资源简介

奇数与偶数
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
有一只蚂蚁停在某个正方体的一个顶角上，每一天，这只蚂蚁都从正方体的一个顶角爬过一条棱到达另一个端点，那么这只蚂蚁是否有可能在10天后恰好到对顶角？
分析：不可能，蚂蚁如果要爬到对顶点，必须竖直棱、横向棱、纵向棱都爬奇数次，而3个奇数的和为奇数，所以不可能在10天后恰好到达对顶角.也可以对正方体的
8个顶点进行相间染色,用染色的方法进行解释.
知识梳理
1.奇数和偶数的定义：
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
注：
数论的主流分析和解题方法都与代数法有关，故讲解定义时对“2k”形式的理解要重点把握，要做到深入浅出。例如可以举出几个偶数的例子，然后进行分解因数，发现所有的偶数都可以表示成一个“2”乘以其他“一堆东西”的形式，然后把“一堆东西”作为一个字母即可，至于为什么用k只是一个习惯，同样也可以用a,b,w,x,y等任何一个字母。
2.奇数与偶数的运算性质：
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数
性质2：偶数±奇数=奇数
注：
性质1，2是最简单的运算性质，要求学生必须掌握。
性质3：偶数个奇数的和或差是偶数
性质4：奇数个奇数的和或差是奇数
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
注：
性质3，4，5用途比较广，是常用分析性质。
性质6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
性质7：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶
授课批注：
性质6，7是本讲的重点，其中性质6是一个重点思想，在判定一些数字相加或相减结果的奇偶性时非常方便。性质7在今后的其他知识点中会经常结合使用。
性质8：奇数的平方可以写作 4k+1 ，偶数的平方可以写作 4k
3.重点难点解析
（1）奇数与偶数的定义和运算性质
（2）分类讨论的思想和代数的思想
4.竞赛考点挖掘
（1）奇数偶数的操作性问题
（2）奇数偶数的性质与其他知识点的结合
例题精讲
【试题来源】
【题目】
下列算式的得数是奇数还是偶数？
(1) 29＋30＋31＋……＋87＋88
(2) （200＋201＋202＋……＋288）－（151＋152＋153＋……＋233）
(3) 35＋37＋39＋41＋……＋97＋99
【试题来源】
【题目】
能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。
(1) 1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10
【试题来源】
【题目】
能否从、四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.
【试题来源】
【题目】
是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115
【试题来源】
【题目】
是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？
【试题来源】
【题目】
你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数
【试题来源】
【题目】
任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？
【试题来源】
【题目】
两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？
【试题来源】
【题目】
元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？
【试题来源】
【题目】
是否能存在一个多面体，它的表面由9个三角形，4个四边形，3个六边形组成？
【试题来源】
【题目】
在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和 列数加起来，填在这个方格中，例如a=5+3=8．问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多
【试题来源】
【题目】
桌面上放着5个杯子，杯口都向下倒扣在桌面上，如果翻动一次，杯口便朝上，现在如果翻动5个杯子的总数可以为任意偶数次，且一个杯子可以翻动的次数不做限制，那么可否将5个倒扣在桌面上的杯子都杯口朝上呢？
【试题来源】
【题目】
沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果 说明理由．
【试题来源】
【题目】
36盏灯排成6×6的方阵，这36盏灯中只有9盏灯是亮着的，现在作一些操作，每次操作拉一下同一行或同一列灯的开关，请问能否经过若干次操作，使这36盏灯全部亮. 如果36盏灯当中有两盏灯是亮着的，那么是否有可能经过若干次操作，使这36盏灯全部亮.
