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列方程解应用题
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知识定位
有些数量关系比较复杂的应用题，用算术方法求解比较困难。此时，如果
能恰当地假设一个未知量为 x（或其它字母），并能用两种方式表示同一个量，
其中至少有一种方式含有未知数 x，那么就得到一个含有未知数 x 的等式，即方
程。利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。
方程作为一种数学工具对于解题有相当大的帮助，并且在代数学中乃至整
个数学中有重要的意义。
列方程与方程组解应用题关键注意以下几点：
1、设未知数的主要技巧和手段：把与其他数量关系紧密的关键量设为“x”.
2、用代数法来表示各个量：利用“x”表示出所有未知量或变量.
3、找准等量关系，构建方程：明显的等量关系与隐含的等量关系的寻找
知识梳理
1、列一元一次方程解应用题
方程是代数学最基本的模型，而一元一次方程是方程中最简单的种类.
解一元一次方程的步骤：
（1）、去分母（2）、去括号（3）、移项（4）、合并同类项（5）、系数化 1
2、二元一次方程组
列方程组解应用题的主要步骤与列方程解应用题基本没有区别，由于可以
多设未知数，所以通过列方程组解应用题可以有更多的选择,但解方程组的过程
更需要一些技巧方法，其中最关键的步骤是消元，“消元”顾名思义减少方程组
中未知数的个数，解方程组的消元方法主要有①代入消元法.②加减消元法.
加减消元法：将方程组中的某个未知数的系数调整为相等，将方程组中方
程的相减达到消元目的.
代入消元法：利用方程组中的某条方程得到某项未知数的代数表达式，然
后将它代入方程组中的其他方程达到消元目的.
消元后，把方程转化成一元一次方程求解。
3、重点难点解析
重点：列方程及方程组解应用题的主要步骤：
（1）仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中
的其他量有着紧密的数量关系.
（2）设这个量为 x，用含 x 的代数式来表示题目中的其他量.
（3）找到题目中的等量关系，建立方程.
（4）解方程.
（5）通过求到的关键量求得题目答案.
难点：
（1）恰当的假设未知数
（2）从已知条件中寻找等量关系，列出方程或方程组并求解。
4、竞赛考点挖掘
（1）找关键量设为未知数
（2）联系其他知识点，寻找等量关系构建方程
例题精讲
【试题来源】
【题目】
已知足球、篮球、排球三种球平均每个 35元.篮球比排球每个贵 10 元，足球比排球每个贵
8 元.问：每个篮球多少元？
【答案】29
【解析】
找等量关系，足球+篮球+排球等于平均价格乘以 3
设每个排球 x 元，则每个篮球为 x+10 元，每个足球 x+8元，由已知列方程：
x+x+8+x+10=35×3，
解得 x=29.
所以每个篮球 x+10=29+10=39 元。
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
有一些糖，每人分 5 块多 10 块；如果现有的人数增加到原人数的 1.5 倍，那么每人 4 块就
少 2块.问这些糖共有多少块
【答案】70
【解析】
这道题属于盈亏问题，盈亏问题用方程解决很容易。
等量关系为两种分法的糖总数不变
设开始共有 x 人，
5x+10=4×1.5x-2，
解得 x=12，
所以这些糖共有 12×5+10=70 块．
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
甲、乙、丙、丁四人今年分别是 16、12、11、9岁。问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、
丁年龄和的 2倍？
【答案】6 年前
【解析】
这是一道年龄问题，也可以用方程来解决。等量关系为：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、
丁年龄和的 2 倍。关键：在相同的时间内，每个人增加或减少的年龄是相同的。
设 x 年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的 2 倍.
16+12-2x=2×(11+9-2x),
解得 x=6.
所以，6 年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的 2 倍.
