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复杂盈亏问题
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
盈亏问题是一类生活中很常见的问题．按不同的方法分配物品时，经常发生不能
均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的
含义。
重点难点：
1．理解掌握并运用直接计算型盈亏问题；
2．理解掌握条件转换型盈亏问题；
3．理解掌握关系互换型盈亏问题．
知识梳理
【授课批注】
本节与实际生活练习较为紧密，生活中经常遇到此类问题，学生较感兴趣。合理提炼分配的
总量和份数，能够在多个条件下，统一关系，对于盈亏问题的变型，更是学生需要注意的，
是对学生能力的考察，对学生来说是一个挑战。
【授课批注】
注意总量与份数是恒定不变的，能够将多个条件统一到统一条件关系下，利用画图表解题
一、解盈亏问题的公式：
（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：
（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（2）两次都有余（盈），可用公式：
（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（3）两次都不够（亏），可用公式：
（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：
亏÷（两次每人分配数的差）=人数。
（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：
盈÷（两次每人分配数的差）=人数。
二、竞赛考点
1.条件转换
2.关系互换
例题精讲
【试题来源】
【题目】
实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐 60 人，则有 15 人上不了车；如果每辆车多
坐 5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？
【答案】16 915
【解析】
每辆车坐 60人，则多余 15人，每辆车坐 60+5=65人，则多出一辆车，也就是差 65人.因此
车辆数目为：
（65+15）÷5=80÷5=16（辆）.
学生人数为：
60×（16-1）+15=60×15+15
=900+15=915（人）.
答：一共有 16辆车，915名学生.
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
小胖的爷爷买回一筐梨，分给全家人.如果小胖和小妹二人每人分 4个，其余每人分 2
个，还多出 4 个，如果小胖 1 人分 6 个，其余每人分 4 个，又差 12 个.问小胖家有多
少人？这筐梨子有多少个？
【答案】9 26
【解析】
第一次分法是小胖、小妹各 4个，其余每人 2个，多余 4个.假设小胖、小妹也分 2个，那
么会多多少个梨呢？很容易想，那就会多出：2×2+4=8（个）.
第二次分法是小胖一人得 6个，其余每人 4个，差 12 个，假如小胖也只分 4个呢，那么就
只差：12-2=10（个）.
这样一想，就变成和前面讲的例子一样了.
解 小胖家的人数为：
［2×2+4+（12-2）］÷2=（8+10）÷2=9（人）.
梨子数为：
4×2+2×（9-2）+4=8+14+4=26（个），
或者 6+4×（9-1）-12=6+32-12=26（个）.
答：小胖家有 9人，这筐梨有 26个.
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多 5米；如果绳子 3折时，差 4米.求绳
子长度和井深.
【答案】54 22
【解析】
井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）.
绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米），或者 （22-4）×3=18×3=54（米）.
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉 18 千克，则差 4 元；如果买猪肉 20
千克，则多 2元.已知牛肉、猪肉每千克差价 8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？
【答案】5 4.2
【解析】
这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件，买
牛肉 18千克差 4元，而买猪肉 20千克还多 2元，说明牛肉贵一些.每千克贵 8角，如果 18
千克牛肉换成 18千克猪肉，就要少花
8×18=144（角）=14元 4角.
这样就会多出 14元 4角-4元=10元 4角.
因此问题就可变为：
“小李买猪肉 18千克多余 10元 4角，买 20千克多余 2元，求猪肉单价和钱数.”
虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题，不过猪肉单价=两次钱的差÷两次千克量差.
解 由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵 8角.18千克牛肉比 18千克猪肉贵
8×18=144（角）=14元 4角.
因此小李若买 18千克猪肉就会多余
14元 4角-4元=10元 4角.
由已知小李买 20干克猪肉多余 2元，所以猪肉每千克价格为
（104-20）÷（20-18）=84÷2=42（角）=4元 2角.
所以牛肉每千克价格为：
4元 2角+8角=5元.
小李带的钱为：4.2×20+2=86（元）.
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的 2倍.桔子每人分 3个，多 4个；苹
果每人分 7个，少 5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？
【答案】13 86 43
【解析】
因为桔子每人分 3个多 4个，而苹果是桔子的 2倍，因此苹果每人分 6个就多 8个.又已知
苹果每人分 7个少 5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）.
苹果个数为 13×7-5=86（个）.
桔子数为 13×3+4=43（个）.
答：有 13个小朋友，86个苹果和 43个桔子.
