资源简介

学科培优 数学
圆与扇形
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本讲主要介绍与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题。学校里已讲过基本的圆和扇形周长以及面积的计算公式，这里主要介绍对对象进行适当的移动、拼割、分部以简化运算为目的的方法.
重点难点
1.复杂图形的化简
2.带入圆周率时的计算准确度
考点
1．熟练运用分割、拼补等手段简化运算
2．结合情景的曲线面积计算
知识梳理
一、圆形的面积与周长
(1) 圆的周长（d为直径，r为半径）
(2) 圆的面积
【授课批注】
公式很简单，主要是如何化为简单的公式运算。注意到面积公式可表示为周长与半径之积的一半，说明圆的面积计算推导与三角形面积公式有关。
二、扇形的面积与弧长
(1)扇形的弧长
(2)扇形的面积
例题精讲
【试题来源】
【题目】如图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率取3.1416，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米
【试题来源】
【题目】如图，一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，其中盘A直径为10厘米，盘B直径为40厘米，盘C直径为20厘米．问：A顺时针方向转动一周时，重物上升多少厘米 ( 取3.14．)
【试题来源】
【题目】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长
【试题来源】
【题目】如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的，是小圆面积的．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米
【试题来源】
【题目】如图，用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米
【试题来源】
【题目】图中是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．让A点不动，把整个半圆逆时针转，此时B点移动到C点，如图所示．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米
【试题来源】
【题目】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米
【试题来源】
【题目】如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率取近似值
【试题来源】
【题目】如图17-13，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB长40厘米．求BC的长度．(取3.14)
【试题来源】
【题目】图中阴影部分的面积是多少平方厘米
【试题来源】
【题目】如下页图.等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等.求扇形所在的圆面积.
【试题来源】
【题目】平面上有7个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是10，那么阴影部分的面积是多少
【试题来源】
【题目】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米．(π取3．14)
【试题来源】
【题目】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右下图)．那么，阴影部分的面积是多少平方米？
【试题来源】
【题目】在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差.
【试题来源】
【题目】如下图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15厘米，是以C为圆心，AC为半径的圆弧，求阴影部分面积．
【试题来源】
【题目】如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积．
【试题来源】
【题目】求图中阴影部分的面积．(取3.14)
【试题来源】
【题目】如下图所示，曲线PRSQ和ROS是两个半圆．RS平行于PQ．如果大半圆的半径是1米，那么阴影部分是多少平方米？(π取3.14)
【试题来源】
【题目】右图是由正方形和半圆形组成的图形，其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点，已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少 (丌取3．14)
习题演练
【试题来源】
【题目】.右图是一个圆心角为45°的扇形，其中直角三角形BOC的直角边为6厘米，求阴影部分面积。
【试题来源】
【题目】分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以2厘米为半径画弧，得到右图；那么，阴影图形的周长是_______厘米。（π取3.14）
【试题来源】
【题目】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中 阴影部分
面积为，空白部分面积为，那么这两个部分的面积之比是多少？
【试题来源】
【题目】 如右图，图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为10厘米的正五边形，求五边形内阴影部分的面积．（取3.14）
【试题来源】
【题目】 如右图所示，平行四边形ABCD的面积是40cm2，求图中
阴影部分的面积。学科培优 数学
圆与扇形
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本讲主要介绍与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题。学校里已讲过基本
的圆和扇形周长以及面积的计算公式，这里主要介绍对对象进行适当的移动、拼
割、分部以简化运算为目的的方法.
