资源简介

学科培优 数学
数学思想方法一
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
数学是一座智慧的城堡，探索则是打开城堡大门的钥匙。在这神秘的世界里有许多的难题，应用题便是其中有趣的一族。这节课向你介绍一些巧妙解应用题的好方法
重难点： 1.学会如何运用这些数学常用方法
2.从多角度考虑问题，运用数学方法解决问题
考点： 数学方法的综合运用
知识梳理
一、假设法
当应用题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个或几个数量相等，假设题中某个数量增加了或减少了，然后在假设的基础上推理，调整由于假设而引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系就可能变得明显，从而找到解题方法。
有些用一般方法能解答的应用题，用假设法解答可能更简捷。例如“鸡兔同笼”问题，用假设法解应用题，要通过丰富的想象，假设出既合乎题意又新奇巧妙，既简单又便于计算的条件。
二、对应法
应用题的一些数量关系之间存在着对应关系，如总数与总份数的对应，路程与时间的对应，分数、百分数应用题中量与率的对应等。解题时找准数量之间的对应关系，就能实现由未知向已知的转化。这种运用对应关系解题的方法，就是对应法。
三、从简单情况考虑
有时候我们碰到的题目很复杂，乍一看似乎无从入手，这时候我们往往可以先从简单的情况出发，看看有什么规律。很多情况下我们可以通过这种方法解决一些看起来很难的问题。
例题精讲
【试题来源】
【题目】在一次登山活动中，张明上山时每分钟走50米，到达山顶后沿原路下山，每分钟走75米，张明上山下山的平均速度是多少？
【试题来源】
【题目】小红有2分、5分的硬币20枚，共58分钱，那么，2分硬币、5分硬币各多少枚？
【试题来源】
【题目】有一批零件，师傅单独加工比徒弟少用3小时。师傅每小时加工10个，徒弟每小时加工8个，这批零件有多少个？
【试题来源】
【题目】春风小学3名同学去参加数学竞赛，共10道题，答对一道得10分，答错一道题扣3分。这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分。他们三人一共答对了多少道题目？
【试题来源】
【题目】一张数学试卷，只有25道选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分。如不做，不得分也不扣分，若某同学得了78分，那么他做对了多少道题目？做错多少道题目？不做多少道题目？
【试题来源】
【题目】小明和小蓝一起跳绳，小静先跳了2分钟，然后两个人共同跳了3分钟，一共跳了780下，已知小明比小蓝每分钟多跳了12下，那么，小蓝每分钟跳多少下？
【试题来源】
【题目】某玻璃厂为商店送1000个玻璃杯,双方商定每个玻璃杯运费1元,如果打碎1个,这一个玻璃杯不但不给运费, 而且要赔偿4元,结果要目的地结算时,玻璃杯长共的运费895元,求打碎了几个玻璃杯
【试题来源】
【题目】30辆小车和6辆卡车一次运货90吨，45辆小车和6辆卡车一次运货120吨。每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？
【试题来源】
【题目】30辆小车和3辆卡车一次运货75吨，45辆小车和6辆卡出一次运货120吨。每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？
【试题来源】
【题目】体育老师到商店买5个足球和4个篮球，需付640元；买2个足球和3个篮球需付340元，
1.买一个足球和一个篮球共付多少元？
2.一个足球、一个篮球各需要多少元？
【试题来源】
【题目】有A、B、C三种货物，甲购A物3件、B物5件、C物1件付款20元；乙购A物4件、B物7件、C物1件付款25元；丙购A、B、C三种货物各1件，应付多少元？
【试题来源】
【题目】有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83千克、85千克和86千克。问其中最轻的箱子重多少千克？
【试题来源】
【题目】10个梅子的重量同3个苹果和一个梨一样重，6个梅子加一个苹果等于一个梨的重量。在天平左边放一个梨，则右边应放多少个梅子就刚好平衡？
【试题来源】
【题目】有红、黄、白三种颜色的花，红花和黄花合在一起共15朵，黄花、白花合在一起共18朵；白花、红花合在一起共9朵，问三种花各多少朵？
【试题来源】
【题目】 3×3的末位数字是9，3×3×3的末位数是7，3×3×3×3的末位数字是1．求35个3相乘的结果的末位数字是几
【试题来源】
【题目】44444444888888888÷666666666的商是_____________
【试题来源】
【题目】① 12345678987654321是_________的平方
② 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1是_______的平方？
