资源简介

学科培优 数学
“分数应用题综合”
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变的量，
把不变的量看作单位“1”，将已知条件进行转化，找出所求数量相当
于单位“1”的几分之几，再列式解答。
通过这节课让学生学习不变量在不同单位“1”中所占的分率。我
们应适当地教给学生一些解题方法，以拓宽思路，提高解题能力。
一、从确定对应入手找出解题方法；二、通过统一标准量找出解题方
法；三、通过假设推算找出解题方法；四、通过逆推找出解题方法；
五、借助线段图找出解题方法； 六、抓住不变量找出解题方法；七、
通过转变换条件找出解题方法；八、列表对应比较找出解题方法。根
据不同问题应用不同方法，这是对学生能力的一个挑战。
知识梳理
分数应用题中不同单位"1"的转化方法
应用题教学是对小学生进行思维训练，培养小学生数学逻辑思维
能力的最重要渠道，也是提高学生数学素质的重要途径。尤其是分数
应用题中数量关系比较抽象，学生较难理解。在解答时，关键是找出
单位"1"，将不同的单位"1"进行转化训练。这是分数应用题的难点之
一，它直接影响学生对新知识的理解和掌握。因此，教师在教学中，
选用恰当的教学方法，突出难点优化课堂教学，有利于培养学生思维
能力，提高学生分析、解决和归纳问题的能力。那么如何选择恰当的
教学方法呢？
（一）倒数法
学生喜欢顺向思维，不善于转换思维角度，因此倒数法，就是指
导学生转换思维角度进行逆向思维。如：在已知 a 是 b 的几分之几，
求 b 是 a 的几分之几时可采用倒数法。假设：a 是 b 的 4/5 求 b 是 a
的几分之几？条件中 b 是单位"1"，要转化成为单位"1"可以这样想，
因为 a/b =4/5，所以 b/a=5/4 。这样让学生进行逆向思维的训练养成
转换思维角度思考的好习惯，培养思维的灵活性。
（二）关系式法
利用关系式法是指通过对应用题解答的思维过程对应用题的条
件和问题进行分析和综合，然后用计算的方法转化单位"1"。如：一条
水渠，第一天修了全长的 3/7，第二天修了余下的 1/4，第二天修全长
的几分之几？可先按题意写出关系式：余下的 1/4=第二天修的。这里
把余下的长度当作单位"1"，已知"第一天修了全长的 3/7"，则余下全
长的（1- 3/7），代入关系式可得第二天修了全长的（1-3/7）*1/4 =1/7，
这样通过分析、综合，在分析综合中好展学生的思维广阔性。
（三）定不变量为单位"1"法
在复合分数应用题中定不变量为单位"1"法即为了解题的需要有
时必须转化标准量，以不变量的单位"1"，问题才能迎刃而解，从而收
到良好的教学效果。例如：某工厂第一车间的人数是第二车间的 2/3，
如果从第一车间调 10 人到第二车间，那么第一车间的人数是第二车
间的 3/5，第一、二车间原有人数各多少人？初看此题，我们会觉得
这道题是以第二车间的人数为单位"1"，再次审题，我们不难发现第二
车间的前后两次的人数不同，所以单位"1"的量也就不同，要解答这类
题，必须进行单位"1"的量也就不同，要解答这类题，必须进行单位"1"
的转化，否则困难较大。通过讨论分析，我们就明白了两次数量是两
个不同的标准量，但两车间的总人数（不变量）为单位"1"，由第一个
条件可得：第一车间人数是两车间总人数的 2/2+3（2/5）。由第三个条
件可得：第一车间人数是两车间总人数的 3/3+5（3/8 ）。联系题中三
个条件的关系我们可得：第一车间减少的 10 人占两车总人数的（2/5
-3/8）=1/40
通过这个等量关系式我们可求出两车间的总人数，再通过原来第
一车间的人数是两车间总人数的 2/5，求出原来第一车间的人数，知
道了原来第一车间人数要求第二车间人数就容易多了。这样通过比较，
探求事物间的异同，发现事物间的联系，有利于帮助学生避免概念混
淆，分清方法优劣，找出事物间的区别与联系，从而提高学生思维求
异性和联想性。
总之，小学生思维具有积极性、求异性、广阔性、联想性等发散
思维的特性。加强对学生进行应用题中不同单位"1"的转化方法的训
练，既可以抓住这些特性进行训练和培养，又可以提高学生的发散思
维能力和小学数学教学质量。
例题精讲
【试题来源】
1
【题目】专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的 1 倍．鸭比鸡少几分之几？
4
1
【答案】
5
1 1 1 1
1 1 1
【解析】把鸭看成 1，那么鸡就是 4 ，鸭比鸡少：（ 4 -1）÷ 4 = 5 .（此时的单位“1”
是鸡的只数）
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
3
【题目】某校男生比女生多 7 ，女生比男生少几分之几？
3
【答案】 .
