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2.1等式性质与不等式性质
一、不等关系
1、不等式的定义：用不等号（“≤”，“≥”，“＜”，“＞”，“≠”）表示不等关系的式子。
2、实数的特征和实数大小的比较
（1）任意实数的平方不小于0：即：∈R，则2≥0；
（2）任意两个实数都可以比较大小。
3、实数比较大小的方法：
（1）若－＞0＞；（2）－＜0＜；（3）－＝0＝
（2）当＞0，＞0；若＞1＞；若＜1＜；若＝1＝
做差比较法法的一般步骤：
（1） 作差；（2）变形，常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是将“差“化成“积”的形式，配方是将“差”化为一个或几个完全平方的“和”，也可两种手段并用；（3）定号，就是确定是大于0，还是等于0，或是小于0(与具体的值无关)（4） 得出结论。
例1：设＝2(－2)＋3，＝(－3)(－1)，且∈，则有（ ）
A：≥ B：＞ C：＜ D：≤
例2：在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜。已知克糖水中含有克糖（＞＞0），再添加克糖（＞0，假设全部溶解），可将糖水变甜，这一事实表示为下列哪一个不等式？（ ）
A：＞B：＜ C：＜ D：＜
变式练习1：若＝3－＋1，＝2＋－1，则与的大小关系是_______。
变式练习2：若＝＋，＝＋（≥0），则有（ ）
A：＝ B：＞ C：＜ D：不能确定
变式练习3：比较大小：－____________－（用＞、＜、＝连接）
变式练习4：已知＞＞－2，证明：＞。
二、不等式的性质
（1）、对称性：＞＜
（2）、传递性：＞，＞＞
（3）、可加性：＞，∈R ＋＞＋
（4）、可乘性：＞，＞0 ＞ 或＞，＜0 ＜
（5）、同向不等式相加：＋＞＋
（6）、 ×＞×＞0
（7）、＞
（8）、＞
（9）、
例3：若、、∈且＞，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A：＞ B：(－)＞0 C： D：－2＜－2
例4：已知、、是实数，则下列结论正确的是（ ）
A：若＞＞0，则＞ B：若＞＞0，则＞
C：＞，＞0，则 ＞ D：若＞，则＞
变式练习1：已知＜＜0，则下列不等式中不成立的是（ ）
A：｜｜＞｜｜ B：＞ C：＞ D：＞
变式练习2：已知 －1＜＜0，＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A：＞＞ B：＞＞ C：＞＞ D：＞＞
变式练习3：若＜＜0，给出下列不等式：（1）｜｜＞｜｜；（2）＋＞；（3）＋＞2；（4）＜2－。其中正确的不等式有（ ）
A：1个 B：2个 C：3个 D：4个
变式练习4：已知＞，≠0，则下列不等式中：（1）＞；（2）＜；（3）＞；（4）＋＞2。恒成立的不等式的序号是_________。
变式练习5：对于实数、、，有下列命题（1）若＞，则＜；（2）若＞，则＞；（3）若＜＜0，则＞＞；（4）若＞＞＞0，则＞；（5）若＞，＞，则＞0，＜0。其中正确的是_________。
例5：“＞＞0”是“＜”的（ ）条件。
A：充分不必要 B：必要不充分 C：充要 D：既不充分也不必要
【解析】：A
变式练习1：下面四个条件中，使＞成立的必要不充分的条件是（ ）
A：＞＋1 B：＞－1 C：＞ D：＞
变式练习2：已知实数、，则“＞0”是“｜｜＞｜｜”的（ ）条件。
A：充分不必要 B：必要不充分 C：充要 D：既不充分也不必要
例6：已知－1＜＜＜1，则－的取值范围是________。
例7：已知2＜＜3，2＜＜3，则－的取值范围是_______；的取值范围是______。
例8：已知＜＋＜，＜－＜，则2－的取值范围______。
例9：已知实数、满足，则4＋2的取值范围________。
变式练习1：－1≤≤1，1≤≤3，则3－2的取值范围是______。
变式练习2：若＜＜＜，则－的取值范围______。
变式练习3：已知实数、满足，则4＋2的取值范围___。
变式练习4：已知实数、满足，则3－的取值范围___。
课 后 综 合 练 习
1、若、都是实数，则“－＞0”是“－＞0”的(　　)
A：充分不必要条件 B：必要不充分条件
C：充要条件 D：既不充分也不必要条件
2、设＜，＜，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A：－＜－ B：＜
C：＋＞＋ D：＋＞＋
3、若＞＞0，＜＜0，则一定有(　　)
A：－＞0 B：－＜0 C：＞ D：＜
4、设，∈R，则“＞2且＞1”是“＋＞3且＞2”的(　　)
A：充分不必要条件 B：必要不充分条件
C：充要条件 D：既不充分也不必要条件
5、下列命题中正确的是(　　)
A：若＞，则＞ B：若＞，＜，则＞
C：若＞，＞，则－＞－ D：若＞0，＞，则＜
6、若、、∈，给出下列命题：①若＞，＞，则＋＞＋；②若＞，＞，则－＞－；③若＞，＞，则＞；④＞，＞0，则＞。 其中正确命题的序号是(　　)
A：①②④ B：①④ C：①③④ D：②③
8、设、、、、为实数，且＞＞0，＞，下列不等式正确的是(　　)
A：－＜－ B：≥ C： ＞ D： ≤
9、已知－1≤＋≤1，1≤－≤3，则×的取值范围是(　　)
A：[2，] B： [ ，] C：[2，] D：[ ，]
10、“＋＞＋”是“＞且＞”的(　　)
A：必要不充分条件 B：充分不必要条件
C：充要条件 D：既不充分也不必要条件
11、若＞＞，且＋＋＝0，则下列不等式中正确的是 (　　)
A：＞ B：＞
C：｜｜＞｜｜ D：＞＞
12、（多选题）下列条件，能推出＜成立的有(　　)
A：＞0＞ B：0＞＞ C：＞0＞ D：＞＞0
13、若＜＜0，则下列不等式：①＋＜；②｜｜＞｜｜；③＜；④＜中，正确的不等式有________。（填序号）
14、已知－1＜＜4，2＜＜3，则－的取值范围是________，3＋2的取值范围是________。
15、已知＞＞－5，证明：＞。

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