重点难点
1.复杂图形的化简
2.带入圆周率时的计算准确度
考点
1．熟练运用分割、拼补等手段简化运算
2．结合情景的曲线面积计算
知识梳理
一、圆形的面积与周长
(1) 圆的周长C d 2 r （d为直径，r 为半径）
1
(2) 圆的面积 S r 2 Cr
2
【授课批注】
公式很简单，主要是如何化为简单的公式运算。注意到面积公式可表示为周长与半径
之积的一半，说明圆的面积计算推导与三角形面积公式有关。
二、扇形的面积与弧长

(1)扇形的弧长 l 2 r
360
1
(2)扇形的面积 S 2扇 r lr360 2
例题精讲
【试题来源】
【题目】如图，有 8个半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成
一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率 取 3.1416，
那么花瓣图形的面积是多少平方厘米
【答案】19.1416 平方厘米
【解析】
如下图，添上部分辅助线，有花瓣的面积为 4 个边长为 2 的小正方形面积加上 4 个 的面
3 1
积减去 4 个 的面积，即加上 4 4 1 个半径为 1 的圆的面积．
4 2
所以花瓣组成的图形的面积为 4×2×2+1×1×1 7 16+3.1416=19.1416 平方厘米．
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】如图，一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，其中盘 A
直径为 10 厘米，盘 B 直径为 40 厘米，盘 C 直径为 20 厘米．问：A
顺时针方向转动一周时，重物上升多少厘米 ( 取 3.14．)
【答案】3.14厘米
【解析】
1 1
A 顺时针转一周时，C顺时针转 周，同轴的 B 也顺时针转 周，从而绳索被拉动的距离等
2 2
1
于 B的半个圆周长即 ×20 62.8，这时重物应该上升去 ×62.8=31.4．
2
所以重物上升 31.4 厘米．
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为 20厘米，中间
有一直径为 6 厘米的卷轴．已知纸的厚度为 0.4 毫米，问：这
卷纸展开后大约有多长
【答案】7143.5 厘米
【解析】
将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里
的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积．
因此，纸的长度 ：
纸卷侧面积 3.14 102 3.14 32 3.14 100 9
7143.5(厘米)
纸的厚度 0.04 0.04
所以，这卷纸展开后大约 71.4 米．
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
4
【题目】如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的 ，是小圆面积的
15
3
．如果量得小圆的半径是 5 厘米，那么大圆半径
5
是多少厘米
【答案】7.3厘米
【解析】
小圆的面积为 52 25 ，则大小圆相交部分面
3
积 为 25 15 , 那 么 大 圆 的 面 积 为
5
15 4 225 225 15 15 ，而 ，所以大圆半径为 7.5 厘米．
15 4 4 2 2
【试题来源】
【题目】如图，用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了 7
个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米
【答案】8 平方厘米
【解析】
1 1
有小圆直径的 3 倍为大圆的直径，所以小圆的面积是大圆的 ( )2 ，现在剪去 7个小圆，
3 9
7 1 7 7 2它们的面积和为 ，所以剩下的角料的面积为大圆面积的1 ．
9 9 9 9
2
即所余下的边角料的总面积是 36× =8 平方厘米．
9
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】图中是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径．让 A 点不动，
把整个半圆逆时针转60 ，此时 B 点移动到 C 点，如图所示．那么
图中阴影部分的面积是多少平方厘米
【答案】4.71平方厘米
【解析】
有图中阴影部分面积等于以 AC 为直径的半圆，以 AC 为半径的60 扇
形的面积和减去以 AB 为直径的半圆面积，所以面积相等．
那么阴影部分的面积等于以 AC 为半径的 60 扇形的面积，即
60
32 1.5×3.14=4.71 平方厘米．
360
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是
该正方形的中心．如果每个圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总
面积是多少平方厘米
【答案】8 平方厘米
【解析】
方法一：如下图所示
可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，而这个正方形与图 17-12 中的正方形形
状、大小相同．
每个正方形的面积为(1×1÷2) ×4=0.5×4=2平方厘米，所以阴影部分的总面积为 2
×4=8平方厘米．
方法二：我们可以将图中空白部分分成 8 个形状相同、面积相等的小图形
1
其在圆内的位置如下图，有弓形 部分面积为 圆马等腰直角三角形 ABO 的面积
4
1
差，即为 12 1 1 1 1 3.14 0.5 0.285 .
4 2 4
原题图中的整个图形的面积为四个圆的面积减去公共的 4 个 的面积，即 8
个 的面积，而阴影部分面积又是整个图形面积减去 4 个 的面积，即 8 个
的面积.