③ 12345678987654321×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1）是_______的平方，
【试题来源】
【题目】将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线 请说明．
【试题来源】
【题目】如果一对成熟的兔子第一个月后能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，那么1年后一共有多少对小兔？
【试题来源】
【题目】平面上有101条直线，它们最多有多少个不同的交点？
习题演练
【试题来源】
【题目】
小红有1角、5角的硬币共35枚，一共是9元5角，问两种硬币各多少枚？
【试题来源】
【题目】3千克梨和4千克苹果共18元，4千克梨和5千克苹果共23元，那么1千克梨多少元？
【试题来源】
【题目】小明买了3只鸭、7只鸡和1只兔；小林买了4只鸭、10只鸡和1只兔；小亮买了1只鸭、1只鸡和1只兔；小明付了31.50元，小林付了42.00元，小亮应付多少元？
【试题来源】
【题目】 11111112222222÷3333333=？
【试题来源】
【题目】求222……2(共2005个2)被7除所得的余数
【试题来源】
【题目】用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后，推断第20行的各数之和是多少？学科培优 数学
数学思想方法一
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
数学是一座智慧的城堡，探索则是打开城堡大门的钥匙。在这神秘的世界里
有许多的难题，应用题便是其中有趣的一族。这节课向你介绍一些巧妙解应用题
的好方法
重难点： 1.学会如何运用这些数学常用方法
2.从多角度考虑问题，运用数学方法解决问题
考点： 数学方法的综合运用
知识梳理
一、假设法
当应用题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中
两个或几个数量相等，假设题中某个数量增加了或减少了，然后在假设的基础上
推理，调整由于假设而引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系就可能变得
明显，从而找到解题方法。
有些用一般方法能解答的应用题，用假设法解答可能更简捷。例如“鸡兔
同笼”问题，用假设法解应用题，要通过丰富的想象，假设出既合乎题意又新
奇巧妙，既简单又便于计算的条件。
二、对应法
应用题的一些数量关系之间存在着对应关系，如总数与总份数的对应，路程
与时间的对应，分数、百分数应用题中量与率的对应等。解题时找准数量之间的
对应关系，就能实现由未知向已知的转化。这种运用对应关系解题的方法，就是
对应法。
三、从简单情况考虑
有时候我们碰到的题目很复杂，乍一看似乎无从入手，这时候我们往往可以
先从简单的情况出发，看看有什么规律。很多情况下我们可以通过这种方法解决
一些看起来很难的问题。
例题精讲
【试题来源】
【题目】在一次登山活动中，张明上山时每分钟走 50 米，到达山顶后沿原路下山，每分钟
走 75米，张明上山下山的平均速度是多少？
【答案】
【解析】
我们要求平均速度，就必须知道上、下山共走了多少米的路，可它是个未知数，我们一点也
不知道，这时我们就可以假设上、下山的总路程是 150 米（150是 50和 75的最小公倍数），
那么平均速度就是用总路程除以总时间就可以了。假设上山和下山分别都是 150 米；150÷
50=3分，150÷75=2分；150×2=300米；所以平均速度是：300÷（2+3）=60（米/分）。在
这其中我们也用到了另外一种方法，在数学上叫做“特殊值”代入法，在以后的学习中我们
将会更多的接触到这种方法。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】小红有 2分、5 分的硬币 20枚，共 58分钱，那么，2分硬币、5分硬币各多少枚？
【答案】见解析
【解析】
假设全是 2分的硬币，这时有的钱数是 40分钱，与实际相差 58—40=18分，少的 18 分钱是
因为把 5分的硬币看成了 2分的，当把一个 5分的硬币看成一个 2分的硬币时，就会少 5—
2=3 分，所以 5 分的硬币有：18÷（5-2）=6（枚），进而得 2 分的硬币有：20-6=14（枚）。
你还能再找到一种方法吗？
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】有一批零件，师傅单独加工比徒弟少用 3小时。师傅每小时加工 10个，徒弟每小
时加工 8个，这批零件有多少个？
【答案】120
【解析】
假设师傅加工的时间与徒弟相同，那么师傅可多加工 30个零件。由已知条件可知，师傅每
小时比徒弟多加工 2个零件，根据这两个条件就可求出徒弟加工这批零件所用的时间：30
