），故选项B正确；
a2＋4a 4≠（a 2）2，故选项C错误；
x2 x＋2＝ （x2＋x 2）＝ （x 1）（x＋2），故选项D正确.
故答案为：C.
【分析】直接提取公因式2，分解因式，据此即可判断；两项的符号相反，都可以写成一个整式的完全平方，故直接利用平方差公式分解，据此即可判断B；因式分解就是将一个多项式化为几个整式的积的恒等变形，据此即可判断C；先利用添括号法则，将整个多项式放到一个带负号的括号内，进而将括号内的多项式利用十字相乘法分解因式，据此即可判断D.
2．（2021八上·芜湖期末）下列因式分解结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、原式＝﹣x（x﹣4），故本选项不符合题意；
B、原式＝（2x+y）（2x﹣y），故本选项不符合题意；
C、原式＝﹣（x+1）2，故本选项符合题意；
D、原式＝（x+1）（x﹣6），故本选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法和公式法分解因式即可。
3．（2021八上·桓台期末）下列多项式不能用公式法进行因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A. 选项A不能用公式法进行因式分解，A符合题意；
B. ，选项B能用公式法进行因式分解，B不符合题意；
C. ，选项C能用公式法进行因式分解，C不符合题意；
D. ，选项D能用公式法进行因式分解，D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式逐项判断即可。
4．（2021八上·大庆期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． + B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A、两项符号相同，故不能；
B、两项不是平方项，故不能；
C、两项符号相同，故不能；
D、两项是平方项，符号相反，故可以
故答案为：D
【分析】根据利用平方差公式分解因式所满足的条件。
5．（2021八上·东平月考）若长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，则的值为（　　）
A．14 B．16 C．20 D．40
【答案】C
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】∵长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，
∴，，
∴，
则．
故答案为：C．
【分析】根据长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，得出，，可求出a+b的值，再代入求解即可。
6．（2021八上·南阳月考）三角形的三边长分别为a，b，c，且满足 ，则该三角形的形状是（　　）
A．任意等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．任意直角三角形
【答案】C
【知识点】因式分解的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵已知 的三边长为 ，
∴ ，
∴ =0，或 ，即 ，或 ，
∴ 的形状为等腰三角形或直角三角形，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解可将等式转化为，根据a+b＞0，可证得a2+b2=c2，或a=b，据此可判断出三角形的形状.
7．（2021八上·莱州期中）如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　）
A．2560 B．490 C．70 D．49
【答案】B
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴ab＝10，a+b＝7，
∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490．
故答案为：B．
【分析】根据长方形的面积和周长公式可得ab＝10，a+b＝7，再将代数式a3b+2a2b2+ab3化简为ab（a+b）2，再将数据代入计算即可。
8．（2021八上·杨浦期中）下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（　　）
A．x2﹣x﹣m B．x2﹣mx+1 C．x2+x+1 D．x2﹣mx﹣1
【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：A、 ，判别式 ，值有可能小于0，在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意；
B、 ，判别式 ，值有可能小于0，在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意；
C、 ，判别式 ，在实数范围内一定不能因式分解，不符合题意；
D、 ，判别式 ，在实数范围内一定能因式分解，符合题意；
故答案为：D
【分析】对每个选项，令其值为0，得到一个一元二次方程，计算判别式的值，若△＞0，即可判断在实数范围内因式分解.
9．（2021八上·芝罘期中）观察下列分解因式的过程： ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足 ，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（　　）
A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解： ，
，
，
∴ 或 ，
当 时，围成一个等腰三角形；
当 时，不能围成三角形；
故答案为：A．
【分析】利用分组分解因式的方法将化为，可得 或 ，再利用三角形三边的关系求解即可。
10．（2021八上·东平月考）已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）
当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2
＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2
＝3．
故答案为：D．
【分析】首先把a2+b2+c2—ab－bc－ca两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式因式分解可得a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a），再把a、b、c代入求值即可。
二、填空题
11．（2022八上·博白期末）因式分解：　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为： .
