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归一与还原问题
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知识定位
为什么把有的问题叫归一还原问题？我国珠算除法中有一种方法，称为归
除法。除数是几，就称几归；除数是 8，就称为 8 归.而归一的意思，就是用除
法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！在生活中，我们经常会遇到这样
一类问题：“一辆汽车每小时行驶 60 千米，照这样的速度，3 小时行驶多少千
米？”其中，每小时行驶 60 千米，我们称它为“单位数量”或“单一量”，知道
了单位数量，然后把它作为固定不变的量，进行相关问题的计算，这种类型的应
用问题，叫做归一问题。
知识梳理
1.归一还原问题有两种基本类型：一种是正归一，也称为直进归一。如：一
辆汽车 3小时行 150 千米，照这样，7 小时行驶多少千米？解决此类问题的关键
是先求出单位数量，再求几个单位数量是多少；另一种是反归一，也称为返回归
一.如：修路队 6小时修路 180 千米，照这样，修路 240 千米需几小时？解决此
类问题的关键是先求出单位数量，再求一共包含多少个单位数量。
2.正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在
第二步，正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。
下面是归一问题的基本关系式推荐给大家作为参考：
总工作量＝每份的工作量（单一量）×份数 （正归一）
份数＝总工作量÷每份的工作量（单一量） （反归一）
每份的工作量（单一量）＝总工作量÷份数
3.重点难点解析
（1）．归一还原问题的概念
（2）．解决归一还原问题的基本思路
4.竞赛考点挖掘
（1）．归一还原问题与其他类型题目的结合
（2）．归一还原问题与年龄问题
（3）．归一还原问题与工程问题
例题精讲习题演练
【试题来源】
【题目】
一个工人要磨面粉 200 千克，3 小时磨了 60 千克。照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小
时？
【答案】7小时
【解析】
法 1： 通过 3 小时磨 60 千克，可以求出 1 小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所
以剩下的量除以 1小时磨的数量，得到问题所求。（200-60）÷（60÷3）=7（小时）。
法 2：200÷（60÷3）=10（小时），10-3=7（小时）。
小结：解决正归一的问题首先要求出单位数量，解决反归一的问题同样也是要先求出单位数
量。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
王奶奶家养了 5头奶牛，7天产牛奶 630千克，照这样计算，8头奶牛 15天可生产牛奶多少
千克？
【答案】2160 千克
【解析】
以 1头奶牛 1天产的牛奶为单一量，1头奶牛 1天产奶：630÷5÷7=18（千克），8 头奶牛 1
天产奶：
18×8=144（千克），8 头奶牛 15天产奶：144×15=2160（千克）。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
3名工人 5小时加工零件 90个，要在 10小时完成 540 个零件的加工，需要工人多少名？
【答案】9名
【解析】
法 1：3 名工人 5 小时加工零件 90 个，就是说每人每小时加工（90÷3）÷5=6 个，那么一
个人 10 小时可以加工 6×10=60 个，540个零件在 10 小时做完就需要 540÷60=9个人。
法 2：3名工人 5小时加工零件 90个，假设在时间相同的情况下 3名工人 10小时加工零件
180个零件，要完成 540 个零件用倍比的思想，540个零件是 180的 3倍，时间相同，完成
零件的数量是 3倍，那么工人也是 3倍的关系，3×3=9（人）。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
7辆“黄河牌”卡车 6趟运走 336吨沙土。现有沙土 560 吨，要求 5趟运完，求需要增加同
样卡车多少辆？
【答案】7辆
【解析】
要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求 5 趟运完 560 吨沙土，
每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土。一辆卡车一次能运沙土：
336÷6÷7=56÷7=8（吨）；560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走：560÷5＝112（吨）；需要增
加同样的卡车：112÷8-7＝7（辆）。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
有 20人修筑一条公路，计划 15天完成。动工 3天后抽出 5人植树，留下的人继续修路。如
果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？
【答案】19 天
【解析】
有 20 人修筑一条公路，计划 15 天完成，说明这条公路的工作量按每天计算有 20×15=300
人次，动工 3天后抽出 5人植树，20人修 3天完成了 20×3=60人次，那么总工作量还剩下
300-60=240 人次，这些剩下的工作给 15人做，每人就还需要工作 240/15=16天，这样，前
后加起来，实际工作就有 3+16=19 天。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
