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第一讲 函数与方程
一 【考点提示】
知识点一 映射与函数
考点1 映射与函数的概念
考点2 同一函数的判断
知识点二 函数的三要素
考点3 函数定义域的求解
考点4 函数解析式的求法
考点5 函数值域的求解
考点6 分段函数
知识点三 函数的基本性质
考点7 函数单调区间（性）的判断
考点8 函数奇偶性的判断
考点9 函数周期性的判断
考点10 函数性质的综合应用
知识点四 二次函数
考点11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系
考点12 二次方程的实根分布及条件
考点13 二次函数“动轴定区间，定轴动区间”问题
知识点五 指数与指数函数
考点14 指数运算及指数方程，指数不等式
考点15 指数函数的图像及性质
考点16 指数函数中的恒成立问题
考点17 比较大小问题
知识点六 对数与对数函数
考点18 对数运算及对数方程，对数不等式
考点19 对数函数的图像及性质
考点20 对数函数中的恒成立问题
考点21 比较大小问题
知识点七 幂函数
考点22 幂函数的概念
考点23 幂函数的图像应用
考点24 幂函数的性质应用
知识点八 函数的图像
考点25 函数图像的应用
知识点九 函数与方程
考点26 求函数零点或零点所在区间
考点27 利用函数的零点确定参数的取值范围
考点28 方程的个数与零点的存在性问题
二 【典例分析】
1.函数定义域
例1．【2009年江西理】函数的定义域为
A． B． C． D．
练习：求函数的定义域.
例2.【2006年湖北理】设，则的定义域为
A. B.
C. D.
练习：已知，函数的定义域是，求函数
的定义域.
例3 若函数的定义域为R，求实数a的取值范围__________.
练习：1.当k为________时，函数的定义域为R.
2.已知函数，若集合，则中所含的元素个数为_________________.
2.函数的值域
例4 函数的值域是_________________.
例5 求函数的值域.
练习：设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为
A． B． C． D．不能确定
例6 求函数的值域.
练习：（10）函数 的值域是
A． [] B． C．[] D．[]
例6 求函数的值域.
练习： 求函数的值域.
例7求函数的值域.
练习：求下列函数的值域

例8 【2011年湖南文，8】已知函数，若有，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例9 已知，求函数的值域.
练习:已知，求函数的值域.
3.函数的性质
例10 下列函数：
①f(x)＝ ＋ ；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋)；④f(x)＝；⑤f(x)＝lg.其中奇函数的个数是( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
练习： 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.
例11 设函数在上满足，且在闭区间上只有，试判断函数的奇偶性.
练习：
（2011山东理，5）对于函数，“的图像关于y轴对称”是“是奇函数”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例12 定义在实数集上的函数，对任意都有
，且，试判断的奇偶性.
练习：
若定义在R上的函数满足对任意都有，则下列说法一定正确的是（ ）
A.为奇函数 B.为偶函数
C.为奇函数 D.为偶函数
例13 已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围．
练习：
设是连续的偶函数，且当时是单调函数，则满足的所有x的和为（ ）
A. B. C. D.8
例14 若函数 为奇函数,则a=
A. B. C. D. 1
练习：【2011广东理，4】设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
例15 【2011年福建理，9】对于函数(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是
A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
练习：
【2011湖北理，6】已知定义在R上的奇函数和偶函数满足(＞0,且).若，则=
A．2 B. C. D. [来源:学§科§网]
例16 【2007年上海理】已知函数，常数．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在上为增函数，求的取值范围．
练习：
设是函数的一个减区间，则实数a的取值范围___________.
例17 【2010年重庆理，15】（15）已知函数满足：，
，则=_____________.
练习：
【2009四川理，12】已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是
A.0 B. C.1 D.
【】
例18 【2009年陕西理，12】定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有
(A) (B) (C) (D)
练习：
【2007年重庆理，9】已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
例19 【2009年全国1理，11】函数的定义域为R，若与都是奇函数，则
A 是偶函数 B 是奇函数
C D 是奇函数
练习：【2009年山东文，12】已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A. B.
C. D.
例20【2011年陕西理，12】设,一元二次方程有正数根的充要条件是=
练习：
已知函数，若，则（ ）
A. B.
C. D. 大小不能确定
例21【2007广东理】已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．
4.指数与指数函数
例22 【2007年上海理】方程 的解是 ．
练习：关于x的方程有负实数根，则a的取值范围是____________.
例23 【2011年上海理，20】已知函数，其中常数满足
（1）若，判断函数的单调性；
（2）若，求时的的取值范围．
例24 【2007年山东文，14】函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．
例25 【2009年湖南文，7】设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数 ,取函数.若对任意的，恒有，则（ ）
A．K的最大值为2 B．K的最小值为2
C．K的最大值为1 D．K的最小值为1
5.对数与对数函数
例26【2008年山东文，15】已知,则f(2)+(4)+f(8)+…+f(28)的值等于 .
例27【2009年全国二，理】设，则
A. B. C. D.
练习：【2009年天津文5】设，则
A a例28 【2010年浙江理，10】设函数的集合
，
平面上点的集合，
则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
例29 【2010年全国1理，10】已知函数F(x)=|lgx|,若0 (A) (B) (C) (D)
6.函数图像
例30 函数的图象是
练习：（ ）
A、 B、 C、 D、
例31 函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）



A B C D
练习：【2009聊城一模】已知函数上的奇函数， 当x>0时，的大致图象为（ ）
例32【2011山东】函数的图象大致是（ ）
练习：（2008山东）函数的图象是（ ）
例33 函数的导函数的图像如图所示，则（ ）
A B. C. D.

练习：下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的个数为 个

例34.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则
练习：【2009广东】已知定义在区间上的函数的图像如图所示，对于满足的任意的，给出下列结论：1；2；
3
其中正确结论的序号是_____________.
7.函数零点
例35【2010年上海，文】若是方程的解，则属于区间（ ）
（A）（0,1） （B）（1,1.25） （C）（1.25,1.75） （D）（1.75,2）
练习：【2010年天津理，2】函数的零点所在的一个区间是（ ）
（A）（-2，-1） （B）（-1，0） （C）（0，1） （D）（1，2）
例36 【2009年山东理，14】若函数有两个零点，则实数a的取值范围是
学科网
练习：【2011年山东理，16】（16）已知函数，当 2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .
例37 【2011新课标全国文，12】 已知函数 的周期为2，当x时 ,那么函数 的图像与函数y =的图像的交点共有
（A）10个 （B）9个 （C）8个 （D）1个
三【题型汇总1】（2012年高考题）
（一）函数的概念
1.【2012高考真题安徽理2】下列函数中，不满足：的是（ ）

2.【2012高考真题江西理2】下列函数中，与函数定义域相同的函数为
A． B. C.y=xex D.
3.【2012高考真题江西理3】若函数，则=
A.lg101 B.2 C.1 D.0
4.【2012高考江苏5】函数的定义域为 ．
（二）函数的性质应用
5.【2012高考真题重庆理7】已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的
（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件
（C）必要而不充分的条件 （D）充要条件

6.【2012高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
7.【2012高考真题山东理3】设且，则“函数在上是减函数 ”，是“函数在上是增函数”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
8.【2012高考真题山东理8】定义在上的函数满足.当时，，当时，。则
（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012
9.【2012高考真题广东理4】下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是
A. B. C. D.
10.【2012高考真题福建理7】设函数则下列结论错误的是
A. D（x）的值域为{0,1}
B. D（x）是偶函数
C. D（x）不是周期函数D.
D. D（x）不是单调函数
11.【2012高考真题上海理7】已知函数（为常数）.若在区间上是增函数，则的取值范围是 。
12.【2012高考真题上海理9】已知是奇函数，且，若，则 。
13.【2012高考江苏10】（5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
其中．若，
则的值为 ．
（三）函数的零点
14.【2012高考真题天津理4】函数在区间(0,1)内的零点个数是
（A）0 （B）1
（C）2 （D）3
15.【2012高考真题辽宁理11】设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
16.【2012高考真题湖北理9】函数在区间上的零点个数为
A．4 B．5
C．6 D．7
（四）函数图像的应用
17.【2012高考真题新课标理10】 已知函数；则的图像大致为（ ）

18.【2012高考真题四川理5】函数的图象可能是（ ）

19.【2012高考真题山东理9】函数的图像大致为
20.【2012高考真题山东理12】设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是
A.当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
21．【2012高考真题湖南理8】已知两条直线 ：y=m 和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为
A． B. C. D.
22.【2012高考真题天津理14】已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.
（五）函数综合问题
23.【2012高考真题全国卷理9】已知 ，则
(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x
24.【2012高考真题重庆理10】设平面点集
，则所表示的平面图形的面积为
（A） （B） （C） （D）

25.【2012高考真题四川理3】函数在处的极限是（ ）
A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于

26.【2012高考真题北京理14】已知，，若同时满足条件：
①，或；
②, 。
则m的取值范围是_______.
【题型汇总2】（2013年高考题）
一 函数的基本概念
题型1 给定函数解析式求解定义域
1.（2013年高考江西卷（理））函数的定义域为
A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
2.（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数的定义域是_______________
3.（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知函数的定义域为,则函数的定义域为
(A) (B) (C) (D)
4.（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））的最大值为( )
A.9 B. C. D.
5.（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最大值为,则
(A) (B) (C) (D)
6.（2013年高考新课标1（理））若函数=的图像关于直线对
称,则的最大值是______.
7.（2013年高考重庆卷（文））已知函数,,则（ ）
A． B． C． D．
8.（2013年高考辽宁卷（文））已知函数（ ）
A． B． C． D．
9.（2013年高考天津卷（文））设函数. 若实数a, b满足, 则（ ）
A． B．
C． D．
10.（2013年高考安徽（文））定义在上的函数满足.若当时.,则当时,=________________.
11.（2013年高考北京卷（文））函数的值域为_________.
12.（2013年高考福建卷（文））已知函数,则________
二 基本初等函数
1.（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知为正实数,则
A. B. C. D.
2.（2013年高考上海卷（理））方程的实数解为________
3.（2013年高考浙江卷（文））已知a.b.c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则（ ）
A．a>0,4a+b=0 B．a<0,4a+b=0 C．a>0,2a+b=0 D．a<0,2a+b=0
三 函数的基本性质
1.（2013年高考四川卷（理））设函数(,为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
2.（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知函数为奇函数,且当时,,则
(A) (B) 0 (C) 1 (D) 2
3.（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））若函数在是增函数,则的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
4.（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集用区间表示为___________.
5.（2013年高考上海卷（理））设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为________
6.（2013年高考湖北卷（文））x为实数,表示不超过的最大整数,则函数在上为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数
7.（2013年高考天津卷（文））已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.（2013年高考陕西卷（文））设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有（ ）
A． B．
C． D．
四 分段函数
1.（2013年高考新课标1（理））已知函数,若||≥,则的取值范围是
A. B. C. D.
五 函数与零点
1.（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若,则函数的两个零点分别位于区间( )
A.和内 B.和内
C.和内 D.和内
2.（2013年高考湖南卷（理））函数的图像与函数的图像的交点个数为
A.3 B.2 C.1 D.0

