资源简介

学科培优 数学
速算与巧算三
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本节课主要学习数列以及数列的运算．数列作为小奥竞赛的重要内容，学习数列以及数列的运算，
需要仔细观察，归纳总结规律．教师通过带领学生复习等差数列求和以及其他数列的规律及运算，引导
学生归纳总结规律，发现其中的内在联系，并熟练运用规律进行计算．
知识点：
1.等差数列求和以及改变运算顺序计算．
2.利用乘法分配律以及公式进行运算．
本讲难度不大，但是要求学生在掌握方法的同时，即能快速又能准确的解决问题
重难点： 记住运算规律
提高计算熟练度
考 点： 复杂混和运算
知识梳理
加法交换律：【a+b=b+a】
加法结合律：【a+b+c=a+(b+c)】
减法的性质：【a-b-c=a-(b+c)】
乘法交换律：【a×b=b×a】
乘法结合律：【a×b×c=a×(b×c)】
例题精讲
【试题来源】
【题目】计算9＋99＋999＋9999＋99999
【试题来源】
【题目】计算199999＋19999＋1999＋199＋19
【试题来源】
【题目】计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
【试题来源】
【题目】计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6
【试题来源】
【题目】计算54＋99×99＋45
【试题来源】
【题目】计算 9999×2222＋3333×3334
【试题来源】
【题目】1999＋999×999
【试题来源】
【题目】比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.
【试题来源】
【题目】求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.
【试题来源】
【题目】2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.
【试题来源】
【题目】计算：（1＋3＋5＋……＋1989）－（2＋4＋6＋……＋1988）
【试题来源】
【题目】求1～1000 这1000 个数中不能被7 整除的整数之和．
习题演练
【试题来源】
【题目】计算899998＋89998＋8998＋898＋88
【试题来源】
【题目】计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—101
【试题来源】
【题目】计算（125×99＋125）×16
【试题来源】
【题目】计算（2＋4＋6＋…＋996＋998＋1000）－（1＋3＋5＋…＋995＋997＋999）
【试题来源】
【题目】在下面四个算式中，最大的得数是多少？
① 1992×1999＋1999 ② 1993×1998＋1998
③ 1994×1997＋1997 ④ 1995×1996＋1996学科培优 数学
速算与巧算三
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本节课主要学习数列以及数列的运算．数列作为小奥竞赛的重要内容，学
习数列以及数列的运算，
需要仔细观察，归纳总结规律．教师通过带领学生复习等差数列求和以及其他
数列的规律及运算，引导
学生归纳总结规律，发现其中的内在联系，并熟练运用规律进行计算．
知识点：
1.等差数列求和以及改变运算顺序计算．
2.利用乘法分配律以及公式进行运算．
本讲难度不大，但是要求学生在掌握方法的同时，即能快速又能准确的解决问题
重难点： 记住运算规律
提高计算熟练度
考 点： 复杂混和运算
知识梳理
加法交换律：【a+b=b+a】
加法结合律：【a+b+c=a+(b+c)】
减法的性质：【a-b-c=a-(b+c)】
乘法交换律：【a×b=b×a】
乘法结合律：【a×b×c=a×(b×c)】
例题精讲
【试题来源】
【题目】计算 9＋99＋999＋9999＋99999
【答案】111105
【解析】
在涉及所有数字都是 9的计算中，常使用凑整法.例如将 999化成 1000—1去计算.这是小
学数学中常用的一种技巧.
9＋99＋999＋9999＋99999
＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1） ＋（100000-1）
＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5
＝111110-5
＝111105.
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】计算 199999＋19999＋1999＋199＋19
【答案】22215
【解析】
此题各数字中，除最高位是 1外，其余都是 9，仍使用凑整法.不过这里是加 1凑整.（如
199＋1＝200）
199999＋19999＋1999＋199＋19
＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5
＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5
＝222220-5
＝22215.
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
【答案】2702
【解析】
解法 1：认真观察每个加数，发现它们都和整数 390接近，所以选 390为基准数.
389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
＝390×7—1—3—7—5—6—4—
＝2730—28
＝2702.
解法 2：也可以选 380 为基准数，则有
389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8
＝2660＋42
＝2702.
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6
【答案】4941
【解析】
认真观察可知此题关键是求括号中 6个相接近的数之和，故可选 4940为基准数.
（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6
＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6
＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把 4940×6先算出来，而是运
＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）
＝4940＋1
＝4941.
