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2.2 法拉第电磁感应定律
知识图谱
法拉第电磁感应定律及应用
知识精讲
感应电动势
定义：在电磁感应现象中产生的电动势叫做感应电动势。
产生条件
不管电路是否闭合，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，或者导体切割了磁感线，电路中或导体中就会产生感应电动势。
3．感应电动势与感应电流的关系
（1）等效电源：产生感应电动势的那部分导体相当于电源，其中的电流方向指向等效电源正极，而电源内部的电流方向与电动势方向相同。
（2）发生电磁感应时，电路闭合时有感应电流，有感应电动势；电路不闭合时无感应电流，但有感应电动势。
（3）电路中感应电流的大小由感应电动势和回路总电阻共同决定。
二．法拉第电磁感应定律
1．内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
2．表达式：
单位：伏特（V）且1V=1Wb/s
证明：
4．理解
（1）感应电动势大小正比于磁通量的变化率，与磁通量及磁通量变化量大小无关。
（2）公式中，若取一段时间，则E为内的平均电动势；若 时，则E为瞬时值，故此式多用于求电动势的平均值。
三．导体切割磁感线时的感应电动势
1．表达式
（1）基本公式：，公式中要求B、L、v 三者相互垂直。
（2）一般表达式：
2．对公式的理解
（1）适用条件：导体在匀强磁场中做切割磁感线运动而产生的感应电动势的计算。
（2）对的理解：公式中为切割磁感线的有效长度，即导线在垂直速度方向的投影长度，如图所示，棒的有效长度为ab间的距离。
（3）对v的理解：
公式中的v应理解为导体和磁场间的相对速度，当导体不动而磁场运动时，也有感应电动势产生。
若v为平均值，E就是平均感应电动势，若v为瞬时值，E就是瞬时感应电动势。
导体棒转动切割磁感线时的感应电动势
如图所示，长为L的导体棒ab以b为圆心、以角速度在磁感应强度为B的匀强磁场中匀速转动，则棒切割磁感线产生的感应电动势可以从两个角度分析：
（1）运用计算
棒上各点速度不同，平均速度为，代入公式得：
（2）运用计算
经过的时间，棒扫过的面积为，磁通量的变化量为，代入公式得：
五．电磁感应中通过导体电荷量的计算
回路中发生磁通量变化时，由于感应电场的作用使电荷发生定向运动而形成电流，在的时间内，迁移的电荷量为：
从上式可知，感应电荷量仅有回路电阻、磁通量的变化量和匝数决定，与发生这一变化的时间、速度等其他物理量无关。
法拉第电磁感应定律的理解和简单应用
例题1、[多选题] 空间存在一方向与纸面垂直、大小随时间变化的匀强磁场，其边界如图（a）中虚线MN所示。一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上。t＝0时磁感应强度的方向如图（a）所示；磁感应强度B随时间t的变化关系如图（b）所示。则在t＝0到t＝t1的时间间隔内（ ）
A.圆环所受安培力的方向始终不变 B.圆环中的感应电流始终沿顺时针方向
C.圆环中的感应电流大小为 D.圆环中的感应电动势大小为
例题2、 如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直。已知线圈的面积S＝0.3m2、电阻R＝0.6Ω，磁场的磁感应强度B＝0.2T．现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在△t＝0.5s时间内合到一起。求线圈在上述过程中
（1）感应电动势的平均值E；
（2）感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向；
（3）通过导线横截面的电荷量q。
例题3、[多选题] 矩形线圈abcd，长ab＝20cm，宽bc＝10cm，匝数n＝200匝，线圈回路总电阻R＝5Ω，整个线圈平面内均有垂直于线圈平面的匀强磁场穿过。若匀强磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图所示，则（ ）
A.线圈回路中感应电动势随时间均匀变化
B.线圈回路中产生的感应电流为0.4A
C.当t＝0.3s时，线圈的ab边所受的安培力大小为0.016N
D.在1min内线圈回路产生的焦耳热为48J
例题4、[多选题] 如图甲所示，abcd是匝数为100匝、边长为10cm、总电阻为0.1Ω的正方形闭合导线圈，放在与线圈平面垂直的图示匀强磁场中，磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示，则以下说法正确的是（ ）
A.导线圈中产生的是大小和方向都不变的恒定电流
B.在t＝2.5 s时导线圈产生的感应电动势为1 V
C.在0～2 s内通过导线横截面的电荷量为20 C
D.在t＝1 s时，导线圈内电流的瞬时功率为10 W
随练1、[多选题] 如图所示，正方形线框的边长为L，电容器的电容为C．正方形线框的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中，当磁感应强度以k为变化率均匀减小时，下列说法正确的是（ ）
A.电压表读数为0 B.线框产生的感应电动势大小为kL2
C.电容器所带的电荷量为零 D.a点的电势高于b点的电势
随练2、 如图甲所示，边长为L＝0.1m的10匝正方形线框abcd处在变化的磁场中，在线框d端点处开有一个小口，d、e用导线连接到一个定值电阻上，线框中的磁场随时间的变化情况如图乙所示（规定垂直纸面向外为磁场的正方向），下列说法正确的是（ ）