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
12．（2021八上·芜湖期末）已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为　 　．
【答案】16
【知识点】代数式求值；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3b+2a2b2+ab3
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=1×42
=16．
故答案是16．
【分析】先分解因式，再将 a+b＝4，ab＝1， 代入求解即可。
13．（2021八上·松江期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣4=　 　．
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：
故答案为
【分析】先提取公因式2，再利用平方差公式因式分解即可。
14．（2021八上·鞍山期末）观察下列因式分解中的规律：①；②；③；④；利用上述系数特点分解因式　 　．
【答案】（x+3）（x-2）
【知识点】探索数与式的规律；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：（x+3）（x-2）．
【分析】利用十字相乘法因式分解即可。
15．（2021八上·大庆期末）已知 ， ，则 　 　．
【答案】14
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】解： ， ，
．
故答案为：14．
【分析】先进行因式分解，再整体代入求值。
三、解答题
16．（2021八上·惠州期末）分解因式：．
【答案】解：（x-4）（x+1）+3x
=x2-3x-4+3x
=x2-4
=（x+2）（x-2）．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】根据多项式乘多项式展开，合并同类型，再根据平方差公式因式分解得出 （x+2）（x-2） 。
17．（2021八上·中山期末）在的运算结果中，的系数为-4，x的系数为-7，求a，b的值并对式子进行因式分解．
【答案】解：∵
∴，
解得：，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】先计算多项式乘多项式，结合的系数为-4，x的系数为-7，建立a、b的方程，从而求出a、b的值，最后将a、b 值代入式子中进行分解因式即可.
18．（2021八上·东平月考）求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.
【答案】解：
=24（n+1），
∴能被24整除.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】利用平方差公式将代数式（n+7）2-（n-5）2因式分解可以得到（n+7）2-（n-5）2=24（n+1），即可得到答案。
19．（2021八上·安居期末）已知 ，求代数式 的值.
【答案】解：
，
又 ，
所以：原式 .
.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】由题意将所求代数式变形得原式=m3+m2+2m2+2020=m(m2+m)+2m2+2020，再整体代换即可求解.
20．（2020八上·龙口期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 中有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 ，得 ．
∴ 解得
另一个因式为 ，m的值为-21．
仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值．
【答案】解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
，
∴ ，解得 ， ，
故另一个因式为 ，k的值为65．
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【分析】根据题意设另一个因式为 ，则原式分解因式后的结果是 ，拆开后令二次项系数，一次项系数，常数项分别相等，列出方程组，解出a、k的值即可。
21．（2020八上·陆川期中）已知在 中，三边长分别为a，b，c，且满足等式 请判断 的形状，并写出你的理由.
【答案】解： 是等腰三角形
理由：∵
∴
∴
∴
∵根据三角形的三边性质有： 即
故 ，即
∴ 是等腰三角形
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【分析】利用分组分解法将等式的左边因式分解把等式化为（a-b）（a+b-c）=0的形式，得出a=b，即可判断△ABC是等腰三角形.
22．（2020八上·兰州期中）已知a，b，c为 的三边，且满足 ，试判断 的形状，并说明理由.
【答案】解：
∵ 或 或 且 ，
∴ 等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.
【知识点】因式分解的应用；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】分别将等式的两边分解因式，再整体移项，可得到（a+b）（a-b）（a2+b2-c2）=0，利用几个数之积为0，至少有一个数为0，由此可得到a，b，c之间的数量关系，即可得到此三角形的形状.
23．（2020八上·张掖期末）已知在⊿ABC中,三边长a、b、c ,满足等式a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，求证：a+c=2b.
【答案】解：∵a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，
∴a2+6ab+9b2-（c2-10bc+25b2）=0，
∴（a+3b）2-（c-5b）2=0，
∴（a+3b+c-5b）（a+3b-c+5b）=0，
即（a+c-2b）（a+8b-c）=0，
∵a，b，c是三角形三边长，
∴a+b-c＞0，
∴a+8b-c＞0，
∴a+c-2b=0，
∴a+c=2b．
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系
【解析】【分析】首先把a2-16b2-c2+6ab+10bc=0写成（a+3b）2-（c-5b）2=0，然后进行因式分解得到即（a+c-2b）（a+8b-c）=0，结合a，b，c是三角形三边长，进而求出a，b和c之间的关系．
24．（2020八上·松江月考）观察下列方程及其解的特征：
⑴ 的解为 ；
⑵ 的解为 ；
⑶ 的解为 ；
请猜想： 的解为 .
并用因式分解法写出解此方程的详细过程；
解：原方程可化为
【答案】 ， ；
解：原方程可化为 ，
∴ ， (5x-1)(x-5)=0，
∴5x-1=0，x-5=0，
∴ ，
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】由所给例子可知， 的解为 ， .
【分析】移项后用因式分解法求解即可.