3.（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））若函数有极值点,,且,则关于的方程的不同实根个数是
(A)3 (B)4 (C) 5 (D)6
4.（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））函数的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
六 函数的图像
1.（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数的大致图像是( )
2.（2013年高考四川卷（理））函数的图象大致是( )
3.（2013年高考北京卷（理））函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y=ex关于y轴对称,则f(x)=
A. B. C. D.
4.（2013年高考福建卷（文））函数的图象大致是 （ ）
A． B． C． D．

第七讲 不等式
一 【考点提示】
不等式的性质：
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
几个重要不等式：
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
其他重要不等式及结论
（1）均值不等式的一般形式：
____________________________________________________________
（2）柯西不等式：
____________________________________________________________
（3）三角不等式：
____________________________________________________________
不等式的解法
一元一次不等式
____________________________________________________________
____________________________________________________________
一元二次不等式
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
高次不等式
____________________________________________________________
____________________________________________________________
分式不等式
____________________________________________________________
____________________________________________________________
无理不等式
____________________________________________________________
____________________________________________________________
绝对值不等式
____________________________________________________________
____________________________________________________________
简单的线性规划问题
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
二【典例分析】
不等式的性质
例1 若，则下列结论中正确的是（ ）
和均不能成立
B.和均不能成立
C.不等式和均不能成立
D.不等式和均不能成立
例2（2006年江苏理，8）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是
（A）　　　（B）
（C）　　　　　（D）
例3 （2008年江西理，9）9．若，则下列代数式中值最大的是
A． B． C． D．
比较数（式）的大小与比较证明不等式
方法提示：（1）比较法（作差，做商）；（2）直接应用不等式的性质或基本不等式；（3）利用函数的单调性
例4 若，试比较与的大小.
例5 已知均为正数，
求证：（1）；（2）.
例6 在锐角中，若函数在上单调递减，则下列命题正确的是（ ）
B.
C. D.
例7（2008年，天津理，9）已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令，则
(A) (B) (C) (D)
例8已知函数，那么的值（ ）
一定大于0 B.一定小于0 C.等于0 D.不能确定
求取值范围
例9（2010年辽宁理，14）已知且，则的取值范围是_______（答案用区间表示）
例10 已知且，求的范围.
4.均值不等式及其应用
例11 下列结论正确的是（ ）
当且时，
当时，
C.当时，的最小值是2
D.当时，无最大值
例12 （2010年安徽文，15）若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 （写出所有正确命题的编号）。
① ②； ③；
④; ⑤
例13 （2007年北京理，7）如果正数满足，那么（　　）
Ａ．，且等号成立时的取值唯一
Ｂ．，且等号成立时的取值唯一
Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一
Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一
利用均值不等式求函数最值
注意点提示：
（1）利用均值不等式求最值要注意条件的验证
例14 （1）求函数的值域；
（2）求函数的最小值.
（2）通过代数变换配凑成使用均值不等式的形式
例15 求函数的最小值.
例16 若且，则的最小值是__________.
（3）注重“1”的变换
例17 求函数的最小值.
例18 已知，求的最小值.
（4）注意转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用
例19 （2010年浙江文，15）若正实数x,y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是　　　　　　　.[来源:学#科#网Z#X#X#K]
例20 （2010年重庆理，7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是
A. 3 B. 4 C. D.
（5）灵活选择和运用均值不等式的变形形式
例21 设，则的最大值为_________.
例22（2011年浙江理，16）设为实数，若则的最大值是 .
（6）合理配组，反复应用均值不等式
例23（2010年四川理，12）设，则的最小值是
（A）2 （B）4 （ C） （D）5
例24 （2005年重庆理，5）若是正数，则的最小值（ ）
A. 3 B. C. 4 D.
例25 证明：若，则.
不等式的证明
方法提示：（1）比较法；（2）函数的单调性；（3）分析法与综合法；（4）反证法；（5）放缩法；（6）三角换元法；（7）构造法
例26 已知，且，求证：.
例27 已知，求证：.
例28设，求证：.
例29若，且，求证：
例30 已知为不小于1的正数，求证：不可能同时大于.
例31 已知正数满足，求证：.
例32 求证：.
例33 设，且满足，问为何值时，以为边可构成三角形，并判断该三角形的形状.
例34 设实数满足，求证：.
例35 设，若，求证：.
例36 证明：当时，有.
例37 设，求证：.
有理不等式的解法
例38 若不等式的解集不是空集，则实数的取值范围__________.
例39（2008年海南，宁夏理，6）已知，则使得都成立的取值范围是（ ）
B. C. D.
例40 （2009年天津理，10）,若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
例41 已知，则关于的不等式的解集_________.
例42 （2011年江西理，4）若，则的解集为
A. B. C. D.
8.绝对值不等式的解法
例43 （2010年江西理，3）不等式的解集是
A． B．
C． D．
例44 （2008年山东理，16）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为________.
9.二元一次不等式组表示的平面区域
例45（2008年湖北文，5）5．在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合用阴影表示为下列图中的
例46 （2007年北京理，6）6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
例47 （2007年浙江理，17）设为实数，若
，则的取值范围是 ．
10.平面区域的面积
例48 （2009年安徽理，7）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是学科网
（B） （C） （D） 学科网
例49 （2008年浙江理，17）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于____________.
例50 （2007年江苏，10）在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11.求解目标函数的最值
例51 如果实数满足约束条件，则的取值范围是__________.
例52 已知实数满足，则的最大值____________.
求解目标函数中参数的取值范围
例53 （2011年湖南理，7）7.设m＞1，在约束条件下，目标函数Z=x+my的最大值小于2，则m 的取值范围为
A.（1，） B.（，） C.（1,3 ） D.（3，）
例54 （2010年北京理，7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是
（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]
三【2012年高考题选讲】
1.【2012高考真题重庆理2】不等式的解集为
A. B. C. D. 对
2.【2012高考真题浙江理9】设a大于0，b大于0.
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
4.【2012高考真题福建理5】下列不等式一定成立的是
A.
B.
C.
D.
5.【2012高考真题湖北理6】设是正数，且，
，，则
A． B． C． D．
6.【2012高考真题福建理9】若函数图像上存在点满足约束条件，则实数m的最大值为
A． B.1 C. D.2
7.【2012高考真题山东理13】若不等式的解集为，则实数__________.
8.【2012高考江苏13】已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ．
9.【2012高考江苏14】已知正数满足：则的取值范围是 ．
10.【2012高考真题浙江理17】设，若时均有，则a＝______________．
11.【2012高考湖南文7】设 a＞b＞1， ，给出下列三个结论：[www.z#zste&*p~.c@om]
＞ ；② ＜ ； ③ ，
其中所有的正确结论的序号是.[中*国教育@^出~版网#]
A．① B.① ② C.② ③ D.① ②③
12.【2012高考上海文10】满足约束条件的目标函数的最小值
是
13.【2102高考福建文15】已知关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________.
14.【2012高考四川文16】设为正实数，现有下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
四 【参考答案】
【典例分析答案】
B
C
A
作差法
作差或取对数
D
A
B
B
①③⑤
A
（1）；（2）
1
9
36
18
B
B
C
分析法
作差法
函数单调性
综合法
分析法
反证法
放缩法
放缩法
幂函数性质
三角换元
构造法
构造法
构造法
B
C
C
A
C
D
A
1
B
9
A
A
【高考题选讲答案】
1.A
2.A
3.C
4.C
5.C
6.Ｂ
7.
8.9
9.
10.
11.D
12.－2
13.
14.①④
第三讲 导数的应用（2012年高考题选讲）
1.【2102高考福建文12】已知，且.现给出如下结论：
①；②；③；④.
其中正确结论的序号是
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
2.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为
(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8
3.【2012高考真题重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）函数有极大值和极小值
（B）函数有极大值和极小值
（C）函数有极大值和极小值
（D）函数有极大值和极小值
4.【2012高考真题新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）

5.【2012高考真题辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是
A (B)
(C) (D)
6.【2012高考真题陕西理14】设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 .
7.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)
已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.
（Ⅰ）用和表示；
（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；
（Ⅲ）当时，比较与
的大小，并说明理由.
8.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)
设，证明：
(Ⅰ)当时，;
(Ⅱ)当时，.
9.【2012高考陕西文21】 （本小题满分14分）
设函数
（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，，，求b+3c的最小值和最大值；
（3）设，若对任意，有，求的取值范围.
10.【2012高考真题广东理21】（本小题满分14分）
设a＜1，集合，，。
（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数在D内的极值点．
集合，极值点问题
11.【2012高考真题安徽理19】（本小题满分13分）
设。
（I）求在上的最小值；
（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。
12.【2012高考真题福建理20】（本小题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.
13.【2012高考真题全国卷理20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
设函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，求a的取值范围.
14【2012高考真题北京理18】（本小题共13分）
已知函数.
若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求的值；
当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值.
15.【2012高考真题新课标理21】（本小题满分12分）
已知函数满足满足；
（1）求的解析式及单调区间；
（2）若，求的最大值.
16.【2012高考真题天津理20】本小题满分14分）
已知函数的最小值为0，其中
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；
（Ⅲ）证明（）.
17.【2012高考江苏18】（16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知是实数，1和是函数的两个极值点．
（1）求和的值；
（2）设函数的导函数，求的极值点；
（3）设，其中，求函数的零点个数．
18.【2012高考真题辽宁理21】本小题满分12分)
设，曲线与
直线在(0，0)点相切。
(Ⅰ)求的值。
(Ⅱ)证明：当时，。
19.【2012高考真题重庆理16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.
（Ⅰ） 求的值；
（Ⅱ）求函数的极值.