A.t＝3s时线框中的磁通量为0.03Wb B.t＝4s时线框中的感应电流大小为零
C.t＝5s时通过线框中的电流将反向 D.t＝8s时通过线框中电流沿逆时针方向
导线平动切割磁感线时的感应电动势
例题1、 如图所示，电阻r＝0.3Ω，质量m＝0.1kg的金属棒CD垂直静置在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上．棒与导轨间接触良好，导轨电阻不计，导轨左端接有R＝0.5Ω的电阻，有一理想电压表接在电阻R的两端，垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过导轨平面．现给金属棒加一水平向右的恒定外力F，观察到电压表的示数逐渐变大，最后稳定在1.0V，此时导体棒的速度为2m/s．g＝10m/s2．求
（1）拉动金属棒的外力F多大？
（2）当电压表读数稳定后某一时刻，撤去外力F，求此后电阻R上产生的热量是多少？
例题2、 如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距L＝1m，电阻R＝0.4Ω，导轨上停放一质量m＝0.25kg、电阻r＝0.1Ω的金属杆，导轨电阻可忽略不计，整个装置处于磁感应强度B＝0.25T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．现用一外力F沿水平方向拉杆，使之由静止开始运动，若理想电压表的示数U随时间t变化的关系如图（b）所示．
（1）求导体棒运动的加速度
（2）求第5s末外力F的瞬时功率．
例题3、 如图所示，两平行金属导轨固定在水平面上，间距为L，左端接有阻值为R的电阻。两导轨间匀强磁场方向竖直向上，磁感应强度大小为B．质量为m，阻值为r的金属棒垂直于导轨放置。现对棒施加水平向右的恒定拉力F，使棒由静止开始向右运动。若棒向右运动距离为x时速度达到最大值，不计导轨电阻，忽略棒与导轨间的摩擦，求：
（1）棒运动的最大速度vm；
（2）在棒运动位移x的过程中，电阻R产生的焦耳热。
随练1、 （1）如图1所示，两根足够长的平行导轨，间距L＝0.3m，在导轨间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B1＝0.5T．一根直金属杆MN以v＝2m/s的速度向右匀速运动，杆MN始终与导轨垂直且接触良好。杆MN的电阻r1＝1Ω，导轨的电阻可忽略。求杆MN中产生的感应电动势E1。
（2）如图2所示，一个匝数n＝100的圆形线圈，面积S1＝0.4m2，电阻r2＝1Ω．在线圈中存在面积S2＝0.3m2垂直线圈平面（指向纸外）的匀强磁场区域，磁感应强度B2随时间t变化的关系如图3所示。求圆形线圈中产生的感应电动势E2。
（3）有一个R＝2Ω的电阻，将其两端a、b分别与图1中的导轨和图2中的圆形线圈相连接，b端接地。试判断以上两种情况中，哪种情况a端的电势较高？求这种情况中a端的电势φa。
随练2、 如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN．第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则（ ）
A.Q1＜Q2，q1＝q2 B.Q1＞Q2，q1＞q2
C.Q1＞Q2，q1＝q2 D.Q1＝Q2，q1＜q2
导线转动切割磁感线时的感应电动势
例题1、 边界MN的一侧区域内，存在着磁感应强度大小为B，方向垂直于光滑水平桌面的匀强磁场。边长为l的正三角形金属线框abc粗细均匀，三边阻值相等，a顶点刚好位于边界MN上，现使线框围绕过a点且垂直于桌面的转轴匀速转动，转动角速度为ω，如图所示，则在ab边开始转入磁场的瞬间ab两端的电势差Uab为（ ）
A. B. C. D.
例题2、 如图所示，导体杆OQ在作用于OQ中点且垂直于OQ的力作用下，绕O轴沿半径为r的光滑的半圆形框架在匀强磁场中以一定的角速度转动，磁场的磁感应强度为B，方向垂直于框架平面，AO间接有电阻R，杆和框架电阻不计，回路中的总电功率为P，则（ ）
A.外力的大小为 B.外力的大小为
C.导体杆旋转的角速度为 D.导体杆旋转的角速度为
例题3、[多选题] 如图所示，用粗细均匀的铜导线制成半径为r的圆环，PQ为圆环的直径，其左石两侧存在垂直圆环所在平面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，但方向相反，圆环的电阻为2R．一根长度为2r、电阻为R的金属棒MN绕着圆环的圆心O点紧贴着圆环以角速度ω沿顺时针方向匀速转动，转动过程中金属棒MN与圆环始终接触良好，则下列说法正确的是（ ）
A.金属棒中电流方向始终由N到M
B.圆环消耗的电功率是不变的
C.MN中电流的大小为
D.金属棒MN旋转一周的过程中，电路中产生的热量为
随练1、 法拉第发明了世界上第一台发电机－－法拉第圆盘发电机，原理如图所示。铜质圆盘水平放置在竖直向下的匀强磁场中，圆盘圆心处固定一个带摇柄的转轴，边缘和转轴处各有一个铜电刷与其紧贴，用导线将电刷与电阻R连接起来形成回路，其他电阻均不计。转动摇柄，使圆盘如图示方向匀速转动。已知匀强磁场的磁感应强度为B，圆盘半径为r，电阻的功率为P．则（ ）
A.圆盘转动的角速度为，流过电阻R的电流方向为从c到d
B.圆盘转动的角速度为，流过电阻R的电流方向为从d到c
C.圆盘转动的角速度为，流过电阻R的电流方向为从c到d
D.圆盘转动的角速度为，流过电阻R的电流方向为从d到c
