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学科培优 数学
等差数列的认识与计算初步
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出
一点就是把公式用字母表示。要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出
对应的各个量进行计算。
重点难点：1找出题目中首项、末项、公差、项数。
2．熟练运用各项公式进行计算。
考点： 1.找到数列规律。
2.适当运用中间项定理。
知识梳理
一、等差数列的定义：
类似 l，2，3，4，5，6，7，8，9，…或者 20，18，16，14，12，10，8. …
这样的数列叫做等差数列。
通常，我们把数列的第 1项记为 a1，第 2项记为 a2，…，第 n项记为 an，an
又称为数列的通项，a1又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项，这个数
列的和叫做 Sn。
二、等差数列的相关公式：
对于公差为 d的等差数列 a1，a2，…an来说，
通项 an= a1+（n-1）×d（若 a1小于 an）
通项 an= a1-（n-1）×d（若 a1大于 an）
项数公式：项数 n＝（an－a1）÷d＋1（若 a1小于 an）
项数公式：项数 n＝（a1－an）÷d＋1（若 a1大于 an）
求和公式：总和 Sn＝（a1＋an）×n÷2
中项定理：对于任何一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项
的平均数，也等于首项和末项的一半；换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
（偶数项的等差数列也可进行类似参考）
例题精讲
【试题来源】
【题目】下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
①6，10，14，18，22，…，98；
②1，2，1，2，3，4，5，6；
③ 1，2，4，8，16，32，64；
④ 9，8，7，6，5，4，3，2；
⑤3，3，3，3，3，3，3，3；
⑥1，0，1，0，l，0，1，0；
【答案】
①是，公差 d=4.
②不是，因为数列的第 3项减去第 2项不等于数列的第 2项减去第 1项.
③不是，因为 4-2≠2-1.
④是，公差 d=l.
⑤是，公差 d=0.
⑥不是，因为第 1项减去第 2项不等于第 2项减去第 3项。
【解析】
①是，公差 d=4.
②不是，因为数列的第 3项减去第 2项不等于数列的第 2项减去第 1项.
③不是，因为 4-2≠2-1.
④是，公差 d=l.
⑤是，公差 d=0.
⑥不是，因为第 1项减去第 2项不等于第 2项减去第 3项。
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】求等差数列 1，6，11，16…的第 20项。
【答案】96
【解析】
首项 a1 =1，又因为 a2；大于 a1；，
公差 d=6-1=5，所以运用公式（1）可知：
第 20项 a20=a1=（20-1）×5=1+19×5=96.
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】已知等差数列 2，5，8，11，14…，问 47是其中第几项？
【答案】16
【解析】
首项 a1=2，公差 d=5-2=3
令 an=47
则利用项数公式可得：
n=（47-2）÷3+1=16.
即 47是第 16项。
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】如果一等差数列的第 4项为 21，第 6项为 33，求它的第 8项。
【答案】45
【解析】
方法 1：
要求第 8项，必须知道首项和公差.
因为 a4=a1+3×d，又 a4=21，所以 a1=21-3×d 又 a6=a1+5×d，又 a6=33，所以 a1=33-5×
d所以：21-3×d=33-5×d，
所以 d=6 a1=21-3×d=3，
所以 a8=3+7×6=45.
方法 2：
考虑到 a8=a7+d=a6+d+d=a6+2×d，其中 a6已知，只要求 2×d即可.
又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2×d，
所以 2×d=a6-a4
所以 a8=3+7×6=45
方法 2说明：如果能够灵活运用等差数列各项间的关系，解题将更为简便。
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第 2 层 6 块砖，第 3 层 10
块砖…，依次每层都比其上面一层多 4块砖，已知最下层 2106块砖，问中间一层多少块砖？
这堆砖共有多少块？
【答案】1054,555458
【解析】
如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，…
容易知道，这是一个等差数列.
方法 1：
a1=2， d=4， an=2106，
n=（an-a1）÷d+1=527
这堆砖共有则中间一项为 a264=a1+（264-1）×4=1054.
方法 2：（a1+an）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）.
则中间一项为（a1+an）÷2=1054
a1=2， d=4， an=2106，
这堆砖共有 1054×527=555458（块）.
n=（an-a1）÷d+1=527
方法 3：项数=（2106-2）÷4+1=527
因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054
数列和=中间项×项数=1054×527=555458
所以中间一层有 1054块砖，这堆砖共有 555458块。
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】求从 1到 2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
【答案】1000
【解析】
解：根据题意可列出算式：
（2+4+6+8+…+2000）-（1+3+5+…+1999）
解法 1：可以看出，2，4，6，…，2000是一个公差为 2的等差数列，1，3，5，…，1999也
是一个公差为 2的等差数列，且项数均为 1000，所以：
原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000.