10
3 3 10 3 10 3
【解析】男生比女生多 7 ，则男生有 1+ 7 = 7 ，女生比男生少 7 ÷ 7 =10 .
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
1
【题目】—路铁水凝成铁块 ，其体积缩小了 34 ，那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），
其中体积增加了几分之几
34 1
【答案】 ( 1) 1
33 33
1 33
【解析】设铁水的体积为 1，则铁块为 1- 34 = 34 ．现在变回来，那么铁块的体积就要变为
33 34 34 1
( 1) 1
单位 1，则铁水的体积就为 l÷ 34 = 33 ，故体积增加了： 33 33 .
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】某工厂二月份比元月份增产 10％，三月份比二月份减产 10％．问三月份比元月份
增产了还是减产了？
【答案】减产
【解析】一定会有同学认为三月份比元月份不增不减，这对吗？工厂二月份比元月份增产
10％，我们就要将元月份产量看作 1，将元月份产量看作 1，则二月份产量为：
11 11 99
1 (1 10%) (1 10%) 1
10 ，三月比二月减产 10％，则三月份产量为： 10 100 ，
所以三月份比元月份减产了.
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】一件商品先涨价 15％，然后再降价 15％，问现在的价格和原价格比较升高、降低
还是不变？
【答案】降低
【解析】1×（1+15%）×（1-15%）=0.9775＜1，所以现在的价格比原价降低了.
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】足球赛门票 15 元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则一张门
票降价多少元？
【答案】3元
1 1 1 4
(1 ) (1 )
【解析】设原来收入是 1．现在收入是 1+ 5 ，那么原收入有： 5 2 5 ，因此每
4
张门票降价：15×(1- 5 )=3(元)．
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
3
【题目】小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的 ，第二次运了 50块，这时已运来的
8
5
恰好是没运来的 .问还有多少块蜂窝煤没有运来？
7
【答案】700块
5 5
【解析】运完第一次后，还剩下 8 没运，再运来 50块后，已远来的恰好是没运来的 7 ，也
7 5 7 1

就是说没运来的占全部的12 ，所以，第二次运来的 50块占全部的： 8 12 24 ，全部蜂
1 7
50 1200 1200 700
窝煤有： 24 （块），没运来的有： 12 （块）.
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
1
【题目】好味多西饼屋推出一款新蛋糕，第一天卖出了全部的 20%，第二天卖出了剩下的 ，
2
第二天比第一天多卖出 40个，那么好味多西饼屋这次共推出新蛋糕多少个？
【答案】200个
1
40 1( 20%) 20% 20
【解析】分析好味多西饼屋推出新蛋糕个数看作“1”， 2


（个）.
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
1
【题目】某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的 4 ，后来又有 20 名同学参加大
1
扫除，实际参加的人数是未参加人数的 3 ，这个学校有多少人？
【答案】400人
1 1
【解析】20 400（人）.
3 1 4 1
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
2 1
【题目】建筑工地需要一批水泥，从仓库第一次运走全部的 ，第二次运走余下的 ，第
5 3
3
三次运走（前两次运后）又余下的 ，这时还剩下 15吨水泥没运走．这批水泥共是多少吨？
4
【答案】150吨
2 3
1
【解析】把这批水泥视为单位“1”，第一次远走后所剩为： 5 5 ，第二次远走后所剩
3 1 2 2 3 1 1
(1 ) (1 )
为：5 3 5 ，第二次远走后所剩为： 5 4 10 ，即原来的10 即为 15 吨，原
1
15 150
来有水泥= 10 （吨）
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【题目】村里种了新瓜，男女老少品尝它．小伙每人吃一个，姑娘两人分一瓜；老人一瓜三
人吃，四个小孩吃一瓜．男女老少四个组，一共吃了五十瓜，各组人数都相等，每组多少人
品尝瓜？
【答案】24人
1 1 1
【解析】把各组人数都视为“1”，那么有：50÷(1+ + + )=24（人）.
