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第48讲　椭圆及其性质/ (时间:45分钟)
已知椭圆C:+=1(a>2)的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 (　)
A. B.
C. D.
[2021·河北保定一中模拟] 对于实数m,“1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
椭圆+=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=,则m= (　)
A.1 B.
C. D.2
与椭圆+=1有相同焦点,且长半轴长与短半轴长之和为10的椭圆的方程为 (　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
[2021·深圳二调] 已知椭圆C的焦点在x轴上,且离心率为,则C的方程可以为　　　　.(写出符合条件的一个即可)
[2021·山东泰安四模] 已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点F为直线x-2y-2=0与x轴的交点,且在经过点F的所有弦中,最短弦的长度为,则C的方程为　　　　.
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上一点,PF1垂直于x轴,|PF1|=1,∠F1F2P=30°,则C的方程为 (　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
已知点F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,点M是该椭圆上的一个动点,那么|+|的最小值是 (　)
A.4 B.6
C.8 D.10
[2021·长沙一模] 设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E(0,t)(0A. B.
C. D.
(多选题)[2021·海口调研] 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,与y轴正半轴交于点B,半焦距为c(c>0),下列给出的条件中,能够求出椭圆E的标准方程的是 (　)
A.△BF1F2是等腰直角三角形
B.椭圆E的离心率为,短轴长为2
C.△BF1F2是等边三角形,且椭圆E的离心率为
D.椭圆E的焦距为4,点B在圆(x-c)2+y2=9上
(多选题)[2021·广东汕头二模] 2021年2月10日19时52分,首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ(环火轨道)绕火星飞行,2021年2月24日6时29分,“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动,在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)(如图K48-1),且测得该轨道近火点高度为m千米、远火点高度为n千米,火星半径为r千米,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则下列结论中正确的是 (　)
图K48-1
A.a1+c1=a2+c2
B.a1-c1=a2-c2
C.椭圆轨道Ⅱ的短轴长为2
D.a2c1[2021·南京、盐城二模] 已知椭圆+=1的右顶点为A,右焦点为F,以A为圆心,R为半径的圆与椭圆相交于B,C两点,若直线BC过点F,则R的值为　　　　.
[2021·山东潍坊三模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A,B在椭圆上,且满足=2,·=0,则椭圆C的离心率为　　　　.
已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围;
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
已知椭圆W:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点C(2,).
(1)求椭圆W的方程及其长轴长;
(2)A,B分别为椭圆W的左、右顶点,点D在椭圆W上,且位于x轴下方,直线CD交x轴于点Q,若△ACQ的面积比△BDQ的面积大2,求点D的坐标.
(多选题)[2021·河北“五个一名校联盟”二诊] 已知椭圆C:+=1上有一点P,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则下列说法正确的是 (　)
A.若θ=60°,则S=3
B.若S=9,则θ=90°
C.若△PF1F2为钝角三角形,则S∈
D.椭圆C内接矩形的周长L的取值范围是(12,20]
[2021·北京丰台区二模] 如图K48-2,半椭圆+=1(x≥0)与半椭圆+=1(x≤0)组成的曲线称为“果圆”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c,c>0,A1,A2和B1,B2分别是“果圆”与x轴、y轴的交点.给出下列三个结论:
①c②若|A1A2|=|B1B2|,则a∶b∶c=5∶4∶3;
③若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P,使得∠A1PA2=90°,则<<.
其中所有正确结论的序号是 (　)
图K48-2
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
第48讲　　椭圆及其性质/
1.C　[解析] 由题意可知c=2,b2=4,∴a2=b2+c2=4+22=8,则a=2,∴e===,故选C.
2.B　[解析] 由“方程-=1表示椭圆”可得解得13.C　[解析] 对于椭圆+=1(m>0),a=,b=m,c==1,如图所示.
∵椭圆+=1(m>0)的上顶点为点A,左、右焦点分别为F1,F2,∴|AF1|=|AF2|=a,∵∠F1AF2=,∴△F1AF2为等边三角形,则|AF1|=|F1F2|,即=a=2c=2,∴m=.故选C.
4.A　[解析] 依题意,椭圆+=1的左、右焦点坐标分别为(-2,0),(2,0).设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),则 ∴所求椭圆方程为+=1.故选A.
5.+=1(答案不唯一)　[解析] 椭圆C的焦点在x轴上,且离心率为,设a=2,c=1,则b=,所以椭圆C的方程为+=1(答案不唯一).
6.+=1　[解析] 由题得F(2,0),设C的方程为+=1(a>b>0),则解得所以C的方程为+=1.
7.C　[解析] ∵PF1垂直于x轴,|PF1|=1,∠F1F2P=30°,∴在Rt△PF1F2中,tan 30°==,|PF2|=2|PF1|=2,∴|F1F2|=,即c=.∵|PF1|+|PF2|=2a,∴2a=1+2=3,即a=,∴b2=a2-c2=-=,∴椭圆C的方程为+=1,故选C.
8.C　[解析] 设M(x0,y0),由题得F1(-3,0),F2(3,0),则=(-3-x0,-y0), =(3-x0,-y0),所以+=(-2x0,-2y0),|+|===,因为点M在椭圆上,所以0≤≤16,所以当=16时,|+|取得最小值8.