解法 2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差 1，所以 1000项就差了
1000个 1，即
原式=1000×1=1000。
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】连续九个自然数的和为 54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数
之和是多少？
【答案】126
【解析】
要想求这九个连续自然数之和，可以先求出这九个连续自然数中最小的一个.即条件中的九
个连续自然数的末项。
因为条件中九个连续自然数的和为 54，所以，这九个自然数的中间数为 54÷9=6，则末项为
6+4=10.因此，所求的九个连续自然数之和为（10+18）×9÷2=126。
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是 8450，取出其中第 1个，第 3
个…第 99个，再把剩下的 50个数相加，得多少？
【答案】4250
【解析】
方法 1：要求和，我们可以先把这 50个数算出来.
100个连续自然数构成等差数列，且和为 8450，则：
首项+末项=8450×2÷100=169，又因为末项比首项大 99，所以，首项=（169-99）÷2=35.
因此，剩下的 50个数为：36，38，40，42，44，46…134.这些数构成等差数列，和为（36+134）
×50÷2=4250。
方法 2：我们考虑这 100个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，
且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大 1，因此，剩下的数的总和比取
走的数的总和大 50，又因为它们相加的和为 8450.所以，剩下的数的总和为（8450+50）÷
2=4250。
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】把 27 枚棋子放到 7 个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子
里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由。
【答案】不能办到
【解析】
因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同时，任两盒中棋子数不一样，所以 7
个盒中共有的棋子数至少为 1+2+3+4+5+6+7=28.但题目中只给了 27 枚棋子，所以，题中要
求不能办到。
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知等差数列 15，19，23，27……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的
差是多少？
【答案】216
【解析】
公差=19-15=4
项数=（443-15）÷4+1=108
倒数第二项=443-4=439
奇数项组成的数列为：15，23，31……439，公差为 8，和为（15+439）×54÷2=12258
偶数项组成的数列为：19，27，35……443，公差为 8，和为（19+443）×54÷2=12474
差为 12474-12258=216
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】把 1988表示成 28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少
【答案】98
【解析】
1988÷28=71，说明这 28 个数的平均数等于 71，那么中间的两个偶数即第 14 个和第 15 个
就等于 70和 72．最大的数比第 15个数大 13×2=26，所以最大的数等于 72+26=98。
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，数表中的上、下两行都是等差数列，那么同一列中两个数的差(大数减小数)
最小是多少
【答案】2
【解析】
我们从第 1列开始，作同一列中的两个数的差(大数减小数)，不难发现：开始时是差值逐渐
变小，而当第一行的数时的数开始超过第二行中，差值又开始逐渐变大．因此
关键是计算出临界状态时的差值．
由于第一行是公差为 4的递增的等差数列，而第二行则每次比前一个数少 3，因此当第二行
中的数比第一行中的数大时，差值每次减少 7．而从某一列开始后，第二行中
的数比第一行小，此后差值每次增加 7．于是差值的变化为：999、992、985……2、5、12……
1332．于是最小的差值为 2．
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】从 1 到 50 这 50 个连续自然数中，取两数相加，使其和大于 50，有多少种不同的
取法？
【答案】625
【解析】
设满足条件的两数为 a、b，且 a＜b，则
若 a=1，则 b=50，共 1种。
若 a=2，则 b=49，50，共 2种。
若 a=3，则 b=48，49，50，共 3种。
…
若 a=25，则 b=26，27，…50，共 25种。
若 a=26，则 b=27，28，…50，共 24种（a=26，b=25 的情形与 a=25，b=26相同，舍去）。
若 a=27，则 b=28，29，…50，共 23种。
…
若 a=49，则 b=50，共 1种。
所以，所有不同的取法种数为
1+2+3+…+25+24+23+22+…+l
=2×（1+2+3+…+24）+25=625
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】某工厂 11 月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派
相同的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人 240 人．如果月底统计总厂工人的工作量
是 8070 个工作日(一人工作一天为一个工作日)，且无人缺勤，那么这月由总厂派到分厂工
作的工人共有多少人
【答案】60
【解析】
总厂 11 月份每天的工作人数刚好构成一个等差数列，而全部工作日的统计相当于此等差数
列 30项的和为 8070．可以从此处入手求出数列的公差，即总厂每天派出的工
人数．
由题中条件知，总厂 11 月份每天的工作人数构成一等差数列．由等差数列的求和公式知，
全部的工作日的计算方法为：
(第一天人数+最后一天人数)×天数÷2
现已知最后一天为 240人，天数为 30，全部工作日统计为 8070，故而可求出第一天人数为
8070×2÷30—240=298人，
于是总厂每天派出的人数为
(298－240)÷(30—1)=2人，
11月份总共派出了 30×2=60人。
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5
习题演练
【试题来源】
【题目】 2，5，8，11，14，…
上面是按规律排列的一串数，问其中的第 1995项是多少
【答案】5984
【解析】5984
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】在从 1开始的自然数列中，第 100个不能被 3除尽的数是多少
【答案】149。
【解析】149
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】 有 19个算式：
1+2+3=4+5-3．
6+7+8+9=10+11+12-3．
13+14+15+16+17=18+19+20+21-3．
……
那么第 19个等式左、右两边的结果是多少
【答案】8547。