随练2、 如图甲所示是某品牌的手摇式电筒。使用时通过转动手柄，可带动发电机转动，灯泡就能发光。电路作如下简化：如图乙所示，半径为L的金属圆环绕垂直于圆环平面、通过圆心O的金属轴O1O2以角速度ω匀速转动，圆环上接有电阻均为r的三根导电辐条OP、OQ、OR，辐条互成120°角。在圆环内，圆心角为120°的扇形区域内存在垂直圆环平面向下磁感应强度为B的匀强磁场，在转轴O1O2与圆环的边缘之间通过电刷MN与一个LED灯相连接（可看成二极管，发光时电阻为r）。圆环及其它电阻不计。
（1）分析顺磁感线方向看，圆盘旋转的方向；
（2）通过LED灯的电流；
（3）求圆环每旋转一周，LED灯消耗的电能。
电磁感应现象的两类情况
知识精讲
感生电场和感生电动势
感生电场
（1）定义：变化的磁场在周围所激发的电场叫感生电场。
（2）特点
①变化的磁场周围存在感生电场，与闭合电路是否存在无关。
②感生电场是电场的一种形式，是客观存在的特殊物质。
③静电场的电场线是不闭合的，而感生电场的电场线是闭合的，所以感生电场又称为涡旋电场。
④感生电场与产生它的磁场方向垂直。
⑤感生电场可以对带电粒子做功，使粒子加速和偏转。
（3）方向的判定：假设导体存在，根据楞次定律和安培定则判断出感应电流的方
向，就是感生电场的方向。
感生电动势
（1）定义：由感生电场使导体产生的电动势叫做感生电动势。
（2）产生：感生电场是产生感生电动势的根本原因，无论导体回路是否存在，感生电场都将存在；若有导体但不闭合，存在感应电动势，但无感应电流。感生电动势的电源中的非静电力就是感生电场对自由电荷的作用。
3．感生电动势的计算
式中S是线圈在垂直磁场方向的有效面积。
二．洛仑兹力和动生电动势
1．动生电动势：由于导体棒运动而产生的感应电动势叫做动生电动势。
一段导体做切割磁感线运动时，相当于一个电源，如图所示，由右手定则可知C端电势高，相当于电源正极，D相当于电源负极。
2．对洛仑兹力充当非静电力的理解
（1）导体切割磁感线运动时，电路中自由电荷所受到的非静电力由洛仑兹力充当。
（2）洛仑兹力总与电荷运动方向垂直，因而洛仑兹力不做功；根据电动势的定义，动生电动势等于洛仑兹力搬运单位正电荷所做的功。二者并不矛盾。运动导体中的自由电子随导体以速度v运动，还沿导体以速度u做定向运动，正是这个定向运动才产生的感应电流，如图所示。
洛仑兹力并不做功，只是起到传递能量的作用。即外力克服洛仑兹力的一个分力做功，同时另一个分力做正功，从而将外界的能量转化为电流的能量。
3．动生电动势的计算
平动切割的动生电动势：
转动切割的动生电动势：
三．反电动势
1．定义：电动机转动时，线圈中也会产生感应电动势，这个感应电动势总要削弱电源电动势的作用，我们把这个电动势成为反电动势。
2．方向：反电动势的方向与电源电动势的方向相反。
3．理解
（1）如果电动机工作中由于机械阻力过大而停止转动，这时没有了反电动势，电阻很小的线圈直接接在电源两端，电流会很大，很容易烧毁电动机。
（2）反电动势的作用是阻碍线圈的转动。
（3）反电动势阻碍转动的过程，即电路中电能向其他形式能转化的过程。
（4）由于反电动势的存在，使回路中的电流，所以在有反电动势工作的电路中，不能用闭合电路的欧姆定律直接计算电流。
三点剖析
课程目标：
1．感生电动势与感生电场
2．动生电动势与洛仑兹力
3．反电动势
4．二次感应
感生电动势与感生电场
例题1、 英国物理学家麦克斯韦认为，磁场变化时会在空间激发感生电场．如图所示，一个半径为r的绝缘体圆环水平放置，环内存在竖直向上的匀强磁场B，环上套一带电荷量为+q的小球．已知磁感应强度B随时间均匀增加，其变化率为k，若小球在环上运动一周，则感生电场对小球的作用力所做功的大小是（　　）
A.0 B.r2qk C.2πr2qk D.πr2qk
例题2、 著名物理学家费曼曾设计过这样一个实验：一块水平放置的绝缘体圆盘可绕过其中心的竖直轴自由转动，在圆盘的中部有一个线圈，圆盘的边缘固定着一圈带负电的金属小球，如图所示．当线圈接通直流电源后，线圈中的电流方向如图中箭头所示，圆盘会发生转动．几位同学对这一实验现象进行了解释和猜测，你认为合理的是（ ）
A.接通电源后，线圈产生磁场，带电小球受到洛伦兹力，从而导致圆盘沿顺时针转动（从上向下看）
B.接通电源后，线圈产生磁场，带电小球受到洛伦兹力，从而导致圆盘沿逆时针转动（从上向下看）
C.接通电源的瞬间，线圈产生变化的磁场，从而产生电场，导致圆盘沿顺时针转动（从上向下看）
D.接通电源的瞬间，线圈产生变化的磁场，从而产生电场，导致圆盘沿逆时针转动（从上向下看）
例题3、 如图所示，一带负电的粒子处在电磁感应加速器半径为r的轨道中，轨道围成的内部区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，若磁场的磁感应强度随时间均匀增大．则该粒子在轨道内将作____（选填“顺时针”或“逆时针”）运动，如果该粒子每运动一周增加的动能为△Ek，粒子所带的电荷量为q，那么磁感应强度的变化率为____．
随练1、 电子感应加速器的基本原理如图所示．在上、下两个电磁铁形成的异名磁极之间有一个环形真空室．图甲为侧视图，图乙为真空室的俯视图．电磁铁中通以交变电流，使两极间的磁场周期性变化，从而在真空室内产生感生电场，将电子从电子枪右端注入真空室，电子在感生电场的作用下被加速，同时在洛伦兹力的作用下，在真空室中沿逆时针方向（图乙中箭头方向）做圆周运动．由于感生电场的周期性变化使电子只能在某段时间内被加速，但由于电子的质量很小，故在极短时间内被加速的电子可在真空室内回旋数10万以至数百万次，并获得很高的能量．若磁场的磁感应强度B（图乙中垂直纸面向外为正）随时间变化的关系如图丙所示，不考虑电子质量的变化，则下列说法中正确的是（ ）
A.电子在真空室中做匀速圆周运动
B.电子在运动时的加速度始终指向圆心
