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学科培优数学
“包含与排除”
学生姓名
授课日期
教师姓名
授课时长
知识定位
包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点，很多杯赛和小升初选拔考试中
都会有相关考察内容，是考察学生逻辑思维能力，以及理解利用新知识的一个非
常重要的方面，其中容斥原理更是最关键的点，而且与数论和几何的综合性题目
是历年考察的重点。
知识梳理
一、容斥原理公式
1、若已知A、B、C三部分的数量（如图），其中C为重复
部分，则图中的数量等于A+B-C.
A
即：AUB=A+B-A∩B,其中A∩B=C.
2、若已知A、B、C三部分的数量（如图），则图中的数量
等于A+B+C(A与B重叠部分+B与C重叠部分+C与A重叠部
分)+A、B、C三者重叠的部分.
即：AUBUC=A+B+C(A∩B+B∩C+C∩A)+A∩B∩C.
以上概念中符号解释：
“U”表示并集，“AUB”表示A并B,通俗的讲表示所有或属于A、或属于
B的元素的
数量（集合），“AUBUC”通俗的讲表示所有或属于A、或属于B、或属于
C的元素数量，
“∩”表示交集，“AUB”表示A交B,通俗的讲表示所有即属于A、又属于
B的元素的
数量（集合），“A∩B∩C”通俗的讲表示所有即属于A,又属于B,还属于C
的元素数量
剜题精进
【试题来源】
【题目】某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，
有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
【答案】45
【解析】如右图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加
数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个
小组的人。图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加
数学兴趣小组的人，有28-12=16（人）；图中B圆不含阴影的部分表示
只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-12=17（人）。
(法1)由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16十12十17=45（人）。
(法2)根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的
人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人=28+29-12=45（人）。直接套用公式必须
建立在对公式有一定程度的了解之上，28+19直接将参加语文兴趣小组的人数和参加数学兴
趣小组的人数简单相加，这个和中两个小组都参加的人数被重复计算了两次，所以后边还要
减去一次两个小组都参加的人数
【知识点】包含与排除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大），
它们的面积都是100cm2,并知A、B两圆重叠的面积是20cm2,A、C两圆
重叠的面积为45cm°，B、C两圆重叠的面积为31cm,三个圆共同重叠的
面积为15cm,求盖住桌子的总面积。
【答案】219
【解析】法一：直接套用公式：100×3-20-45-31+15=219cm2.套用公式必须在理解公式的基
础上运用，A、B、C三个圆的面积各包含了四块面积，例如A覆盖的部分包括，A与B共有
而C没有的；A与C共有而B没有的、A、B、C三个圆共有的、A独有的.这样如果将A、B、
0的面积简单相加，A与B共有而0没有的、B与C共有而A没有的、A与0共有而B没有
的这三个部分被重复计算了2次，A、B、C三个部分的共有部分则被计算了3次，如果再将
A、C两圆重叠的；B、C两图重叠的；A、B两圆重叠的部分各减去一遍，那么同时A、B、C
三个部分的共有部分则被减了3次，此时得到的结果中A、B、C三个部分的共有部分没有
被计算过，所以最后还要将这一部分加上，
法二：分别计算各区块的面积，A与B共有而C没有的=20-15=5cm2,B与C共有而A没有
的=31-15=160m2,A与C共有而B没有的=45-15=30cm2.A独有的=100-5-30-15=-50cm2,
B独有的=100-165-15=64cm,0独有的100-301615=39cm2.盖住桌子的总面积
=15+5+16+30+50+64+50+39=219cm2,事实上如果我们实现没有将各个区块算出来的话，盖住
桌子的总面积=15+(20-15)+(31-15)+(45-15)+(100-15(20-15)-(45-15))+(100学科培优 数学
“包含与排除”
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点，很多杯赛和小升初选拔考试中都会有相关考察内容，是考察学生逻辑思维能力，以及理解利用新知识的一个非常重要的方面，其中容斥原理更是最关键的点，而且与数论和几何的综合性题目是历年考察的重点。
知识梳理
一、容斥原理公式
1、若已知A、B、C三部分的数量（如图），其中C为重复部分，则图中的数量等于A+B-C.
即：A∪B=A+B- A∩B，其中A∩B=C.
2、若已知A、B、C三部分的数量（如图）， 则图中的数量等于A+B+C-（A与B重叠部分+ B与C重叠部分+ C与A重叠部分）+A、B、C三者重叠的部分.
即：A∪B∪C=A+B+C-（A∩B+B∩C+C∩A）+ A∩B∩C.
以上概念中符号解释：
“∪”表示并集，“A∪B”表示A并B，通俗的讲表示所有或属于A、或属于B的元素的
数量（集合），“A∪B∪C” 通俗的讲表示所有或属于A、或属于B、或属于C的元素数量.
“∩”表示交集，“A∪B”表示A交B，通俗的讲表示所有即属于A、又属于B的元素的
数量（集合），“A∩B∩C”通俗的讲表示所有即属于A，又属于B，还属于C的元素数量
例题精讲
【试题来源】
【题目】某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
【试题来源】
【题目】在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大），它们的面积都是100cm2，并知A、B两圆重叠的面积是20cm2，A、C两圆重叠的面积为45cm2，B、C两圆重叠的面积为31cm2,三个圆共同重叠的面积为15cm2，求盖住桌子的总面积。
【试题来源】
【题目】东方大学有外语老师120名，其中教英语的有50名，教日语的45名，教法语的有40名，有15名教师既教英语又教日语，有10名教师既教英语又教法语，有8名教师既教日语又教法语，有4名教师会教英语、日语和法语三门课，求不教这三门课的外教有多少名？
【试题来源】
【题目】五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。
【试题来源】
【题目】求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。
【试题来源】
【题目】在1到2004的所有自然数中，既不是2的倍数，也不是3、5的倍数的数有多少个？
【试题来源】
【题目】在所有的三位自然数中，组成数字的三个数字既有大于5的数字，又有小于5的数字的自然数共有多少个？
【试题来源】
【题目】分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.
【试题来源】
【题目】某校举行各年级学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的，现在知道五、六年级共展出22幅画，问：其他年级共展出多少幅画？
【试题来源】
【题目】某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？
【试题来源】
【题目】五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个。其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？
【试题来源】
【题目】将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
【试题来源】
【题目】有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？
习题演练
【试题来源】
【题目】边长为6、5、2的三个正方形，如图所示，求它们的盖住部分的面积。
【试题来源】
【题目】经纬小学四年级有45人参加了慰问坚守在青年宫、防洪纪念塔、九站三个地段抗洪的解放军叔叔的活动，去过青年宫慰问的有19人，去过防洪纪念塔的有18人，去过九站的有16人；去过青年宫、防洪纪念塔两处的有7人，去过青年宫、九站两处的有6人，去过防洪纪念塔、九站两处的有5人；有3人三处都去过；其余的在校准备慰问品，请问准备慰问品的有多少人？
【试题来源】
【题目】某校有28名学生参加市运动会，参加跑步类项目的有15人，参加跳类项目的有13人，参加投掷类项目的有14人，既参加跑又参加跳项目的有4人，既参加跑又参加投掷项目的有6人，既参加跳又参加投掷项目的有5人，三种项目都参加的有2人，试说明，这个报名表有误。
【试题来源】
【题目】求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
【试题来源】
【题目】以1001为分母的最简真分数共有多少个？

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