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】计算 54＋99×99＋45
【答案】9900
【解析】
此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把 45和 54先结合可得 99，就可以运用乘法分配律
进行简算了.
54＋99×99＋45
＝（54＋45）＋99×99
＝99＋99×99
＝99×（1＋99）
＝99×100
＝9900.
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】计算 9999×2222＋3333×3334
【答案】33330000
【解析】
此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将 9999 变为 3333×3，规律就出现了.
9999×2222＋3333×3334
＝3333×3×2222＋3333×3334
＝3333×6666＋3333×3334
＝3333×（6666＋3334）
＝3333×10000
＝33330000.
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】1999＋999×999
【答案】1000000.
【解析】
解法 1：1999＋999×999
＝1000＋999＋999×999
＝1000＋999×（1＋999）
＝1000＋999×1000
＝1000×（999＋1）
＝1000×1000
＝1000000.
解法 2：1999＋999×999
＝1999＋999×（1000-1）
＝1999＋999000-999
＝（1999-999）＋999000
＝1000＋999000
＝1000000.
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.
【答案】A＞B
【解析】
分析 经审题可知 A的第一个因数的个位数字比 B的第一个因数的个位数字小 1，但 A的第
二个因数的个位数字比 B的第二个因数的个位数字大 1.所以不经计算，凭直接观察不容易
知道 A和 B哪个大.但是无论是对 A或是对 B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们
开动脑筋，将 A和 B先进行恒等变形，再作判断.
解： A＝987654321×123456789
＝987654321×（123456788＋1）
＝987654321×123456788＋987654321.
B＝987654322×123456788
＝（987654321＋1）×123456788
＝987654321×123456788＋123456788.
因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.
【答案】9930
【解析】
解：五个数中，后一个数都比前一个数大 10，可看出 1986是这五个数的平均值，故其总
和为： 1986×5＝9930.
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是 320，求它们中最小
的一个.
【答案】60
【解析】
五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5＝64，因相邻偶数相差 2，故这五个偶数依次是
60、62、64、66、68，其中最小的是 60.
总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首
末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均
值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类
推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.
如：对于 2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1，
x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这 2n＋1个自然数的平均值.
巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】计算：（1＋3＋5＋……＋1989）－（2＋4＋6＋……＋1988）
【答案】995
【解析】
（方法一）
让学生用等差数列求和公式分别计算前后两部分，然后讲方法二，这样可以让学生体
会观察数列规律，动脑思考的重要性．
原式＝（1＋1989）×995÷2－（2＋1988）×994÷2＝1990×995÷2－1990×994÷2＝995
×（995－994）
＝995
（方法二）
把括号去掉，两两结合，简便计算．
原式＝1＋（3－2）＋（5－4）＋……＋（1989－1988） ＝1＋994＝995
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】求 1～1000 这 1000 个数中不能被 7 整除的整数之和．
【答案】429429
【解析】
由于1000÷7＝142…6，所以1～1000 中7 的倍数有：7，14，21，28，…，994，共(994－
7)÷7＋1＝142 个，这是一个首项为7，公差为7 的等差数列，我们可用等差数列求和公式
求出这一列数的
和，再用1～1000 这1000 个数的和减去上述数列的和即可．
解题过程为：
1000÷7＝142…6，
1～1000 中能被7 整除的数有：7，14，21，28，…，994．
由等差数列求和公式可知：
7＋14＋21＋28＋…＋994
＝(994＋7)×142÷2
＝1001×71
＝71071．
又 1＋2＋3＋4＋…＋1000＝(1000＋1)×1000÷2＝1001×500＝500500，
1～1000 中不能被 7 整除的整数之和为：500500－71071＝429429．
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
习题演练
【试题来源】
【题目】计算 899998＋89998＋8998＋898＋88
【答案】999980
【解析】999980
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋
104＋103—102—101
【答案】900
【解析】900
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】计算（125×99＋125）×16
【答案】200000
【解析】200000
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】计算（2＋4＋6＋…＋996＋998＋1000）－（1＋3＋5＋…＋995＋997＋999）
【答案】500
【解析】500
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在下面四个算式中，最大的得数是多少？
① 1992×1999＋1999 ② 1993×1998＋1998
③ 1994×1997＋1997 ④ 1995×1996＋1996
【答案】④
【解析】④
【知识点】速算与巧算三
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2

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