资源简介

学科培优 数学
盈亏问题初步
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本节课要求老师首先让学生理解盈亏问题基本公式的含义，再通过例题让学生掌握解答盈亏问题的基本技巧，培养学生的思维分析能力．
盈亏问题是一类生活中很常见的问题．按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．
重点难点：1．盈亏问题中份数与总量的区分
2．盈亏不同类型题的区分于解答
3．盈亏与其他类型题的综合
考点： 1．盈亏与倍数、行程的综合
2．盈亏问题的解决和应用
。
知识梳理
本讲主要学习三种类型的盈亏问题：
1、理解掌握并运用直接计算型盈亏问题；
2、理解掌握条件转换型盈亏问题；
3、理解掌握关系互换型盈亏问题．
解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：
（1）(盈＋亏)÷两次分得之差＝人数或单位数；
（2）(盈－盈)÷两次分得之差＝人数或单位数；
（3）(亏－亏)÷两次分得之差＝人数或单位数．
上面的公式不能盲目套用，在真正掌握其内涵以后再运用公式解题将会使你面临盈亏问题时而游刃有余，不可盲目套用公式．相同的就减、不同的就加。
例题精讲
【试题来源】
【题目】
智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？
【试题来源】
【题目】
秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？
【试题来源】
【题目】
智康小合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出9人，若每条长椅上坐4人则多出3人.问：合唱队有多少人？
【试题来源】
【题目】
李老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？
【试题来源】
【题目】
少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？
【试题来源】
【题目】
猪妈妈带着孩子去野餐，如果每张餐布周围坐4只小猪就有6只小猪没地方坐，如果每张餐布周围多坐一只小猪就会余出4个空位子，问：一共有多少只小猪，猪妈妈一共带了多少张餐布？
【试题来源】
【题目】
兔子妈妈分白菜：如果其中2只小兔子每只分4棵，其余每只分2棵，则多4棵白菜；如果其中一只小兔子分6棵，其余每只分4棵，则差12棵白菜，问：一共有多少只小兔子？一共有多少棵白菜？
【试题来源】
【题目】
王老师由家里到学校，如果每分钟骑车500米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车600米，就可以比上课时间提前2分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？
【试题来源】
【题目】
学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？
【试题来源】
【题目】
幼儿园将一筐苹果分给小朋友．如果分给大班的小朋友每人5个则余10个苹果；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个苹果．已知大班比小班多3个小朋友，问这筐苹果共有多少个？
【试题来源】
【题目】有48个香蕉分给两个笼子的小猩猩，已知第二个笼子比第一个笼子多5只猩猩．如果把香蕉全部分给第一个笼子的猩猩，那么每只猩猩4个，有剩余；每只猩猩5个，香蕉不够．如果把香蕉全分给第二个笼子里面的猩猩，那么每只猩猩3个，有剩余；每只猩猩4个，香蕉不够．问第二个笼子有多少只猩猩？
【试题来源】
【题目】
有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？
【试题来源】
【题目】
小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？
【试题来源】
【题目】
体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余10个羽毛球，如果人数增加到3倍，那么每人分2个羽毛球还缺少8个，问有羽毛球多少个？
【试题来源】
【题目】
李阿姨给小朋友分糖果．若每人分8块，还剩10块；若每人分9块，最后一人分不到9块，但至少可分到一块．那么糖果最多有多少块？
习题演练
【试题来源】
【题目】
用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳对折后垂到井水面，绳子超过井台9米；把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米.求绳长和井深.
