资源简介

等高成比
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本讲中的主要知识点可以概括为三种基本模型，并不难理解。三角形、平行四边形、长方形、正方形这些基本图形的面积公式在学校里都已经学过，这三种模型不外乎是在这些公式的基础上延伸。等高成比在平面几何题中应用十分广泛，需要重点掌握.
知识梳理
1、模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系
(1) 两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
S1：S2 =a：b ；
条件 ：共线比例a：b
应用 ：以比例线段为底边找三角形
延伸 ：已知面积比求线段比
（2）模型一是最关键的模型，虽然简单但应用范围很广，出现形式多样，一定要让学生完全掌握。
2、模型二：等分点结论（“鸟头定理”）
如图，三角形AED占三角形ABC面积的×=
模型二是模型一的一种简单拓展，可适当进行推导让学生加深对模型一的理解认识，进一步强调模型一的重要性。
3、模型三：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）
（1）①S1：S2=S4：S3 或者S1×S3=S2×S4
（对角面积之积相等）
应用：知道三个面积就能求第四个面积
②AO：OC=（S1+S2）：（S4+S3）
（2）模型三虽然不常见，但是在解任意四边形的面积问题时很实用。同时，这个结论也是由模型一推到而来，过程较模型二稍微复杂一些，可作适当讲解，进一步加深学生对模型一的理解。
4、重点难点解析
(1)模型一与其他知识混杂的各种复杂变形
(2)在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”
竞赛考点挖掘
(1)三角形面积等高成比
(2)“鸟头定理”
(3)“蝴蝶定理”
例题精讲
【试题来源】
【题目】
如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.
【试题来源】
【题目】
如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．
【试题来源】
【题目】
如图，在三角形ABC中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？
【试题来源】
【题目】
如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。
【试题来源】
【题目】（难度等级 ※※）
如右图BE=BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？
【试题来源】
【题目】
在右图中，AE:EC=1:2，CD:DB=l:4，BF:FA=1:3，三角形ABC的面积等于1．那么四边形AFHG的面积是多少
【试题来源】
【题目】
如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
【试题来源】
【题目】
如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积．
【试题来源】
【题目】
如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行， 三角形ECH的面积是7平方厘米，求EG的长。
【试题来源】
【题目】
如图已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米
【试题来源】
【题目】
如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为
【试题来源】
【题目】
如图，平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。
【试题来源】
【题目】
如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
【试题来源】
【题目】
如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。
【试题来源】
【题目】
如图，四边形的面积是66平方米，，，，，求四边形的面积．
【试题来源】
【题目】
如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？
【试题来源】
【题目】
某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
【试题来源】
【题目】
如图，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，
FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边
形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．那么三角形
ABC的面积是多少
【试题来源】
【题目】
图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米
习题演练
【试题来源】
【题目】如图，三角形中，，，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？
【试题来源】
【题目】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？
【试题来源】
【题目】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米， 求三角形ABC的面积。
【试题来源】
【题目】 如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.
【试题来源】
【题目】如图，在△ABC中，延长BD=AB，CE=BC，F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？等高成比
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本讲中的主要知识点可以概括为三种基本模型，并不难理解。三角形、平行
四边形、长方形、正方形这些基本图形的面积公式在学校里都已经学过，这三种
模型不外乎是在这些公式的基础上延伸。等高成比在平面几何题中应用十分广泛，
需要重点掌握.
\
知识梳理
1、模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系
(1) 两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
S1：S2 =a：b ；
条件 ：共线比例 a：b
应用 ：以比例线段为底边找三角形
s1 s2
延伸 ：已知面积比求线段比
（2）模型一是最关键的模型，虽然简单但应用范围很 a b
广，出现形式多样，一定要让学生完全掌握。
2、模型二：等分点结论（“鸟头定理）”
2 1 1
如图，三角形 AED 占三角形 ABC 面积的 × =
3 4 6
模型二是模型一的一种简单拓展，可适当进行推导让学生加深对模型一的
理解认识，进一步强调模型一的重要性。
3、模型三：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）
（1）①S1：S2=S4：S3 或者 S1×S3=S2×S4
（对角面积之积相等）
应用：知道三个面积就能求第四个面积
②AO：OC=（S1+S2）：（S4+S3）
（2）模型三虽然不常见，但是在解任意四边形的
D
面积问题时很实用。同时，这个结论也是由模型 A
s1
一推到而来，过程较模型二稍微复杂一些，可作 s2 O S4
S3
适当讲解，进一步加深学生对模型一的理解。
B C
4、重点难点解析
(1)模型一与其他知识混杂的各种复杂变形
(2)在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”
5、竞赛考点挖掘
(1)三角形面积等高成比
(2)“鸟头定理”
(3)“蝴蝶定理”
例题精讲
【试题来源】
【题目】
A H D
如图，长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米，点 E、F、G 分别
是长方形 ABCD 边上的中点，H为 AD边上的任意一点，求阴影 E G
部分的面积.