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用 2 张信纸，乙每封
信用 3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下 20 张信纸，乙用完所有信
纸还剩下 10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？
【答案】120
【解析】
由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺 30 张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30)
张信纸， 两次分配的差为(3－2)张信纸，所以有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(个)，有信纸
2×50＋20＝120(张)．
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
幼儿园把一袋糖果分给小朋友．如果分给大班的小朋友，每人 5 粒就缺 6 粒．如果分
给小班的小朋友，每人 4 粒就余 4 粒．已知大班比小班少 2 个小朋友， 这袋糖果共
有多少粒？
【答案】84
【解析】
如果大班增加 2 个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人 5 粒缺 16 粒，每人 4 粒
多 4 粒” 的盈亏问题．小班有(16＋4)÷(5－4)＝20(人)．这袋糖果有 4×20＋4＝84(粒)．
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
实验小学少先队员去植树．如果每人种 5 棵，还有 3 棵没人种；如果其中 2 人各种 4
棵，其余的人各种 6 棵，这些树苗正好种完．问有多少少先队员参加植树，一共种多
少树苗？
【答案】38
【解析】
这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中 2 人各种 4 棵，
其余的人各种 6棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种 4棵，其
余的人各种 6棵．如果我们把它统一成一种情况，让每人都种 6棵，那么，就可以多种树（6
－4）×2＝4（棵）．因此，原问题就转化为：如果每人各种 5棵树苗，还有 3棵没人种；如
果每人种 6棵树苗，还缺 4棵．问有多少少先队员，一共种多少树苗？
人数： [3＋（6－4）×2]÷（6－5）＝7（人），
棵数：5×7＋3＝38（棵）或 6×7－4＝38（棵）．
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为 8元和 10元，李妈妈带的钱买
雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买 3袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？
【答案】120
【解析】
（法 1）“李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买 3袋”，这三袋洗衣粉多花 8×
3＝24（元），又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧
浪比雕牌每袋贵 2 元，所以要买碧浪洗衣粉袋数 24÷2＝12（件）．这样李妈妈带的钱数是
10×12＝120（元）．
（法 2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩 3×8＝24（元），
根据普通的盈亏问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：24÷（10－8）＝24÷2＝12（件），所
以李妈妈带的钱数是：12×10＝120（元）．
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
有若干个苹果和梨，如果按 1个苹果配 3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩 2个梨；如果
按半个苹果配 2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？
【答案】14
【解析】
1个苹果配 3个梨，多 2个梨；半个苹果配 2个梨，即 1个苹果配 4个梨，剩半个苹果，即
少 2个梨.苹果有（2+2）÷（4-3）=4（个），梨有 3×4+2=14（个）.
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中 2分币比 5分币多 22个；按钱数算，5分
币却比 2分币多 4角；另外，还有 36个 1分币．小同共存了多少钱
【答案】276
【解析】
假设去掉 22 个 2 分币，那么按钱数算，5 分币比 2 分币多 8 角 4 分，一个 5 分币比一个 2
分币多 3分，所以 5分币有： 84÷(5－2)＝28(个) 2分币有： 28＋22＝50(个)
5×28＋2×50＋1×36＝140＋100＋36＝276(分).
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，分给同学们，每组分乒
乓球拍 5副，余乒乓球拍 15副，每组分羽毛球拍 14副，则差 30副，问：学而思学校
买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？
【答案】180 90
【解析】
因为羽毛球拍是乒乓球拍的 2倍，如果每次分羽毛球拍 5×2=10（副），最后应余下 15×2=30
（副），因为 14-5×2=4（副），分到最后还差 30 副，所以比每次分 10 副总共差 30+30=60
（副），所以有小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍 90×2=180
（副）.
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人 5个还多余 10个羽毛球，如果人数增加到 3
倍，那么每人分 2个羽毛球还缺少 8个，问有羽毛球多少个？
【答案】100
【解析】
考虑人数增加 3 倍后，相当于按原人数每人给 2×3＝6（个），每人给 5 个与给 6 个，总数
相差 10＋8＝18 (个），所以原有人数 18÷（6－5)＝18（人），乒乓球总数是 5×18＋10＝
100（个）．
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
小白兔和小灰兔各有若干只．如果 5 只小白兔和 3 只小灰兔放到一个笼子中，小白兔
还多 4 只，小灰兔恰好放完；如果 7 只小白兔和 3 只小灰兔放到一个笼子中，小白兔
恰好放完，小灰兔还多 12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？
【答案】132
【解析】
“7只小白兔和 3只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多 12只”说明小白兔
少了 12÷3×7＝28（只），这样原来笼子数有：（28＋4）÷（7－5）＝16（个），所以小白兔
有 16×5＋4＝84（只），小灰兔有 16×3＝48（只），合起来有 84＋48＝132（只）．
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘
老师买了一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几
位优秀学生．如果每堆有 1 块橡皮 2 支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩 5 块；如果每堆有
3块橡皮和 5支铅笔，橡皮分完时还剩 5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮
多少支铅笔
【答案】45 80
【解析】
如果增加 10支铅笔，则按 1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按 3块橡皮、5支铅笔分，则剩
下 10+5=15(支)铅笔，但如果按 3 块橡皮、6 支铅笔分，则正好分完，可以分成：15÷(6—
5)=15(堆)，所以，橡皮数为：15×3=45(块)，铅笔数为：15×6—10=80(支)．
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
习题演练
【试题来源】
【题目】