20.【2012高考真题浙江理22】(本小题满分14分)已知a＞0，bR，函数．
(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，
(1)函数的最大值为|2a－b|﹢a；
(2) ；
(Ⅱ) 若对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．
21.【2012高考真题山东理22】(本小题满分13分)
已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意.
22.【2012高考真题湖南理22】（本小题满分13分）
已知函数=，其中a≠0.
若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.
在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

第九讲 直线与圆的方程
一 【考点提示】
直线的方程
直线的倾斜角：
定义：_______________________________________________;
范围：_______________________________________________.
斜率：
公式：_______________________________________________；
斜率与倾斜角的关系：__________________________________.
直线的五种形式：
_______________________________________________；
_______________________________________________；
_______________________________________________；
_______________________________________________；
_______________________________________________.
两条直线的位置关系
两条直线平行与垂直的判定：
（1）平行：_______________________________________________；
（2）垂直：_______________________________________________；
2.三种距离：
（1）两点间的距离：
_______________________________________________；
点到直线的距离：
_______________________________________________；
两条平行线间的距离：
_______________________________________________；
二【典例分析】
倾斜角与斜率的计算
例1 设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角是，若将此直线绕P点按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为，则的取值范围_______.
例2直线xsinθ＋y＋2＝0(θ∈R)的倾斜角的取值范围为________．
例3 直线l经过A（2,1），B（1，）两点（），那么直线l的倾斜角的取值范围是____________.
例4 已知实数x，y满足，试求的最大值与最小值.
2.直线的方程
例5 已知直线都经过点（3,5），则经过的直线方程是___________.
例6（2011年安徽理，15）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点
③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
例7（2008年江苏）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，一同学已正确算的的方程：，请你求的方程： ( )
例8 过点做直线，使它被两条直线所截的线段恰好被点M平分，求此直线的方程.
两直线位置关系的判定
例9 （2007年天津文） “”是“直线平行于直线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
例10 （2005年北京文）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的
（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
有关距离的计算
例11
第三讲 导数的应用
一 【考点提示】
利用导数的符号判断函数的单调性：
_____________________________________________________________________________________________________________________________.
求可导函数单调区间的一般步骤：
______________________________________________;
______________________________________________;
______________________________________________;
______________________________________________.
函数极值的概念：
_____________________________________________________________________________________________________________________________.
求可导函数极值的一般步骤：
（1）______________________________________________;
（2）______________________________________________;
（3）______________________________________________;
（4）______________________________________________.
函数的最大值、最小值：
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
求函数的最大值与最小值的一般步骤：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
不等式恒成立与存在性问题：
（1）分离参数：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

（2）分类讨论：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________
（3）确定主元：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

（4）利用集合与集合间的关系：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________
（5）数形结合：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________
二 【典例分析】
1.导数的概念与运算
例1、（2011江西）若，则的解集为
A. B. C. D.
练习：设函数，其中，则导数的取值范围是学科网
（A）． （B）. （C） （D）学科网
例2设函数在R上的导函数为,且,下面的不等式在R内恒成立的是
A B C D
练习：1.设，若，则（ ）
B. C. D.
2.设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则P横坐标的取值范围为（ ）

2.导数的几何意义
例3曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
练习：已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是___________________.
例4 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是
练习：直线是曲线的一条切线，则实数b=_________________.
3.应用导数研究函数的单调性
例5【2009年全国1文，21】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设点P在曲线上，若该曲线在点P处的切线通过坐标原点，求的方程.
练习：【2011年辽宁理，11】函数的定义域为R，，对任意x∈R，，则的解集为
A（-1，1） B（-1，+） C（-，-1） D（-，+）
函数的极值与最值的求解
例6 【2004年天津文，21】已知函数是R上的奇函数，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明对任意不等式恒成立.
练习：【2011年湖南理，8】设直线x=t 与函数， 的图像分别交于点M,N,则当达到最小时t的值为（ ）
A.1 B. C. D.
5.讨论含参函数的单调区间
例7【2011广东文】设，讨论函数的单调性.
练习：1.【2009年重庆理，18】设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．
（1）求的值；
（2）若函数，讨论的单调性．
2.【2010北京海淀期末理】已知函数（其中）.
（1）若函数在点处的切线为，求实数的值
（2）求函数的单调区间.
3.【2010湖南】已知函数其中a<0,且a≠-1.
试讨论函数的单调性.
例8【2011年安徽理】设其中为正实数.
（1）当时，求的极值点.
（2）若为R上的单调函数，求的取值范围.
练习：1.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
求的解析式；
是否存在实数a，使得当时，的最小值是3，如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由.
2.【2009安徽】已知函数，a＞0.
（1）讨论的单调性；
（2）设a=3，求在区间【1，】上值域.期中e=2.71828…是自然对数的底数.
例9 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上的最小值是，求a的值.
练习： 已知函数的定义域为.
求函数的单调区间；
求函数在上的最小值.
例10【2010新课标理】设函数.
（1）若a=0,求f(x)的单调区间；
（2）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.
6.应用导数研究函数的极值与最值
例11【2011年江西】设函数
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围.
（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.
练习：设函数, ,求函数的单调区间与极值.
例12【2009年山东】已知函数,其中
（1）当满足什么条件时,取得极值?
（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
练习：【2009年天津】已知函数其中
当时，求曲线处的切线的斜率；w.
当时，求函数的单调区间与极值.
例13（2010全国1）已知函数
（1）当时，求的极值;
（2）若在上是增函数，求的取值范围.
练习：已知函数
（1）讨论函数f(x)的单调区间；
（2）设函数f(x)在区间（）内是减函数，求α的取值范围.
例14已知函数的图像过点，且在点P处的切线方程恰好与直线垂直.，
求函数的解析式；
若函数在区间上单调递增，求a的取值范围.
练习：已知函数 ．
（1）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（2）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
7.利用导数研究函数图像的交点和函数零点个数问题
例15 设a为实数，函数.
求的极值；
若方程有3个实数根，求a的取值范围；
若恰好有两个实数根，求a的值.
练习：已知（是常数，），且当和时，函数取得极值.
求的解析式；
若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围.
例16已知a，b为常数，且a≠0，函数（e=2.71828…是自然对数的底数）.
（1） 求实数b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m练习：已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
8.不等式恒成立与存在性问题
例17【2007年全国】设函数．
（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．
练习：【2011年浙江理】设函数＝，∈R
（Ⅰ）若＝为的极值点，求实数；
（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意的∈（0,3]，恒有≤4成立.
注：为自然对数的底数.
例18已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若对于任意的，都有≤，求的取值范围.
练习：1.【2008山东理】已知函数其中n∈N*,a为常数.
（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.
2.已知函数.
求的最小值；
若对于所有都有，求实数a的取值范围.
例19【2011新课标全国理】已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
练习：1.设函数.
求的单调区间；
若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
若关于x的方程在区间【0,2】上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
2.设函数．
（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．
例20已知函数.
若函数的图像在处的切线的倾斜角为，求a；
设的导函数是，在（1）的条件下，若，求的最小值；
若存在，使，求a的取值范围.
练习：设函数.
求函数的单调区间；
已知对任意的成立，求实数a的取值范围.
9利用导数证明不等式
例21 求证下列不等式（1）
练习：【2010年安徽理】 设为实数，函数。
(Ⅰ)求的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当且时，
例22【2007年安徽理】设
令，讨论在上的单调性并求极值；
求证：当时，恒有.
练习：1.（2010辽宁理）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设.如果对任意，，求的取值范围.
2.【2009年辽宁理】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有.
3．已知为实数，函数
（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围
（2）若，
（Ⅰ）求函数的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的，不等式恒成立.