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
有一队伍以 1.4 米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以 2.6 米/秒的
速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了 10 分 50 秒。问：队伍有多长？
【答案】600
【解析】
这是一道“追及又相遇”的行程问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路
程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如果
设通讯员从末尾到排头用了 x 秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难
列方程。
解：设通讯员从末尾赶到排头用了 x 秒，依题意得
2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。
解得 x＝500。
所以队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）。
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
如图 18—2 中的短除式所示，一个自然数被 8除余 1，所得的商被 8 除余 1，再把第二次所
得的商被 8 除后余 7，最后得到的一个商是a．图 18-3中的短除式表明：这个自然数被 17
除余 4，所得的商被 17除余 15，最后得到的一个商是a的 2 倍．求这个自然数．
【答案】1993
【解析】
由题意知 8a 7 8 1 8 1 17 2a 17 4, 整理得 512a+457=578a+259，即
66a=198，a=3．
于是，[(80+1)×8+1]× 8+1=1993．
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
1
一个分数，分子与分母的和是 122，如果分子、分母郡减去 19，得到的分数约简后是 ．那
5
么原来的分数是多少
33
【答案】
89
【解析】
a
方 法 一 ： 设 这 个 分 数 为 ， 则 分 子 、 分 母 都 减 去 19 为
122 a
a 1 9 = a 1 9 = 1 ,即 5a -95=103-a ,解得 a 33 ,则 122-33=89．所
(1 2 2 a ) 1 9 1 0 3 a 5
33
以原来的分数是
89
a a 19
方法二：设这个分数为变化后为 ，那么原来这个分数为 ，并且有
5a 5a 19
(a 19) (5a 19) 33=122, ，解得。=14．所以原来的分数是 ．
89
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
有 43位同学，他们身上带的钱从 8 分到 5 角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全
部钱各自买了画片．画片只有两种：3 分一张和 5 分一张．每 11 人都尽量多买 5 分一张的
画片．问他们所买的 3分画片的总数是多少张
【答案】84
【解析】
钱数除以 5 余 0，1，2，3，4 的人，分别买 0，2，4，1，3 张 3 分的画片．因此，可
将钱数 8分至 5角 2分这 45种分为 9组，每连续 5个在一组，每组买 3分画片 0+2+4+1+3=10
张，9 组共买 10×9=90 张，去掉 5 角 1 分钱中买的 2 张 3 分画片，5 角 2 分中买的 4 张 3
分画片，43 个人买的 3 分画片的总数是 90-2-4=84 张．
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 16 个，或制盒底 43个，一个盒身和两个盒底配成一
个罐头盒，现有 150 张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？
【答案】86 张铁皮制盒身，64张铁皮制盒底
【解析】
依据题意可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮
张数，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量
关系，列出两个方程，组在一起，就是方程组。
两个等量关系是：A 做盒身张数+做盒底的张数=铁皮总张数
B 制出的盒身数×2=制出的盒底数
解：设用 x 张铁皮制盒身，y 张铁皮制盒底。
x y 150 x 86
解得
16x 2 43y

y 64
所以 86 张铁皮制盒身，64张铁皮制盒底
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
运来三车苹果，甲车比乙车多 4 箱，乙车比丙车多 4 箱，甲车比乙车每箱少 3 个苹果，乙车
比丙车每箱少 5个苹果，甲车比乙车总共多 3 个苹果，乙车比丙车总共多 5个苹果，这三车
苹果共有多少个
【答案】673
【解析】
设乙车运 x 箱，每箱装 y 个苹果，列表如下：
车别 甲 乙 丙
箱数 x＋4 x x－4
每箱苹果数 y－3 y y＋5
根据上表可列出如下方程：
（x+4）（y-3）-xy=3
xy-（x-4）（y+5）=5
化简为： 4y-3x=15, ①


5x-4y=15, ②