【试题来源】
【题目】
多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中刻有“点”，点的个数分别为0，1，2，…，6个不等，其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1，…，两个6；其余21张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如：
现将一付多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多少点 并简述你的理由．
【试题来源】
【题目】
一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？
【试题来源】
【题目】
一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，n+1段线段中两端的端点为一黑一白的个数是奇数还是偶数？
【试题来源】
【题目】
有8个棱长是1的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字1，第二组相对的面上都写着数字2，第三组相对的面上都写着数字3(如图)．现在把这8个小正方体拼成一个棱长是2的大正方体.。问：是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数
【试题来源】
【题目】
圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”证明：k为偶数．
【试题来源】
【题目】
有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜色的球，现在小峰每次从口袋中取出3个球，如果发现三个球中有两个球的颜色相同，就将第三个球放还回口袋，如果三个球的颜色各不相同，就往口袋中放一个黄球，已知原来有红球42个、黄球23个、蓝球43，那么取到不能再取的时候，口袋里还有蓝球，那么蓝球有多少个？
习题演练
【试题来源】
【题目】是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？
2 3 4 5 6 7 8 9 10＝36
若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
【试题来源】
【题目】能否从1、3、5、7、9、11、13、15这8个数中选出3个数来，使它们的和为24？
【试题来源】
【题目】将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数45045
【试题来源】
【题目】你能不能将整数数0到8分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数
【试题来源】
【题目】黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？
【试题来源】
【题目】一队小朋友表演球操，每人都拿着一个球，其中拿篮球的人比拿排球的多1人，拿排球的人比拿足球的多1人。
　　（1）如果拿足球的人数是奇数，这队小朋友的人数是奇数还是偶数？
　　（2）如果拿排球的人数是奇数，这队小朋友的人数是奇数还是偶数？
【试题来源】
【题目】用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：
　　a×b×c×d-a=1991
　　a×b×c×d-b=1993
　　a×b×c×d-c=1995
　　a×b×c×d-d=1997
　　试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在.
【试题来源】
【题目】在ll张卡片上各写有一个不超过4的数字．将这些卡片排成一行，得到一个1l位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个1l位数．证明：这两个11位数的和至少有一位数字是偶数．奇数与偶数
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大
多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析
层面几乎为 0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，
培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来
考察学生综合能力。
有一只蚂蚁停在某个正方体的一个顶角上，每一天，这只蚂蚁都从正方体的一
个顶角爬过一条棱到达另一个端点，那么这只蚂蚁是否有可能在 10天后恰好到
对顶角？
分析：不可能，蚂蚁如果要爬到对顶点，必须竖直棱、横向棱、纵向棱都爬奇
数次，而 3 个奇数的和为奇数，所以不可能在 10 天后恰好到达对顶角.也可以
对正方体的
8个顶点进行相间染色,用染色的方法进行解释.
知识梳理
1.奇数和偶数的定义：
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除
的数叫做奇数。通常偶数可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k
为整数）表示。
特别注意，因为 0能被 2 整除，所以 0是偶数。
注：
数论的主流分析和解题方法都与代数法有关，故讲解定义时对“2k”形式的理
解要重点把握，要做到深入浅出。例如可以举出几个偶数的例子，然后进行分
解因数，发现所有的偶数都可以表示成一个“2”乘以其他“一堆东西”的形式，
然后把“一堆东西”作为一个字母即可，至于为什么用 k 只是一个习惯，同样
也可以用 a,b,w,x,y 等任何一个字母。
2.奇数与偶数的运算性质：
性质 1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数
性质 2：偶数±奇数=奇数
注：
性质 1，2 是最简单的运算性质，要求学生必须掌握。
性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数
性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数
性质 5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
注：
性质 3，4，5用途比较广，是常用分析性质。
性质 6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶
性。
性质 7：对于任意 2 个整数 a,b ,有 a+b 与 a-b 同奇或同偶
授课批注：
性质 6，7 是本讲的重点，其中性质 6 是一个重点思想，在判定一些数字相加或
相减结果的奇偶性时非常方便。性质 7 在今后的其他知识点中会经常结合使用。
性质 8：奇数的平方可以写作 4k+1 ，偶数的平方可以写作 4k
3.重点难点解析
（1）奇数与偶数的定义和运算性质
（2）分类讨论的思想和代数的思想
4.竞赛考点挖掘
（1）奇数偶数的操作性问题
（2）奇数偶数的性质与其他知识点的结合
例题精讲
【试题来源】
【题目】
下列算式的得数是奇数还是偶数？
(1) 29＋30＋31＋……＋87＋88
(2) （200＋201＋202＋……＋288）－（151＋152＋153＋……＋233）
(3) 35＋37＋39＋41＋……＋97＋99
【答案】（1）偶数；（2）偶数；（3）奇数
【解析】
（1）偶数。原式中共有 60个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有 30 个奇数，为偶数个。
（2）200 至 288共 89 个数，其中偶数比奇数多 1，44个奇数的和是偶数；151至 233 共 83
个数，奇数比偶数多 1，42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。
（3）可以用等差数列求个数；若学生没学过等差数列，可以在 35后面加上 36，37 后面加
上 38……99 后面加上 100，数列变成 35，36，37，38……99，100共 66 个数，奇数 33 个，
偶数 33 个，33 个奇数的和还是奇数，所以答案是奇数。
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。
(1) 1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10
【答案】不能
【解析】
不能，很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式
有 5 个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定
性分析后定量计算的题目”(2) 1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27
可以，1+2+3+4+5+6+7+8-9=27
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
能否从、四个 6，三个 10，两个 14 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于 44.