修一条公路，原计划 60 人工作，80天完成。现在工作 20天后，又增加了 30人，这样剩下
的部分再用多少天可以完成？
【答案】40 天
【解析】
修完这条公路共需要：60×80=4800个劳动日，60人工作 20天后，还剩下：4800-60×20=3600
个劳动日，剩下的部分增加 30人后再用：3600÷（60+30）=40 天。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
甲、乙两个打字员 4 小时共打字 3600个。现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字 2450
个，乙打字 2050个。求甲、乙二人每小时各打字多少个？
【答案】490 个；410个
【解析】
法 1：甲、乙二人每小时共打字：3600÷4＝900（个）；“相同时间”是：（2450＋2050）÷900
＝5（小时）；甲打字员每小时打字的个数：2450÷5=490（个）；乙打字员每小时打字的个数：
2050÷5=410（个）。
法 2：还可以这样想：这道题的已知条件可以分两层.第一层，甲乙二人 4小时共打字 3600
个；第二层，在相同时间内甲打字 2450个，乙打字 2050 个.由这两个条件可以求出在相同
的时间内，甲乙二人共打字 2450+2050=4500（个）；打字 3600个用 4小时，打字 4500个
用几小时呢？先求出 4500是 3600的几倍，也一定是 4小时的几倍，即“相同时间”。“相同
时间”是：4×[（2450＋2050）÷3600]＝5（小时）；甲每小时打字：2450÷5=490（个）；乙每
小时打字：2050÷5=410（个）。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
一批苹果平均分装在 20个筐中，如果每筐多装 1/9，可省下多少只筐？
【答案】2只
【解析】
每 9筐可省去 1只筐，20÷9=2……2，所以 20筐可省下 2只筐。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
姐妹二人在同一环境中学习，妹妹勤学，学一知三。姐姐懒惰，学三忘二，请你算算妹妹在
6年间所学懂的知识，姐姐需要多少年才能学懂？
【答案】54 年
【解析】
已知妹妹学一知三，她用 6年所学懂的知识由学一知一的人来学，需要 18年。姐姐学三忘
二，于是妹妹 6年学懂的知识，姐姐需要 18÷1/3=54（年）才能学懂。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水。如果倒进 2 杯水，连罐共重 6 千克；如果倒进 5 杯
水，连罐共重 9千克。这个空罐重多少千克？
【答案】4千克
【解析】
9-6是 3（=5-2）杯水重，1杯水重 1 千克，因此空罐重：6-1×2=4（千克）。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
10辆小车和 3辆卡车一次运货 32吨，15辆小车和 3 辆卡车一次运货 42吨。每辆卡车和每
辆小车每次各运货多少吨？
【答案】2吨；4吨
【解析】
摘录条件： 10辆小车 + 3辆卡车 = 32吨
15辆小车 + 3辆卡车 = 42吨
比较条件，看看什么量变了，什么量没变，两个变化的量之间的关系是什么？从对应量的
变化，可以看出（42-32）吨正好与（15-10）辆小车的载重量相对应，因此每辆小车每次可
以运货：（42-32）÷（15-10）=2吨，那么每辆卡车每次可以运货：4吨。其实这就是二元
一次方程的思想。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
阿呆去商店买了 2 个笔袋，3 支圆珠笔，用去 25 元；小新去商店买了 1 个笔袋，2 支圆珠
笔，用去 14元；那么买 1个笔袋，1支圆珠笔，分别需要多少元？
【答案】3元；8元
【解析】
摘录条件： 2个笔袋+3支圆珠笔=25元 （1）式 ；
1个笔袋+2 支圆珠笔=14元 （2）式 ；
由第 2个式子知道：2个笔袋+4支圆珠笔=28元 （3）式 ；
由 1和 3式可以知道：1支圆珠笔=3元，那么再由 2 式可以知道：1个笔袋=8元。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
有甲、乙两块麦田，平均亩产 420千克，甲块麦田有 5亩，平均亩产 450千克。如果乙块麦
田平均亩产 400千克，那么乙块麦田有多少亩？
【答案】7.5 亩
【解析】
与平均水平相比，甲麦田可多提供 5×（450-420）=150（千克），这部分提供给乙麦田，每
亩乙麦田比平均水平少 420-400=20（千克），那么 150 千克可提供给 7.5 亩的乙麦田。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
全国大约有 15000 万小学生，每个小学生节约 1 小张纸，32 小张是 1 大张，500 大张是 1
令，1辆汽车装 125令，节约的纸大约要多少辆汽车才能装完？
【答案】75 辆
【解析】
（15000×10000）÷32÷500÷125=75（辆）。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
2 个篮球的价钱可以买 6 个排球，6 个足球的价钱可以买 3个篮球。买排球、足球、网球各
一个的价钱可以买 1个篮球。那么，买 1个篮球的价格可以买多少个网球？
【答案】6个
【解析】
6个篮球的钱可以买排球、足球、网球各 6个。即可买 5（=2+3）个篮球及 6个网球。因此
买 1个篮球的价格可以买 6个网球。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