【试题来源】
【题目】
三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？
【试题来源】
【题目】
王老伯为小鸡分配笼子．每个笼子放3只，则多出23只；每个笼子放5只，则空出3个笼子．问笼子有多少个？小鸡有多少只？
【试题来源】
【题目】
智康的同学去划船．他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人．问：这个班共有多少同学
【试题来源】
【题目】
乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币．乐乐共存了多少钱
【试题来源】
【题目】
妈妈给了小青一些钱去买贺年卡，有甲、乙、丙三种贺年卡，甲种卡每张1元，丙种卡每张2元．用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张．妈妈给了小青多少钱？乙种卡每张多少钱？学科培优 数学
盈亏问题初步
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本节课要求老师首先让学生理解盈亏问题基本公式的含义，再通过例题让学
生掌握解答盈亏问题的基本技巧，培养学生的思维分析能力．
盈亏问题是一类生活中很常见的问题．按不同的方法分配物品时，经常发生
不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问
题的含义．
重点难点：1．盈亏问题中份数与总量的区分
2．盈亏不同类型题的区分于解答
3．盈亏与其他类型题的综合
考点： 1．盈亏与倍数、行程的综合
2．盈亏问题的解决和应用
。
知识梳理
本讲主要学习三种类型的盈亏问题：
1、理解掌握并运用直接计算型盈亏问题；
2、理解掌握条件转换型盈亏问题；
3、理解掌握关系互换型盈亏问题．
解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：
（1）(盈＋亏)÷两次分得之差＝人数或单位数；
（2）(盈－盈)÷两次分得之差＝人数或单位数；
（3）(亏－亏)÷两次分得之差＝人数或单位数．
上面的公式不能盲目套用，在真正掌握其内涵以后再运用公式解题将会使你面临盈亏问题
时而游刃有余，不可盲目套用公式．相同的就减、不同的就加。
例题精讲
【试题来源】
【题目】
智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分 4粒就多 9粒，如果每人分 5粒则
少 6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？
【答案】15,69
【解析】
由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分 4粒就
多 9粒，第二种每人分 5粒则少 6粒，两种不同方案一多一少差 9+6=15（粒），相差原因在
于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差 15粒，
所以参与分糖果的同学的人数是 15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒）.
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】1
【试题来源】
【题目】
秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃 4个，要多
出 48 个萝卜；如果每天吃 6个，则又少 8 个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划
吃多少天？
【答案】160,28
【解析】
题中告诉我们每天吃 4个，多出 48个萝卜；每天吃 6 个，少 8个萝卜．观察每天吃的个数
与萝卜剩余个数的变化就能看出，由每天吃 4 个变为每天吃 6 个，也就是每天多吃 2个时，
萝卜从多出 48个到少 8个，也就是所需的萝卜总数要相差 48＋8＝56（个）．从这个对应的
变化中可以看出，只要求 56 里面含有多少个 2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的
天数，就不难求出共有多少个萝卜了．
吃的天数：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），萝卜数：6×28－8＝160（个）或 4×
28＋48＝160（个）．
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】1
【试题来源】
【题目】
智康小合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐 3人则多出 9人，若每条长椅上坐 4人
则多出 3人.问：合唱队有多少人？
【答案】27
【解析】
“多 9 人”与“多 3人”两者相差 9－3＝6（人），每条长椅要多座 4－3＝1（人），因此
就知道，共有 6÷1＝6（条）长椅，人数是 6×3+9＝27（人）．
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】1
【试题来源】
【题目】
李老师去琴行买儿童小提琴，若买 7把，则所带的钱差 110元；若买 5把，则所带的钱还差
30元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？
【答案】40,170
【解析】
本题购物的两个方案，每一个方案都出现钱不足的情况，买 7 把差 110 元，买 5 把还差 30
元，从买 7把变成买 5把，少买了 7-5=2（把），而钱的差额减少了 110-30=80（元），即 80
元可以买2把小提琴，可见小提琴的单价是每把40元,王老师一共带了：40×7-110=17（0 元）
钱.
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】2
【试题来源】
【题目】
少先队员去植树，如果每人挖 5个树坑，还有 3个树坑没人挖；如果其中两人各挖 4个树
坑，其余每人挖 6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了
多少树坑？
【答案】7,38
【解析】
这是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖 4个树坑，其余每
人挖 6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”统一一下。即：应该统一成每人挖 6个树坑，形
成统一的标准。那么它就相当于每人挖 6个树坑，就要差（6-4）*2=4个树坑。这样，盈
亏总数就是 3+4=7，所以，有少先队员 7/（6-5）=7名，共挖了 5*7+3=38个坑。
解答：盈亏总数等于 3+（6-4）*2=7，少先队员有 7/（6-5）=7名，共挖了 5*7+3=38 个树
坑。
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】2
【试题来源】
【题目】
猪妈妈带着孩子去野餐，如果每张餐布周围坐 4只小猪就有 6只小猪没地方坐，如果每张餐
布周围多坐一只小猪就会余出 4个空位子，问：一共有多少只小猪，猪妈妈一共带了多少张
餐布？
【答案】46,10
【解析】
每张餐布周围多坐一只小猪就是坐 5只小猪，余出 4个空位子就是少 4只小猪，所以原问题
可以转化为：如果每张餐布周围坐 4只小猪，则多出 6只没处坐；如果每张餐布周围坐 5只，
还少 4 只，求有多少只小猪多少张餐布？所以餐布数是：（6+4）÷1=10（张），有小猪：10
×4+6=46（只）.