【答案】不能
【解析】
可以把题目中的数都除以 2.本题相当于：能否从、四个 3，三个 5，两个 7 中选出 5 个数，
使这 5 个数的和等于 22.因为 3，5，7 都是奇数，而且 5 个奇数的和还是奇数，不可能等于
偶数 22，所以不能.
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
是否存在自然数 a 和 b，使得 ab(a＋b)=115
【答案】不存在
【解析】
不存在，此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即 2 个自然数在奇偶性的组合上只
有 3 种情况，“2 奇 0 偶，1 奇 1 偶，0 奇 2 偶”，可以分别讨论发现均不成立。
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
是否存在自然数 a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？
【答案】存在
【解析】
可以分情况来讨论：3 奇 0 偶，2 奇 1 偶，1 奇 2 偶，0 奇 3 偶。比较繁琐，可以根据 45327
是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以 a-b、b-c、a-c 都为奇数，再根据奇偶性
进行判断。
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
你能不能将自然数 1 到 9分别填入 3×3 的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数
【答案】不能
【解析】
不能。此题学生容易想到九宫格数阵问题，其实不是。1 到 9 中共有 5 个奇数，分别分成 3
组后会分布在每一行里面，也就是说要想实现每一行都是偶数，就需要每一行都有偶数个
奇数，从而需要三行奇数的和是偶数，但是现在仅有 5 个奇数，所以无法填入。
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等
于 999？
【答案】不能
【解析】
不能。2 个三位数的和为 999，说明在两个数相加时不产生任何进位。如果不产生进位说明
两个三位数的数字之和相加求和，就会等于和的数字之和，这是一个今后在数字谜中的常
用结论。那么 999 的数字之和是 27，而原来的 2 个三位数经调换数字顺序后数字之和是不
会变的，若以 a 记为其中一个三位数的数字之和，那么另一个也为 a，则会有 2a=27 的矛盾
式子出现。说明原式不成立。
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于 5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四
个数码调换了位置，两个数的和可能是 7356吗？为什么？
【答案】不能。本题为上一例题的拓展练习。
【解析】
不能。本题为上一例题的拓展练习。
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇
数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？
【答案】偶数
【解析】
偶数。本题可以让学生在草稿纸上画示意草图，即圆圈表示人，线段表示送卡片。按照题
目的要求“大家是礼尚往来的---有送必有回敬”，不论有几个人在送，送奇数张卡片的人
数一定是奇数。
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
是否能存在一个多面体，它的表面由 9 个三角形，4 个四边形，3 个六边形组成？
【答案】不可能
【解析】
不可能，多面体的每一条棱与两个面相关，所以 9 个三角形，4 个四边形，3 个六边形的所
有边应该能两两配对，但一共有 27+16+18=61 条边所以该多面体是不存在的.
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
在一张 9 行 9 列的方格纸上，把每个方格所在的行数和 列数加起来，填在这个方格中，例
如 a=5+3=8．问：填入的 81 个数字中是奇数多还是偶数多
【答案】偶数多
【解析】
此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少．然后得出
奇数和偶数哪个多，哪个少的结论．显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜．我们应该
从整体上去比较奇偶数的多少．易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多 1 个．所以前 8 行
中奇偶数一样，余下第 9 行奇数行，答案可脱口而出．偶数多．
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
桌面上放着 5 个杯子，杯口都向下倒扣在桌面上，如果翻动一次，杯口便朝上，现在如果
翻动 5 个杯子的总数可以为任意偶数次，且一个杯子可以翻动的次数不做限制，那么可否
将 5个倒扣在桌面上的杯子都杯口朝上呢？
【答案】不能
【解析】
不能。本题为一个可操作性的互动题目，教师可以与学生做游戏完成。每个杯子需要有奇
数次翻动才可以杯口向上，所以 5 个杯子需要 5 个奇数次，而现在的总次数限定为偶数次，
不论怎么翻动都是实现不了的。
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
沿着河岸长着 8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差 1 个．问：8 丛植物上能否一
共结有 225 个浆果 说明理由．
【答案】不能
【解析】
不能。本题为俄罗斯小学生奥数竞赛题，可以给学生介绍。相邻的两个植物果实数目差 1
个意味着相邻 2 个植物的奇偶性不同，所以一定有 4 棵植物的果实为奇数个，总和一定为
偶数，不能为 225.