2 3 4
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．第一堆里的黑子和
2
第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的 ，把这三堆棋子集中在一起，问白
5
子占全部棋子的几分之几
【答案】400人
【解析】不妨认为第二堆全是黑子，第一堆全是白子，(即将第一堆黑子与第二堆白子互换)，
1 2 1 2
第二堆黑子是全部棋子的 3 ，同时，又是黑子的 1- 5 ．所以黑子占全部棋子的 3 ÷(1- 5 )=
5 5 4
9 ，白子占全部棋子的 1- 9 = 9 .
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
习题演练
【试题来源】
【题目】小新有一盒巧克力饼干，他第一天吃掉了全部的的七分之一；第二天吃了余下的六
分之一；第三天吃了余下的五分之一；第四天吃了余下的四分之一；第五天吃了余下的三分
之一；第六天吃了余下的二分之一；这时还剩下 12 块巧克力饼干，那么共有多少块巧克力
饼干？
【答案】84块
1 1 1 1 1
【解析】巧克力饼干总数当作 1．那么：(1- 7 )×(1- 6 )×(1- 5 )×(1- 4 )×(1- 3 )×(1-
1 1 1
2 )= 7 ，最后剩下的 12块是总数的 7 ，那么共有 84块巧克力饼干.
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】兄弟四人去买电视,老大带的钱是另外三人的一半,老二带的钱是另外三人的 1/3,
老三带
的钱是另外三人总钱数的 1/4，老四带 91元，兄弟四人一共带了多少钱？
【答案】420元
【解析】老大带的钱是另外三人的一半，也就说老大带的钱是一共带钱的 1/3，
同理老二带的钱是一共带钱的 1/4，老三带的钱是一共带钱的 1/5，
所以老四带的钱是一共带钱的：1-1/3-1/4-1/5=13/60
四人一共带的钱：91除以 13/60=420（元）
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
7
【题目】某小学五年级有三个班，一班和二班的人数相等，三班的人数占五年级的 ，并
20
且比二班多 3人，问五年级共有多少学生？
【答案】120人
7
【解析】根据条件“三班的人数占五年级的 20 ，并且比二班多 3人”可知一班、二班都比
7 7
全年级的 20 少 3人，假设一班、二班都占全年级的 20 ，那么将比实际人数多出 3×2=6人，
7 7 7
比单位“1”多出（ 20 ＋ 20 ＋ 20 －1），两个数量正好对应。因此全年级的人数为：3×2
7 7 7
÷（ 20 ＋ 20 ＋ 20 －1）=120（人）
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】食堂有一桶油，第一天吃掉一半多 1千克，第二天吃掉剩下的油的一半多 2 千克，
第三天又吃掉剩下的油的一半多 3 千克，最后桶里还剩下 2 千克油，问桶里原有油多少千
克？
【答案】50 千克 1
【解析】第三天吃掉一半多 3 千克，还剩 2 千克。所以第二天吃掉后还剩（2＋13）÷ 2 ，1这
又是第一天吃掉后剩下的一半少 2 千克，所以第一天吃掉后剩下[（2＋3）÷ 2 ＋2]÷ 2 ，
这又是这桶油的1一半少 11千克，从而1这桶油共有：
｛[（2＋3）÷ 2 ＋2]÷ 2 ＋1｝÷ 2 =50（千克）
答：这桶油共有 50 千克。
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】有红、黄、白三种球共 160个。如果取出红球的 1/3，黄球的 1/4，白球的 1/5，则
还剩 120 个；如果取出红球的 1/5，黄球的 1/4，白球的 1/3，则剰 116 个，问：（1）原有
黄球几个？ （2）原有红球、白球各有几个？
【答案】黄球原有 40个；红球 45个，白球 75个
【解析】
1 1 8

两次共取出球 160×2-（120＋116）＝84（个），共取出红、白球的 3 5 15 ，黄球的
1 1 1 8 8 1
。推知原有黄球 (160 84) ( ) 40(个)
4 4 2 15 15 2
红 白 160 40

（2） 1 1 1
红 40 白 160 120
3 4 5
红 白 120

整理得 1 1
红 白 30，解得红=45，白=75
3 5
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】一小、二小、三小、四小四个学校组织了一次数学竞赛,共有 700多人参赛,其中一
小占 1/4，二小占 1/3、三小占 1/5，其余都是四小的。比赛结果是,一小有 1/10学生获奖,