第五讲 三角函数
一 【考点提示】
角的基本概念：
象限角的表示：_____________________________________________________;
终边相同的角的表示：_______________________________________________;
弧度与角度：_______________________________________________________;
扇形弧长公式：_____________________________________________________;
扇形面积公式：_____________________________________________________;
2.任意角的三角函数：
（1）定义：_____________________________________________________;
（2）三角函数线：_____________________________________________________;
3.同角三角函数的基本关系：
_____________________________________________________;
4.诱导公式：
_____________________________________________________;
三角函数的图像与性质：
“五点法做图”：
_______________________________________________________________________;
三角函数的图像与性质：
_______________________________________________________________________;
的图像与性质：
_______________________________________________________________________;
图像平移与申缩：
_______________________________________________________________________.
三角恒等变换：
（1）和角公式：_____________________________________________________;
（2）差角公式：_____________________________________________________;
（3）倍角公式：_____________________________________________________;
（4）万能公式：_____________________________________________________;
（5）降次公式：_____________________________________________________;
（6）辅助角公式：_____________________________________________________.
7.解三角形：
（1）三角形内角的关系：_________________________________________________;
（2）正弦定理：_________________________________________________________;
（3）余弦定理：_________________________________________________________;
（4）面积公式：________________________________________________________.
二 【典例分析】
终边相同的角的集合表示与象限角
例1 ，则（ ）
例2 若是第二象限角，是第_____象限角；的取值范围是_______________.
弧长与扇形面积公式的计算
例3 扇形OAB的圆心角则（ ）
三角函数定义题
例4【2011年新课标理，5】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（ ）
A B C D
三角函数线
例5 （1）为任意角，求证：；
，比较的大小.
例6 ，则（ ）
例7【2008年四川理，3】 （ ）
例8【2011年湖北理，3】3.已知函数，若，则x的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
象限符号与坐标轴角的三角函数
例9【2009年江苏】点在第三象限，则角的终边在第_____象限.
例10函数的值域为__________.
同角求值
例11 已知，求______________；
______________.
例12 已知是方程的两根.
m=_______________；
=______________.
诱导求值与变形
例13 【2010年全国1理，2】记,那么[来源:学&科&网]
B. - C. D. -[来
源:学*8科*网Z*X
已知解析式确定函数性质（奇偶性，周期性，单调性，对称轴，对称中心）
例14 【2008年四川理，10】设其中，则是偶函数的充要条件是
　　　（B）　　（C）　　（D）
例15 【2007年山东理，5】函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
， B．， C．， D．，
例16 设函数，则为（ ）
周期函数，最小正周期为
周期函数，最小正周期为
周期函数，最小正周期为
非周期函数
例17【2008年山东理，17】已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
例18【2011年安徽文，15】设=，其中a，bR，ab0，若
对一切则恒成立，则
①[来源:学科网ZXXK]
②＜
③既不是奇函数也不是偶函数
④的单调递增区间是
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交
以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）.
例19 【2009年辽宁大连】函数的最大值为__________.
例20 为不等式在内恒成立，求实数a的取值范围______.
例21【2009年全国1理，16】若,则函数的最大值为 .
根据条件确定解析式
例22 【2011年辽宁理，16】已知函数，的部分图像如下图，则=____________.
例23 若对任意，且，则m=____.
例24 【2008年辽宁理，16】 已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________.
例25 【2010年福建理，14】已知函数和的图象的对称轴完全相同.若，则的取值范围是 .
三角函数图像变换
例26 【2010年山东理，17】
已知函数，其图象过点（,）．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在[0, ]上的最大值和最小值．
两角和与差公式
例27 【2010年四川理，19】
（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；
由推导两角和的正弦公式.
（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求.
12 化简求值
思路：（1）化同角同函；（2）沟通已知角和未知角的联系
例28 已知，则的值___________.
例29【2007年江苏，11】若，，则_____．
例30【2006年重庆，13】已知，sin()=－ sin则cos=________.
例31【2008年山东理，5】已知，则的值为（ ）
（A）-　　　　（B） (C)- (D)
例32 若，则_________________.
例33 【2011年重庆理，14】已知，且，则的值为__________
例34 【2006年全国2理，10】若则
（A）　　　　（B）
（C）　　　　（D）

13 正弦定理的应用
例35 【2010年全国2理，17】中，为边上的一点，，，，求．
例36 【2010年山东理，15】在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，，则角的大小为 ．
学科网][
例37 【2011年新课标全国理，16】在中，，则的最大值为__________.
例38 在中，，，则内角的度数依次是_________.
例39 在中，若,则的取值范围_______________.
例40 【2011年湖南理，17】设的内角所对的边分别为，且满足.
求角C的大小；
求的最大值，并求取得最大值时角的大小.
例41 设锐角的内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围.
余弦定理的应用
例42 在中，角所对边为.
求；
，求的最大值.
例43【2007年广东文，16】已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．
(1)若，求sin∠A的值；
(2)若A为钝角，求的取值范围.
例44【2008年江苏，13】若，则的最大值
利用正弦，余弦定理进行边角转化
例45 在中，角所对边为，且.
求A的值；
（2）求的最大值.
例46 在锐角三角形中，角所对边为，若，则
=____________________.
判断三角形的形状
例47 已知函数，
求的最小正周期和值域；
在中，角所对边为，若，试判断的形状.
三 【2012年高考题选讲】
1.【2012高考真题浙江理4】把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是
2.【2012高考真题新课标理9】已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ）

3.【2012高考真题四川理4】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）
A、 B、 C、 D、

4.【2012高考真题陕西理9】在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.【2012高考真题湖南理6】函数的值域为
A． [ -2 ,2] B.[-,] C.[-1,1 ] D.[- , ]
6.【2012高考真题上海理16】在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
7.【2012高考真题天津理6】在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知，则=
（A） （B） （C） （D）
8.【2012高考真题湖北理11】设△的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角 ．
9.【2012高考真题安徽理15】设的内角所对的边为；则下列命题正确的是
①若；则 ②若；则
③若；则 ④若；则
⑤若；则
【2012高考真题福建理13】已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.
【2012高考江苏11】设为锐角，若，则的值为 ．
12.【2012高考真题新课标理17】
已知分别为三个内角的对边，
（1）求 （2）若，的面积为；求.
13.【2012高考真题湖北理17】（本小题满分12分）
已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.
函数的取值范围
14.【2012高考真题安徽理16】
设函数.
（I）求函数的最小正周期；
（II）设函数对任意，有，且当时， ，求函数在上的解析式.
15.【2012高考真题四川理18】(本小题满分12分)
函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形.
（Ⅰ）求的值及函数的值域；
（Ⅱ）若，且，求的值.
16.【2012高考真题广东理16】（本小题满分12分）
已知函数，（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为.
（1）求ω的值；
（2）设，，，求的值．
17.【2012高考全国文3】若函数是偶函数，则
（A） （B） （C） （D）
18.【2012高考上海文17】在△中，若，则△的形状是（ ）
A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定
19.【2012高考江西文9】已知若a=f（lg5），则
A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1

20.【2012高考广东文16】（本小题满分12分）
已知函数，，且
（1）求的值；
（2）设，，，求的值.
四【参考答案】
【典例分析】
A
一，二，四；
C
B
（2）
B
C
B
二
；
B
D
A
B
①③
5
-8
1或3
省略
C
C
25
30°
45°，30°，105°
（1,2）
4
【-2,2】；等边三角形
【2012年高考题选讲】
1.A
2.A
3.B
4.C
5.B
6.C
7.A.
8.
9.①②③
10.．解三角形，等比数列
11.。
12.（1）由正弦定理得：

（2）

13.（Ⅰ）所以，故.
所以的最小正周期是.
（Ⅱ）.
14.
，
（I）函数的最小正周期
（2）。
15.
16.
17 C

18A
19C
20（1），解得。
（2），即，
，即。
因为，所以，，
所以。


第八讲 立体几何（一）
一 【考点提示】
（一）直线和平面的位置关系
1. 直线和直线的位置关系划分为_________________________
2. 平面和平面的位置关系划分为_________________________
3. 直线和平面的位置关系划分为_________________________
直线和平面平行垂直的基本判定：
线线平行___________ 面面平行___________
线线垂直___________ 面面垂直___________
总结：__________________________________________________________
5. 直线平面平行垂直的判定与性质：
线面平行：______________________________________________________
面面平行：______________________________________________________
线面垂直：______________________________________________________
面面垂直：______________________________________________________
三垂线定理:______________________________________________________
逆定理__________________________________________________________
（二）简单的几何体
1. 柏拉图立体共有___种， 它们分别是_______________________________
它们分别是由____________________________________________构成的
正四面体的棱长为a，高线为______，外接球半径_______，内切球半径_______,
对棱距_______，体内一点到各面距离之和_____________
3. 直角四面体的特点是__________________
直角四面体的棱长为a, b, c , 斜面的面积___________斜面上的高
____________外接球半径__________内切球半径_____________
正方体棱长为a，对角线长_________，内切球半径________，外接球半径
________用平面去截正方体，可以形成的截面有______________________________
___________________________________
5. 正八面体棱长为a，对顶点距离______，内切球半径______，外接球__________
球的体积公式__________________，球的表面积公式_________________
球冠的表面积公式______________，球面距离的定义
____________________________
求法（1）______________（2）______________（3）_________________
经线是_______________________ 经度差是__________________________
纬线是_______________________ 纬度差是__________________________
球心到球的一个截面的距离的求法：____________________________________
柱体的体积公式_________________
锥体的体积公式_______________________
（三）特殊定理
1. 平面勾股定理______________________________________________________
空间勾股定理______________________________________________________
直角三角形斜边高线的性质列表______________________________________
2. 射影定理的数值描述_______________________________________________
和射影定理相关的结论（1）__________________________________________
（2）________________________________________
二【典例分析】
直线与平面的位置关系
例1 （2006年重庆理）对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与（ ）
平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线
例2（2006年陕西理）已知平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是
（A）平面ABC必不垂直于
（B）平面ABC必平行于
（C）平面ABC必与相交
（D）存在的一条中位线平行于或在内
例3 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，∥，则；
②若，则∥；
③若∥，∥，则∥；
④若∥，∥，，则.
其中正确命题的序号是（ ）
①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④
例4 设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题：
①若∥，则∥；②若，则，那么（ ）
①是真命题，②是假命题
①是假命题，②是真命题
①，②都是真命题
①，②都是假命题
例5 已知设为两个不同平面，为两条不同直线，下列命题中的假命题是（ ）
若∥，，则
若∥，，则∥
若，，则∥
若，，则
2. 正四面体
例 6 棱长为的正四面体内一点到该四面体的三个面的距离分别是1,2,3，则点到第四个面的距离为______

例7 正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是
A.平面 B.
C. D.
例8 将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
例9 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球心的一个截面如图所示，则图中三角形的面积是( )
A. B. C. D.
3. 直角四面体
例10三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，过此三棱锥的四个顶点的球的体积为________

例11已知是以O为球心的球面上的四个点，两两垂直，，则球的半径是_______,球心到平面ABC的距离是_______

例12在三棱锥中，三条棱两两相互垂直，且,M是边AB的中点，则OM与平面ABC所成角的正弦值是________
例13 (2010辽宁理12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围是
A. B. C. D.
4. 正方体和长方体
例14 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________
例15 已知正方体的外接球的体积为，那么正方体的棱长等于
A. B. C. D.
例16 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为______

例17甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个正方体的各条棱都相切，丙球过这个正方体的所有顶点，则甲乙丙三球的半径之比为
A. B. C. D.
例18 下列四个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点分别是所在棱的中点，能得出⊥面MNP的图形的序号是