【解析】8547
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】已知两列数：
2，5，8，11，…，2+(200—1)×3；
5，9，13，17，…，5+(200—1)×4．
它们都有 200项，问这两列数中相同的项数共有多少对
【答案】50对。
【解析】50
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】在大于 1000 的整数中，找出所有被 34 除后商与余数相等的数，那么这些数的和
是多少
【答案】5425。
【解析】5425
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】华罗庚金杯少年数学邀请赛第一届于 1986 年举行，第二届于 1988 年举行，第三
A
届于 1991 年举行，以后每两年举行一届．第一届华杯赛所在年份的各位数字和是 1
=1+9+8+6 =24，前两届所在年份的各位数和是 A2 =1+9+8+6+1+9+8+8=50．问：前 50届华杯赛
A
所有年份的各位数字和 50 等于多少
【答案】629
【解析】各年份从第三届起刚好构成等差数列，但其数字和却不构成等差数列．注意到第三
届于 1991年举行，此后每两年举行一届，这样以后的华杯赛均在奇数年份举行，依次的年
份为 1991、1993、1995、1997、1999、2001、2003、2005、2007、2009……注意到以每 5年
为一个单位，其中的年份只有个位数字不同，且刚好成等差数列，故数字和亦构成等差数
列，可以进行分组求和．
从第三届开始，将每 5 个年份分为一组，共分成 9 组，最后还剩下 3 个年份．在每组中，
年份的数字和刚好构成等差数列．每一组的所有数字和则刚好是中间的那个年份数
字和的 5 倍．容易知道，中间的那个年份依次为 1995、2005、2015、2025、2035、2045、
2055、2065、2075，其数字和依次为 24、7、8、9、10、11、12、13、14，故所有组的数字
总和为：
(24+7+…14)×5=[24+(7+14)×8÷2]×5=540.
最后剩下的 3个年份为 2081、2083、2085，年份的数字和为 11+13+15=39，再加上 A2 =50，
故有 A50= A2 +540+39=629.
【知识点】等差数列的认识与计算初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】5学科培优 数学
等差数列的认识与计算初步
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。
重点难点：1找出题目中首项、末项、公差、项数。
2．熟练运用各项公式进行计算。
考点： 1.找到数列规律。
2.适当运用中间项定理。
知识梳理
一、等差数列的定义：
类似l，2，3，4，5，6，7，8，9，…或者20，18，16，14，12，10，8. …这样的数列叫做等差数列。
通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an又称为数列的通项，a1又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项，这个数列的和叫做Sn。
二、等差数列的相关公式：
对于公差为d的等差数列a1，a2，…an来说，
通项an= a1+（n-1）×d（若a1小于an）
通项an= a1-（n-1）×d（若a1大于an）
项数公式：项数n＝（an－a1）÷d＋1（若a1小于an）
项数公式：项数n＝（a1－an）÷d＋1（若a1大于an）
求和公式：总和Sn＝（a1＋an）×n÷2
中项定理：对于任何一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项的一半；换句话说，各项和等于中间项乘以项数。（偶数项的等差数列也可进行类似参考）
例题精讲
【试题来源】
【题目】下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
①6，10，14，18，22，…，98；
②1，2，1，2，3，4，5，6；
③ 1，2，4，8，16，32，64；
④ 9，8，7，6，5，4，3，2；
⑤3，3，3，3，3，3，3，3；
⑥1，0，1，0，l，0，1，0；
【试题来源】
【题目】求等差数列1，6，11，16…的第20项。
【试题来源】
【题目】已知等差数列2，5，8，11，14…，问47是其中第几项？
【试题来源】
【题目】如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项。
【试题来源】
【题目】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？
【试题来源】
【题目】求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
【试题来源】
【题目】连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？
【试题来源】
【题目】100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？
【试题来源】
【题目】把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由。
【试题来源】
【题目】已知等差数列15，19，23，27……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？
【试题来源】
【题目】把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少
【试题来源】
【题目】如图，数表中的上、下两行都是等差数列，那么同一列中两个数的差(大数减小数)最小是多少
【试题来源】
【题目】从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？
【试题来源】
【题目】某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人．如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日(一人工作一天为一个工作日)，且无人缺勤，那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有多少人
习题演练
【试题来源】
【题目】 2，5，8，11，14，…
上面是按规律排列的一串数，问其中的第1995项是多少
【试题来源】
【题目】在从1开始的自然数列中，第100个不能被3除尽的数是多少
【试题来源】
【题目】 有19个算式：
1+2+3=4+5-3．
6+7+8+9=10+11+12-3．
13+14+15+16+17=18+19+20+21-3．
……
那么第19个等式左、右两边的结果是多少
【试题来源】
【题目】已知两列数：
2，5，8，11，…，2+(200—1)×3；
5，9，13，17，…，5+(200—1)×4．
它们都有200项，问这两列数中相同的项数共有多少对
【试题来源】
【题目】在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少
【试题来源】
【题目】华罗庚金杯少年数学邀请赛第一届于1986年举行，第二届于1988年举行，第三届于1991年举行，以后每两年举行一届．第一届华杯赛所在年份的各位数字和是=1+9+8+6=24，前两届所在年份的各位数和是=1+9+8+6+1+9+8+8=50．问：前50届华杯赛所有年份的各位数字和等于多少

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