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学科培优 数学
“直线型面积计算”
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本讲讲解已经学过的几种基本平面几何图形：正方形、长方形、三角形、平行四边形、梯形等的相关面积计算方法，是几何问题中的常见常考内容。
知识梳理
基本平面图形的计算公式
【授课批注】
在复习学校所学基本面积公式的同时也顺带复习周长的公式，这些知识点在具体题目中都可能用到。
重要模型
模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：
即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
S1︰S2 =a︰b ；
模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）
如图，三角形AED占三角形ABC面积的×=
模型二：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）
①S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4
②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）
模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
①S1︰S3=a2︰b2
②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ;
③S的对应份数为（a+b）2
【授课批注】
因为四年级还没学过比例，所以在讲用比所表示的模型时可使用份数这个概念，学生更容易理解。对于部分学有余力的学生可以先讲比例再直接引入上面的关系式。
【重点难点解析】
1．等底或等高的三角形的面积关系
2．长方形或平行四边形与同底等高三角形的面积关系
3. 三角形内不规则图形部分的面积计算
【竞赛考点挖掘】
1. 基本几何图形的面积计算
2. 三角形中底和高与面积的关系
3. 四边形对角线所分成的四个三角形的面积关系
例题精讲
【试题来源】
【题目】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍， EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米
【试题来源】
【题目】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米
【试题来源】
【题目】
图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷
【试题来源】
【题目】如图16-4，已知．AE=AC，CD=BC，BF=AB，那么等于多少
【试题来源】
【题目】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米
【试题来源】
【题目】
如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米
【试题来源】
【题目】左下图是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．如右下图，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么右下图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米
习题演练
【试题来源】
【题目】如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12，已知梯形的上底长是下底长的．那么余下阴影部分的面积是多少
【试题来源】
【题目】图中ABCD是梯形，三角形ADE面积是1．8，三角形ABF的面积是9,三角形BCF的面积是27．那么阴影部分面积是多少
【试题来源】
【题目】如图，梯形ABCD的上底AD长为3厘米，下底BC长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米．则梯形ABCD的面积为多少平方厘米
【试题来源】
【题目】如图，BD，CF将长方形ABCD分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米
【试题来源】
【题目】如图，平行四边形ABCD周长为75厘米．以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD的面积．
【试题来源】
【题目】如图，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是平方米、平方米、平方米和平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米
【试题来源】
【题目】图中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．
【试题来源】
【题目】如图，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有3块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少
【试题来源】
【题目】在右图的△ABC中，CE=2AE，BD=3DC，已知△DEC的面积是4cm2，求△ABC的面积。
【试题来源】
【题目】如右图，把△ABC的BA边延长一倍到D点，CB边延长两倍到F点，AC边延长三倍到E点，连结DE，EF，FD得到△DEF，△DEF是△ABC面积的几倍？
【试题来源】
【题目】在右图的梯形ABCD中，CD的长是AB的两倍，BC长 5 cm，DE长8cm，求梯形ABCD的面积。
【试题来源】
【题目】在直角三角形ABC中，AB=10cm，BC＝15cm。在其内作一个正方形EOFB（如右图），求正方形EOFB的面积。
【试题来源】
【题目】右图的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积为1cm2，求原长方形的面积。学科培优数学
“直线型面积计算”
学生姓名
授课日期
救师姓名
授课时长
大知识定位
本讲讲解已经学过的几种基本平面几何图形：正方形、长方形、三角形、平
行四边形、梯形等的相关面积计算方法，是几何问题中的常见常考内容。
兴知识梳理
基本平面图形的计算公式
名称
图形
图长公式
面积公式
长方形
a
周长=2(a+b)
面积=ab
正方形
□a
周长=4a
面积=a
三角形
周长=a+b+c
面积=之h
平行四边形
周长=2(atb)
面积=ah
梯形
c
图长=a+b+c+d
面积=(a+b),h
菱形
周长=4a
面积=之AC·D
【授课批注】
在复习学校所学基本面积公式的同时也顺带复习周长的公式，这些知识点在
具体题目中都可能用到。
二、
重要模型
模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：
即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
S,:S2=a:b;
模型一的拓展：等分点结论(“鸟头定理”)
如图，三角形AED占三角形ABC面积的2X上-
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模型二：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)
①S1:S2=S4:Sg或者S1×SS2XS4
S1
②A0:0C=(S,+S2):(S,+S)
S2
KQ S4
S3
模型三：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
⊙
①S,:Sg=a2:b2
S1
2S:S:S2:S=a2:b abab;
S
③S的对应份数为(a+b)z
b
【授课批注】
因为四年级还没学过比例，所以在讲用比所表示的模型时可使用份数这个概
念，学生更容易理解。对于部分学有余力的学生可以先讲比例再直接引入上
面的关系式。
【重点难点解析】
1.等底或等高的三角形的面积关系
2.长方形或平行四边形与同底等高三角形的面积关系
3.三角形内不规则图形部分的面积计算
【竞赛考点挖掘】
1.基本几何图形的面积计算
2.三角形中底和高与面积的关系
3.四边形对角线所分成的四个三角形的面积关系
题精进
【试题来源】
【题目】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，
EF的长是BF长的3倍，那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？
D
【答案】见解析
【解析】
△ABD,△ABC等高，所以面积的比为底的比，有SB如=BD_1
BC 2
1
1
所以S。ABD=)×S。ABc=
×180=90（平方厘米）.
2
同理有S。ABE=
AE
1
XSABD=
×90=30(平方厘米)，
AD
3
FE
3
S。AFEBE
SABE=4
×30=22.5(平方厘米)
即三角形AEF的面积是22.5平方厘米.
【知识点】直线型面积计算
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面
积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米？

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