先根据条件提出问题，使它成为一步计算的应用题，再口头列式解答。
（1）小芳买 2支钢笔用了 10元钱， ？
（2）书架每个 25元，有 100元， ？
【答案】建议老师们可以在学生提出问题使它成为一步计算的应用题的基础上，再让学生提
出问题使它成为两步计算的应用题
【解析】
建议老师们可以在学生提出问题使它成为一步计算的应用题的基础上，再让学生提出问题
使它成为两步计算的应用题。如：买 3 支钢笔多少元？使本道例题成为归一问题的最典型
的题目，使学生感受归一问题的题型。
可在后补充一题作为巩固练习。
练：一只小蜗牛 6分钟爬行 12 分米，照这样速度 30 分爬行多少分米？
分析：本题属于正归一，有两种解题思路。
法 1：归一思想。为了求出蜗牛 30 种分钟爬多少分米，必须先求出 1 分钟爬多少分米。即
蜗牛的速度（单一数），“照这样速度”说明小蜗牛每分钟爬行的速度是相等的，然后以这个
数目为依据按要求算出结果。
小蜗牛每分钟爬行 12÷6=2（分米），30分钟爬 2×30=60（分米）。
法 2 ：倍比思想。仔细观察题目中所给的条件，已知 30分钟正好是 6分钟的 5倍，爬行的
距离也应是 12的 5倍。即 12×5＝60（分米）。
归一问题的关键是用除法求出单位数量，但有时也要注意观察分析题目所给的条件，注意数
的特点，利用倍比的思路解题更简单。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
有 A、B、C三种货物，甲购 A物 3件、B物 5件、C物 1件付款 20元；乙购 A物 4 件、B物
7件、C物 1件付款 25元；丙购 A、B、C三种货物各 1件，应付多少元？
【答案】10 元
【解析】
摘录条件：（1）3 A + 5 B +1 C = 20
（2）4 A + 57B +1 C = 25
（2）-（1）可得条件（3）：1 A+ 2 B = 5 ；（3）×2可得条件（4）：2 A + 4 B = 10 ；
（1）-（4）可得：1A + 1 B +1 C = 10 （元）。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
习题演练
【试题来源】
【题目】5 箱蜜蜂一年可以酿 75 千克蜂蜜，照这样计算，酿 300 千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂？
【答案】15
【解析】15
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】花果山上桃树多，5 只小猴分 200 棵.现有小猴 60 只，如数分后还余 90 棵，请算
出桃树有几棵？
【答案】2490
【解析】2490
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】5 台拖拉机 24 天耕地 12000 公亩。要 18 天耕完 54000 公亩土地，需要增加同样拖
拉机多少台？
【答案】25
【解析】25
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】5个人挖 3米长的沟需要用 3个小时，那么用 50个小时挖 50米的沟需要多少名工
人？
【答案】5
【解析】5
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】一个工人在森林中锯木头，他用了 12分钟把一根树干锯成了 4段．如果保持工作
速度不变，要把每段木头再锯成两段，还需要多少分钟？
【答案】16
【解析】
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】平整一块土地，原计划 8人平整，每天工作 7.5小时，6天可以完成任务。由于急
需播种，要求 5天完成，并且增加 1人。问：每天要工作多少小时？
【答案】8
【解析】8
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】妈妈买了 2 斤苹果，4 斤菠萝，花去 14 元；爸爸买了 3 斤苹果，2 斤菠萝，花去
13元；那么 1斤苹果，1斤菠萝各多少钱？
【答案】1斤苹果 3元，1斤菠萝 2元。
【解析】1斤苹果 3元，1斤菠萝 2元。
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】学校买来一些足球和篮球.已知买 3个足球和 5 个篮球共花了 281 元；
买 3个足球和 7 个篮球共花了 355 元.现在要买 5个足球、4个篮球共花多少
元？
【答案】308
【解析】308
【知识点】归一与还原问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3归一与还原问题
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
为什么把有的问题叫归一还原问题？我国珠算除法中有一种方法，称为归除法。除数是几，就称几归；除数是8，就称为8归.而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！在生活中，我们经常会遇到这样一类问题：“一辆汽车每小时行驶60千米，照这样的速度，3小时行驶多少千米？”其中，每小时行驶60千米，我们称它为“单位数量”或“单一量”，知道了单位数量，然后把它作为固定不变的量，进行相关问题的计算，这种类型的应用问题，叫做归一问题。
知识梳理
1.归一还原问题有两种基本类型：一种是正归一，也称为直进归一。如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求几个单位数量是多少；另一种是反归一，也称为返回归一.如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求一共包含多少个单位数量。