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】2
【试题来源】
【题目】
兔子妈妈分白菜：如果其中 2只小兔子每只分 4棵，其余每只分 2棵，则多 4棵白菜；如果
其中一只小兔子分 6 棵，其余每只分 4棵，则差 12棵白菜，问：一共有多少只小兔子？一
共有多少棵白菜？
【答案】9,26
【解析】
由已知条件，第一种分配：其中 2只每只分 4棵，其余每只分 2棵，则多 4棵白菜，我们假
设，如果所有的小兔子每只都分 2棵，就会多出 2×2=4（棵），这样将条件转化为：每只分
2 棵，则多出 4+2×2=8（棵）；第一种分配，如果假设每只小兔子分 4 棵，就会多出 6-4=2
（棵），这样将条件转化为：每只分 4 棵，则差 12-2=10（棵），第一次与第二次分配相差
8+10=18（棵），两次分配每只小兔子相差 4-2=2（只），所以小兔子的总数为：18÷2=9（只），
一共有白菜：2×9+8=26（棵）.
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】3
【试题来源】
【题目】
王老师由家里到学校，如果每分钟骑车 500米，上课就要迟到 3分钟；如果每分钟骑车 600
米，就可以比上课时间提前 2分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？
【答案】136500
【解析】
迟到 3 分钟转化成米数：500×3=1500（米），提前两分钟到校转化成米数：600×2＝
1200（米）王老师家到学校需要（1500＋1200）÷（60-50）=270（分钟），王老师家到
学校的路程：500×（270+3）＝136500（米）
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】3
【试题来源】
【题目】
学校规定上午 8时到校，小明去上学，如果每分种走 60米，可提早 10分钟到校；如果每分
钟走 50米，可提早 8 分钟到校，求小明几时几分离家刚好 8时到校？由家到学校的路程是
多少？
【答案】7 时 40 分，600 米
【解析】
小明每分钟走 60 米，可提早 10 分钟到校，即到校后还可多走 60×10＝600（米）；如果每
分钟走 50 米，可提早 8 分钟到校，即到校后还可多走 50×8＝400（米），第一种情况比第
二种情况每分钟多走 60－50＝10（米），就可以多走 600－400＝200（米），从而可以求出小
明由家到校所需时间．
（1）10分种走多少米？60×10＝600（米），
（2）8分种走多少米？50×8＝400（米），
（3）需要时间： （600－400）÷（60－50）＝20（分钟），所以小明 7时 40分离家刚好 8
时到校.
（4）由家到校的路程： 60×（20－10）＝600（米）或：50×（20－8）＝600（米）．
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】3
【试题来源】
【题目】
幼儿园将一筐苹果分给小朋友．如果分给大班的小朋友每人 5个则余 10个苹果；如果分给
小班的小朋友每人 8个则缺 2个苹果．已知大班比小班多 3个小朋友，问这筐苹果共有多少
个？
【答案】70
【解析】
这样的题型需要将对象统一，分给大班的小朋友每人 5个则余 10个，大班比小班多 3个小
朋友，相当于分给小班的小朋友每人 5 个则余 10＋3×5＝25（个），盈亏总数＝25＋2＝27
（个），小班人数＝27÷（8－5）＝9（人），苹果有 9×5＋25＝70（个）．
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】3
【试题来源】
【题目】
有 48 个香蕉分给两个笼子的小猩猩，已知第二个笼子比第一个笼子多 5只猩猩．如果把香
蕉全部分给第一个笼子的猩猩，那么每只猩猩 4个，有剩余；每只猩猩 5个，香蕉不够．如
果把香蕉全分给第二个笼子里面的猩猩，那么每只猩猩 3个，有剩余；每只猩猩 4个，香蕉
不够．问第二个笼子有多少只猩猩？
【答案】15
【解析】
如果把香蕉全部分给第一个笼子，那么每只猩猩 4个，有剩余；每只猩猩 5个，香蕉不够．说
明第一个笼子猩猩数少于 48÷4＝12（只）猩猩，多于 48÷5＝9……3，即多于 9 只猩猩；
如果把香蕉全分给第二组，那么每只猩猩 3个，有剩余；每只猩猩 4个，香蕉不够．说明第
二组只猩猩数少于 48÷3＝16（只）猩猩，多于 48÷4＝12（只）猩猩；因为已知第二组比
第一组多 5只猩猩，所以，第一组只能是 10只猩猩，第二组 15只猩猩．
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】4
【试题来源】
【题目】
有若干个苹果和梨，如果按 1个苹果配 3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩 2个梨；如果
按半个苹果配 2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？
【答案】14
【解析】
1个苹果配 3个梨，多 2个梨；半个苹果配 2个梨，即 1个苹果配 4个梨，剩半个苹果，
即少 2个梨.苹果有（2+2）÷（4-3）=4（个），梨有 3×4+2=14（个）.