①+②，得：2x=30，于是 x=15．
将 x=15 代人①或②，可得：y=15．
所以甲车运 19箱，每箱 12个；乙车运 15 箱，每箱 15个；丙车运 11 箱，每箱 20个．
三车苹果的总数是：12×19＋15×15＋20×1 1=673(个)．
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
有甲、乙、丙、丁 4 人，每 3 个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为 29，23，2l和 17．这
4 人中最大年龄与最小年龄的差是多少
【答案】18
【解析】
设这些人中的年龄从大到小依次为 x、 y 、 z 、w，
①+②+③十④得：2( x +y+z+w )=90，
x y z w
则 =15…………………………………………⑤
3
2
①-⑤得： x 14 , x =21；
3
2
④-⑤得： z 2， z=3；
3
所以最大年龄与最小年龄的差为 x w =21—3=18(岁)
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
有一队伍以 1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以 2.6 米/秒的速
度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了 10 分 50 秒。问：队伍有多长？
【答案】600
【解析】
这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路
程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如果
设通讯员从末尾到排头用了 x 秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难
列方程。
设通讯员从末尾赶到排头用了 x 秒，依题意得
2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。
解得 x＝500。推知队伍长为
（2.6-1.4）×500=600（米）。
答：队伍长为 600 米。
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为 3.6 千米
/时，骑车人速度为 10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22
秒，通过骑车人用 26 秒，这列火车的车身总长是多少？
【答案】286
【解析】
本题属于追及问题，行人的速度为 3.6 千米/时=1 米/秒，骑车人的速度为 10.8千米/时=3
米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程
差。如果设火车的速度为 x 米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×
26，由此不难列出方程。
设这列火车的速度是 x 米/秒，依题意列方程，得
（x-1）×22=（x-3）×26。
解得 x=14。所以火车的车身长为
（14-1）×22=286（米）。
答：这列火车的车身总长为 286米。
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
如图，沿着边长为 90 米的正方形，按逆时针方向，甲从 A 出发，每分钟走 65 米，乙从 B
出发，每分钟走 72 米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？
【答案】当乙第一次追上甲时在正方形的 DA边上
【解析】
这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，
再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边
上。
设追上甲时乙走了 x 分。依题意，甲在乙前方
3×90=270（米），
故有
72x＝65x+270。
x 270 270 1解得 ，在这段时间内乙走了 72 2777 （米）
7 7 7
由于正方形边长为 90米，共四条边，故由
可以推算出这时甲和乙应在正方形的 DA边上。
答：当乙第一次追上甲时在正方形的 DA边上。
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水
中的速度为 8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为 2∶1。某天恰逢暴雨，水流速度为
原来的 2 倍，这条船往返共用 9时。问：甲、乙两港相距多少千米？
【答案】20
【解析】
这是流水中的行程问题：
顺水速度=静水速度+水流速度，
逆水速度=静水速度-水流速度。
解答本题的关键是要先求出水流速度。
设甲、乙两港相距 x 千米，原来水流速度为 a 千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水
速度的比为 2∶1，即
8
（8-a）∶（8＋a）＝1∶2，于是有 8+a=2(8-a),解得 a=
3
x x
再根据暴雨天水流速度变为 2a 千米/时，则有 9
8 2a 8 2a
8 x x
把 a= 代入，得 9
3 8 2 8 8 2 8
3 3
解得 x=20。
答：甲、乙两港相距 20 千米。