C.在丙图所示的第一个周期中，电子只能在内按图乙中逆时针方向做圆周运动且被加速
D.在丙图所示的第一个周期中，电子在和内均能按图乙中逆时针方向做圆周运动且被加速
随练2、 图是一个水平放置的玻璃圆环形的小槽，槽内光滑，槽的宽度和深度处处相同，现将一个直径略小于槽宽的带正电的小球放在槽中，让它获得一个初速度v0，与此同时，有一个变化的磁场垂直穿过玻璃环形小槽外径所对应的圆面积，磁感应强度的大小跟时间成正比例增大，方向竖直向下，设小球在运动过程中电荷量不变，则（ ）
A.小球受到的向心力大小不变 B.小球受到的向心力大小不断增大
C.磁场力对小球做了功 D.小球受到的磁场力大小与时间成正比
动生电动势与洛仑兹力
例题1、[多选题] 北半球海洋某处，地磁场水平分量B1=0.8×10﹣4T，竖直分量B2=0.5×10﹣4T，海水向北流动．海洋工作者测量海水的流速时，将两极板竖直插入此处海水中，保持两极板正对且垂线沿东西方向，两极板相距L=20m，如图所示．与两极板相连的电压表（可看作理想电压表）示数为U=0.2mV，则（ ）
A.西侧极板电势高，东侧极板电势低 B.西侧极板电势低，东侧极板电势高
C.海水的流速大小为0.125m/s D.海水的流速大小为0.2m/s
例题2、 导体切割磁感线的运动可以从不同角度来认识。如图所示，固定于水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度v做匀速运动，速度v与恒力F方向相同；导线MN始终与导线框形成闭合电路。已知磁场的磁感应强度为B，导线的长度恰好等于平行轨道的间距L。
（1）通过法拉第电磁感应定律推导证明：导线MN切割磁感线产生的电动势E＝BLv。
（2）从微观角度看，导线MN中的自由电荷所受洛伦兹力在上述能量转化中起着重要作用。为了方便，可认为导线MN中的自由电荷为正电荷。
a．电动势在数值上等于非静电力把1C的正电荷在电源内从负极移送到正极所做的功。如果移送电荷q时非静电力所做的功为W，那么电动势。请据此推导证明：导线MN切割磁感线产生的电动势E＝BLv。
b．导体切割磁感线时，产生的电能是通过外力克服安培力做功转化而来的。但我们知道，洛伦兹力对运动电荷不做功。那么，导线MN中的自由电荷所受洛伦兹力是如何在能量转化过程中起到作用的呢？请通过计算分析说明。
随练1、[多选题] 图示是霍尔元件的工作原理示意图，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于霍尔元件的工作面向下，通入图示方向的电流I，C、D两侧面会形成电势差UCD，下列说法正确的是（该元件正常工作时，磁场必须垂直工作面）（ ）
A.I越大，电势差UCD越小
B.若霍尔元件的自由电荷是自由电子，则C侧的电势低于D侧的电势
C.在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持水平
D.其他条件不变，仅增大匀强磁场的磁感应强度时，电势差UCD变大
反电动势
例题1、 直流电动机的基本结构由永磁铁和矩形线圈构成，如图1所示。现将标有“3V，3W”的直流电动机，串联一个滑动变阻器接在电动势为E＝4.0V、内阻为r＝0.40Ω的电源的两端，如图2所示。已知电动机线圈的电阻R0＝0.10Ω，不计其它电阻。
（1）若滑动变阻器接入电路的阻值R1＝3.5Ω，且电动机卡住不转，求此时电路中的电流I1。
（2）调节滑动变阻器接入电路的阻值，或电动机工作时的负载发生变化，回路中的电流I及电源的输出功率P随之改变。
①请从理论上推导P与I的关系式，并在图3中定性画出P－I图像；
②求该电源对外电路能够输出的最大功率Pm。
（3）调节滑动变阻器接入电路的阻值，使电动机正常工作。现保持滑动变阻器接入电路的阻值不变，增加电动机的负载，电动机将通过转速调节达到新的稳定状态。请分析说明在这个过程中，电路中的电流如何变化。
例题2、 电磁弹射技术是一种新兴的直线推进技术，适宜于短行程发射大载荷，在军事、民用和工业领域具有广泛应用前景。我国已成功研制出用于航空母舰舰载机起飞的电磁弹射器。它由发电机、直线电机、强迫储能装置和控制系统等部分组成。电磁弹射器可以简化为如图所示的装置以说明其基本原理。电源和一对足够长平行金属导轨M、N分别通过单刀双掷开关K与电容器相连。电源的电动势E＝10V，内阻不计。两条足够长的导轨相距L＝0.1m且水平放置，处于磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面且竖直向下，电容器的电容C＝10F。现将一质量m＝0.1kg、电阻r＝0.1Ω的金属滑块垂直放置于导轨的滑槽内，分别与两导轨良好接触。将开关K置于a使电容器充电，充电结束后，再将开关K置于b，金属滑块会在电磁力的驱动下运动，不计导轨和电路其他部分的电阻，且忽略金属滑块运动过程中的一切阻力，不计电容充放电过程中该装置向外辐射的电磁能量及导轨中电流产生的磁场对滑块的作用。
（1）在电容器放电过程中，金属滑块两端电压与电容器两极间电压始终相等。求在开关K置于b瞬间，金属滑块的加速度的大小a；
（2）求金属滑块最大速度v；
（3）a．电容器是一种储能装置，当电容两极间电压为U时，它所储存的电能A＝CU2／2。求金属滑块在运动过程中产生的焦耳热Q；
b．金属滑块在运动时会产生反电动势，使金属滑块中大量定向运动的自由电子又受到一个阻力作用。请分析并计算在金属滑块运动过程中这个阻力所做的总功W。
拓展
1、 半径为r的圆环电阻为R，ab为圆环的一条直径．如图所示，在ab的一侧存在一个均匀变化的匀强磁场，磁场垂直圆环所在平面，方向如图，磁感应强度大小随时间的变化关系为B＝B0＋kt（k＞0），则（ ）