那么，原题图中阴影部分面积为 4个圆面积减去 16 个 的面积．
所以，原题图中阴影部分总面积为 4 12 16 0.285 4 3.14 4.56 =8(平方厘
米)．
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，四分之一大圆的半径为 7，求阴影部分的面积，其中圆周率
22
取近似值 7
【答案】14
【解析】
原题图中的左边部分可以割补至如下图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去
其内的等腰直角三角形面积即为所求．
1 1 22
因为四分之一大圆的半径为 7，所以其面积为 72 72 =38.5．
4 4 7
1
四分之一大圆内的等腰直角三角形 ABC 的面积为 ×7×7=24.5，所以阴影部分的面积为
2
38.5-24.5=14．
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】如图 17-13，三角形 ABC 是直角三角形，阴影部分①比
阴影部分②的面积小28平方厘米，AB长40厘米．求BC的长度．(
取 3.14)
【答案】32.8厘米
【解析】
【分析与解】
1
图中半圆的直径为 AB，所以其面积为 202 200×3.14=628．
2
有空白部分③与①的面积和为 628，又②-①=28，所以②、③部分的面积和 628+28=656．
1 1
有直角三角形 ABC 的面积为 ×AB×BC= ×40×BC=656．所以 BC=32.8 厘米．
2 2
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】图中阴影部分的面积是多少平方厘米
【答案】12.765 平方厘米
【解析】
如下图，为了方便说明标上字母，并称曲线四边形 BCFE 的面积为“①”．
将扇形 ABC 的面积称为“大扇形”，扇形 CDF 的面积称为“小
扇形”，长方形 BCDE 的面积称为“长方形”．
阴影部分面积=大扇形-①，①=长方形-小扇形．
所以有阴影部分面积=大扇形-(长方形-小扇形)=大扇形+小扇
形-长方形．
1 52 1 22 2 5 29 3.14 4 10=12.765(平方厘米)．
4 4
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如下页图.等腰直角三角形 ABC 的腰为 10 厘米；以 A 为圆心，EF
为圆弧，组成扇形 AEF；阴影部分甲与乙的面积相等.求扇形所在的圆面
积.
【答案】400平方厘米
【解析】
【分析与解】
△ABC 是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠A=∠B＝45°。S 甲＝S 乙，即 S△ABC 的面积等于
以 AE 为半径，圆心角是 45°的扇形面积.根据已知条件，可求出三角形 ABC的面积从而可
求出圆面积。
10 10
三角形 ABC的面积： 50
2
周角是 45°圆心角的几倍？360×45=8；
圆面积：50×8＝400（平方厘米）。
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】平面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆
的面积都是 10，那么阴影部分的面积是多少
【答案】20
【解析】
题中阴影部分面积可以视为一个完整的圆与 6 个 阴影
部分的面积和．

而图形①可以通过割补得到图形② 而图形②是一个圆心角为60 的扇形，即
1
圆．
6
1
所以，原题图中阴影部分面积为 1 个完整圆与 6 个 圆，即 2 个圆的面积．
6
即原题图中阴影部分面积为 2×10=20．
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如右图，正方形的边长为 5 厘米，则图中阴影部分的面积
是 平方厘米．(π取 3．14)
【答案】7.125 平方厘米
【解析】
【分析与解】
阴影部分的面积等于以AB为半径的半圆加上扇形ADE减去三角形ABD，
所以阴影部分的面积==7.125（平方厘米）.
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座
大钟的钟面有 10 平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影
(如右下图)．那么，阴影部分的面积是多少平方米？
【答案】5 平方米
【解析】
将原题图中的等边三角形旋转30°，得到右上图．因为△AOD，△BOD
都是等边三角形，所以四边形△OBD是菱形，推知△AOB与△ADB面积相等．又因为弦AD所对
的弓形与弦BD所对的弓形面积相等，所以扇形AOBD中阴影部分面积占一半．同理，在扇形AOC，
扇形BOC中，阴影部分面积也占一半．所以，阴影部分面积占圆面积的一半，是10÷2=5(平
方米)．
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是 2 和 4，求两个阴影部
分的面积差.