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】4
【试题来源】
【题目】
小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买 10千克牛肉则还差 6元，若买 12千克猪肉则还剩 4元．已
知每千克牛肉比猪肉贵 3元，问：小明妈妈带了多少钱？
【答案】124 元
【解析】
因为“每千克牛肉比猪肉贵 3元”，所以同样买 10千克猪肉的话，就剩了 3×10－6＝24（元），
这样化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（24－4）÷（12－10）＝10（元），所以小明妈
妈带的钱数是：12×10＋4＝124（元）．
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】4
【试题来源】
【题目】
体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人 5个还多余 10 个羽毛球，如果人数增加到 3倍，
那么每人分 2个羽毛球还缺少 8个，问有羽毛球多少个？
【答案】100
【解析】
考虑人数增加 3 倍后，相当于按原人数每人给 2×3＝6（个），每人给 5 个与给 6 个，总数
相差 10＋8＝18 (个），所以原有人数 18÷（6－5)＝18（人），乒乓球总数是 5×18＋10＝
100（个）．
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】4
【试题来源】
【题目】
李阿姨给小朋友分糖果．若每人分 8块，还剩 10块；若每人分 9块，最后一人分不到 9块，
但至少可分到一块．那么糖果最多有多少块？
【答案】154
【解析】
最后一人分不到 9块，那么最多可以分到 8块，即若每人分 9块，还差 1块．根据盈亏计算
公式，人数有（1＋10）÷（9－8）＝11（人），糖果最多有 9×11－1＝98（块）；最后一人
分不到 9块，但至少可分到一块，即最少是最后一人差 8块，根据盈亏计算公式，人数有（8
＋10）÷（9－8）＝18（人），糖果最多有 9×18－8＝154（块）；所以，这批糖果最多有 154
块．
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度】4
习题演练
【试题来源】
【题目】
用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳对折后垂到井水面，绳子超过井台 9 米；把绳子
三折后垂到井水面，绳子超过井台 2米.求绳长和井深.
【答案】井深 12米，绳子长 42米
【解析】井深 12米，绳子长 42米
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度】1
【试题来源】
【题目】
三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬 4块砖，还剩 7块；如果每人搬 5块，
则少 2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？
【答案】9人，43块
【解析】9人，43块
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度】2
【试题来源】
【题目】
王老伯为小鸡分配笼子．每个笼子放 3只，则多出 23 只；每个笼子放 5只，则空出 3个笼
子．问笼子有多少个？小鸡有多少只？
【答案】笼子 19个，小鸡 80只
【解析】笼子 19个，小鸡 80只
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度】3
【试题来源】
【题目】
智康的同学去划船．他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐 6 人；如果减少一条
船，正好每条船坐 9人．问：这个班共有多少同学
【答案】36人
【解析】36人
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度】3
【试题来源】
【题目】
乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中 2 分币比 5 分币多 22 个；按钱数算，5 分币却
比 2分币多 4角；另外，还有 36个 1分币．乐乐共存了多少钱
【答案】276分
【解析】276分
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度】3
【试题来源】
【题目】
妈妈给了小青一些钱去买贺年卡，有甲、乙、丙三种贺年卡，甲种卡每张 1元，丙种卡每张
2元．用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买 8张，买乙种卡要比买丙种卡多买 6张．妈妈给
了小青多少钱？乙种卡每张多少钱？
【答案】20元，1元 4角
【解析】20元，1元 4角
【知识点】盈亏问题初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度】5

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