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2.2　简谐运动的描述
学习目标：
1． 知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义.
2． 了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义.
3． 了解简谐运动的表达式中各量的物理意义，能依据简谐运动表达式描绘振动图像或根据简谐运动图像写出表达式．
重难点：简谐运动的表达式中各量的物理意义，能依据简谐运动表达式描绘振动图像或根据简谐运动图像写出表达式。
导学探究：
一、如图所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称．
(1) 从振子某一时刻经过O点开始计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？
(2) 先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
二、
1． 相位
相位ωt＋φ描述做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．
2． 相位差
频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)．
若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；
若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相．
3．简谐运动的表达式x＝Asin (t＋φ0)
(1) 表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律．
(2) 从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会简谐运动的周期性．当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动．
例1 如图所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，静止释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的时间为0.1 s，求：
图3
(1) 振子振动的振幅、周期和频率；
(2) 振子由A首次到O的时间；
(3) 振子在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小．
例2有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是(　　)
A．x＝8×10－3sin(4πt＋) m B．x＝8×10－3sin(4πt－) m
C．x＝8×10－3sin(4πt＋) m D．x＝8×10－3sin(t＋) m
应用练习
1． 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　　)
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
2． 一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为多大？
3． 如图所示为A、B两质点做简谐运动的位移－时间图像．试根据图像求：
(1) 质点A、B的振幅和周期；
(2) 这两个质点简谐运动的位移随时间变化的关系式；
(3) 在时间t＝0.05 s时两质点的位移分别为多少．
小结：
简谐运动的周期性与对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD.
(1) 时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD.
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2) 速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
(3) 位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同．
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反．
2.2　简谐运动的描述 答案
导学探究：
一、答案　
(1) 不是．经过一个周期振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度第一次同时与初始时刻相同．
(2) 周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关．位移相同，均为零．路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关．
例1答案　(1)10 cm　0.2 s　5 Hz　(2)0.05 s　(3)1 000 cm　10 cm
解析　(1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm，
t＝0.1 s＝，所以T＝0.2 s.
由f＝得f＝5 Hz.
(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A首次到O的时间与振子由O首次到B的时间相等，均为0.05 s.
(3)设弹簧振子的振幅为A，A＝10 cm.振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t＝5 s＝25T内通过的路程s＝40×25 cm＝1 000 cm.5 s内振子振动了25个周期，故5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm.
例2答案　A
解析　由题可知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，则ω＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝，得弹簧振子的振动方程为x＝8×10－3sin(4πt＋) m，A正确．
应用练习
1． 答案　C
解析　由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；质点在1 s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t＝0时质点在正向最大位移处，0～3 s为T，则质点通过的路程为3A＝6 cm，故C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误．
2． 答案　0.72 s或0.24 s
解析　将物理过程模型化，画出具体的图景．
第一种可能是M点在O点右方，质点从O到M运动时间为0.13 s，再由M经最右端A返回M经历时间为0.1 s，如图甲所示．
另有一种可能是M点在O点左方，如图乙所示，质点由O点经最右端A点后向左经过O点到达M点历时0.13 s，再由M向左经最左端A′点返回M历时0.1 s.
根据以上分析，质点振动周期共存在两种可能性．
第一种情况，由图甲可以看出质点从O→M→A历时0.18 s，根据简谐运动的对称性可得＝0.18 s，得T1＝0.72 s．另一种情况，由图乙可知，质点从O→A→M历时t1＝0.13 s，质点从M→A′历时t2＝0.05 s，则T2＝t1＋t2，解得T2＝0.24 s.
1． 周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题．
2． 对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题.
3． 答案　见解析
解析　(1)由题图知质点A的振幅是0.5 cm，周期为0.4 s，质点B的振幅是0.2 cm，周期为0.8 s.
(2)由题图知，质点A的初相φA＝π，
由TA＝0.4 s得ωA＝＝5π rad/s，
则质点A的位移表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π) cm，
质点B的初相φB＝，
由TB＝0.8 s得ωB＝＝2.5π rad/s，
则质点B的位移表达式为xB＝0.2sin (2.5πt＋) cm.
(3)将t＝0.05 s分别代入两个表达式得
xA＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm
＝－0.5× cm＝－ cm，
xB＝0.2sin (2.5π×0.05＋) cm＝0.2sin (π) cm.

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