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5
【试题来源】
【题目】
某人在公路上行走，往返公共汽车每隔 4 分就有一辆与此人迎面相遇，每隔 6 分就有一辆从
背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？
【答案】4.8
【解析】
此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，
是相遇问题，人与汽车 4 分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每
隔 6 分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人 6 分所行的路程差恰是两车的距离，
再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。
设汽车站每隔 x 分发一班车，某人的速度是 v1，汽车的速度为 v2，依题意得
由①②，得
将③代入①，得
x＝4.8
所以汽车站每隔 4.8分钟发一班车
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
六（1）班举行一次数学测验，采用 5 级计分制（5 分最高，4 分次之，以此类推）。男生的
平均成绩为 4 分，女生的平均成绩为 3.25 分，而全班的平均成绩为 3.6分。如果该班的人
数多于 30 人，少于 50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？
【答案】该班有 21个男生和 24个女生
【解析】
设该班有 x 个男生和 y 个女生，于是有
4x+3.25y=3.6（x+y），
化简后得 8x=7y。从而全班共有学生
在大于 30小于 50的自然数中，只有 45可被 15整除，所以
推知 x＝21，y=24。
答：该班有 21 个男生和 24 个女生。
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 9 分，套中小猴得 5 分，套中小狗得 2 分。小明共套了
10 次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套 10 次共得 61 分。问：小明
至多套中小鸡几次？
【答案】5
【解析】
设套中小鸡 x 次，套中小猴 y 次，则套中小狗（10-x-y）次。根据得 61分可列方程
9x+5y+2（10-x-y）=61，
化简后得 7x=41－3y。
显然 y 越小，x 越大。将 y=1 代入得 7x=38，无整数解；若 y=2，7x=35，解得 x=5。
答：小明至多套中小鸡 5 次。
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参
加．男职工每人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵树，每个孩子种 6 棵树，他们一共种了 216
棵树．那么其中有多少名男职工
【答案】12
【解析】
设男职工 x人，孩子 y 人，则女职工 3 y - x人(注意，为何设孩子数为 y 人，而不是
设女工为 y 人)，那么有13x 10 3y x 6y =216，化简为3x 36y =216，即 x 12y =72．
x 12 x 24 x 36 x 48 x 60
有 y 5 y 4
.
y 3

y 2 y 1
x 12
但是，女职工人数为3y x 必须是自然数，所以只有 时，3y x 3满足．
y 5
那么男职工数只能为 12名
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
一次数学竞赛中共有 A、B、C 三道题，25 名参赛者每人至少答对了一题．在所有没有答对 A
的学生中，答对 B 的人数是答对 C 的人数的两倍，只答对问题 A 的人数比既答对 A 又至少答
对其他一题的人数多 1．又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对 A．请问
有多少学生只答对 B
【答案】6
【解析】
设不只答对 A 的为 x人，仅答对 B 的为 y 人，没有答对 A但答对 B 与 C 的为 z 人．
25 x
y
解得： 3 ，
z 23 3x
y z, x 6,
x =7 时， y 、 z 都是正整数，所以 x 7, y 6, z 2。
故只答对 B 的有 6 人．
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
幼儿园有 3 个班，甲班比乙班多 4 人，乙班比丙班多 4 人．老师给小孩分枣．甲班每个小孩
比乙班每个小孩少分 3个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分 5 个枣．结果甲班比乙班总
共多分 3 个枣，乙班比丙班总共多分 5 个枣．问 3个班总共分了多少枣
【答案】673
【解析】
方法一：设甲班有 x人，则乙班有 x -4 人，丙班有戈 x -8 人;甲班每人分得 y 个枣，则乙班
每人分得 y+3 个，丙班每人分得 y+8 个.
那么有甲班共分得 xy 个枣，乙班共分得( x -4)(y+3)个枣，丙班共分得( x -8)( y +8)
个枣．
xy ( x 4)( y 3) 3 3x 4 y 9 x 1 9xy ( x 8)( y 8) 8 整理得 x y 7 , 解得 y 1 2 .