A.圆环中产生顺时针方向的感应电流 B.圆环具有扩张的趋势
C.圆环中感应电流的大小为 D.图中a、b两点间的电势差Ukπr2
2、[多选题] 如图画出的是穿过一个单匝闭合线圈的磁通量随时间变化而变化的规律，以下说法错误的是（ ）
A.第0.6s末线圈中的瞬时电动势为4V
B.第0.9s末线圈中的瞬时电动势比0.2s末的大
C.第0.4s末与第0.9s末线圈中通过的瞬时感应电流的方向相同
D.第0.2s末与第0.4s末线圈中通过的瞬时感应电流的方向相同
3、[多选题] 如图所示，在磁感应强度B＝1.0T的匀强磁场中，金属杆PQ在外力F作用下在粗糙U形导轨上以速度v＝2m/s向右匀速滑动，两导轨间距离l＝1.0m，电阻R＝3.0Ω，金属杆的电阻r＝1.0Ω，导轨电阻忽略不计，则下列说法正确的是（ ）
A.通过R的感应电流的方向为由a到d
B.金属杆PQ切割磁感线产生的感应电动势的大小为2.0 V
C.金属杆PQ受到的安培力大小为0.5 N
D.外力F做功的数值等于电路产生的焦耳热
4、 如图所示，水平面内两根足够长的平行金属导轨MM′和MN′相距L，左端MN之间接一个阻值为R的电阻，质量为m的金属棒ab垂直跨放在两导轨上，整个装置置于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。t＝0时刻，金属棒ab在方向平行于导轨大小为F的水平恒力作用下由静止开始运动，经过一段时间，金属棒恰好开始做匀速运动，在这段时间内回路中产生的焦耳热为Q．假定导轨光滑，导轨与导体棒的电阻均不计，求：
（1）金属棒ab匀速运动时的速度；
（2）金属棒ab从t＝0时刻到开始做匀速运动时发生的位移x。
5、[多选题] 如图所示，在磁感应强度B＝2T的匀强磁场中，有一个半径r＝0.5m的金属圆环，圆环所在的平面与磁感线垂直。OA是一个金属棒，它沿着顺时针方向以20rad／s的角速度绕圆心O匀速转动，且A端始终与圆环相接触。从金属环和O端各引出一条导线对外供电。OA棒的电阻R＝0.1Ω，图中定值电阻R1＝100Ω，R2＝4.9Ω，电容器的电容C＝100pF，圆环和连接导线的电阻忽略不计，则下列正确的是（ ）
A.电容器上极板带正电 B.电容器下极板带正电
C.电路中消耗的电功率为5W D.电路中消耗的电功率为4.9W
6、 如图所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B.电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴以角速度ω匀速转动（O轴位于磁场边界）.则线框内产生的感应电流的有效值为（　　）
A. B. C. D.
7、 无限长通电螺线管内部的磁场可认为是匀强磁场（外面磁场可视为零），其大小为B=kI（I为螺线管所通电流，不同的螺线管，k值不同）．现有两个螺线管1和2，同轴放置（轴在O处），如图所示，其中1的半径为a，2的半径为b（大于2a）．在1中通以电流I1=I0十2t（电流随时间t变化），产生的磁场为B1=2kI1，2中通以电流I2=3t，产生的磁场为B2=kI2．且两个磁场同向．现在P处放一个半径为r的圆形导线框，圆心亦在O处．则：
（1）线框中产生的感应电动势多大？（不考虑感应电流对磁场的影响）
（2）感应电动势就是单位电荷在感应电场力的作用下沿线框移动一周（感应电场）电场力的功，由此可以求出线框P所在的位置感应电场E的大小，那么E为多大？
（3）现撤去线框P，在距O为r处（线框处）放一个静止的点电荷（电荷量为q，质量为m，不考虑其重力），从t=0时刻释放，该电荷恰好以半径r做圆周运动，试求r的值．
8、 闭合电路中必须有电源来提供非静电力，电源电动势等于非静电力将单位正电荷从电源的负极通过电源内部搬到正极时所做的功．
（1）试从非静电力做功的角度论证导体切割磁场时的感应电动势，其中是磁感应强度，是导体棒的长度，是导体棒运动的速度；
（2）试论证安培阻力的功率等于电路中产生的电功率；
（3）如图所示，磁感应强度在圆柱内均匀分布，且以恒定速率随时间增加．若为已知（不为零的正常数），，之间用跨过第I象限并以o为圆心的圆弧导线相连接，求，两点间的电势差（）．
9、 直流电动机是常见的用电器，其原理可简化为如图所示的情景。在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，直流电源与间距为L的两根足够长的光滑平行金属轨道MN、PQ连接，整个装置固定在水平面内，导轨电阻不计。质量为m0的金属导体棒ab垂直放在轨道上，且与轨道接触良好。电源电动势为E，内阻为r，导体棒ab电阻为R。闭合开关，导体棒ab 从静止开始向右运动，并通过光滑定滑轮提升质量为m的重物。
（1）求闭合开关的瞬间，导体棒受到的安培力；
（2）导体棒ab切割磁感线运动时会产生感应电动势，该电动势总是削弱电源电动势的作用，因此称为反电动势，其大小可以表示为E反＝BLv。
请选取匀速提升重物的过程，结合能量转化与守恒定律证明：电路中的电流；
（3）重物从静止开始向上提升，当重物提升高度为h时，导体棒速率为v，计算此过程安培力做的总功。
答案解析
法拉第电磁感应定律及应用
法拉第电磁感应定律的理解和简单应用
例题1、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 AB、由楞次定律可知，在t＝0到t＝t1的时间间隔内感应电流始终沿瞬时针方向，
由左手定则可知：0－t0时间内圆环受到的安培力向左，t0－t1时间内安培力向右，故A错误，B正确；
CD、由电阻定律可知，圆环电阻：，
