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学科培优 数学
“枚举法”
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，让人感到无从下手。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂，我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。
知识梳理
枚举法的特点是有条理，不易重复或遗漏，使人一目了然。适用于所求的对象为有限个。
重点难点解析
1.做到不重补漏，把复杂的问题简单化。
2.按照一定的规律，特点去枚举。
3.从思想上认识到枚举的重要性。
例题精讲
【试题来源】
【题目】25本书，分成6份。如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法？
【试题来源】
【题目】从1到100的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于100，共有多少种取法？
【试题来源】
【题目】商店有围巾4种，每种价钱依次是12元、10元、8元和6元。帽子有3种，每种价钱依次是9元、7元和5元。如果一顶帽子和一条围巾配成一套，每套可以有多少种不同价钱
【试题来源】
【题目】一个学生假期往A、B、C三个城市游览．他今天在这个城市，明天就到另一个城市．假如他第一天在A市，第五天又回到A市．问他的游览路线共有几种不同的方案
【试题来源】
【题目】如图9-1，有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9。问有多少种不同的取法？
【试题来源】
【题目】从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法？
【试题来源】
【题目】现在1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法？
【试题来源】
【题目】3件运动衣上的号码分别是1，2，3，甲、乙、丙3人各穿一件。现在25个小球，首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球。规定3人从余下的球中各取球一次，其中穿1号衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的3倍，穿3号衣的人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下两个球。那么，甲穿的运动衣的号码是多少？
【试题来源】
【题目】妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？
【试题来源】
【题目】有3个工厂共订300份《北京日报》，每个工厂最少订99份，最多101份。问一共有多少种不同的订法？
【试题来源】
【题目】明明带8元钱去商店买冰激凌。有三种冰激凌，售价分别是5元一支、2元一支和1元一支。如果这8元钱全部用于买这三种冰激凌，共有多少种不同的买法
【试题来源】
【题目】小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册。已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本。那么，共有多少种不同的购买方法？
【试题来源】
【题目】甲、乙、丙、丁4名同学排成一行。从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种？
【试题来源】
【题目】abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为1，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134。请写出所有满足关系a＜b，b＞c，c＜d的四位数abcd来。
【试题来源】
【题目】一个两位数乘以5，所得的积的结果是一个三位数，且这个三位数的个位与百位数字的和恰好等于十位上的数字。问一共有多少个这样的数？
习题演练
【试题来源】
【题目】在所有的四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个？
【试题来源】
【题目】甲、乙两人打乒乓球，谁先胜两局谁赢；如果没有人连胜两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。那么一共有多少种可能的情况？
【试题来源】
【题目】用7张长2分米、宽1分米的长方形不干胶，贴在一张长7分米、宽2分米的木板，将其盖住，共有多少种不同的拼贴方式？在这里，如果两种方案可以通过旋转而互相得到，那么就认为是同一种。
【试题来源】
【题目】用对角线把正八边形剖分成三角形，要求这些三角形的顶点是正八边形的顶点，那么共有多少种不同的方法？在这里，如果两种剖分方法可以通过恰当的旋转、反射，或者旋转加反射而互相得到，那么就认为是同一种。
【试题来源】
【题目】用1分、2分、5分的硬币有多少种组成1角钱的方法？学科培优数学
“枚举法”
学生姓名
授课日期
教师姓名
授课时长
知识定位
在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很
难找到“正统”的方式解答，让人感到无从下手。对此，我们可以先初步估计其
数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况：
若数目过大，并且问题繁杂，我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题
分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。
这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。
知识梳理
枚举法的特点是有条理，不易重复或遗漏，使人一目了然。适用于所求的对象为
有限个。
重点难点解析
1.做到不重补漏，把复杂的问题简单化。
2按照一定的规律，特点去枚举。
3.从思想上认识到枚举的重要性。
例剜题精进
【试题来源】
【题目】25本书，分成6份。如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种
分法？
【答案】5
【解析】1+2+3+4+5+10,1+2+3+4+69,1+2+3+4+7+8,1+2+3+5+6+8,1+2+4+5+6+7。所以，
有5种分法
【知识点】枚举法
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】从1到100的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于100，共有多少种取
法？
【答案】2500
【解析】在1到100中，每次取出两个数，使它们和大于100，取法肯定繁多。但其中一定
有一个较小的数，因此我们可以采用例举类推法，通过枚举较小数的所有可能性来例举分
析，类推解答。
较小的数是1，只有一种取法，即[1,100]。
较小的数是2，有两种取法，即[2,99]、[2,100]。
较小的数是3，有三种取法，即[3,98]、[3,99]、[3,100]。
较小的数是50，有50种取法，即[50,51]、[50,52]…[50,100]。
较小的数是51，有49种取法，即[51,52]、[51,53]…[51,100]。
较小的数是99的只有一种取法，即[99,100]。
因此一共有：1+2十3+…十50十49+…十2+1=502=2500（种)。
综上所述可以看出，此类方法造合于数目、种类不很繁杂的题：分析时应尽量做到分类全面、
不重不漏。
【知识点】枚举法
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】商店有围巾4种，每种价钱依次是12元、10元、8元和6元。帽子有3种，每种
价钱依次是9元、7元和5元。如果一顶帽子和一条围巾配成一套，每套可以有多少种不同
价钱？
【答案】6

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