1 / 1（鲁教版）2022-2023学年度第一学期八年级数学1.3 公式法 同步测试
一、单选题
1．（2021八上·玉林期末）下列因式分解错误的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021八上·芜湖期末）下列因式分解结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021八上·桓台期末）下列多项式不能用公式法进行因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021八上·大庆期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． + B．
C． D．
5．（2021八上·东平月考）若长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，则的值为（　　）
A．14 B．16 C．20 D．40
6．（2021八上·南阳月考）三角形的三边长分别为a，b，c，且满足 ，则该三角形的形状是（　　）
A．任意等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．任意直角三角形
7．（2021八上·莱州期中）如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　）
A．2560 B．490 C．70 D．49
8．（2021八上·杨浦期中）下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（　　）
A．x2﹣x﹣m B．x2﹣mx+1 C．x2+x+1 D．x2﹣mx﹣1
9．（2021八上·芝罘期中）观察下列分解因式的过程： ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足 ，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（　　）
A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形
10．（2021八上·东平月考）已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．（2022八上·博白期末）因式分解：　 　.
12．（2021八上·芜湖期末）已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为　 　．
13．（2021八上·松江期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣4=　 　．
14．（2021八上·鞍山期末）观察下列因式分解中的规律：①；②；③；④；利用上述系数特点分解因式　 　．
15．（2021八上·大庆期末）已知 ， ，则 　 　．
三、解答题
16．（2021八上·惠州期末）分解因式：．
17．（2021八上·中山期末）在的运算结果中，的系数为-4，x的系数为-7，求a，b的值并对式子进行因式分解．
18．（2021八上·东平月考）求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.
19．（2021八上·安居期末）已知 ，求代数式 的值.
20．（2020八上·龙口期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 中有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 ，得 ．
∴ 解得
另一个因式为 ，m的值为-21．
仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值．
21．（2020八上·陆川期中）已知在 中，三边长分别为a，b，c，且满足等式 请判断 的形状，并写出你的理由.
22．（2020八上·兰州期中）已知a，b，c为 的三边，且满足 ，试判断 的形状，并说明理由.
23．（2020八上·张掖期末）已知在⊿ABC中,三边长a、b、c ,满足等式a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，求证：a+c=2b.
24．（2020八上·松江月考）观察下列方程及其解的特征：
⑴ 的解为 ；
⑵ 的解为 ；
⑶ 的解为 ；
请猜想： 的解为 .
并用因式分解法写出解此方程的详细过程；
解：原方程可化为
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵2a 2b＝2（a b），故选项A正确；
x2 9＝（x＋3）（x 3），故选项B正确；
a2＋4a 4≠（a 2）2，故选项C错误；
x2 x＋2＝ （x2＋x 2）＝ （x 1）（x＋2），故选项D正确.
故答案为：C.
【分析】直接提取公因式2，分解因式，据此即可判断；两项的符号相反，都可以写成一个整式的完全平方，故直接利用平方差公式分解，据此即可判断B；因式分解就是将一个多项式化为几个整式的积的恒等变形，据此即可判断C；先利用添括号法则，将整个多项式放到一个带负号的括号内，进而将括号内的多项式利用十字相乘法分解因式，据此即可判断D.
2．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、原式＝﹣x（x﹣4），故本选项不符合题意；
B、原式＝（2x+y）（2x﹣y），故本选项不符合题意；
C、原式＝﹣（x+1）2，故本选项符合题意；
D、原式＝（x+1）（x﹣6），故本选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法和公式法分解因式即可。
3．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A. 选项A不能用公式法进行因式分解，A符合题意；
B. ，选项B能用公式法进行因式分解，B不符合题意；
C. ，选项C能用公式法进行因式分解，C不符合题意；
D. ，选项D能用公式法进行因式分解，D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A、两项符号相同，故不能；
B、两项不是平方项，故不能；
C、两项符号相同，故不能；
D、两项是平方项，符号相反，故可以
故答案为：D
【分析】根据利用平方差公式分解因式所满足的条件。
5．【答案】C
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】∵长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，
∴，，
∴，
则．
故答案为：C．
【分析】根据长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，得出，，可求出a+b的值，再代入求解即可。
6．【答案】C
【知识点】因式分解的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵已知 的三边长为 ，
∴ ，
∴ =0，或 ，即 ，或 ，
∴ 的形状为等腰三角形或直角三角形，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解可将等式转化为，根据a+b＞0，可证得a2+b2=c2，或a=b，据此可判断出三角形的形状.