A. B. C. D.
例19 在正方体中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则：
①四边形一定是平行四边形
②四边形可能是正方形
③四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
④四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的是_____________________
5. 正八面体
例20 表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A. B. C. D.
例21 水平桌面上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）在这4个球的上面放一个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面的距离是________
6. 球体
例22 设地球的半径为R，若甲地位于北纬35°东经110°，乙地位于南纬85°东经110°，则甲、乙两地的球面距离为
A. B. C. D.
例23设地球的半径为R，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于南纬75°东经120°，则甲、乙两地的球面距离为
A. B. C. D.
例24 如图，O是半径为1的球心，点A,B,C在球面上，OA,OB,OC两两垂直，E,F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E,F在该球面上的球面距离是
A. B. C. D.
例25 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与
球的表面积之比为
A. B. C. D.
例26 湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm，深2cm的空穴，则该球的半径是________, 表面积是_______
例27 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为
A. B. C. D.
例28 已知球O的半径为1，三点都在球面上，且每两点间的球面距离了均为，则球心O到平面ABC的距离为
A. B. C. D.
例29 已知三点在球心为O,半径为R的球面上，AC⊥BC，且AB=R，那么A,B两点的球面距离为______，球心到平面ABC的距离为_______

例30 球面上有三点，，，球的半径是13cm，则球心到平面ABC的距离为______
7. 棱柱
例31 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为______

8.特殊定理
例32 是从点引出的三条射线，每两条射线的夹角都是60°，则直线PC和平面APB所成角的余弦值为______
例33 在平面几何里，有勾股定理：设三角形ABC的两边AB,AC互相垂直，则
,拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积和底面面积之间的关系，可以得出的结论是：设三棱锥的三个侧面
两两互相垂直，则_____________________________
9.三视图问题
例34 （2010天津文）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .
例35（2010天津理）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
例36. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A. B.
C. D.
例37.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为
（A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+24
例38 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。
则该几何体的体积为

例39 （2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
A.9π　　　　　 B.10π
C.11π D．12π
判断类型题
例40（2010重庆文）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点
（A）只有1个 （B）恰有3个
（C）恰有4个 （D）有无穷多个
例41.（2010北京文）（8）如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：
与x，y都有关；
（B）与x，y都无关；
（C）与x有关，与y无关；
（D）与y有关，与x无关；
例42（2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，
这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
三 【2012年高考题选讲】
1.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=。将△沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。
A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.
B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.
C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.
D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
2.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）

3.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
4.【2012高考真题四川理10】如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（ ）
B、 C、 D、
5.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为
A．12π B.45π C.57π D.81π
7.【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都.相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是
A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱
8.【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
9.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）
A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12
10.【2012高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为
A 2 B C D 1
11.【2012高考真题四川理14】如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________。

12.【2012高考真题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。
13.【2012高考真题山东理14】如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为____________.
14【2012高考真题辽宁理16】已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。
15.【2012高考真题上海理14】如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最
大值是 .
【2012高考真题天津理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3.
17.【2012高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.
18.【2012高考陕西文8】将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）
19.【2012高考浙江文5】 设是直线，是两个不同的平面
A. 若∥，∥，则∥ B. 若∥，⊥，则⊥
C. 若⊥，⊥，则⊥ D. 若⊥, ∥，则⊥
20.【2012高考辽宁文16】已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若PA=2,则△OAB的面积为______________.
21.【2012高考安徽文15】若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则______(写出所有正确结论编号)。
①四面体每组对棱相互垂直
②四面体每个面的面积相等
③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于
④连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分
⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长
22【2012高考全国文16】已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为____________.
三【参考答案】
【典例分析】
C
D
D
D
B
4
C
C
C
A
D
24
B
B
①③④
A
A
D
B
A
B
B
12cm
3
C
A
4
D
D
C
C
【2012年高考题选讲】
C
A
C
A
A
C
D
A
B
D
38
B
B
②④⑤

立体几何大题
一 证明方法汇总
二 同步练习汇总：
1、已知四边形是空间四边形，分别是边的中点
求证：EFGH是平行四边形
若BD=，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。



2．如图，四面体ABCD中，，E、F分别为AD、AC的中点，．
求证：（1） （2）．
（简单题），以线面平行的性质定理去找平行线，用判定定理证明！！！！
3. 如图，为所在平面外一点，平面，，于，于
求证：（1）平面；
（2）平面；
（3）平面．
线面垂直的经典例题！！！！！！！！

4、如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求证：AC⊥平面B1D1DB;
（2）求证：BD1⊥平面ACB1
（3）求三棱锥B-ACB1体积．

5、已知正方体，是底对角线的交点.
求证：（１） C1O∥面
（2 ）面．
6、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点
求证：（1）PA∥平面BDE
（2）平面PAC平面BDE
（3）若棱锥的棱长都为2，求棱锥的体积。
7.如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC 求证：AB⊥BC

8.如图，在三棱锥S-ABC中，,
（Ⅰ）证明SC⊥BC；
（Ⅱ）
求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小。
9.在长方体中，已知，
求异面直线与所成角的余弦值　。.
（异面直线的夹角问题）
10.如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点，与的交点为.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面.
11.三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
计算引入垂直的证明（勾股定理）
12． 如图：平面，四边形ABCD为直角梯形，//，，，,．
(Ⅰ) 求证：//平面；
（Ⅱ) 求证：平面平面；
(Ⅲ) 求二面角的余弦值．
计算引入垂直的证明（勾股定理）
13.如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，，E是棱CC1上动点，F是AB中点，
（1）求证：；
（2）当E是棱CC1中点时，求证：CF//平面AEB1；
（3）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角
A—EB1—B的大小是45°，若存在，求CE
的长，若不存在，请说明理由。
计算引入垂直的证明（勾股定理）
14．在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，=90°,，.
（I）求证：平面；
（II）求证：平面；
（III）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45°.
计算引入垂直的证明（勾股定理）
15直三棱柱ABC－A1B1C1中，，E是A1C的中点，且交AC于D，。
（I）证明：平面；
（II）证明：平面；
（III）求平面与平面EDB所成的二面角的大小（仅考虑平面角为锐角的情况）。
计算引入垂直的证明（勾股定理）
16、如图，已知空间四边形中，，是的中点。
求证：（1）平面CDE;
（2）平面平面。
17、已知中,面,,求证：面．
（同步）

18、已知正方体，是底对角线的交点.
求证：(１) C1O∥面；(2)面．
19、如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，
（1）求证：；
（2）当，时，求的长。
（等腰三角形）

20、如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面∥平面.
（同步）
21、如图，在正方体中，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
（面面垂直）
22、已知是矩形，平面，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角．
（计算垂直）
23、如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的大小．
24、如图1,在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD．（同步）
（
25、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．
（面面垂直）
26、如图，在中，是上的高，沿把折起，使 。证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；
27如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
28、如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.
（Ⅰ）求证：平面；
29、如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．
（I）设是的中点，证明：平面；
30、如图，在长方体中，，，、分别为、的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面．
31、（如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，底面ABCD，E为PC的中点。PA＝AD＝AB＝1。
（1）证明：（平行）
（2）证明：
（3）平面PDC平面PAD；
（4）求三棱锥B-PDC的体积V。
31'.（07韶关）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
（计算）
32、如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF‖平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
33、如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，，OAB，△OAC△ODE，△ODF
都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线；
（Ⅱ）求棱锥的体积.
34、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
求证：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积
35、如图3，在圆锥中，已知的直径的中点．
（I）证明：
（II）求直线和平面所成角的正弦值．
36、如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（I）证明：PQ⊥平面DCQ；
（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．
37、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．
（Ⅰ）证明：//平面；
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．
38、如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．
（I）证明：；
（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．

第六讲 平面向量
一 【考点提示】
1.向量的基本概念：
向量定义：_______________________________________________________
向量的大小（模）：________________________________________________
零向量：_________________________________________________________
单位向量：_______________________________________________________
相等向量：_______________________________________________________
平行（共线）向量：_______________________________________________
向量的线性运算：
向量的加法
向量的减法
向量的数乘
重要定理和性质
共线向量基本定理：
_______________________________________________________
平面向量基本定理：
_______________________________________________________
线段定比分点的向量表达式：
_______________________________________________________
三点共线定理：
_______________________________________________________
直线定理及推论：
_______________________________________________________
平面向量的坐标表示与坐标运算
,则=__________________________
，则=_________________________
=_________________________
向量的平行和垂直
平行：_____________________________________________________
垂直：_____________________________________________________
向量的数量积
_____________________________________________________
_____________________________________________________
向量的投影
_____________________________________________________
平面向量数量积的重要性质
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
平面向量数量积满足的运算律
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
三角形四心问题
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
【典例分析】
向量的基本概念
例1 判断下列命题的真假:
（1）向量的长度和向量的长度相等.
（2）向量与平行,则与方向相同.
（3）向量与平行,则与方向相反.
（4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.
（5）若与平行同向,且＞，则＞
（6）由于方向不确定，故不能与任意向量平行。
（7）如果=，则与长度相等。
（8）如果=，则与与的方向相同。
（9）若=，则与的方向相反。
（10）若=，则与与的方向没有关系。
例2 给出下列命题：
①若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
②若，则；
③的充要条件是且∥；
④若与均为非零向量，则与一定相等．
其中正确命题的序号是________．
共线向量基本定理及应用
例3 【2008年海南、宁夏文，8】平面向量，共线的充要条件是（ ）
，方向相同 B. ，两向量中至少有一个为零向量 C. ， D. 存在不全为零的实数，，
例4 设，是两个不共线向量，，若A、B、D三点共线，则实数p的值是________．
中线向量定理及推论在向量线性表示（运算）中的应用
例5【2010年四川】设点是线段的中点，点在直线外，，，则
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
例6【2009年山东】设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　）
B. C. D.
例7【2008年湖南】.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

例8 【2008年，全国1理，3】在中，，．若点满足，则（ ）
B． C． D．
例9【2009年，广东理，8】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，，则
A. B． C. D.
例10【2007年，天津理】如图，在中，，是边上一点，，则　　　　　．

例11【2010年，天津理】如图，在中，，，则= 。

例12 【2011年，湖南理，14】在边长为1的正三角形ABC中, 设则 =__________________.
4 用已知向量表示未知向量
（1）抓住题中等量关系
例13【2010年全国2】△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若，则=
例14【2008年广东】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，，则
例15 平行四边形ABCD对角线交点C，＝，＝，，用表示、、.
向量平移措施
例16 已知四边形ABCD 中，，E，F是AC，BD的中点，请用表示.
利用方程的思想和向量共线的特点
例17 在△ABC中，E、F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设，试用表示.