由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势：，
感应电流：，故C正确，D错误；
例题2、
【答案】 （1）0.12V
（2）0.2A；
（3）0.1C
【解析】 （1）磁通量的变化量为：△Φ＝BS，
则感应电动势的平均值为：。
（2）感应电流的平均值为：。
根据楞次定律知，感应电流的方向为顺时针，如图所示。
（3）通过导线横截面的电荷量为：q＝I△t＝0.2×0.5C＝0.1C。
例题3、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、由法拉第电磁感应定律，则有：可知，由于线圈中磁感应强度的变化率：；
为常数，则回路中感应电动势为，且恒定不变，故选项A错误；
B、回路中感应电流的大小为，选项B正确；
C、当t＝0.3s时，磁感应强度B＝0.2T，则安培力为F＝NBIL＝200×0.2×0.4×0.2＝3.2N，故选项C错误；
D、1min内线圈回路产生的焦耳热为Q＝I2Rt＝0.42×5×60J＝48J，选项D正确。
例题4、[多选题]
【答案】 C D
【解析】 A、根据楞次定律可知，在0～2s内的感应电流方向与2s～3s内的感应电流方向相反，即为交流电，故A错误；
B、根据法拉第电磁感应定律，2.5s时的感应电动势等于2s到3s内的感应电动势，则有：，故B错误；
CD、在0～2s时间内，感应电动势为：E1＝1000.12V＝1V，
再根据欧姆定律有：，
在t＝1s时，线框内电流为10A，那么导线框内电流的瞬时功率为：P＝I2R＝102×0.1＝10W，
根据Q＝It解得：Q＝10×2C＝20C，故CD正确。
随练1、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 B、由法拉第电磁感应定律得：，故B错误。
A、磁场均匀减弱，线圈产生恒定的感应电动势，电容器充电完毕后电路中没有电流，电压表则没有读数。故A正确。
C、线圈产生恒定的感应电动势给电容器充电，则电容器的电量不为零。故C错误。
D、由楞次定律可知，感应电动势方向沿顺时针，则a 点的电势高于b点的电势，电势差为感应电动势。故D正确。
随练2、
【答案】 C
【解析】 A、t＝3s时线框的磁通量为： ＝BS＝0.3T×1×10﹣2m2＝3×10﹣3 wb，选项A错误；
B、由法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知电流为：，由于t＝4s时，一定不为零，所以电流一定不为零，选项B错误；
C、根据法拉第电磁感应定律和楞次定律知：电路中的电流与磁感应强度的变化率成正比，而在t＝5s时刻由负变正，所以电流方向变化，选项C正确；
D、t＝8s时，正的磁感应强度将增大，根据楞次定律感应电流产生的磁场与之相反，垂直纸面向里，由安培定则，感应电流为顺时针方向，选项D错误。
导线平动切割磁感线时的感应电动势
例题1、
【答案】 （1）1.6N
（2）0.125J
【解析】 （1）设CD杆产生的电动势为E，电流表的示数为I．
则对R研究，可知：
棒产生的感应电动势为E＝BLv
由闭合电路欧姆定律有：，得：
设CD杆受到的拉力为F，则安培力大小FA＝BIL＝0.8×2N＝1.6N
因为稳定时棒匀速运动，则有F＝FA＝1.6N
（2）由能量守恒，回路中产生的电热Q等于CD棒动能的减少量
得：
电阻R上产生的电热
例题2、
【答案】 （1）2m/s2
（2）17.5W
【解析】 （1）由图a可知，R、r组成串联电路，电压表测量该回路的路端电压；由图b可得；
由法拉第电磁感应定律可得金属杆切割磁感线产生的电动势E＝BLv；
所以，
所以，
（2）第5s末，金属杆的运动速度
对金属杆进行受力分析，金属杆在水平方向只受外力F和安培力F安的作用，应用牛顿第二定律可得：
F－F安＝ma，
所以，F＝F安＋ma＝BIL＋ma
所以，F＝BIL＋ma＝0.25×5×1＋0.25×2（N）＝1.75N
所以有P＝F v＝17.5 W．
例题3、
【答案】 （1）
（2）
【解析】 （1）棒中的感应电动势为：Em＝BLvm
棒中的最大电流为：
根据平衡条件，有：BImL＝F
解得：
（2）回路中产生的热量为Q，由能量守恒得：
Fx－Q＝mvm2
电阻R产生的热量为：
随练1、
【答案】 （1）0.3V
（2）4.5V
（3）当电阻R与图1中的导轨相连接时，a端的电势较高；0.2V
【解析】 （1）杆MN做切割磁感线的运动，根据法拉第电磁感应定律：E1＝B1Lv
代入数据得产生的感应电动势：E1＝0.3V
（2）穿过圆形线圈的磁通量发生变化：
代入数据得产生的感应电动势：E2＝4.5V
（3）根据右手定则，可知，图1a是正极，
而由楞次定律可知，图2中b是正极，
因此当电阻R与图1中的导轨相连接时，a端的电势较高，
通过电阻R的电流：
电阻R两端的电势差： a－ b＝IR
得a端的电势： a＝IR＝0.2V
随练2、
【答案】 C
【解析】 设ab和bc边长分别为Lab，Lbc，线框运动的速度为v。则有：
Q1＝（BI1Lab）Lbc＝
。
同理可以求得：Q2＝BI2Lbc Lab
；
因为Lab＞Lbc，由于两次线框运动速率相同，因此：Q1＞Q2，q1＝q2，故C正确，ABD错误。
导线转动切割磁感线时的感应电动势
例题1、
【答案】 A
【解析】 当ab边刚进入磁场时，ac部分在切割磁感线，切割长度为两个端点间的距离，即ab间的距离，为l，由右手定则可知，a点电势比b点电势高，
；
设每个边的电阻为R，ab两点间的电压为：，
故。
例题2、
【答案】 C
【解析】 CD、导体棒切割磁场产生的感应电动势为：E＝BrBr ，
由此可知感应电流为：，