÷2=15（小时），进而就可以求出这批零件的个数：8×15=120（个）。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】春风小学 3名同学去参加数学竞赛，共 10道题，答对一道得 10分，答错一道题扣
3分。这 3名同学都回答了所有的题，小明得了 87分，小红得了 74分，小华得了 9分。他
们三人一共答对了多少道题目？
【答案】20
【解析】
三人共得：87+74+9=170（分），比满分少：100×3-170=130（分），因此三人共做错了：
130÷（10+3）=10（道），进而得共做对了：30-10=20（道）。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】一张数学试卷，只有 25道选择题，做对一题得 4分，做错一题倒扣 1分。如不做，
不得分也不扣分，若某同学得了 78 分，那么他做对了多少道题目？做错多少道题目？不做
多少道题目？
【答案】20,2,3
【解析】
78÷4=19.5＞19，说明小明至少做对 20道题目，假设他做对 21道题目，即使其余 4题全
做错了，也应该得 21×4-4×1=80（分）＞78分，所以小明做对了 20题，从而易知小明 3
题不做，做错 2题。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】小明和小蓝一起跳绳，小静先跳了 2分钟，然后两个人共同跳了 3分钟，一共跳了
780下，已知小明比小蓝每分钟多跳了 12下，那么，小蓝每分钟跳多少下？
【答案】90
【解析】
假设小明跳的与小蓝每分钟跳的同样多，则二人跳的总是就会减少 12×（2+3）=60 下，这
时总数就会减少为 780-60=720下，那么小蓝每分钟跳：720÷（2+2×3）=90（下）。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】某玻璃厂为商店送 1000 个玻璃杯,双方商定每个玻璃杯运费 1 元,如果打碎 1 个,
这一个玻璃杯不但不给运费, 而且要赔偿 4元,结果要目的地结算时,玻璃杯长共的运费 895
元,求打碎了几个玻璃杯
【答案】21
【解析】
假设 1000 个玻璃杯完好无损,应得运费 1000×1=1000 元,实际上少得 1000-895=105 元,打
碎一个玻璃杯就要少得 4+1=5 元,所以打碎了 105÷5=21 个
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】30辆小车和 6辆卡车一次运货 90吨，45辆小车和 6辆卡车一次运货 120 吨。每辆
卡车和每辆小车每次各运货多少吨？
【答案】5,2
【解析】
摘录条件： 30辆小车 + 6 辆卡车 = 90吨
45辆小车 + 6 辆卡车 = 120 吨
比较条件，看看什么量变了，什么量没变，两个变化的量之间的关系是什么？从对应量的变
化，可以看出（120-90）吨正好与（45-30）辆小车的载重量相对应，因此每辆小车每次可
以运货：（120-90）÷（45-30）=2吨，那么每辆卡车每次可以运货：（90-2×30）÷6=5吨。
其实这就是二元一次方程的思想。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】30辆小车和 3辆卡车一次运货 75吨，45辆小车和 6辆卡出一次运货 120 吨。每辆
卡车和每辆小车每次各运货多少吨？
【答案】5,2
【解析】
摘录条件： 30辆小车 + 3 辆卡车 = 75吨
45辆小车 + 6辆卡车 = 120 吨
比较条件，转化为： 60辆小车 + 6辆卡车 = 150吨
45辆小车 + 6辆卡车 = 120吨
从对应量的变化，可以看出（150-120）吨正好与（60-45）辆小车的载重量相对应，因此
每辆小车每次可以运货（150-120）÷（60-45）=2吨，那么每辆卡车每次可以运货（75-30
×2）÷3=5吨。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】体育老师到商店买 5个足球和 4个篮球，需付 640元；买 2个足球和 3个篮球需付
340元，
1.买一个足球和一个篮球共付多少元？
2.一个足球、一个篮球各需要多少元？
【答案】140,80,60
【解析】
摘录条件：（1） 5个足球 + 4个篮球 = 共付 640元
（2） 2个足球 + 3个篮球 = 共付 340元
法 1：从两个条件可以得出：两次共买 7个足球和 7个篮球，两次共需付 640+340=980
（元），这 980元和 7个篮球、7个足球相对应。所以，一个足球和一个篮球共应付：980
÷7=140（元）。（注意从总体考虑，找到最好的方法。当然，你也可以求出一个足球、一
个篮球各需要多少钱，进而求出一个足球和一个篮球共付多少元。）那么两个足球和两个
篮球共应付：140×2=280（元），与第 2个条件相比可得，一个篮球应付 60元，进而得一
个足球应付 80元。
法 2：对于第二问，我们可将条件条件转化：
（1）×2： 10个足球 + 8个篮球 = 共付 640×2元