【答案】1.42
【解析】
我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去
小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形
扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：4
π×4×4－4π×2×2－4×2＝3×3.14－8＝1.42．
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】如下图，AB 与 CD是两条垂直的直径，圆 O 的半径为 15
厘米， 是以 C 为圆心，AC 为半径的圆弧，求阴影部分面积．
【答案】225平方厘米
【解析】
阴影部分面积
＝225（平方厘米）
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于 17
厘米，半径为 10 厘米，求阴影部分的面积．
【答案】见解析
【解析】
阴影部分由两个相等的弓形组成，
我们只需要求出一个弓形面积，然后二倍就是要求的阴影面积了．由已知若分别连结AO1，
AO2，BO1，BO2，O1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形（各边长等于半径），则∠
AO2O1＝∠BO2O1＝60°，即∠AO2B＝120°．
这样就可以求出以 O2 为圆心的扇形 AO1,BO2 的面积，然后再减去三角形 AO2B的面积，就得
到弓形面积，三角形 AO2B的面积就是二分之一底乘高，底是弦 AB，高是 O1O2的一半．
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】求图中阴影部分的面积．( 取 3.14)
【答案】107平方厘米
【解析】
我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的①、
②部分面积和即可，其中①、②面积相等．
易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边 AB 的长度未知．单独求①
部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如下图所示，则①、②部分变为一个以
AC 为直角边的等腰直角三角形，而 AC 为四分之一圆的半径，所以有 AC=10．
1 1
两个四分之一圆的面积和为 2 102 50 3.14 =157，而①、②部分的面积和为
4 2
×10×10=50，所以阴影部分的面积为 157-50=107(平方厘米)．
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】如下图所示，曲线 PRSQ 和 ROS 是两个半圆．RS
平行于 PQ．如果大半圆的半径是 1 米，那么阴影部分是
多少平方米？(π取 3.14)
【答案】1.07
【解析】
如左下图所示，弓形RS的面积等于扇形ORS的面积
与三角形ORS的面积之差，为
形ROS的面积为：
原题阴影部分的面积为：
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】右图是由正方形和半圆形组成的图形，其中 P 点为半圆周
的中点，Q 点为正方形一边的中点，已知正方形的边长为 10，那么
阴影部分的面积是多少 (丌取 3．14)
【答案】51.75
【解析】
阴影部分不规则，不容易直接计算它的面积，但是空白部分和整个图形的面积是容易计
算的，利用：
阴影面积=总面积－空白面积
就可以求得阴影的面积．过 P 点作 DC 的垂线，交 DC 于 M 点，延长线段 BC，过 P 点向
BC 作垂线，交 BC于 N 点，连接 BP，所得的图形如图 7—19 所示，因为 P是半圆的中点所以
M 是 DC 的中点，即 M 点是半圆的圆心，所以 MP=MC=10÷2=5，并且四边形 PMCN是一
个正方形，因为 Q 是 BC的中点，所以 BQ=10÷2=5．
于是有：
最后得：
【知识点】圆与扇形
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
习题演练
【试题来源】
【题目】.右图是一个圆心角为 45°的扇形，其中直角三角形 BOC的直角边
为 6 厘米，求阴影部分面积。
【答案】10.26
【解析】10.26
【知识点】圆与扇形
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】分别以一个边长为 2 厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以
2厘米为半径画弧，得到右图；那么，阴影图形的周长是_______厘米。
（π取 3.14）
【答案】12.48
【解析】12.48
【知识点】圆与扇形
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中 阴影部分
面积为 S1，空白部分面积为 S2 ，那么这两个部分的面积之比是多少？
【答案】1.14:2
【解析】1.14:2
【知识点】圆与扇形
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】 如右图，图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为 10
厘米的正五边形，求五边形内阴影部分的面积．（ 取 3.14）
【答案】117.75
【解析】117.75
【知识点】圆与扇形
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】 如右图所示，平行四边形 ABCD的面积是 40cm2，求图中
阴影部分的面积。
【答案】10 cm2
【解析】10 cm2
【知识点】圆与扇形
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3

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