回路的总电功率为：，
则导体杆旋转的角速度为：，故C正确，D错误；
AB、杆匀速转动，外力做功全部转化为电功，外力功率等于电功率，有：，
外力功率为：，解得：，故AB错误。
例题3、[多选题]
【答案】 B C D
【解析】 A、根据右手定则知，OM在磁场的左半区时，感应电流的方向为M到N，OM在磁场的右半区时，感应电流的方向为N到M，故A错误。
B、导体棒MN转动切割产生的感应电动势恒定，感应电流恒定，电功率不变，故B正确。
C、导体棒转动切割产生的感应电动势E＝Brω2＝Brω2，外电路的并联电阻为，内阻为R，根据闭合电路欧姆定律得，MN中的电流大小，MN两端的电压，故C正确。
D、转动一周的时间，则电路中产生的热量，故D正确。
随练1、
【答案】 D
【解析】 将圆盘看成无数幅条组成，它们都切割磁感线，从而产生感应电动势，出现感应电流，
根据右手定则可知，圆盘上感应电流从边缘流向圆心，则流过电阻R 的电流方向为从d到c。
圆盘产生的感应电动势：，
R的功率：，
解得：，故ABC错误，D正确；
随练2、
【答案】 （1）逆时针由右手定则可以判断出，顺磁感线方向看，圆盘绕轴O1O2沿逆时针方向旋转，才能使LED灯发光
（2）
（3）
【解析】 （2）感应电动势：
外电阻：
内电阻：R2＝r
外电压：
流过LED的电流：
解得：．
（3）转动一周电流不变，则周期为：，
根据焦耳定律得产生的电能为：E＝I2rT，
联立解得：．
电磁感应现象的两类情况
感生电动势与感生电场
例题1、
【答案】 D
【解析】 磁感应强度B随时间均匀增加，其变化率为k，故感应电动势为：
U=S=πr2k
根据楞次定律，感应电动势的方向为顺时针方向；
小球带正电，小球在环上运动一周，则感生电场对小球的作用力所做功的大小是：
W=qU=πr2qk
故选：D．
例题2、
【答案】 C
【解析】 A、小球在静止时不受洛伦兹力，故圆盘不会发生转动；故AB错误；
C、若金属小球带正电且线圈中电流突然增大，根据电磁场理论可知，电场力顺时针方向，则圆盘转动方向与电流流向相反；故圆盘沿顺时针转动； 故C正确； D错误；
例题3、
【答案】 顺时针；
【解析】 由题，磁场的磁感应强度随时间均匀增大，根据麦克斯韦电磁场理论可知其在空间产生电场，根据楞次定律判断得知，电场方向沿逆时针方向，负电荷所受的电场力方向沿顺时针方向，所以该粒子在轨道内将作顺时针运动．
设变化的磁场产生的感应电动势为E．
根据动能定理得：qE=△Ek，由法拉第电磁感应定律得E== πr2
联立解得，=
故答案为：顺时针，
随练1、
【答案】 C
【解析】 A、由于磁场时周期变化的，根据麦克斯韦电磁场理论可知，产生的电场也是周期性变化的，故电子在真空室中一段时间加速度，又有一段时间减速度，再加速度，再减速，周而复始．故A错误；
B、由于电子做的是非匀速圆周运动，故加速度不指向圆心，故B错误；
CD、第一个周期中，电子在内按图乙中逆时针加速，粒子逆时针减速，粒子顺时针加速，在顺时针减速．故C正确、D错误．
随练2、
【答案】 B
【解析】 A、由麦克斯韦电磁场理论可知，磁感应强度随时间均匀增大时，将产生一个恒定的感应电场，由楞次定律可知，此电场方向与小球初速度方向相同，由于小球带正电，电场力对小球做正功，小球的速度逐渐增大，向心力也随着增大，故A选项错误，B选项正确。
C、洛伦兹力对运动电荷不做功，C选项错误。
D、带电小球所受洛伦兹力F＝qBv，随着速度的增大而增大，同时B与t成正比，则F与t不成正比，故D选项错误。
动生电动势与洛仑兹力
例题1、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 正负离子向北流动，受到洛伦兹力，正离子向西侧极板偏转，负离子向东侧极板偏转，两极板间形成电场，最终最终正负离子受电场力和洛伦兹力处于平衡，有qvB=q，
所以v=m/s=0.2m/s．
西侧极板带正电，东侧极板带负电，所以西侧极板电势高，东侧极板电势低．
故AD正确，BC错误．
例题2、
【答案】 （1）见解析
（2）a．见解析
b．在此过程中洛伦兹力通过两个分力做功起到“传递”能量的作用；说明见解析
【解析】 （1）在 t时间内，导线MN的位移
线框的面积变化量是
则穿过闭合电路的磁通量的变化量是
根据法拉第电磁感应定律
（2）a．导线MN切割磁感线时相当于电源，由右手定则可以判断M为正极，N为负极，所以自由电荷沿导体棒由N向M定向移动，自由电荷实际的速度方向和所受洛伦兹力的方向如图1所示。将f沿导线方向和垂直导线方向分解为f1和f2，其中f1为非静电力，如图2所示。设自由电荷的电荷量为q，则f1＝qvB，自由电荷在从N移动到M，f1做的功W＝f1L＝qvBL，所以导线MN切割磁感线产生的电动势。
b．设自由电荷沿导线MN定向移动的速率为u。在Δt时间内，自由电荷沿导线MN定向移动的距离，垂直导线方向移动的距离。所以在这段时间内：f1做正功，；f2做负功，。因此W1＝－W2，即导线MN中一个自由电荷所受的洛伦兹力做功为零。
f1做正功，宏观上表现为“电动势”，使电路获得电能；f2做负功，宏观上表现为安培力做负功，阻碍导线MN运动，消耗机械能。大量自由电荷所受洛伦兹力做功的宏观表现是将机械能转化为等量的电能，在此过程中洛伦兹力通过两个分力做功起到“传递”能量的作用。
随练1、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 AD、根据CD间存在电势差，之间就存在电场，电子在电场力和洛伦兹力作用下处于平衡，
设霍尔元件的长宽高分别为a、b、c，有qvB，I＝nqvS＝nqvbc，则UCD，n由材料决定，故UCD与材料有关；UCD还与厚度c成反比，与宽b无关，同时还与磁场B与电流I成正比，故A错误，D正确；