例18在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设，以为基底表示.
5. 平面向量基本定理的应用
例19 如右图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
例20如图所示，在△ABC中交于点I. 如果，求实数的值.

例21 设平面上不在一条直线上的三个点O,A,B，证明：当实数p，q满足时，连接两个向量终点的直线通过一个定点.
例22【2007年陕西】如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且＝＝1，＝.若＝的值为 .
向量与三角形的四心
（1）重心



（2）垂心
为的垂心；
是的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.
外心
（4）内心
例23 【2003?天津】O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
外心 B、内心 C、重心 D、垂心
例24 已知O为所在平面内一点，且满足：
.求证：
例25 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，
则P的轨迹一定通过的___________.
例26 【2006年陕西高考】已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
7. 平面向量的坐标表示
例27 【2011年广东】 已知向量，若为实数，（），则=
A. B. C.1 D.2
例28 【2010新课标全国】为平面向量，已知，则的夹角的余弦值等于

例29【2009年广东】 若平面向量满足，平行于轴，，则= ．
例30【2007年天津】设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是 （　　）
Ａ．[-6，1] Ｂ． Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]
平面向量的数量积
例31【2010年，湖南理，4】在中，，，则等于
A． B． C．8 D．16
例32【2009年，陕西理，8】在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足,则等于
（A） （B） （C） (D)
例33【2008年，宁夏】已知向量满足，则=_________________.
例34【2006年，浙江文，13】已知向量满足，则=_________________.
例35【2006年，浙江理，13】已知向量满足，若则=_________________.
例36 【2009年，全国1理，6】设是单位向量，且，则的最小值为学科网
A. B C D 学科网
例37【2008年，浙江理，9】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是
A 1 B 2 C D
平面向量的夹角
例38 已知是非零向量且满足，则与的夹角是_________.
例39 【2011年，浙江理，14】若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则的夹角的取值范围是 .
例40 【2011年，新课标全国理，10】已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
其中的真命题是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10.平面向量的模长
例41 已知向量满足，则=_______________.
例42 已知向量的夹角为，，则等于_________.
例43 【2011年，辽宁理，10】已知均为单位向量，若,则的最大值是
A B 1 C D 2
例44【2011年，天津理，14】已知直角梯形中，
//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________
三【2012年高考题选讲】
1.【2012高考真题重庆理6】设R，向量且，则
（A） （B） （C） （D）10
2.【2012高考真题浙江理5】设是两个非零向量。
A.若，则
B.若，则
C.若，则存在实数λ，使得
D.若存在实数λ，使得，则
3.【2012高考真题四川理7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A、 B、 C、 D、且

4.【2012高考真题江西理7】在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则=
A．2 B．4 C．5 D．10
5.【2012高考真题湖南理7】在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则.
A. B. C. D.
6.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量满足，的夹角，且和都在集合中，则=
A． B.1 C. D.
7.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（ ）


8.【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=
（A） （B）
（C） （D）
9.【2012高考真题新课标理13】已知向量夹角为 ，且；则
10.【2012高考真题浙江理15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.
11.【2012高考真题上海理12】在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 。
12.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为______________.
13.【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。
14.【2012高考真题安徽理14】若平面向量满足：，则的最小值是。
15.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ．
16.【2012高考全国文9】中，边的高为，若，，，，，则
（A） （B） （C） （D）
17.【2012高考安徽文11】设向量，，，若，则______.[
18.【2012高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且= .
19.【2012高考上海文12】在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是

第十三讲 数列与不等式的综合问题
及（C为常数）型不等式证明：
例1 若，证明：.
例2若，，是前n项和，求证.
例3 证明：
例4 证明：
例5若，证明：.
及（C为常数）型不等式证明：
例1 .
例2 证明：
例3 若，，证明：.
例4 证明：
例5 已知，证明：.

第十三讲 数列压轴题选讲
1.【2012年安徽高考理科】（21）（本小题满分13分）
数列满足：
（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是
（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列.
2.【2009年安徽高考理科】（21）（本小题满分13分）
首项为正数的数列满足
（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；
（II）若对一切都有，求的取值范围.
3.【2008年安徽高考理科】（21）（本小题满分13分）
设数列满足为实数。
（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；
（Ⅱ）设，证明：；
（Ⅲ）设，证明：。
4.【2012高考真题全国卷理22】（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）
函数，定义数列如下：，是过两点的直线与x轴交点的横坐标.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求数列的通项公式.

第十二讲 数列大题讲解
一 【考点提示】
数列的通项和前n项和公式：
(1)___________________________________________________________________________________________________________________
(2)___________________________________________________________________________________________________________________
2.数列与方程、函数、不等式的交汇问题。着重考查放缩法、综合法与分析法的应用：
________________________________________________________________________________________________________________________________.
数列与平面向量的交汇等问题：
________________________________________________________________________________________________________________________________.
二【典例分析】
等差、等比数列的基本运算
例1（2012山东高考)已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
例2 (2012·重庆高考)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．
2.等差、等比数列的判定与证明
例3（2012·陕西高考)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．
(1)求数列{an}的公比；
(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
例4 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．
例5 (2012·广东高考)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
数列的有关范围问题
例6 已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.
(1)求an与bn；
(2)设cn＝3bn－λ·2，若数列{cn}是递增数列，求λ的取值范围．
例7 (2012年广州两校联考)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；
(2)求证：{an－3n}是等比数列并求数列{an}的通项公式；
(3)设3nbn＝n(3n－an)，且|b1|＋|b2|＋…＋|bn|例8 (2012·日照一模)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，a3是a1，a7的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn为数列的前n项和，若Tn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．
4.数列求和问题
例9 (2012·天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，证明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n≥2)．
例10 已知，，(x≥0)成等差数列．又数列{an}(an>0)中，a1＝3，此数列的前n项和为Sn，对于所有大于1的正整数n都有Sn＝f(Sn－1)．
(1)求数列{an}的第n＋1项；
(2)若是，的等比中项，且Tn为{bn}的前n项和，求Tn.
例11 （2012·湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．
5.数列与不等式
例12 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn，
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设cn＝a·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1例13 (2011广东)设b＞0，数列{an}满足a1＝b，an＝(n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn＋1＋1.
例14 (2012年高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.

第十二讲 数列大题讲解（2）
数列放缩法的应用
例1 设数列的前项和为，对任意，都有，且满足.
数列的通项公式；
当时，设，数列的前项和，求证：.
例2 数列满足，当时，.
证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
试比较与的大小，并说明理由.
例3 已知数列是等差数列，且.
求数列的通项公式；
设数列的通项，记是数列的前项和.证明：（其中）.
例4 已知数列的前项和，数列中.
求数列前项和；
猜测与的大小关系，并证明你的结论.
例5 已知等差数列的前项和为，公差，，且成等比数列.
求的前项和为；
（2）设，且，数列的前项和为，求证：.
2. 数列新型题
例1 已知等差数列（）中，.
求数列的通项公式；
若将数列中的项重新组合，得到新数列，具体方法如下：依次类推，第项是中相应的项的和，求数列的前项和.
奇偶分类数列
例1 已知数列满足：

数列是否为等差数列或等比数列？说明理由；
求证数列是等差数列，并求的通项公式；
设，求数列的前项和.
例2 .已知数列，且， ， 其中k=1,2,3,…….
（1）求；
（2）求的通项公式.
例3【2011年合肥一模文】已知以1为首项的数列满足：
写出，并求出的通项公式；
设数列前n项和，求数列前n项和.
例4【2012年合肥六中最后一卷理】已知数列满足，前n项和为，

若满足，求前n项和；
若等比数列满足，求p的值；
当时，问是否存在，使得，若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由.
4.数列综合题
21.（本小题满分14分）已知曲线 ，过上一点作一斜率的直线交曲线C于另一点，其中
（1）求与之间的关系式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）求证：
21.解：（1）直线方程为，
．
……………………4分
（2）设由（1）得
又是等比数列； ……………………8分
（3）由（2）得
……………………10分
当n为偶数时，则
； ………12分
当n为奇数时，则
而
综上所述，当时，成立． ………14分
21. （本小题满分14分）
已知数列满足：（其中常数）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：当时，数列中的任何三项都不可能成等比数列；
（Ⅲ）设为数列的前项和．求证：若任意，
21．解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝3．
当n≥2时，因为a1＋＋＋…＋＝n2＋2n， ①
所以a1＋＋ ＋…＋＝(n－1)2＋2(n－1)． ②
－②得＝2n＋1，所以an＝(2n＋1)·λn－1（n≥2，n∈N*）．……………… 3分
又 a1＝3也适合上式，
所以an＝(2n＋1)·λn－1 (n∈N*)． …………………… 4分
（Ⅱ）当λ＝4时，an＝(2n＋1)·4n－1．
（反证法）假设存在ar，as，at成等比数列，
则[(2r＋1) ·4r－1]· [(2t＋1) ·4t－1]＝(2s＋1)2 ·42s－2．
整理得(2r＋1) (2t＋1) 4 r＋t －2s＝(2s＋1)2．
由奇偶性知r＋t－2s＝0．
所以(2r＋1) (2t＋1)＝(r＋t＋1)2，即(r－t)2＝0．这与r≠t矛盾，
故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列． ……… 8分
（Ⅲ）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1．
当λ＝1时，Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n2＋2n． ………… 10分
当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1，
λSn＝ 3λ＋5λ2＋…＋(2n－1)λn－1＋(2n＋1)λn．
(1－λ)Sn＝3＋2(λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn－1)－(2n＋1)λn＝3＋2× －(2n＋1)λn．
①当λ＝1时，左＝(1－λ)Sn＋λan＝an＝2n＋1≥3，结论显然成立；
②当λ≠1时，左＝(1－λ)Sn＋λan＝3＋2× －(2n＋1)λn＋λan
＝3＋2×
而，和同号，故≥0
∴ 对任意都成立 ………… 14分
20（本小题满分13分）
已知各项均为正数的数列的前n项和满足：
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列为数列的前n项和，
求证：
解：（1）当n=1时，有
解得 1分
当时，有两式相减得
3分
由题设
故数列是首项为2，公差为3的等差数列 6分
（2）由 7分
而
9分
令
则
而是单调递减数列． 11分
所以，
从而成立．
【蚌埠二中最后一卷】21、（本小题满分14分）
已知，，数列{}满足＝2，＝0，
（1）求证：数列{－1}是等比数列；
（2）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；
（3）若＜对任意恒成立，求实数t的取值范围。
21.（本小题14分）
已知函数的图象经过及，其中为数列的前项和，.
（Ⅰ）求的通项公式及前项和；
（Ⅱ）若中，，求数列的前项和；
（Ⅲ）试比较（Ⅱ）中的与的大小并说明理由．
21.（本小题14分）
【解】：（Ⅰ）由的图象经过两点
，又在的图象上
当时，；当时，，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令，由错位相减法可求得，
又
故
（Ⅲ）由
当时，，
当时，，
当时，，
下证时，，即证时，
时，
成立
时，成立
综上所述：时，；
时，；
时，.