小强由家里到学校，如果每分钟走 50 米，上课就要迟到 3 分钟；如果每分钟走 60 米，
就可以比上课时间提前 2 分钟到校.小强家到学校的路程是多少米？
【答案】1500
【解析】1500
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
少先队员参加绿化植树，他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的 2 倍.如果每人栽 3 棵梨树
苗，还余 2 棵；如果每人栽 7 棵苹果树苗，要少 6 棵.问有多少少先队员？他们准备栽多
少棵苹果树和梨树？
【答案】64， 2
【解析】64， 2
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦 4 块，其余各擦 5 块，则余 12 块；
若每人擦 6 块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？
【答案】10，60
【解析】10，60
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
兔子妈妈分白菜：如果其中 2只小兔子每只分 4棵，其余每只分 2棵，则多 4棵白菜；如果
其中一只小兔子分 6 棵，其余每只分 4棵，则差 12棵白菜，问：一共有多少只小兔子？一
共有多少棵白菜？
【答案】9，26
【解析】9，26
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
有 48个香蕉分给两个笼子的小猩猩，已知第二个笼子比第一个笼子多 5只猩猩．如果把香
蕉全部分给第一个笼子的猩猩，那么每只猩猩 4个，有剩余；每只猩猩 5个，香蕉不够．如
果把香蕉全分给第二个笼子，那么每只猩猩 3个，有剩余；每只猩猩 4个，香蕉不够．问第
二个笼子有多少只猩猩？
【答案】15
【解析】15
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
若干盒卡片，每盒中卡片数一样多．把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人
均至少可得 7 张，但若都分 8 张则还缺少 5 张．现在把所有卡片都分完，每人都分到
60张，而且还多出 4张．问共有小朋友多少人？
【答案】11人
【解析】11人
【知识点】复杂盈亏问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4复杂盈亏问题
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
盈亏问题是一类生活中很常见的问题．按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义。
重点难点：
1．理解掌握并运用直接计算型盈亏问题；
2．理解掌握条件转换型盈亏问题；
3．理解掌握关系互换型盈亏问题．
知识梳理
【授课批注】
本节与实际生活练习较为紧密，生活中经常遇到此类问题，学生较感兴趣。合理提炼分配的总量和份数，能够在多个条件下，统一关系，对于盈亏问题的变型，更是学生需要注意的，是对学生能力的考察，对学生来说是一个挑战。
【授课批注】
注意总量与份数是恒定不变的，能够将多个条件统一到统一条件关系下，利用画图表解题
一、解盈亏问题的公式：
（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：
　　（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（2）两次都有余（盈），可用公式：
　　（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（3）两次都不够（亏），可用公式：
　　（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：
亏÷（两次每人分配数的差）=人数。
（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：
盈÷（两次每人分配数的差）=人数。
二、竞赛考点
1.条件转换
2.关系互换
例题精讲
【试题来源】
【题目】
实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？
【试题来源】
【题目】
小胖的爷爷买回一筐梨，分给全家人.如果小胖和小妹二人每人分4个，其余每人分2个，还多出4个，如果小胖1人分6个，其余每人分4个，又差12个.问小胖家有多少人？这筐梨子有多少个？
【试题来源】
【题目】
用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深.
【试题来源】
【题目】
食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元.已知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？
【试题来源】
【题目】
王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？
【试题来源】
【题目】
甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？
【试题来源】
【题目】
幼儿园把一袋糖果分给小朋友．如果分给大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒．如果分给小班的小朋友，每人4 粒就余4 粒．已知大班比小班少2 个小朋友， 这袋糖果共有多少粒？
【试题来源】
【题目】
实验小学少先队员去植树．如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完．问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？
【试题来源】
【题目】
李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？
【试题来源】
【题目】
有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？
【试题来源】
【题目】
小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币．小同共存了多少钱
【试题来源】
【题目】
学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？
【试题来源】
【题目】
体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余10个羽毛球，如果人数增加到3倍，那么每人分2个羽毛球还缺少8个，问有羽毛球多少个？
【试题来源】
【题目】
小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？
【试题来源】
【题目】
四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮 多少支铅笔
习题演练
【试题来源】
【题目】
小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校.小强家到学校的路程是多少米？
【试题来源】
【题目】
少先队员参加绿化植树，他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍.如果每人栽3棵梨树苗，还余2棵；如果每人栽7棵苹果树苗，要少6棵.问有多少少先队员？他们准备栽多少棵苹果树和梨树？
【试题来源】
【题目】
学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？
【试题来源】
【题目】
兔子妈妈分白菜：如果其中2只小兔子每只分4棵，其余每只分2棵，则多4棵白菜；如果其中一只小兔子分6棵，其余每只分4棵，则差12棵白菜，问：一共有多少只小兔子？一共有多少棵白菜？
【试题来源】
【题目】
有48个香蕉分给两个笼子的小猩猩，已知第二个笼子比第一个笼子多5只猩猩．如果把香蕉全部分给第一个笼子的猩猩，那么每只猩猩4个，有剩余；每只猩猩5个，香蕉不够．如果把香蕉全分给第二个笼子，那么每只猩猩3个，有剩余；每只猩猩4个，香蕉不够．问第二个笼子有多少只猩猩？
【试题来源】
【题目】
若干盒卡片，每盒中卡片数一样多．把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7张，但若都分8张则还缺少5张．现在把所有卡片都分完，每人都分到60张，而且还多出4张．问共有小朋友多少人？

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