2.正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步，正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。
下面是归一问题的基本关系式推荐给大家作为参考：
总工作量＝每份的工作量（单一量）×份数 （正归一）
份数＝总工作量÷每份的工作量（单一量） （反归一）
每份的工作量（单一量）＝总工作量÷份数
3.重点难点解析
（1）．归一还原问题的概念
（2）．解决归一还原问题的基本思路
4.竞赛考点挖掘
（1）．归一还原问题与其他类型题目的结合
（2）．归一还原问题与年龄问题
（3）．归一还原问题与工程问题
例题精讲习题演练
【试题来源】
【题目】一个工人要磨面粉200千克，3小时磨了60千克。照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？
【试题来源】
【题目】王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可生产牛奶多少千克？
【试题来源】
【题目】3名工人5小时加工零件90个，要在10小时完成540个零件的加工，需要工人多少名？
【试题来源】
【题目】7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土。现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样卡车多少辆？
　　
【试题来源】
【题目】有20人修筑一条公路，计划15天完成。动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路。如果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？
【试题来源】
【题目】修一条公路，原计划60人工作，80天完成。现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？
【试题来源】
【题目】甲、乙两个打字员4小时共打字3600个。现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个。求甲、乙二人每小时各打字多少个？
【试题来源】
【题目】
一批苹果平均分装在20个筐中，如果每筐多装1/9，可省下多少只筐？
【试题来源】
【题目】姐妹二人在同一环境中学习，妹妹勤学，学一知三。姐姐懒惰，学三忘二，请你算算妹妹在6年间所学懂的知识，姐姐需要多少年才能学懂？
【试题来源】
【题目】用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水。如果倒进2杯水，连罐共重6千克；如果倒进5杯水，连罐共重9千克。这个空罐重多少千克？
【试题来源】
【题目】10辆小车和3辆卡车一次运货32吨，15辆小车和3辆卡车一次运货42吨。每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？
【试题来源】
【题目】阿呆去商店买了2个笔袋，3支圆珠笔，用去25元；小新去商店买了1个笔袋，2支圆珠笔，用去14元；那么买1个笔袋，1支圆珠笔，分别需要多少元？
【试题来源】
【题目】有甲、乙两块麦田，平均亩产420千克，甲块麦田有5亩，平均亩产450千克。如果乙块麦田平均亩产400千克，那么乙块麦田有多少亩？
【试题来源】
【题目】全国大约有15000万小学生，每个小学生节约1小张纸，32小张是1大张，500大张是1令，1辆汽车装125令，节约的纸大约要多少辆汽车才能装完？
【试题来源】
【题目】
2个篮球的价钱可以买6个排球，6个足球的价钱可以买3个篮球。买排球、足球、网球各一个的价钱可以买1个篮球。那么，买1个篮球的价格可以买多少个网球？
【试题来源】
【题目】
先根据条件提出问题，使它成为一步计算的应用题，再口头列式解答。
（1）小芳买2支钢笔用了10元钱， ？
（2）书架每个25元，有100元， ？
【试题来源】
【题目】
有A、B、C三种货物，甲购A物3件、B物5件、C物1件付款20元；乙购A物4件、B物7件、C物1件付款25元；丙购A、B、C三种货物各1件，应付多少元？
习题演练
【试题来源】
【题目】5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂？
【试题来源】
【题目】花果山上桃树多，5只小猴分200棵.现有小猴60只，如数分后还余90棵，请算出桃树有几棵？
【试题来源】
【题目】5台拖拉机24天耕地12000公亩。要18天耕完54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？
【试题来源】
【题目】5个人挖3米长的沟需要用3个小时，那么用50个小时挖50米的沟需要多少名工人？
【试题来源】
【题目】一个工人在森林中锯木头，他用了12分钟把一根树干锯成了4段．如果保持工作速度不变，要把每段木头再锯成两段，还需要多少分钟？
【试题来源】
【题目】平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5小时，6天可以完成任务。由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。问：每天要工作多少小时？
【试题来源】
【题目】妈妈买了2斤苹果，4斤菠萝，花去14元；爸爸买了3斤苹果，2斤菠萝，花去13元；那么1斤苹果，1斤菠萝各多少钱？
【试题来源】
【题目】学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？

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