第十三讲 三角函数难题透析
已知且，则的值为________.
2.设=，其中a，bR，ab0，若
对一切则xR恒成立，则
①
②＜
③既不是奇函数也不是偶函数
④的单调递增区间是
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交
以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）.
在中，，则三角形的形状是__________.
在中，分别为内角的对边，且.
求的大小；
求的取值范围.
锐角三角形的三内角所对边的长分别为，设向量，且∥.
求角B的大小；
若，求的取值范围.
锐角三角形的三内角所对边的长分别为，设向量，且⊥.
求角C的大小；
当时，求的取值范围.
7.在中，角所对的边分别为a,b,c.
已知且.
（Ⅰ）当时，求的值；
(Ⅱ)若角为锐角，求p的取值范围.

第十讲 圆锥曲线一（椭圆）
一 【考点提示】
（一）定义：
1. 第一定义：_________________________________________________
_________________________________________________
2. 第二定义：_________________________________________________
_________________________________________________
方程：
标准方程：_________________________________________________
_________________________________________________
参数方程：_________________________________________________
_________________________________________________
性质：
1. 范围： ________________________________________________
2. 离心率： _________________________________________________
_________________________________________________
3. 准线： _________________________________________________
4. 焦半径： _________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
5. 通径： _________________________________________________
6. 焦准距： _______________________________________________
7. 切线方程：________________________________________________
8. 弦长公式：________________________________________________
（四）点与椭圆的位置关系：
_________________________________________________

_________________________________________________
_________________________________________________
焦点三角形：
1.顶角： _________________________________________________
2.焦点三角形面积：_________________________________________
3.向量，模长：_____________________________________________
________________________________________________
常见做法和结论：
1.知道求椭圆中的量，椭圆标准方程：
_________________________________________________
椭圆焦点位置不确定，如何设方程：
_________________________________________________
与共焦点的椭圆：
_________________________________________________
与有相同离心率的椭圆：
_________________________________________________
椭圆中所构成的菱形的内角与椭圆的离心率之间的关系：
_________________________________________________
焦点三角形顶角的范围：
_________________________________________________
椭圆长轴端点为，是否存在，使最大，最小？这点位置在哪里？最大，小角如何求？
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
8.椭圆短轴端点为，是否存在，使最大，最小？这点位置在哪里？最大，小角如何求？
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
直线与椭圆的位置关系？
代数方法：
_________________________________________________
几何方法：
_________________________________________________
10.直线交曲线于两点，中点为，
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
二【典例分析】
椭圆定义的运用
例1 平面一动点，且满足，则P点轨迹是______________.
例2已知椭圆，F1、F2分别为椭圆的左右焦点，点A（1，1）为椭圆内一点，点P为椭圆上一点：求|PA|+|PF1|的最大值和最小值； 求|PA|+|PF2|的最小值。
例3（2008?浙江）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（　　）
圆 B、椭圆
C、一条直线 D、两条平行直线

例4 如图所示，在正方体的侧面内有一动点P到直线的距离是点P到直线BC的距离的2倍，则动点P的轨迹为（　　）
圆弧 B、椭圆的一部分
C、双曲线的一部分 D、抛物线的一部分
例5 方程 ，化简的结果是（　　）
A、 B、 C、 D、
椭圆方程的应用
例6 已知方程表示椭圆，则的取值范围为____
例7 设θ是△ABC的一个内角，且，则表示（　　）
焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在y轴上的椭圆
C、焦点在x轴上的双曲线 D、焦点在y轴上的双曲线
例8 已知方程,讨论方程表示的曲线的形状
例9 若，且，则的最大值是___，的最小值是
例10已知实数满足,求的最大值与最小值
例11求椭圆上的点到直线的最短距离.
例12（2010?福建）若点O和点F分别为椭圆 的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 的最大值为（　　）
A、2 B、3 C、6 D、8
例13设椭圆 和x轴正方向的交点为A，和y轴的正方向的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，使四边形OAPB面积最大（O为原点），那么四边形OAPB面积最大值为（　　）
A、 B、 C、 D、2ab
离心率的值及取值范围
例14 椭圆的两焦点为，椭圆上存在点使，则椭圆离心率的取值范围为__________.

例15 椭圆的两焦点为，若为其上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围为___________.
例16 椭圆的左右焦点为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围是_________.
例17 过椭圆的左顶点的斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴的射影恰好为右焦点，若，则椭圆离心率的取值范围是____________.
例18.椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为__________.
例19【2007年湖南理9】设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例20已知椭圆（），其长轴两端点是，若椭圆上存在点，使，求椭圆离心率的变化范围.
例21已知椭圆（），其长轴两端点是，若椭圆上存在点，使，求椭圆离心率的变化范围.
例22已知椭圆（），其短轴两端点是，若椭圆上存在点，使，求椭圆离心率的变化范围.
例23过椭圆的一个焦点做直线交椭圆于两点，若直线与椭圆长轴夹角为，并且是的一个三等分点.则椭圆的离心率为__________.
例24（2010?四川）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
B、 C、 D、
例25（2009?浙江）已知椭圆 的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若 ，则椭圆的离心率是（　　）
B、 C、 D、
例26如图，点P在椭圆上，分别是椭圆的左、右焦点，过点P作椭圆右准线的垂线，垂足为M，若四边形为菱形，则椭圆的离心率是（　　）
B、
C、 D、
例27.(2010年辽宁理20)（本小题满分12分）
设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.求椭圆C的离心率；
例28 （2010年全国2，12）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率k（k＞0）的直线与C相于A、B亮点，若=3，则k=
（A）1 （B） （C） （D）2
焦点三角形
例29 已知是的两个焦点，为椭圆上一点，且，求的面积.
例30 已知椭圆的左，右焦点分别为，为椭圆上的一动点.
求的取值范围；
求的取值范围.
例31 设是椭圆上一动点，分别是左右两个焦点，则的最小值为_________.
其他类型
例32.已知椭圆的焦距是4，则这个椭圆的焦点在______轴上，坐标是_________.
例33.已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为___________.
例34是过椭圆的左焦点的弦，且两端的横坐标之和为，则=________.
例35椭圆的弦的中点为，则直线的方程是____________.
三【参考答案】
以为焦点的椭圆或线段
①；②.
B; 4.B; 5.D
B

当时，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆；
当时,方程表示圆心在原点，半径为的圆；
当时，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆;
当 时，方程 表示两条平行直线;
当 时，方程表示焦点在 x 轴上的双曲线
C；13.B

或
D; 20.； 21.； 22.；23.
D 25.D； 26.D; 27. 28.B
29. 6
（1）【3,4】；（2）【2,3】
； 34. 8； 35.

第十讲 圆锥曲线三（综合性问题1）
一 【考点提示】
（一）定值问题
1. 操作程序：变量--函数--定值
变量：_________________________________________________
函数：_________________________________________________
定值：_________________________________________________
方法：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.
求最值的方法
几何法（几何特征）：
_________________________________________________
代数法（建立函数）：
_________________________________________________
求参数的取值范围：
根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数的范围
二【典例分析】
平面向量在解析几何中的应用
利用向量的数量积解决有关夹角问题（锐角、直角、钝角）的问题
例1 （2005年天津理，21）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点 作斜率为的两条直线分别交抛物线C于，两点（P、A、B三点互不相同），且满足.求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
例2（2010年浙江理）已知，直线，
椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，
的重心分别为.若原点在以线段
为直径的圆内，求实数的取值范围.
例3 （2008年辽宁理，20）
在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为，直线与交于两点．
⑴ 写出的方程；
⑵ 若，求的值.
例4 （2010年陕西理20）如图，椭圆C：的顶点为焦点为,.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
利用向量的坐标表示解决共线问题
例5（2007年宁夏理，19）在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（I）求的取值范围；
（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
例6 （2008年四川理，21）
设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，。
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线。
定点问题
技巧：三大圆锥曲线中的顶点直角三角形的斜边所在的直线过定点.
例7 已知椭圆的左顶点为A，不过点A的直线l：与椭圆交于不同的两点P,Q，当时，求k和b的关系，并证明直线l过定点.
例8（2010年四川理，20） 已知定点，定直线，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的2倍.设点的轨迹为，过点的直线交于两点，直线分别交于点
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）试判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由.
例9（2010，全国二理,21） 己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．21世纪教育网
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
定直线
技巧：三大圆锥曲线中，当定点在曲线上，相应的定直线均在定点处的切线.
例10 （2008年安徽理，22）设椭圆过点，且左焦点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上.