B、根据左手定则，电子向C侧面偏转，C表面带负电，D表面带正电，所以D表面的电势高，则UCD＜0．故B正确。
C、在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，应将元件的工作面保持竖直，让磁场垂直通过，故C错误。
反电动势
例题1、
【答案】 （1）1.0A
（2）①P＝IE－I2r；；②10W
（3）见解析
【解析】 （3）电动机的负载增加，达到新的稳定状态后，线圈的转速变慢，线圈因为切割磁感线产生的反电动势E'变小。根据可知，电路中的电流变大。
例题2、
【答案】 （1）50m／s2
（2）40m／s
（3）a．400J；b．－80J
【解析】 暂无解析
拓展
1、
【答案】 C
【解析】 A、B、由于磁场均匀增大，线圈中的磁通量变大，根据楞次定律可知线圈中电流为逆时针，同时为了阻碍磁通量的变化，线圈将有收缩的趋势，故AB错误；
C、根据法拉第电磁感应定律得电动势为：E
回路中的电阻为R，所以电流大小为I，故选项C正确；
D、ab两端电压为：Uab I，故D错误。
2、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、0.3～0.8s内，EV＝2V，故A错误；
B、由图知，0.9s末的磁通量变化率比0.2s时的大，所以0.9s末线圈中的瞬时电动势比0.2s末的大，故B正确；
C、第0.4s末与第0.9s末的图象斜率都为负值，瞬时电动势的方向相同，则瞬时感应电流的方向相同，故C正确；
D、第0.2s末与第0.4s末的图象斜率一正一负，瞬时电动势的方向相反，则瞬时感应电流的方向相反，故D错误。
3、[多选题]
【答案】 A B C
【解析】 A、由右手定则判断知，导体PQ产生的感应电流方向为Q→P，通过R的感应电流的方向为由a到d。故A正确。
B、导体PQ切割磁感线产生的感应电动势的大小为：E＝BLv＝1.0×1×2V＝2V，故B正确。
C、感应电流为：，安培力F安＝BIL＝1.0×0.5×1N＝0.5N．故C正确。
D、金属杆PQ在外力F作用下在粗糙U型导轨上以速度v向右匀速滑动，外力F做功大小等于电路产生的焦耳热和导轨与金属杆之间的摩擦力产生的内能的和。故D错误。
4、
【答案】 （1）
（2）
【解析】 （1）金属棒切割磁感线缠身的感应电动势为E＝BLv，
回路中产生的感应电流为，
金属棒匀速运动时，由平衡条件得F＝BIL联立解得：；
（2）由功能关系，
解得：．
5、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 AB、根据右手定则知，感应电流的方向由O→A，由图示电路图可知，电容器上极板电势高下极板电势低，电容器上极板带正电，下极板带负电，故A正确，B错误；
CD、感应电动势：，电路电流：，电路消耗的电功率：P＝EI＝5×1＝5W，故C正确，D错误。
6、
【答案】 D
【解析】
半径切割磁感线产生的感应电动势:
交流电流的有效值是根据电流的热效应得出的，线框转动周期为T，而线框转动一周只有的T/4时间内有感应电流；
根据一个周期内，功率相同，计算得出：
7、
【答案】 （1）线框中产生的感应电动势πk（4a2+3r2）
（2）感应电动势就是单位电荷在感应电场力的作用下沿线框移动一周（感应电场）电场力的功，由此可以求出线框P所在的位置感应电场E的大小，那么E为
（3）从t=0时刻释放，该电荷恰好以半径r做圆周运动，r的值为
【解析】 （1）根据题意，I1=I0十2t，产生的磁场为B1=2kI1，
即B1=2kI1=2kI0+4kt
2中通以电流I2=3t，产生的磁场为B2=kI2．即B2=3kt
则穿过线框P的磁通量为： =πa2B1+πr2B2=2πa2kI0+πk（4a2+3r2）t
根据电磁感应定律有： ==πk（4a2+3r2）
（2）、感应电动势就是单位电荷在感应电场力的作用下沿线框移动一周（感应电场）电场力的功为：
=2πrE
即：E==
（3）、速度为：v=at=
根据洛伦兹力提供向心力，有：
联立解得：r=
8、
【答案】 （1）（2）证明略（3）
【解析】 （1）考虑导体内一个正电荷，由于随导体棒一起运动，速度为，它受到的洛伦兹力为，当该电荷由电源负极移到电源正极时，洛伦兹力做功，故感应电动势
（2）设由于切割磁感线，电荷在导体内移动的速度为，则洛伦兹力的功率，该功率为正功率，即为产生的电功率
当电荷在导体内移动时，也会受到一个洛伦兹力，与的速度相反，故该洛伦兹力的功率
显然，洛伦兹力仍不做功，，当的宏观表现即为安培阻力．这就是说，安培阻力的功率等于电路中产生的电功率．
（3）考虑到磁场分布的对称性，由磁场随时间变化引起的感生电场也具有对称性．在半径为的回路上感应涡旋电场电场强度满足，得，此感生电场沿逆时针方向，属于非静电力．
若a，b间用跨过第I象限的圆弧导线连接，
9、
【答案】 （1）
（2）见解析
（3）W安＝（1/2）m0v2＋（1/2）mv2＋mgh
【解析】 （1）开关闭合瞬间重物的加速度最大
此时，E＝I（R＋r）
方向:平行导轨向右
（2）匀速运动时，任取一段时间，由能量转化关系得：
EIt＝ΔE机＋I2（R＋r）t
ΔE机＝F安vt
因为F安＝BIL
所以EIt＝BILvt＋I2（R＋r）t
即：
因为E反＝BLv
所以
（3）对ab棒，W安－W拉＝（1/2）m0v2
对重物，W拉－mgh＝（1/2）mv2
解得：W安＝（1/2）m0v2＋（1/2）mv2＋mgh．

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