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第45讲　两直线的位置关系 (时间:45分钟)
过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为 (　)
A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0
C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0
[2021·浙江暨阳联谊学校联考] 点A(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点是 (　)
A.(1,0) B.(0,1)
C.(0,-1) D.(2,1)
两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0间的距离为d,则a,d的值分别为 (　)
A.a=6,d=
B.a=6,d=
C.a=-6,d=
D.a=-6,d=
过直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点,且过原点的直线方程为 (　)
A.19x-9y=0 B.9x+19y=0
C.19x-3y=0 D.3x+19y=0
已知直线l1:y=kx+2k与l2:x+y=5的交点在第一象限,则实数k的取值范围为　　　　　　.
已知直线l1:ax-2y+2=0与直线l2:x-(a+1)y+2=0平行,则a=　　　　,直线l1,l2之间的距离为　　　　.
[2021·福建漳州一检] 已知a2-3a+2=0,则直线l1:ax+(3-a)y-a=0和直线l2:(6-2a)x+(3a-5)y-4+a=0的位置关系为 (　)
A.垂直或平行
B.垂直或相交
C.平行或相交
D.垂直或重合
[2021·北京门头沟区二模] 点P(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为 (　)
A. B.
C. D.
唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,若将军从点A(2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为 (　)
A.-1 B.2-1
C.2 D.
(多选题)已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+3=0,则下列说法正确的是 (　)
A.若l1∥l2,则m=-1或m=3
B.若l1∥l2,则m=3
C.若l1⊥l2,则m=-
D.若l1⊥l2,则m=
(多选题)[2021·济南模拟] 台球运动已有近六百年的历史,参与者用球杆在台上击球,若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图K45-1,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿与AB夹角为α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,则tan α的值可能为 (　)
图K45-1
A. B.
C.1 D.
已知点M(a,b)在直线3x+4y=15上,则最小值为　　　　.
在平面直角坐标系中,某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x-2y+1=0和x-2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x+4y+c1=0和3x+4y+c2=0,则|c1-c2|=　　　　.
已知直线l过直线l1:x-y+1=0和l2:x+y-=0的交点A,且原点到直线l的距离为,则直线l的方程为　　　　　　　　　　　.
(多选题)[2021·广东茂名月考] 平面上两条直线l1和l2相交于点O,对于平面上任意一点M,若p,q分别是M到直线l1和l2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”.下列四个命题中真命题为 (　)
A.若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个
B.若pq=0,且p+q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有2个
C.若pq≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有4个
D.若p=q,则点M在一条过点O的直线上
已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P,使得|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是　　　　.(填上所有正确答案的序号)
①y=x+1;②y=2;③y=x;④y=2x+1.
第45讲　两直线的位置关系
1.A　[解析] 由题意可设所求直线方程为x-2y+m=0,将(2,3)代入上式,得2-2×3+m=0,即m=4,所以所求直线方程为x-2y+4=0.故选A.
2.B　[解析] 方法一:设点A(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点为P(a,b),则kAP==1,∴a-b=-1①.∵线段AP的中点在直线x+y-2=0上,∴+-2=0,整理得a+b=1②.联立①②解得a=0,b=1.∴点A(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点P的坐标为(0,1),故选B.
方法二:过点A作x,y轴的平行线,分别交直线x+y-2=0于点B,C,易知△ABC为等腰直角三角形,把点A(1,2)的横坐标x=1代入直线方程x+y-2=0,得y=1,把点A(1,2)的纵坐标y=2代入直线方程x+y-2=0,得x=0,所以点A(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点为(0,1),故选B.
3.B　[解析] 根据题意可得=≠,可得a=6,则两条平行直线方程分别为6x-3y+9=0和6x-3y+4=0,故d==,故选B.
4.D　[解析] 方法一:解方程组得则直线l1和l2的交点坐标为,又所求直线过原点,所以所求的直线方程为y=-x,即3x+19y=0.
方法二:根据题意可设所求的直线方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,因为此直线过原点,所以4+5λ=0,解得λ=-,所以所求直线的方程为x-3y+4-(2x+y+5)=0,即3x+19y=0.
5.06.-2　 　[解析] 因为l1∥l2,所以a≠-1,=,且≠1,则a=-2,所以直线l1:x+y-1=0,l2:x+y+2=0之间的距离d==.
7.D　[解析] 因为a2-3a+2=0,所以a=1或a=2.当a=1时,l1:x+2y-1=0,l1的斜率k1=-,l2:4x-2y-3=0,l2的斜率k2=2,因为k1k2=-1,所以两直线垂直;当a=2时,l1:2x+y-2=0,l2:2x+y-2=0,两直线重合.故选D.
8.C　[解析] 由点到直线的距离公式得,点P到直线3x+4y-12=0的距离d==,其中sin φ=,cos φ=,由三角函数性质知,5sin(θ+φ)-12∈[-17,-7],故d∈,故选C.
9.A　[解析] 设点A关于直线x+y=3的对称点为A'(a,b),则线段AA'的中点坐标为,kAA'= ,故解得从点A到军营最短总路程即为点A'到军营最短的距离,故“将军饮马”的最短总路程为-1=-1,故选A.
10.BD　[解析] 直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+3=0,若l1∥l2,则=≠,解得m=3,故A错误,B正确;若l1⊥l2,则1×(m-2)+m×3=0,解得m=,故C错误,D正确.故选BD.
11.AD　[解析] 如图①,设点A关于DC的对称点为E,点D关于AB的对称点为G,点C关于AB的对称点为F,连接GF,连接EF分别交CD,AB于点M,N,连接AM,CN,由题可得tan α===;
如图②,设点A关于BC的对称点为H,点B关于AD的对称点为J,点C关于AD的对称点为I,连接IJ,连接HI分别交BC,AD于点P,Q,连接AP,CQ,由题可得tan α===.故选AD.
12.3　[解析] ∵点M(a,b)在直线3x+4y=15上,∴3a+4b=15.又的几何意义是原点到点M的距离,∴的最小值为=3.
13.2　[解析] 根据菱形的两组对边所在直线间的距离相等,可得=,则|c1-c2|=2.
14.x=或x-y+1=0　[解析] 由解得故A.
①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=,原点(0,0)到直线x=的距离为,符合题意;
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-=k,即kx-y-k+=0,由原点(0,0)到直线l的距离d==,得k=,故直线l的方程为x-y+1=0.综上所述,直线l的方程为x=或x-y+1=0.
15.ABC　[解析] 若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点是两条直线的交点O,因此有且仅有1个,故A为真命题.若pq=0,且p+q≠0,则“距离坐标”为(0,q)或(p,0)的点有且仅有2个,故B为真命题.若pq≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有4个,如图,故C为真命题.若p=q,则点M的轨迹是两条过O的直线,分别为直线l1,l2的夹角及其补角的平分线所在直线,故D为假命题.故选ABC.
16.②③　[解析] 对于①,点M到直线的距离d1==3>4,故直线上不存在到点M的距离等于4的点,所以该直线不是“切割型直线”;对于②,点M到直线的距离d2=2<4,所以在直线上可以找到两个不同的点,使其到点M的距离等于4,所以该直线是“切割型直线”;对于③,点M到直线的距离d3==4,所以直线上存在一点,使其到点M的距离等于4,所以该直线是“切割型直线”;对于④,点M到直线的距离d4==>4,故直线上不存在到点M的距离等于4的点,所以该直线不是“切割型直线”.故填②③.

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