二小有 1/12学生获奖,三小有 1/9学生获奖，四小有多少人参赛
【答案】156人
【解析】
1 1 1
因为一小、二小、三小获奖人数分别占总参赛人数的 ， ，
40 36 45
所以总参赛人数是 40，36，45的公倍数，由[40，36，45]=720推知有
1 1 1
720人参赛，其中四小有720 （1- - - ）=156（人）
4 3 5
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】甲乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，已知甲班参加的人数
恰好是乙班未参加人数的三分之一，乙班参加人数恰好是甲班未参加人数的四分之一，问甲
班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几？
【分析与解】
分别用甲参、甲未、乙参、乙未表示甲、乙班参加和未参加的人数，则有
甲参+甲未=乙参+乙未，
1 1 1 1
将甲参 乙末、乙末 甲末代入上式，得 乙末 甲末 甲末 乙末
3 4 3 4
甲 8
解得 末
乙末 9
【知识点】分数应用题综合
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4学科培优 数学
“分数应用题综合”
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位“1”，将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。
通过这节课让学生学习不变量在不同单位“1”中所占的分率。我们应适当地教给学生一些解题方法，以拓宽思路，提高解题能力。
一、从确定对应入手找出解题方法；二、通过统一标准量找出解题方法；三、通过假设推算找出解题方法；四、通过逆推找出解题方法；五、借助线段图找出解题方法； 六、抓住不变量找出解题方法；七、通过转变换条件找出解题方法；八、列表对应比较找出解题方法。根据不同问题应用不同方法，这是对学生能力的一个挑战。
知识梳理
分数应用题中不同单位"1"的转化方法
应用题教学是对小学生进行思维训练，培养小学生数学逻辑思维能力的最重要渠道，也是提高学生数学素质的重要途径。尤其是分数应用题中数量关系比较抽象，学生较难理解。在解答时，关键是找出单位"1"，将不同的单位"1"进行转化训练。这是分数应用题的难点之一，它直接影响学生对新知识的理解和掌握。因此，教师在教学中，选用恰当的教学方法，突出难点优化课堂教学，有利于培养学生思维能力，提高学生分析、解决和归纳问题的能力。那么如何选择恰当的教学方法呢？
（一）倒数法
学生喜欢顺向思维，不善于转换思维角度，因此倒数法，就是指导学生转换思维角度进行逆向思维。如：在已知a是b的几分之几，求b是a的几分之几时可采用倒数法。假设：a是b 的4/5求b是a的几分之几？条件中b是单位"1"，要转化成为单位"1"可以这样想，因为a/b =4/5，所以 b/a=5/4 。这样让学生进行逆向思维的训练养成转换思维角度思考的好习惯，培养思维的灵活性。
（二）关系式法
利用关系式法是指通过对应用题解答的思维过程对应用题的条件和问题进行分析和综合，然后用计算的方法转化单位"1"。如：一条水渠，第一天修了全长的 3/7，第二天修了余下的1/4，第二天修全长的几分之几？可先按题意写出关系式：余下的 1/4=第二天修的。这里把余下的长度当作单位"1"，已知"第一天修了全长的3/7"，则余下全长的（1- 3/7），代入关系式可得第二天修了全长的（1-3/7）*1/4 =1/7，这样通过分析、综合，在分析综合中好展学生的思维广阔性。
（三）定不变量为单位"1"法
在复合分数应用题中定不变量为单位"1"法即为了解题的需要有时必须转化标准量，以不变量的单位"1"，问题才能迎刃而解，从而收到良好的教学效果。例如：某工厂第一车间的人数是第二车间的2/3，如果从第一车间调10人到第二车间，那么第一车间的人数是第二车间的3/5，第一、二车间原有人数各多少人？初看此题，我们会觉得这道题是以第二车间的人数为单位"1"，再次审题，我们不难发现第二车间的前后两次的人数不同，所以单位"1"的量也就不同，要解答这类题，必须进行单位"1"的量也就不同，要解答这类题，必须进行单位"1"的转化，否则困难较大。通过讨论分析，我们就明白了两次数量是两个不同的标准量，但两车间的总人数（不变量）为单位"1"，由第一个条件可得：第一车间人数是两车间总人数的2/2+3（2/5）。由第三个条件可得：第一车间人数是两车间总人数的3/3+5（3/8 ）。联系题中三个条件的关系我们可得：第一车间减少的10人占两车总人数的（2/5 -3/8）=1/40