B C
F
【答案】28
【解析】
如右图，连接 BH、HC，由 E、F、G 分别为 AB、BC、CD
三边的中点有 AE=EB、BF=FC、CG=CD.
因此 S1=S2， S3=S4， S5=S6,而阴影部分面积
=S2+S3+S6，空白部分面积=S1+S4+S5.所以阴影部分面
积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部
分面积为 28.
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
如右图，ABFE 和 CDEF 都是矩形，AB 的长是 4 厘米，BC 的长是 3
厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．
【答案】6
【解析】
1
上排 4 个阴影三角形的高都等于 BF，底边之和恰好为 AB，他们的面积之和为 BF AB ；
2
下排 4个三角形的高都等于 CF，底边之和恰好为 CD，他们的面积
1 1
之和为 CF CD CF AB.所以阴影部分面积为:
2 2
1 1 1 1
BF AB CF AB BC AB 3 4 6(平方厘米).
2 2 2 2
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
如图，在三角形 ABC 中，BC=8 厘米，AD=6 厘米，E、F 分别为 AB
和 AC的中点，那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米？ A
【答案】6 F
E
【解析】
1 D B C
首先，S BC AD 24平方厘米，而 F是 AC 中点，所以 ABC
2
1 1 1
S .又 E是 AB 中点，所以 平方厘米. ABF S ABC S EBF S ABF S ABC 6
2 2 4
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】 A
如图，在面积为 1的三角形 ABC 中，DC=3BD,F 是 AD的中点，延长 CF
E
F
交 AB边于 E,求三角形 AEF 和三角形 CDF的面积之和。
【答案】 3
7 B C
D
【解析】
连接 DE,于是三角形 AEF的面积=三角形 EFD的面积，所求被转化为三角形 EDC的面积。因
为 F 是 AD 中点，所以三角形 AEC 的面积和三角形 EDC 的面积相等，设 S BDE 为 1 份,则
S AEC=S EDC为 3份 因此 S ABC一共 7份，
1 3
每份面积为 所以 S EDC占 3份为 。
7 7
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】（难度等级 ※※）
如右图 BE= BC，CD= AC，那么三角形 AED的面积是三角形 ABC面积的几分之几？
1
【答案】
2 A
【解析】
A B
上图中，三角形 AEC 与三角形 ABC的高相等，而 BE= BC，于是 EC=
D C
D
SAEC 2BC， B E C
SABC 3 A
1 3
又由于三角形 AED与三角形 AEC 的高相等，而 CD= AC,于是 AD= AC,
4 4
D
SAED 3 B
S E CAEC 4
3 3 2 1
所以，三角形 AED的面积= ×三角形 AEC的面积= × ×三角形 ABC的面积 = ×三角
4 4 3 2
形 ABC的面积
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
A
【难度系数】1
D
B
E C
【试题来源】
【题目】
在右图中，AE:EC=1:2，CD:DB=l:4，BF:FA=1:3，三角形 ABC 的面
积等于 1．那么四边形 AFHG 的面积是多少
1 1 1 131
【答案】 SAFHG S ABE S BFH S AEG
3 36 39 468
【解析】
如下图所示，我们分别求出△BFH、△AGE的面积问题也就解决．
① 如上左图，我们设 S BFH x,则 S AFH 3x ;设 S AFE y ,则 S CEH 2y . 于是有
12x 3y 1
1 3 1 1
S ABE 4x y , S ACF 3y 3x 有 3 ,则9x ,所以 x
3 4 3x 3y 4 36
4
② 如上右图,我们设 S AEG a ,则 S CEG 2a ;设 S CDG b ,则 S BDC 4b .于是有
15a 5b 1
1 2 1 1
S ACD 3a b , S BCE 2a 5b .有 2 ,则13a ,所以a .