因此，甲班小孩 19 人，每个小孩分枣 12 个；乙班小孩 15 人，每个小孩分枣 15 个；
丙班小孩 11人，每个小孩分枣 20 个． =
19×12+15×15+11×20=673(个)．
所以，三班共分 673个枣．
方法二：
人数 每人枣数 共分枣数
甲班 x+8 y-8 z+8
乙班 x+4 y-5 z+5
丙班 x y z
先看甲、丙两班，有甲班戈人比丙班 x 人少分 8 x 个枣，而甲班共分得枣比丙班多 8
个，所以甲班多出的 8 人共分得 8 x+8 个枣，即每人分得 x+1个枣．那
么有：
人数 每人枣数
甲班 x+8 x+1
乙班 x+4 x+4
丙班 x x+9
再看乙、丙班，乙班 x 人比丙班 x 人少分 5 x 个枣，而乙班共分得的枣比丙班多 5 个
枣，所以乙班多出的 4 人共分得 5x+x 个枣，即每人分得(5x+5)÷4 个枣．
有(5x+5)÷4=x+4，解得 x =11．
因此，甲班小孩 19 人，每个小孩分枣 12 个；乙班小孩 15 人，每个小孩分枣 15 个；
丙班小孩 11人，每个小孩分枣 20 个．
19X 12+15×15+11×20=673(个)．
所以，三班共分 673个枣．
方法三：将甲、乙、丙三个班的两组数据标在图中，并设甲班每人分得枣的个数为 a，丙
班人数为b，不难得到如下每个小图形的面积，如下图所示·
每班分得的枣的总数为每班人数×每班每人分得枣的个数，在图中体现为图形的面积．
三个班分得的枣的总数对应的图形均包含阴影部分，所以有：
甲班枣的总数对应为阴影+8a；
乙班枣的总数对应为阴影+4a +12+3b；
丙班枣的总数对应为阴影+8b；
甲班比丙班多分得 8a -8b=3+5=8，所以有a - b =1 …………………①；
乙班比丙班多分得 4a +12-5b=5 ………………………………… ②，
a 12
由①、②得 b 11
三班分得的枣的总数为：(11+8)×12+(1l+4)×(12+3)+11×(12+8)= 673(个) ．
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5
【试题来源】
【题目】
在同一路线上有 4 个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个
人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的 12 时追上乘助力车的，14时遇到骑自行车
的，而开摩托车的相遇是 16 时．开摩托车的遇到乘助力车的是 17 时，并在 18 时追上了骑
自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助车的
【答案】骑自行车的在 15时 20分遇见骑助力车的
【解析】
12 时以前的位置关系对于这个问题的解决不起任何作用．所以我们从 12 时开始考虑．
设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为 a，b，c，d，设在 12 时骑自行车的与坐汽
车的距离为 x，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为 y．
有
(①+③)×2 一(②+④)，得
3x 10(c d ) x 10，即 (c d )
3
设骑自行车的在 t 时遇见骑助力车的，则
x (t 12) (c d ), t 12 10 t 15 1即 ，所以 ．
3 3
所以骑自行车的在 15时 20 分遇见骑助力车的．
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5
习题演练
【试题来源】
【题目】三个连续自然数，其中最小的那个数的 5 倍等于其他两个数和的 2 倍，那么，这
三个数分别是多少？
【答案】 6、7、8
【解析】6、7、8
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数 1
【试题来源】
【题目】小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形,正好用完,后来又改围
成一个正方形,也正好用完.正方形每条边比三角形每条边少用5枚硬币.小红的五分硬币共
价值几元？
【答案】 3
【解析】3
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】用气枪打气球，打中一个得 5 分，如果未打中，则一枪倒扣 2 分。小明发射
20抢，共得 51 分。他打中了几枪？
【答案】13
【解析】13
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】教室里有若干学生，走了 10个女生后，男生是女生人数的 2 倍，又走了 9 个男生
后，女生是男生人数的 5 倍。问：最初有多少个女生？
【答案】15
【解析】15
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】要将一批《小学数学》杂志打包后送往邮局(要求每包所装册数相同),这批杂志的
3
够打包还多 44本.如果这批杂志刚好可以打 9 包,这批杂志共多少本？
5
【答案】990
【解析】990
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】 某公路干线上,分别有两个小站 A 和 B,A、B 两站相距 63 千米,A 站有一辆汽车其
最大时速为45千米/小时,B站有一辆汽车其最大时速为36千米/小时.如果两车同时同向分
别以最大时速从两站开出.求经过多长时间后,两车相距 108千米？
【答案】5 或 19
【解析】5 或 19
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】体育组第一次买了 6 个排球和 1 个足球共用去 155元，第二次买了 13个排球
和 3 个足球共用去 365元。求每个足球、排球各多少元？
【答案】排球 20，足球 35。
【解析】排球 20，足球 35
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】养鸡场新买来 100 只小鸡，其中母鸡只数的 4 倍比公鸡只数的 3 倍多 120 只，
买来母鸡，公鸡各多少只？
【答案】母鸡 60，公鸡 40
【解析】母鸡 60，公鸡 40
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】 小名有 5 盒奶糖，小强有 4 盒水果糖共值 44元，如果小名和小强对换一盒，
则各人手里的糖的价格相等。一盒奶糖和一盒水果糖各值多少元？
【答案】奶糖 4 元，水果糖 6 元
【解析】奶糖 4 元，水果糖 6 元
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】一家公司购买了 20台设备，包括计算机、投影仪、打印机，共计 80000 元，其中
每台计算机价格 4000 元，投影仪每台 6000元，打印机每台 2000 元，已知计算机购买的数
量是打印机与投影仪数量和的 4 倍，求各台设备购买的数量.
