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2.4　单摆
[学习目标]　
1． 理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源
2． 知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式．
[重点难点]
1． 理解单摆的回复力
2． 单摆的周期
[导学探究]　
一、单摆及单摆的回复力
1． 单摆的组成：由细线和 组成．
2． 理想化模型
(1) 细线的质量与小球相比 .
(2) 小球的直径与线的长度相比 .
3． 单摆的回复力
(1) 回复力的来源：摆球的重力沿 方向的分力．
(2) 回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成 ，方向总指向 ，即F＝－x.从回复力特点可以判断单摆做简谐运动．
4． 单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动．
二、单摆的周期
1． 单摆振动的周期与摆球质量 (填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅
(填“有关”或“无关”)，但与摆长 (填“有关”或“无关”)，摆长 越长，周期 (填“越大”“越小”或“不变”)．
2． 周期公式
(1) 提出：周期公式是荷兰物理学家 首先提出的．
(2) 公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成 ，与重力加速度g的二次方根成 ，而与振幅、摆球质量 .
例1图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　　)
A．摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用
B．摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
例2(多选)如图所示为一单摆的振动图像，则(　　)
A．t1和t3时刻摆线的拉力等大
B．t2和t3时刻摆球速度相等
C．t3时刻摆球速度正在减小
D．t4时刻摆线的拉力正在减小
[应用练习]　
1． (多选)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定(　　)
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
B．甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C．甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D．若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4
2． (对单摆回复力的理解)(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　)
A．t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零
B．t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
3． (单摆周期公式的应用)如图所示，摆长为L的单摆，周期为T.如果在悬点O的正下方的B点固定一个光滑的钉子，OB的距离为OA长度的，使摆球A(半径远小于L)通过最低点向左摆动，悬线被钉子挡住成为一个新的单摆，则下列说法中正确的是(　　)
A．单摆在整个振动过程中的周期不变
B．单摆在整个振动过程中的周期将变大为原来的倍
C．单摆的整个振动过程中的周期将变小为原来的
D．单摆的整个振动过程中的周期无法确定
4． 如图所示是一个单摆(θ<5°)，其周期为T，则下列说法正确的是(　　)
A．仅把摆球的质量增加一倍，其周期变小
B．摆球的振幅变小时，周期也变小
C．此摆由O→B运动的时间为
D．摆球在B→O过程中，动能向势能转化
5． 将秒摆(周期为2 s)的周期变为4 s，下面哪些措施是正确的(　　)
A．只将摆球质量变为原来的 B．只将振幅变为原来的2倍
C．只将摆长变为原来的4倍 D．只将摆长变为原来的16倍
6． 同一地点两个做简谐运动的单摆的摆长分别为l1和l2，它们的位移—时间图像如图中1和2所示，由此可知，l1∶l2等于(　　)
A．1∶3 B．4∶1 C．1∶4 D．9∶1
7． 如图所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)，组成了双线摆，若细线长均为l，两线与天花板的夹角均为α，重力加速度为g，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为(　　)
A．2π B．2π
C．2π D．2π
8． (多选)甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动的振动图像如图所示，可知(　　)
A．甲、乙两单摆的周期之比为2∶1
B．甲、乙两单摆的摆长之比为2∶1
C．0.5～1.0 s时间内，甲摆球的速度减小
D．t＝0.5 s时甲摆球势能最大，乙摆球动能最大
9． (多选)如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示．不计空气阻力，g取10 m/s2.对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是(　　)
A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin (πt) cm
B．单摆的摆长约为1 m
C．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小
10．(多选)将一单摆向左拉至水平标志线上，从静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆球继续向右摆动．用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片，以下说法正确的是(　　)