5 3 2a 5b 3 39
3
1 1 1 131
这样, S . AFHG S ABE S BFH S AEG
3 36 39 468
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5
【试题来源】
F
【题目】
A B
G
如图所示，四边形 ABCD 与 AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积
D E C
相等．
【答案】 SABCD SAEGF
【解析】
连接 BE
1 1
显然有 S ， ABE SABCD S ABE SAEGF
2 2
所以 SABCD SAEGF
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
D C
如图，在长方形 ABCD 中，Y是 BD的中点，Z是 DY的中点，如果 AB=24 Z
厘米，BC=8 厘米，求三角形 ZCY 的面积． Y
A B
【答案】24
【解析】
SABCD AB BC 192平方厘米
因为 Y是 BD 中点，Z是 DY中点，所以
1 1 1 1 1 1
S ZCY ( S CDB ) [ ( SABCD )] SABCD 24
2 2 2 2 2 8
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
如图，正方形 ABCD 的边长为 4厘米，EF和 BC平行， 三角形 ECH的面积是 7平方厘米，求
EG的长。
【答案】3.5
【解析】
A H D
1 1
×EG×AE + ×EG×EB = 7 平方厘米
2 2 GE F
1
即 ×EG×AB=7 平方厘米；EG=3.5 厘米
2
B
【知识点】等高成比 C
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
d
23
x
a
【试题来源】 b
32 c
【题目】 12
如图已知四边形 ABCD 和 CEFG 都是正方形，且正方形 ABCD 的边长为
10厘米，那么图中阴影三角形 BFD的面积为多少平方厘米
【答案】50
【解析】
连接 CF
由 ABCD 和 CEFG 都是正方形有 BDC DCF 45
所以 BD CF .
由平行线间距离相等知三角形 BDF 和三角形 BDC同底等高
1
所以 S BFD S BCD SABCD 50
2
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
如图，一个长方形被切成 8块，其中三块的面积分别为 12，23，32，则图中阴影部分的面
积为
【答案】67
【解析】
23
如右图，已知
a+b+x=23+a+32+12+b 32
12
所以 x=23+32+12
x=67.
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
如图，平行四边形 ABCD 周长为 75 厘米，以 BC 为底时高是 14 厘米；以 CD 为底时高是 16
厘米。求平行四边形 ABCD的面积。
【答案】280
【解析】
BC×14=CD×16，BC：CD=16：14，
A
75 75 16 D
BC+CD= ，BC= × =20
2 2 16 14
ABCD面积=14×20=280（平方厘米）
F
【知识点】等高成比 B E C
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
A D
【题目】
如右图，正方形 ABCD 的边长为 6 厘米，△ABE、△ADF 与四边形 AECF 的
面积彼此相等，求三角形 AEF的面积. F
【答案】10
B E C
【解析】
因为△ABE、△ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，所以四边形 AECF的面积与△ABE、△ADF
的面积都等于正方形面积的三分之一，也就是：
1
S四边形AECF S△ABE S△ADF 6 6 12
3
在△ABE中，因为 AB＝6.所以 BE＝4，同理 DF＝4，因此 CE＝CF＝2，
∴△ECF的面积为 2×2÷2＝2．
所以 S△AEF S S△ECF =12 2=10（平方厘米）． 四边形AECF
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
如图，有四个长方形的面积分别是 1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和 4平方厘米，组
合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。
10
【答案】
21
E M
【解析】 A D
【解法 1】如图，阴影部分的面积可以“等积变形”为下图 G
H
中的深色三角形的面积。
B
F C
已知等宽的长方形面积之比就是相对的底边之比，所以，设
大长方形的长为 a厘米，宽为 b厘米，则有：
GH的长度为：
3 1 2
a a a
3 4 1 2 21
1 2 1 2 10
所以，阴影部分的面积为 × a ×b= × ×10= (平方厘米)
2 21 2 21 21
【解法 2】如图，
1 1
S 阴影=S△ABH-S△ABG= S 长方形 ABFP- S 长方形 ABOE
2 2
3 3
长方形 ABFP= ×长方形 ABCD= ×10
3 4 7
1 1
长方形 ABOE= ×长方形 ABCD= ×10
1 2 3
1 3 1 10
S 阴影= ×（ ×10- ×10）= (平方厘米) E P
2 7 3 21 A D
【知识点】等高成比
G H
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
B CO F
【试题来源】
【题目】
A
B D
如图，四边形 C 的面积是 66 平方米， EA AB ，
H
CB BF ， DC CG， ，求四边形 的面 C G
积． D
B
【答案】 66S AABCD
5 F
【解析】如图，连接DE 、DB、 BG E
1
由 DC CG，CB BF 有 S ；同理有 CDB S CGB S CGF
2
1
S S 所以 ADB AHE