【答案】计算机 16台，投影仪 2 台，、打印机 2 台
【解析】计算机 16台，投影仪 2 台，、打印机 2 台
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】河水是流动的，在 Q 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 P 到 Q，然后穿
过湖到 R，共用 3 小时．若他由 R 到 Q 再到 P，共需６小时．如果湖水也是流动的，速度等
5
于河水的速度，那么从 P 到 Q 再到 R 需 小时．问在这样的条件下，从 R 到 Q 再到 P 需几
2
小时
【答案】 7.5
【解析】7.5
【知识点】列方程解应用题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】5列方程解应用题
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
有些数量关系比较复杂的应用题，用算术方法求解比较困难。此时，如果能恰当地假设一个未知量为x（或其它字母），并能用两种方式表示同一个量，其中至少有一种方式含有未知数x，那么就得到一个含有未知数x的等式，即方程。利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。
方程作为一种数学工具对于解题有相当大的帮助，并且在代数学中乃至整个数学中有重要的意义。
列方程与方程组解应用题关键注意以下几点：
1、设未知数的主要技巧和手段：把与其他数量关系紧密的关键量设为“x”.
2、用代数法来表示各个量：利用“x”表示出所有未知量或变量.
3、找准等量关系，构建方程：明显的等量关系与隐含的等量关系的寻找
知识梳理
1、列一元一次方程解应用题
方程是代数学最基本的模型，而一元一次方程是方程中最简单的种类.
解一元一次方程的步骤：
（1）、去分母（2）、去括号（3）、移项（4）、合并同类项（5）、系数化1
2、二元一次方程组
列方程组解应用题的主要步骤与列方程解应用题基本没有区别，由于可以多设未知数，所以通过列方程组解应用题可以有更多的选择,但解方程组的过程更需要一些技巧方法，其中最关键的步骤是消元，“消元”顾名思义减少方程组中未知数的个数，解方程组的消元方法主要有①代入消元法.②加减消元法.
加减消元法：将方程组中的某个未知数的系数调整为相等，将方程组中方程的相减达到消元目的.
代入消元法：利用方程组中的某条方程得到某项未知数的代数表达式，然后将它代入方程组中的其他方程达到消元目的.
消元后，把方程转化成一元一次方程求解。
3、重点难点解析
重点：列方程及方程组解应用题的主要步骤：
（1）仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系.
（2）设这个量为x，用含x的代数式来表示题目中的其他量.
（3）找到题目中的等量关系，建立方程.
（4）解方程.
（5）通过求到的关键量求得题目答案.