第十讲 圆锥曲线二（双曲线）
一 【考点提示】
（一）定义：
1. 第一定义：_________________________________________________
_________________________________________________
2. 第二定义：_________________________________________________
_________________________________________________
方程：
标准方程：_________________________________________________
_________________________________________________
性质：
1. 范围： ________________________________________________
2. 离心率： _________________________________________________
_________________________________________________
3. 准线： _________________________________________________
4. 焦半径： _________________________________________________
_________________________________________________
5. 通径： _________________________________________________
6. 焦准距： _______________________________________________
7. 切线方程：________________________________________________
8. 弦长公式：________________________________________________
9. 特殊三角形：______________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
（四）点与双曲线的位置关系：
_________________________________________________
_________________________________________________
焦点三角形：
1.顶角： _________________________________________________
2.焦点三角形面积：_________________________________________
共轭双曲线：
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
等轴双曲线
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
双曲线的渐近线
1.双曲线渐近线的求法
_________________________________________________
2.共渐近线双曲线设法
_________________________________________________
3.渐近线与离心率的关系
_________________________________________________
常见做法和结论：
1.双曲线焦点位置不确定，如何设方程：
_________________________________________________
2.与共焦点的双曲线：
_________________________________________________
3.双曲线的切线问题以及直线与双曲线只有一个交点的判断？
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
二【典例分析】
双曲线定义的运用
例1双曲线的两焦点分别为，过的弦AB的长为4，则的周长为_________.
例2 【2007年湖北文，12】过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为______．
例3 在中，已知，且三角形的内心在直线上移动，求动点C的轨迹方程.
例4【2007年天津理，4】设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
双曲线方程的应用
例5 若动圆M与圆外切，且与圆内切，求动圆M的圆心M的轨迹方程.
例6【2008年重庆理，8】已知双曲线的一条渐近线为，离心率，则双曲线方程为
A．－=1 B．
C． D．
例7 已知点是双曲线渐近线上的一点，E，F是左右两个焦点，若，则双曲线方程为_____________.
双曲线的性质
例8已知双曲线的焦点为，点M在双曲线上，且轴，则到直线的距离为
B. C. D.
例9 【2005年山东理，14】设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率.
4.双曲线的渐近线
例10 求渐近线方程为，且过点（6,3）的双曲线方程_______.
例11【2006年全国2卷理，9】已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
例12 【2007年陕西理，7】已知双曲线C：(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的半径是
A. B. C.a D.b
例13 【2009年四川理，7】已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=
A. B. C .0 D. 4
例14设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________
例15过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为______
焦点三角形
例16【2007年辽宁理，11】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）
B． C． D．
例17 双曲线的两个焦点为，点P在双曲线上的面积为，则=________.
6.离心率
例18 【2011年课标全国卷理，7】设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为
（B） （C）2 （D）3
例19 【2008年陕西理，8】双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例20【2009年江西理，6】过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D． 21世纪教育网
例21【2008年福建理，11】又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为
(1,3) B. C.(3,+) D.
例22 【2009年重庆理，15】已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
例23 【2011年浙江理，11】已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)．
A．a2＝ B．a2＝13 C．b2＝ D．b2＝2
例24【2008年全国卷理，5】设，则双曲线的离心率e的取值范
围是
A． B. C. D.
7.其他类型
例25【2006年天津理，2】如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ ）
A． 　　 B．　　　　　 C． 　　 D．
例26 过点（3,0）的直线l与双曲线只有一个公共点，直线l共有（ ）
A. 1条 B.2条 C.3条 D.4条
例27 双曲线右支上一点P到右焦点距离为2，则P到左准线的距离为__________.
例28 P是以为焦点的双曲线上一点，，则等于（ ）
A. 0.5 B.16.5 C.10.5 D.16.5或0.5
例29 已知双曲线中心在原点，且一个焦点为，直线与其交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是___________.
【参考答案】
20 2. 8
D
C
C 9.

A 12.D 13.C
14.（答 ：）；
15.（答 ：）；
16.B 17. 2
18.B 19. C
20.B 21. B
22.
23.C
24.B
25.C
26.C
27. 8
28.B
29.
补充大题：
1.【2012年合肥一模，理】已知向量，且（O为坐标原点）。
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点F（1，0）的直线与曲线C相 交于A、B两点，并且曲线C存在点P，使四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAPB的面积；若不存在，说明理由.
2.【2012年合肥一模，文】已知椭圆，抛物线：直线过椭圆的右焦点F且与抛物线相切。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为抛物线上两个不同的点，分别与抛物线相切于A，B，相交于C点，弦AB的中点为D，求证：直线CD与x轴垂直。

第四讲 数列（二）
一 【考点提示】
1.数列：_________________________________________________________________
2.等差数列：
（1）概念：_____________________________________________________________
（2）通项：_____________________________________________________________
（3）等差中项：_________________________________________________________
（4）等差数列前n项和：_________________________________________________
3.等比数列：
（1）概念：_____________________________________________________________
（2）通项：_____________________________________________________________
（3）等差中项：_________________________________________________________
（4）等差数列前n项和：_________________________________________________
4.等差数列的性质：
（1）___________________________________________________________________
（2）___________________________________________________________________
（3）___________________________________________________________________
（4）___________________________________________________________________
5.等比数列的性质：
（1）___________________________________________________________________
（2）___________________________________________________________________
（3）___________________________________________________________________
6.数列通项公式的求法：
（1）___________________________________________________________________
（2）___________________________________________________________________
（3）___________________________________________________________________
（4）___________________________________________________________________
（5）___________________________________________________________________
（6）___________________________________________________________________
（7）___________________________________________________________________
（8）___________________________________________________________________
（9）___________________________________________________________________
（10）___________________________________________________________________
（11）___________________________________________________________________
（12）___________________________________________________________________
（13）___________________________________________________________________
7.数列前n项和的求法：
（1）___________________________________________________________________
（2）___________________________________________________________________
（3）___________________________________________________________________
（4）___________________________________________________________________
（5）___________________________________________________________________
二 【典例分析】
等差、等比数列通项及基本量的求解
例1 已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d的取值范围是（ ）

例2．【2007年重庆理，14】设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则______．
例3 已知的前n项和（a为非零实数），那么（ ）
一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.或者是等差数列，或者是等比数列
D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
等差、等比数列的求和
例4 【2006年北京理，7】设，则等于（ ）

例5 已知数列中，通项，求其前n项和.
例6 在等差数列中，，为其前n项和，
求使的最小正整数n；
求的表达式.
等差、等比数列的性质
例7在等差数列中，若，则的值为（ ）
A. 20 B. 30 C.40 D.50
例8已知等差数列的前n项和为，且，则
A. B. C. D.
例9已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例10 已知等差数列的前n项和为377，项数n为奇数，且奇数项和与偶数项和之比为，求中项.
例11已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（ ）

判断和证明等差、等比数列
例12 在数列中，且.
设，求证：数列是等比数列；
设，求证：数列是等差数列.

例13【2010年安徽理，20】设数列 中的每一项都不为0.
证明： 为等差数列的充分必要条件是：对任何 ，都有.

例14 【2008年辽宁文，20】在数列，是各项均为正数的等比数列，设．
（Ⅰ）数列是否为等比数列？证明你的结论；
（Ⅱ）设数列，的前项和分别为，．若，，求数列的前项和．
例15已知数列满足: ；数列满足：
(Ⅰ)求数列，的通项公式;
(Ⅱ)证明:数列中的任意三项不可能成等差数列.
例16 【2011年安徽高考理科】在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再 令.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设求数列的前项和.
例17【2012年安庆二模理科】已知数列中，，，且（）．
（1）求、的值；
（2）设(),试用表示并求的通项公式；
（3）设(),求数列的前n项和；
三【2012年高考题选讲】
1.【2012高考全国文6】已知数列的前项和为，，，,则
（A） （B） （C） （D）
2.【2012高考四川文12】设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ）
A 0 B 7 C 14 D 21
3.【2102高考福建文11】数列的通项公式，其前n项和为，则S2012等于
A.1006 B.2012 C.503 D.0

4.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是
（A） （B） （C）若，则（D）若，则
【2012高考上海文14】已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是
6.【2012高考真题浙江理7】设是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是
A.若d＜0，则数列有最大项
B.若数列有最大项，则d＜0
C.若数列是递增数列，则对任意，均有
D. 若对任意，均有，则数列是递增数列
7.【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列，，，则（ ）

8.【2012高考真题上海理18】设，，在中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
9.【2012高考真题四川理12】设函数，是公差为的等差数列，，则（ ）
A B C、 D

10.【2012高考真题湖北理7】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：
①； ②； ③； ④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为
① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④
11.【2012高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ）

12.【2012高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：
①当时，数列的前3项依次为5,3,2；
②对数列都存在正整数，当时总有；
③当时，；
④对某个正整数，若，则。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
13.【2012高考真题新课标理16】数列满足，则的前项和为
14.【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列为递增数列，且，则数列的通项公式 =______________.
15.【2012高考安徽文21】（本小题满分13分）
设函数=+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设的前项和为，求。
16【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的值．

17.【2012高考真题湖北理18】（本小题满分12分）
已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.
18.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）
设数列的前n项和为，满足，n∈N﹡,且成等差数列．
求的值；
求数列的通项公式；
证明：对一切正整数n，有.
19.【2012高考真题陕西理17】（本小题满分12分）
设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列。
（1）求数列的公比；
（2）证明：对任意，成等差数列。

20.【2012高考真题四川理20】(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。
21.【2012高考真题四川理22】(本小题满分14分)
已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
（Ⅰ）用和表示；
（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；
（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。
22.【2012高考真题重庆理21】（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分.）
设数列的前项和满足，其中.
（I）求证：是首项为1的等比数列；
（II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.
23.【2012高考真题江西理17】（本小题满分12分）
已知数列的前n项和，,且的最大值为8.
（1）确定常数k，求；
（2）求数列的前n项和.
24.【2012高考真题安徽理21】（本小题满分13分）
数列满足：
（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；
（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列.
25.【2012高考真题天津理18】（本小题满分13分）
已知是等差数列，其前n项和为，是等比数列，且，
.
（Ⅰ）求数列与的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明（）.

26.【2012高考真题全国卷理22】（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）
函数，定义数列如下：，是过两点的直线与x轴交点的横坐标.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求数列的通项公式.

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