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
36 盏灯排成 6×6 的方阵，这 36 盏灯中只有 9 盏灯是亮着的，现在作一些操作，每次操作
拉一下同一行或同一列灯的开关，请问能否经过若干次操作，使这 36 盏灯全部亮. 如果 36
盏灯当中有两盏灯是亮着的，那么是否有可能经过若干次操作，使这 36 盏灯全部亮.
【答案】不能；不能
【解析】
（1）不能，每一次改变 6 盏灯的状态，无论这 6 盏灯原来的状态如何，等只能增加或减少
偶数盏亮着的灯，所以无论拉多少次都不能将这 36盏灯全部亮.
（2）不能，如果两盏灯是亮着，而且经过若干次操作，使这 36 盏灯全部亮的话，那么原
来亮着得灯要拉偶数下，原来不亮的灯要拉奇数下，两盏灯若在同一行（或同一列），那么
该行（或该列）被拉的次数，与这两盏灯所在的列（或行）被拉的次数同奇偶，与其他列
（或行）被拉的次数的奇偶性质相反，那么其他行（或列）被拉的次数无论是奇数还是偶
数，都不能使该行所有灯同熄同亮，若两盏原来两着的灯不同行同列，分析法则雷同.
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】

【题目】
多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中刻有“点”，
点的个数分别为 0，1，2，…，6个不等，其中 7 张牌两端的点数一样，即两个 0，两个 1，…，
两个 6；其余 21 张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的
点数相同，且以点数相同的端相连，例如：
……
……
现将一付多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为 6 点，那么在链的另一端为
多少点 并简述你的理由．
【答案】6
【解析】
由连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而 6 点的个数
为 8，所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为 6．
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
一条线段上分布着 n 个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为 n+1 段，已知
线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇
数还是偶数？
【答案】偶数
【解析】
因为中间的每一个点的两边各有一黑一白，所以所有的点一定是两个黑点、两个白点依次
相邻（除了首尾可能出现一个黑点），所以白点都是成对出现的.所以白点的个数为偶数.
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
一条线段上分布着 n 个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为 n+1 段，已知
线段两端的两个点都是黑的，n+1 段线段中两端的端点为一黑一白的个数是奇数还是偶数？
【答案】偶数
【解析】
法一：线段有四种：左黑右黑、左白左白、左黑右白、左白右黑，两端的端点一黑一白的
线段有两种，一种左黑右白，一种左白右.对于每一段线段来讲，左黑的线段，左边的线段
右必黑；左白的线段，左边的线段右边白；右黑的线段，右边的线段左必黑；右白的线段，
右边的线段左必黑.所以，因此左黑右白和左白右黑的两种线段必定交替出现（中间只可能
以左黑右黑或左白左白的线段相隔），并且靠左端的一定是左黑右白的线段，靠右边的一定
是左白右黑的险段.
法二：将黑点上标 1，白点上标 0，然后在每段线段上计算端点的和，易知左黑右黑、左白
左白的线段上的端点和为偶数，左黑右白、左白右黑上的端点和为奇数，而这些端点和的
总和为偶数（中间的端点每个都被计算了两次，两端的黑点计算了一次）所以，这些些端
点和中奇数的个数为偶数.所以 n+1 段线段中两端的端点为一黑一白的个数是偶数.