A．这个实验说明了动能和势能可以相互转化，转化过程中机械能守恒
B．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为9∶4
C．摆球经过最低点时，线速度不变，做圆周运动的半径减小，摆线张力变大
D．摆球经过最低点时，角速度变大，做圆周运动的半径减小，摆线张力不变
11．(多选)如图所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点正下方的O′点钉一个光滑钉子，使OO′＝.将摆球拉至A处由静止释放，小球将在A、C之间来回振动，若振动过程中摆线与竖直方向的夹角小于5°，重力加速度大小为g，则以下说法正确的是(　　)
A．由于机械能守恒，可得摆角大小不变
B．A和C两点在同一水平面上
C．周期T＝2π(＋)
D．周期T＝π(＋)
2.4　单摆 答案
[导学探究]　
一、1．小球 2．(1)可以忽略 (2)可以忽略 3．(1)圆弧切线．(2)正比，平衡位置．
二、1．无关，无关，有关，越大．2．(1)惠更斯．(2)正比，反比，无关．
例1答案　C 解析　摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误．
例2答案　AD 解析　由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知单摆振动的速度大小相等，故摆线拉力大小相等，故A正确；t2时刻摆球在负的最大位移处，速度为零，t3时刻摆球向平衡位置运动，所以t2和t3时刻摆球速度不相等，故B错误；t3时刻摆球正衡位置，速度正在增大，故C错误；t4时刻摆球正远离平衡位置，速度正在减小，摆线拉力也减小，故D正确．
[应用练习]　
1． 答案　BCD
解析　根据题图图像可知，单摆振动的周期关系T甲＝T乙，所以周期之比为＝，所以频率之比＝，故B、C正确；若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则重力加速度相同，根据周期公式T＝2π，可得摆长之比为4∶9，故A错误；若甲、乙两单摆在不同地点摆动，摆长相同，根据T＝2π得：重力加速度之比为9∶4，故D正确．
2． 答案　CD
解析　由题图可知t1时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误；t2时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误；t3时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故C正确；t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故D正确．
3． 答案　C
解析　根据单摆周期公式知，未加钉子时，周期T1＝T＝2π，碰到钉子后，T′＝2π ＝π，所以加了钉子的周期为T2＝T＋T′＝π，所以周期变为原来的，A、B、D错误，C正确．
4． 答案　C
解析　单摆的周期与摆球的质量无关，A错误；单摆的周期与振幅无关，B错误；此摆由O→B运动的时间为，C正确；摆球在B→O过程中，势能转化为动能，D错误．
5． 答案　C
解析　由T＝2π可知，单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，A、B错误；对秒摆，T0＝2π＝2 s，对周期为4 s的单摆，T＝2π＝4 s，则l＝4l0，C正确，D错误．
6． 答案　D
解析　由题图可知，1和2两个单摆的周期之比为T1∶T2＝3∶1，由单摆的周期公式T＝2π得l1∶l2＝T12∶T22＝9∶1，选D.
7． 答案　D
解析　这是一个变形的单摆，可以用单摆的周期公式T＝2π计算，但注意此处的l与题中的细线长不同，公式中的l是指质点到悬点(等效悬点)的距离，此题中单摆的等效摆长为lsin α，代入周期公式，可得T＝2π，故选D.
8． 答案　AD
解析　由题图知，甲、乙两单摆的周期分别为2.0 s、1.0 s，则周期之比为2∶1，A正确；由单摆周期公式T＝2π，可得摆长l＝，可知摆长l与T2成正比，因此甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1，B错误；0.5～1.0 s时间内，甲摆球从最大位移处向平衡位置运动，故甲摆球的速度增大，C错误；t＝0.5 s时，甲摆球在最大位移处，甲摆球的势能最大，乙摆球的位移为0，处在平衡位置，速度最大，则乙摆球的动能最大，D正确．
9． 答案　AB
解析　由振动图像可读出周期T＝2 s，振幅A＝8 cm，由ω＝得到圆频率ω＝π rad/s，则单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝Asin ωt＝8sin (πt) cm，故A正确；由公式T＝2π，解得l≈1 m，故B正确；从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，摆球的位移减小，回复力减小，速度增大，所需向心力增大，绳子的拉力增大，故C、D错误．
10．答案　ABC
解析　摆线即使碰到障碍物，摆线的拉力不做功，只有重力做功，所以其仍能回到原来的高度，机械能守恒，故A正确；频闪照片拍摄的时间间隔一定，由题图可知，摆线与障碍物碰撞前后的周期之比为3∶2，根据单摆的周期公式T＝2π得，摆长之比为9∶4，故B正确；摆球经过最低点时，线速度不变，做圆周运动的半径变小，根据F－mg＝m知，张力变大，根据v＝ωr，知角速度变大，故C正确，D错误．
11．答案　BD
解析　摆球在运动过程中，摆线的拉力不做功，只有重力做功，其机械能守恒，可知A和C两点在同一水平面上；由于摆长会发生变化，所以摆角大小是变化的，A错误，B正确；摆球从A到B的时间为t1＝×2π＝，从B到C的时间为t2＝×2π＝，故摆球的运动周期为T＝2(t1＋t2)＝π(＋)，C错误，D正确．

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