9.D　[解析] 如图,连接EF1,F1P,易知|EF1|=|EF2|,△PEF2的周长为|PE|+|PF2|+|EF2|=|PE|+2a-|PF1|+|EF2|=2a+|EF2|+|PE|-|PF1|≥2a+|EF2|-|EF1|=2a=3b,所以e====,故选D.
10.BD　[解析] 设O为坐标原点,若△BF1F2是等腰直角三角形,则|OB|=|OF1|=|OF2|,即b=c,又∵a2=b2+c2,∴a=b,不能求出椭圆E的标准方程,故A选项不符合题意.若椭圆E的离心率为,短轴长为2,则e==,2b=2,即a=2c,b=1,∵a2=b2+c2,∴a2-c2=3c2=b2=1,即a2=,故椭圆E的标准方程为+y2=1,故B选项符合题意.若△BF1F2是等边三角形,且椭圆E的离心率为,则|BF1|=|BF2|=a=2c,不能求出椭圆E的标准方程,故C选项不符合题意.若椭圆E的焦距为4,则2c=4,即c=2,若点B在圆(x-c)2+y2=9上,则(0-c)2+b2=a2=9,∵a2=b2+c2,∴b2=a2-c2=9-4=5,∴椭圆E的标准方程为+=1,故选项D符合题意.故选BD.
11.BC　[解析] 由题图可得a1+c1>a2+c2,故A选项错误;a1-c1=a2-c2=|PF|,故B选项正确;∵椭圆轨道Ⅱ近火点高度为m千米、远火点高度为n千米,火星半径为r千米,∴a2-c2=m+r,a2+c2=n+r,联立两个方程可得a2=,c2=,由椭圆的定义可得,椭圆轨道Ⅱ的短半轴长为b2==,∴椭圆轨道Ⅱ的短轴长为2,故C选项正确;∵a1-c1=a2-c2=|PF|>0,c1>c2>0,∴<,即<,故D选项错误.故选BC.
12.　[解析] 由椭圆的方程可得A(2,0),F(1,0),由圆和椭圆的对称性可得直线BC垂直于x轴,设B(xB,yB),所以xB=1,代入椭圆的方程得|yB|==,所以|BF|2==,因为点A到直线BC的距离d=|AF|=a-c=2-1=1,所以R2=|AF|2+|BF|2=1+=,所以R=.
13.　[解析] 连接BF2.设|AF1|=2m(m>0),因为=2,所以|BF1|=m,又因为·=0,|F1F2|=2c,所以|AF2|==2,则|BF2|==,又因为|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,所以2m+2=m+,所以m+2=,所以m2+4c2-4m2+4m=4c2+5m2,即c2=5m2,所以c=m.因为|AF1|+|AF2|=2a,所以2a=2m+2=6m,所以a=3m,所以e===.
14.解:(1)不妨设椭圆的方程为+=1(a>b>0),焦距为2c.
在△F1PF2中,由余弦定理得,cos 60°=
=
,
即=,
所以|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2,
所以3|PF1|·|PF2|=4b2,所以|PF1|·|PF2|=.
又因为|PF1|·|PF2|≤=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立,
所以3a2≥4(a2-c2),所以≥,所以e≥.
又因为0(2)证明:由(1)可知|PF1|·|PF2|=b2,
所以=|PF1|·|PF2|sin 60°=×b2×=b2,所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
15.解:(1)因为椭圆W经过点C(2,),所以+=1,
因为椭圆W的离心率为,所以=,
又a2=b2+c2,所以a=4,b=2,
所以椭圆W的方程为+=1,长轴长为2a=8.
(2)因为点D在x轴下方,所以点Q在线段AB(不包括端点)上,由(1)可知A(-4,0),B(4,0).
设O为坐标原点,连接OC,OD,
所以△AOC的面积为×4×=2.
因为△ACQ的面积比△BDQ的面积大2,所以点Q在线段OB(不包括端点)上,且△OCQ的面积等于△BDQ的面积,连接BC,所以△OCB的面积等于△BCD的面积,所以OD∥BC.
设D(m,n),n<0,则==-①.
因为点D在椭圆W上,所以+=1②.
由①②解得所以点D的坐标为(2,-).
16.ACD　[解析] 由已知可得a=4,b=3,所以c=.选项A中,S=b2tan =9×tan 30°=9×=3,故A正确;选项B中,设点P到x轴的距离为h,则S=|F1F2|·h=×2·h=9,所以h=>b=3,所以△PF1F2不存在,故B错误;选项C中,若△PF1F2为钝角三角形,则△PF1F2中有一个内角大于90°,若∠PF2F1=90°,设|PF1|=m,|PF2|=n,则有m2=n2+4c2,又m+n=2a,所以m-n=,则n=,所以S=·|PF2|·|F1F2|=××2=,所以当△PF1F2为钝角三角形时,S∈,故C正确;选项D中,设矩形两邻边长分别为2x,2y,其中x=acos α=4cos α,y=bsin α=3sin α,α∈(0°,90°),所以矩形周长L=4x+4y=12sin α+16cos α=20=20sin(α+φ),当sin(α+φ)=1时,Lmax=20,又易知Lmin>4b=12,故椭圆C内接矩形的周长的取值范围为(12,20],故D正确.故选ACD.
17.D　[解析] 由题可知a>b>c,所以a2=b2+c2>2c2,a>c,a2=b2+c2<2b2,a

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