7．【答案】B
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴ab＝10，a+b＝7，
∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490．
故答案为：B．
【分析】根据长方形的面积和周长公式可得ab＝10，a+b＝7，再将代数式a3b+2a2b2+ab3化简为ab（a+b）2，再将数据代入计算即可。
8．【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：A、 ，判别式 ，值有可能小于0，在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意；
B、 ，判别式 ，值有可能小于0，在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意；
C、 ，判别式 ，在实数范围内一定不能因式分解，不符合题意；
D、 ，判别式 ，在实数范围内一定能因式分解，符合题意；
故答案为：D
【分析】对每个选项，令其值为0，得到一个一元二次方程，计算判别式的值，若△＞0，即可判断在实数范围内因式分解.
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解： ，
，
，
∴ 或 ，
当 时，围成一个等腰三角形；
当 时，不能围成三角形；
故答案为：A．
【分析】利用分组分解因式的方法将化为，可得 或 ，再利用三角形三边的关系求解即可。
10．【答案】D
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）
当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2
＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2
＝3．
故答案为：D．
【分析】首先把a2+b2+c2—ab－bc－ca两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式因式分解可得a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a），再把a、b、c代入求值即可。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为： .
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
12．【答案】16
【知识点】代数式求值；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3b+2a2b2+ab3
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=1×42
=16．
故答案是16．
【分析】先分解因式，再将 a+b＝4，ab＝1， 代入求解即可。
13．【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：
故答案为
【分析】先提取公因式2，再利用平方差公式因式分解即可。
14．【答案】（x+3）（x-2）
【知识点】探索数与式的规律；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：（x+3）（x-2）．
【分析】利用十字相乘法因式分解即可。
15．【答案】14
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】解： ， ，
．
故答案为：14．
【分析】先进行因式分解，再整体代入求值。
16．【答案】解：（x-4）（x+1）+3x
=x2-3x-4+3x
=x2-4
=（x+2）（x-2）．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】根据多项式乘多项式展开，合并同类型，再根据平方差公式因式分解得出 （x+2）（x-2） 。
17．【答案】解：∵
∴，
解得：，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】先计算多项式乘多项式，结合的系数为-4，x的系数为-7，建立a、b的方程，从而求出a、b的值，最后将a、b 值代入式子中进行分解因式即可.
18．【答案】解：
=24（n+1），
∴能被24整除.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】利用平方差公式将代数式（n+7）2-（n-5）2因式分解可以得到（n+7）2-（n-5）2=24（n+1），即可得到答案。
19．【答案】解：
，
又 ，
所以：原式 .
.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】由题意将所求代数式变形得原式=m3+m2+2m2+2020=m(m2+m)+2m2+2020，再整体代换即可求解.
20．【答案】解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
，
∴ ，解得 ， ，
故另一个因式为 ，k的值为65．
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【分析】根据题意设另一个因式为 ，则原式分解因式后的结果是 ，拆开后令二次项系数，一次项系数，常数项分别相等，列出方程组，解出a、k的值即可。
21．【答案】解： 是等腰三角形
理由：∵
∴
∴
∴
∵根据三角形的三边性质有： 即
故 ，即
∴ 是等腰三角形
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【分析】利用分组分解法将等式的左边因式分解把等式化为（a-b）（a+b-c）=0的形式，得出a=b，即可判断△ABC是等腰三角形.
22．【答案】解：
∵ 或 或 且 ，
∴ 等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.
【知识点】因式分解的应用；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】分别将等式的两边分解因式，再整体移项，可得到（a+b）（a-b）（a2+b2-c2）=0，利用几个数之积为0，至少有一个数为0，由此可得到a，b，c之间的数量关系，即可得到此三角形的形状.
23．【答案】解：∵a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，
∴a2+6ab+9b2-（c2-10bc+25b2）=0，
∴（a+3b）2-（c-5b）2=0，
∴（a+3b+c-5b）（a+3b-c+5b）=0，
即（a+c-2b）（a+8b-c）=0，
∵a，b，c是三角形三边长，
∴a+b-c＞0，
∴a+8b-c＞0，
∴a+c-2b=0，
∴a+c=2b．
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系
【解析】【分析】首先把a2-16b2-c2+6ab+10bc=0写成（a+3b）2-（c-5b）2=0，然后进行因式分解得到即（a+c-2b）（a+8b-c）=0，结合a，b，c是三角形三边长，进而求出a，b和c之间的关系．
24．【答案】 ， ；
解：原方程可化为 ，
∴ ， (5x-1)(x-5)=0，
∴5x-1=0，x-5=0，
∴ ，
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】由所给例子可知， 的解为 ， .
【分析】移项后用因式分解法求解即可.
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