难点：
（1）恰当的假设未知数
（2）从已知条件中寻找等量关系，列出方程或方程组并求解。
4、竞赛考点挖掘
（1）找关键量设为未知数
（2）联系其他知识点，寻找等量关系构建方程
例题精讲
【试题来源】
【题目】
已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元.篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元.问：每个篮球多少元？
【试题来源】
【题目】
有一些糖，每人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，那么每人4块就少2块.问这些糖共有多少块
【试题来源】
【题目】
甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？
【试题来源】
【题目】
有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。问：队伍有多长？
【试题来源】
【题目】
如图18—2中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是．图18-3中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的一个商是的2倍．求这个自然数．
【试题来源】
【题目】
一个分数，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数约简后是 ．那么原来的分数是多少
【试题来源】
【题目】
有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种：3分一张和5分一张．每11人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张
【试题来源】
【题目】
用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？
【试题来源】
【题目】
运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个
【试题来源】
【题目】
有甲、乙、丙、丁4人，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，2l和17．这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少
【试题来源】
【题目】
有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。问：队伍有多长？
【试题来源】
【题目】
铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？
【试题来源】
【题目】
如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？
【试题来源】
【题目】
一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1。某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时。问：甲、乙两港相距多少千米？
【试题来源】
【题目】
某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？
【试题来源】
【题目】
六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）。男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分。如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？
【试题来源】
【题目】
小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。问：小明至多套中小鸡几次？
【试题来源】
【题目】
某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工
【试题来源】
【题目】
一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题．在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1．又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A．请问有多少学生只答对B
【试题来源】
【题目】
幼儿园有3个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人．老师给小孩分枣．甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣．结果甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣．问3个班总共分了多少枣
【试题来源】
【题目】
在同一路线上有4个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的12时追上乘助力车的，14时遇到骑自行车的，而开摩托车的相遇是16时．开摩托车的遇到乘助力车的是17时，并在18时追上了骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助车的
习题演练
【试题来源】
【题目】三个连续自然数，其中最小的那个数的5倍等于其他两个数和的2倍，那么，这三个数分别是多少？
【试题来源】
【题目】小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形,正好用完,后来又改围成一个正方形,也正好用完.正方形每条边比三角形每条边少用5枚硬币.小红的五分硬币共价值几元？
【试题来源】
【题目】用气枪打气球，打中一个得5分，如果未打中，则一枪倒扣2分。小明发射20抢，共得51分。他打中了几枪？
【试题来源】
【题目】教室里有若干学生，走了10个女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9个男生后，女生是男生人数的5倍。问：最初有多少个女生？
【试题来源】
【题目】要将一批《小学数学》杂志打包后送往邮局(要求每包所装册数相同),这批杂志的够打包还多44本.如果这批杂志刚好可以打9包,这批杂志共多少本？
【试题来源】
【题目】 某公路干线上,分别有两个小站A和B,A、B两站相距63千米,A站有一辆汽车其最大时速为45千米/小时,B站有一辆汽车其最大时速为36千米/小时.如果两车同时同向分别以最大时速从两站开出.求经过多长时间后,两车相距108千米？
【试题来源】
【题目】体育组第一次买了6个排球和1个足球共用去155元，第二次买了13个排球和3个足球共用去365元。求每个足球、排球各多少元？
【试题来源】
【题目】养鸡场新买来100只小鸡，其中母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只，买来母鸡，公鸡各多少只？
【试题来源】
【题目】 小名有5盒奶糖，小强有4盒水果糖共值44元，如果小名和小强对换一盒，则各人手里的糖的价格相等。一盒奶糖和一盒水果糖各值多少元？
【试题来源】
【题目】一家公司购买了20台设备，包括计算机、投影仪、打印机，共计80000元，其中每台计算机价格4000元，投影仪每台6000元，打印机每台2000元，已知计算机购买的数量是打印机与投影仪数量和的4倍，求各台设备购买的数量.
【试题来源】
【题目】河水是流动的，在Q点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P到Q，然后穿过湖到R，共用3小时．若他由R到Q再到P，共需６小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，那么从P到Q再到R需小时．问在这样的条件下，从R到Q再到P需几小时

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