2
1 1
S ABCD S ADB S CDB S AHE S CFB
2 2
连接CH 、CA、 AF ，同样有
1 1
SABCD S DHG S BFE
2 2
所以
SEHGF S DHG S BFE S AHE S CFB SABCD 5SABCD
66
因此 SABCD
5
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
如图，三角形 ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，
BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？
1
【答案】 S甲 S乙
5
【解析】
1 1
由 BD DC BD=DC 有 BD BC ；由 BE 3， AE 6，有 BE AB .由鸟头定理有
2 3
1 1 1 5 1
S甲 S S ， ，故 . ABC ABC S乙 S ABC S甲 S ABC S甲 S乙
3 2 6 6 5
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD分成四个部分，
△AOB面积为 1平方千米，△BOC 面积为 2平方千米，△COD的面
积为 3平方千米，公园陆地的面积是 6.92平方千米，求人工湖的
面积是多少平方千米？
【答案】0.58
【解析】
由任意四边形的蝴蝶定理有 S AOB S COD S AOD S BOC
所以 S AOD 1 3 2 1.5平方千米，故公园总面积为
1 3 2 1.5 7.5平方千米，人工湖面积为7.5 6.92 0.58平方千米
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
如图，P是三角形 ABC内一点，DE平行于 AB，
FG平行于 BC，HI平行于 CA，四边形 AIPD的面积是 12，四边
形 PGCH 的面积是 15，四边形 BEPF的面积是 20．那么三角形
ABC的面积是多少
【答案】40
【解析】
如果知道三角形
PDG、PEH、PFI 各自的面积，则三角形 ABC的面积就等于三个四边形和上述三个三角形的面
积之和．但是题中没有给出任何长度的信息，要计算三角形 PDG、PEH、PIV 的面积，惟一
可行的办法是把它们和三个已知面积的四边形比较，找出它们面积之间的关系．在比较过
程中，三角形之间的面积关系是最容易分析的，所以应该添加辅助线，把四边形分割成三
角形，然后再进行比较．
显然四边形 AIPD、PGCH、FPEB都是平行四边
形．因为平行四边形 FPEB 与平行四边形 Pl；CH 的高相等，所以它们的面积比等于它们的
底边长度之比．因此有：
同样的道理
我们先计算三角形 PEH 的
面积．连接线段 PC、HD，如图 7—7所示．因为 IH平行于 AC，
利用等底等高三角形面积相等，我们有
注意到三角形 HPE与三角形 HPD底边共线，高相等，所以
从而有
接着计算三角形 PGD 的面积．连接线段 EG、HG，如图 7—8 所示，因为 FG 平行于 BC，
同样利用等底等高三角形面积相等，有
因为三角形 GDP和三角形 GPE 底边共线，高相等，所以
从而有
最后计算三角形 PFI的面积．连接线段 FH、PB，如图 7—9所示．因为 FG平行 BC，以
因为三角形 FPH和三角形 FPI 底边共线，高相等，所以
从而有
最后得
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积
是多少平方厘米
400 800
【答案】20 20
3 3
【解析】
如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接 BG．
设△AEG的面积为 x，显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为 x，则△ABF
1 100
的面积为 3x， S 即 ABF 20 10 100 x ，那么正方形内空
2 3
400
白部分的面积为4x .
3
400 800
所以原题中阴影部分面积为 20 20 (平方厘米)．
3 3
【知识点】等高成比
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
习题演练
【试题来源】
A
【题目】如图，三角形 ABC 中， DC 2BD，CE 3AE ，
E
三角形 ADE 的面积是 20平方厘米，三角形 ABC 的面积是多
少？
【答案】120 B CD
【解析】120
【知识点】等高成比
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三
块面积分别是 13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？
【答案】97
【解析】97
【知识点】等高成比
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是
4 厘米， 求三角形 ABC 的面积。
【答案】8
【解析】8
【知识点】等高成比
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】 H
A B E
G D C
F
【题目】 如图，平行四边形 ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形 ABCD
的面积是 2， 求平行四边形 ABCD与四边形 EFGH的面积比.
【答案】1：17
【解析】1:17
A
【知识点】等高成比 F
【适用场合】随堂课后练习 B
C E
【难度系数】3
D
【试题来源】
1
【题目】如图，在△ABC中，延长 BD=AB，CE= BC，F是 AC的中点，若△ABC的面积
2
是 2，则△DEF的面积是多少？
【答案】3.5
【解析】3.5
【知识点】等高成比
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3

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