资源简介

小学奥数数学
“数阵图与幻方”
学生姓名
授课日期
教师姓名
授课时长
知识定位
一、什么是数阵图？
在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇
妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极
大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学
家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
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(2)
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上面两个图：右图(1)中有3个大圆，
每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右图(2)就更有意思了，1~9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和
与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你
就算算。
上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的
某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从如何来填好数阵图开始。
如何填好数阵图？
数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中
特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解
决问题：
第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）
第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与
该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总
和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.
第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图
关系线（关系区域）和
第四步：运用已经得到的信息进行尝试：
数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间
的相关关系，找出问题关键
【授课批注】
数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种
数学知识来解决问题.本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：
1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断：
2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法：
3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力：
4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能
力
二、什么是幻方？
同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕
西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，
河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每
块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点
是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多
有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人
们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇
的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和
叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：
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三、如何解决幻方问题？小学奥数 数学
“数阵图与幻方”
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
一、什么是数阵图
在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上面两个图：右图（1）中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从如何来填好数阵图开始。
如何填好数阵图
数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：
第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）
第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.
第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.
第四步：运用已经得到的信息进行尝试：
数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.
【授课批注】
数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：
1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；
2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；
3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；
4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力.
二、什么是幻方？
同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：
三、如何解决幻方问题？
幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……
如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，
三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.
解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.
知识梳理
（一）封闭型数阵问题
（二）辐射型数阵
（三）其它类型的数阵图
（四）幻方
例题精讲
【试题来源】
【题目】将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.
k=9 k=10 k=11 k=12
【试题来源】
【题目】小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？
【试题来源】
【题目】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填人圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．
【试题来源】
【题目】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？
【试题来源】
【题目】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？
【试题来源】
【题目】在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立：
【试题来源】
【题目】请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是20．
【试题来源】
【题目】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.
【试题来源】
【题目】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.
【试题来源】
【题目】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3
【试题来源】
【题目】在下图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.
【试题来源】
【题目】将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.
【试题来源】
【题目】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.
【试题来源】
【题目】在一个3×3的网格中填入9个数使得每一横行、竖行、对角线上三个数的乘积相等.
习题演练
【试题来源】
【题目】将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
【试题来源】
【题目】如图，将3～9这七个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
【试题来源】
【题目】将1～11这十一个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
【试题来源】
【题目】（十一届“迎春杯”决赛）如图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等．那么X=____．
【试题来源】
【题目】在图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19．95．那么，标有*的格内所填的数是多少
【试题来源】
【题目】将自然数1至9分别填在如图所示的3×3方格表内，使得每行、每列及两条对角线上的数满足：两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5．
【试题来源】
【题目】如图，横、竖各有12个方格，每个方格内都有一个数．已知横行上任意3个相邻数之和为20，竖列上任意3个相邻数之和为2l，并且其中4个方格内的数分别是3，5，8和x．那么x所代表的数是多少

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