（2）×5： 10个足球 + 15 个篮球 = 共付 340×5元
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】有 A、B、C三种货物，甲购 A物 3件、B物 5 件、C物 1件付款 20元；乙购 A物 4
件、B物 7件、C物 1件付款 25元；丙购 A、B、C三种货物各 1件，应付多少元？
【答案】10
【解析】
摘录条件：
（1）3 A + 5 B +1 C = 20
（2）4 A + 7B +1 C = 25
（2）-（1）可得条件（3）：1 A+ 2 B = 5 ；（3）×2可得条件（4）：2 A + 4 B = 10 ；
（1）-（4）可得：1A + 1 B +1 C = 10 （元）。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】有 3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是 83千克、85千克和 86千克。
问其中最轻的箱子重多少千克？
【答案】41
【解析】
如果将 3个箱子按重量区分为大、中、小，那么有：83=中+小，85=大+小，86=大+中，
法 1：3式相加可得：大+中+小 =（83+85+86）÷2=127，那么最轻的是：127-86=41（千
克）；
法 2：最轻的箱子重：（83+85-86）÷2=41（千克）。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】10个梅子的重量同 3个苹果和一个梨一样重，6个梅子加一个苹果等于一个梨的重
量。在天平左边放一个梨，则右边应放多少个梅子就刚好平衡？
【答案】7
【解析】
10梅=3苹+1梨；18梅+3苹=3梨 ，两式相加得：7梅=1梨。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】有红、黄、白三种颜色的花，红花和黄花合在一起共 15 朵，黄花、白花合在一起
共 18朵；白花、红花合在一起共 9朵，问三种花各多少朵？
【答案】见解析
【解析】
法 1：三种花总数：（15+18+9）÷2=21（朵）；白花：21-15=6（朵），红花：21-18=3
（朵），黄花：21-9=12（朵）。
法 2：红花：（15+9-18）÷2=3（朵），白花：9-3=6（朵），黄花：18-6=12（朵）。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】 3×3 的末位数字是 9，3×3×3 的末位数是 7，3×3×3×3 的末位数字是 1．求
35个 3相乘的结果的末位数字是几
【答案】7
【解析】
从简单情况做起，列表找规律：
3与 3相乘的各位数字的特点是 9，7，1，3，9，7，1，3……
乘积的末位数字出现有周期性的规律，4 个一组，35 个 3相乘是其第 34 项，所以末位数字
是 7。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】44444444888888888÷666666666的商是_____________
【答案】666666668
【解析】
这个题目我们当然可以列一个竖式来做，但这样是不是太麻烦了，观察算式的特点，4，8，
6 都有 9 个，那我们就先来看一下如果 4，8，6 分别各有 1 个，2 个，3 个商分别是多少，
这个计算起来是非常简单的：48÷6=8 ，4488÷66=68 ，444888÷666=668 …
444444444888888888÷666666666=666666668（8个 6 ，一 个 8）。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】① 12345678987654321是_________的平方
② 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1是_______的平方？
③ 12345678987654321×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1）是_______的平
方，
【答案】111111111,9,999999999
【解析】
（1）从简单得情况入手，找规律：
1的平方是 1；
11的平方是 121；
111的平方是 12321；
1111的平方是 1234321；
因此 111111111的平方是 12345678987654321；
（2）再来看小括号里的数，从 1加到 9再加到 1，我们从简单情况入手，
1+2+1=4=2的平方
1+2+3+2+1=9=3的平方
1+2+3+4+3+2+1=12=4 的平方
发现规律后就知道：1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9的平方。
（3）因此原来的算式 12345678987654321×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1），