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
有 8个棱长是 1 的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字
1，第二组相对的面上都写着数字 2，第三组相对的面上都写着数字 3(如图)．现在把这 8
个小正方体拼成一个棱长是 2的大正方体.。问：是否有一种拼合方式，使得大正方体每一


个面上的 4 个数字之和恰好组成 6 个连续的自然数
D C
A B
2 1 H G
3 3
1
2
E F
【答案】不可能
【解析】
假设满足条件的大正方体 ABCD－EFGH 可以拼成(见图 2)，即它的每个面上的 4 个数字之和
恰好组成 6 个连续的自然数．那么这个大正方体的六个面上的 24个数字之和 S 就等于这 6
个连续自然数之和．又因为，6 个连续自然数之中必有三个偶数、三个奇数，所以 6 个连续
自然数之和必是奇数，即 S 是奇数．
另一方面，考虑大正方体的 8 个顶点 A、B、C、D、E、F、G、H，它们分别是一个小正方体
的顶点．由于，交于这些顶点的小正方体的三个面互不相对，因此，在这三个面上所写的 3
个数字分别为 1、2、3．这样大正方体的六个面上的 24个数之和 S=8×(1＋2＋3)=48．
即 S 又应该是偶数．这是不可能的．
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
圆桌旁坐着 2k个人，其中有 k 个物理学家和 k 个化学家，并且其中有些人总说真话，有些
人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你
的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”证明：k 为偶数．
【答案】k 是偶数
【解析】
本题为本讲压轴趣题。由题目条件可发现不仅物理学家与化学家总人数相同，其中说真话
与说假话的人数也分别相同，如果有 a 个物理学家说谎，同时也会有 a 个化学家说谎。所
以总共有 2a个人说谎。而最后发现有 k 个物理学家的身份被说谎的人改变了，每一个人只
能影响有右邻的人，说明有 k 个说谎的人，那么 k=2a，则说明 k 是偶数。
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜色的球，现在小峰每次从口袋中取出 3 个球，如果发
现三个球中有两个球的颜色相同，就将第三个球放还回口袋，如果三个球的颜色各不相同，
就往口袋中放一个黄球，已知原来有红球 42 个、黄球 23 个、蓝球 43，那么取到不能再取
的时候，口袋里还有蓝球，那么蓝球有多少个？
【答案】1
【解析】
一共有 108个球，每次取 3 还 1，所以取到不能再取的时候还剩下 2 个球，对于每次取 3 个
球，如果 3 个球颜色中有两个相同，那么第三个球还回去后，实际上取走了两个相同的球，
如果每次取 3 个不同颜色的球，那么还回一个黄球，实际上黄球并没有被去掉,所以对于黄
球来说每次都取掉偶数个黄球，到最后剩下的球中只剩下 1 个黄球，那么剩下两个球中另
一个球一定是蓝球.所以蓝球的个数为 1.
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
习题演练
【试题来源】
【题目】是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10＝36
若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
【答案】不可以。
【解析】不可以
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】能否从 1、3、5、7、9、11、13、15这 8 个数中选出 3 个数来，使它们的和为 24？
【答案】不可以。
【解析】不可以
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数 45045
【答案】不可以。
【解析】不可以
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】你能不能将整数数 0 到 8 分别填入 3×3 的方格表中，使得每一行中的三个数之和
都是奇数
【答案】不可以。
【解析】不可以
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】黑板上写着两个数 1 和 2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数 a 和 b，则增写
a×b＋a＋b 这个数，比如可增写 5（因为 1×2＋1＋2＝5）增写 11（因为 1×5＋1＋5＝11），
一直写下去，问能否得到 2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？
【答案】不可以。
【解析】不可以
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】一队小朋友表演球操，每人都拿着一个球，其中拿篮球的人比拿排球的多 1 人，
拿排球的人比拿足球的多 1 人。
（1）如果拿足球的人数是奇数，这队小朋友的人数是奇数还是偶数？
（2）如果拿排球的人数是奇数，这队小朋友的人数是奇数还是偶数？
【答案】（1）偶数 （2）奇数
【解析】（1）偶数 （2）奇数
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】用代表整数的字母 a、b、c、d写成等式组：
a×b×c×d-a=1991
a×b×c×d-b=1993
a×b×c×d-c=1995
a×b×c×d-d=1997
试说明：符合条件的整数 a、b、c、d是否存在.
【答案】不存在
【解析】不存在
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】在 ll 张卡片上各写有一个不超过 4 的数字．将这些卡片排成一行，得到一个 1l
位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个 1l 位数．证明：这两个 11 位数的和
至少有一位数字是偶数．
【答案】仍然与例题中的进位原则有关，可以用数字谜的方法分析。
【解析】仍然与例题中的进位原则有关，可以用数字谜的方法分析。
【知识点】奇数与偶数
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4

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