通过这个等量关系式我们可求出两车间的总人数，再通过原来第一车间的人数是两车间总人数的 2/5，求出原来第一车间的人数，知道了原来第一车间人数要求第二车间人数就容易多了。这样通过比较，探求事物间的异同，发现事物间的联系，有利于帮助学生避免概念混淆，分清方法优劣，找出事物间的区别与联系，从而提高学生思维求异性和联想性。
总之，小学生思维具有积极性、求异性、广阔性、联想性等发散思维的特性。加强对学生进行应用题中不同单位"1"的转化方法的训练，既可以抓住这些特性进行训练和培养，又可以提高学生的发散思维能力和小学数学教学质量。
例题精讲
【试题来源】
【题目】专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的倍．鸭比鸡少几分之几？
【试题来源】
【题目】某校男生比女生多，女生比男生少几分之几？
【试题来源】
【题目】—路铁水凝成铁块 ，其体积缩小了，那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），其中体积增加了几分之几
【试题来源】
【题目】某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比元月份增产了还是减产了？
【试题来源】
【题目】一件商品先涨价15％，然后再降价15％，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？
【试题来源】
【题目】足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则一张门票降价多少元？
【试题来源】
【题目】小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的，第二次运了50块，这时已运来的恰好是没运来的.问还有多少块蜂窝煤没有运来？
【试题来源】
【题目】好味多西饼屋推出一款新蛋糕，第一天卖出了全部的20%，第二天卖出了剩下的，第二天比第一天多卖出40个，那么好味多西饼屋这次共推出新蛋糕多少个？
【试题来源】
【题目】某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的，后来又有20名同学参加大扫除，实际参加的人数是未参加人数的，这个学校有多少人？
【试题来源】
【题目】建筑工地需要一批水泥，从仓库第一次运走全部的，第二次运走余下的，第三次运走（前两次运后）又余下的，这时还剩下15吨水泥没运走．这批水泥共是多少吨？
【题目】村里种了新瓜，男女老少品尝它．小伙每人吃一个，姑娘两人分一瓜；老人一瓜三人吃，四个小孩吃一瓜．男女老少四个组，一共吃了五十瓜，各组人数都相等，每组多少人品尝瓜？
【试题来源】
【题目】有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的，把这三堆棋子集中在一起，问白子占全部棋子的几分之几
习题演练
【试题来源】
【题目】小新有一盒巧克力饼干，他第一天吃掉了全部的的七分之一；第二天吃了余下的六分之一；第三天吃了余下的五分之一；第四天吃了余下的四分之一；第五天吃了余下的三分之一；第六天吃了余下的二分之一；这时还剩下12块巧克力饼干，那么共有多少块巧克力饼干？
【试题来源】
【题目】兄弟四人去买电视,老大带的钱是另外三人的一半,老二带的钱是另外三人的1/3,老三带
的钱是另外三人总钱数的1/4，老四带91元，兄弟四人一共带了多少钱？
【试题来源】
【题目】某小学五年级有三个班，一班和二班的人数相等，三班的人数占五年级的，并且比二班多3人，问五年级共有多少学生？
【试题来源】
【题目】食堂有一桶油，第一天吃掉一半多1千克，第二天吃掉剩下的油的一半多2千克，第三天又吃掉剩下的油的一半多3千克，最后桶里还剩下2千克油，问桶里原有油多少千克？
【试题来源】
【题目】有红、黄、白三种球共160个。如果取出红球的1/3，黄球的1/4，白球的1/5，则还剩120个；如果取出红球的1/5，黄球的1/4，白球的1/3，则剰116个，问：（1）原有黄球几个？ （2）原有红球、白球各有几个？
【试题来源】
【题目】一小、二小、三小、四小四个学校组织了一次数学竞赛,共有700多人参赛,其中一小占1/4，二小占1/3、三小占1/5，其余都是四小的。比赛结果是,一小有1/10学生获奖,二小有1/12学生获奖,三小有1/9学生获奖，四小有多少人参赛
【试题来源】
【题目】甲乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，已知甲班参加的人数恰好是乙班未参加人数的三分之一，乙班参加人数恰好是甲班未参加人数的四分之一，问甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几？

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