就是 111111111×9即 999999999 的平方 。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于 50 个小
纸片，至少要画多少条直线 请说明．
【答案】10
【解析】
我们来一条一条地画直线．画第一条直线将圆形纸片划分成 2块．画第二条直线，如果与第
一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成 4块(增加了 2块)，否则只能划分成 3 块．类似
地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同(即没有 3 条直线交
于一点)，则将圆形纸片划分成 7 块(增加了 3 块)，否则划分的块数少于 7 块．下图是画 3
条直线的各种情形
由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆
内相交，且交点互不相同．这时增加的块数等于直线的条数．这样划分出的块数，列表如下：
直线条数 纸片最多划分成的块数
1 1+1
2 1+1+2
3 1+1+2+3
4 l+1+2+3+4
5 1+1+2+3+4+5
……
不难看出，表中每行右边的数等于 1加上从 l到行数的所有整数的和．因为 1+1+2+3+…
+10=56，1+1+2+3+…+9=46，可见第 9 行右边还不到 50，而第 lO 行右边已经超过 50
了．所以至少要画 10条直线．
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】如果一对成熟的兔子第一个月后能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于
是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一
公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，那么 1年后一共有多少对小兔？
【答案】233
【解析】
规律为：1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233，一年后共有 233
对小兔。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】平面上有 101条直线，它们最多有多少个不同的交点？
【答案】5050
【解析】
题目条件里的直线太多，因此我们从简单情况出发，先考虑 2条，3条……直线的情况，
直线条数 交点最多的个数
2 1
3 3=1+2
4 6=1+2+3
5 10=1+2+3+4
从上面的简单情况可以看出，平面上 n条直线最多有：[1+2+3+4+……+（n-1）]个不同的交
点，本题中是 101条直线，因此最多有 1+2+3+……+100=5050条直线。
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
习题演练
【试题来源】
【题目】
小红有 1 角、5 角的硬币共 35 枚，一共是 9 元 5 角，问两种硬币各多少枚？
【答案】 5 角的 15 枚，1 角的 20 枚
【解析】5 角的 15 枚，1 角的 20 枚
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】3 千克梨和 4 千克苹果共 18 元，4 千克梨和 5 千克苹果共 23 元，那么 1 千克梨多
少元？
【答案】2 元
【解析】2 元
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】小明买了 3 只鸭、7 只鸡和 1 只兔；小林买了 4 只鸭、10 只鸡和 1 只兔；小亮买
了 1 只鸭、1 只鸡和 1 只兔；小明付了 31.50 元，小林付了 42.00 元，小亮应付多少元？
【答案】10.50 元
【解析】10.50 元
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】 11111112222222÷3333333=？
【答案】3333334
【解析】 3333334
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】求 222……2(共 2005个 2)被 7除所得的余数
【答案】2
【解析】2
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后，推断第 20 行的各数之和是多少？
【答案】219
【解析】219
【知识点】数学思想方法一
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4

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