资源简介

学科培优 数学
等量代换
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
等量代换。用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或
另一种量的一部分）。 “等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是数
学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础.数学思想方法不仅有着广
泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础。
知识梳理
1 本讲通过图形和文字形式锻炼学生的代数思想，在授课过程中，尽量用图形文
字来表示数字，对高水平的学生可以尝试使用字母。
2.重点难点解析
寻找等量关系
3.竞赛考点挖掘
较难等量代换和代数方法的综合
4．英国某家报纸曾举办一项高额奖金的有奖征答活动。题目是：在一个充气不足的热
气球上，载着 3位关系人类兴亡的科学家。第一位是环保专家，他的研究可拯救无数人免于
因环境污染而面临死亡的噩运。第二位是原子专家，他有能力防止全球性的原子战争，使地
球免于遭受灭亡的绝境。第三位是粮食专家，他能在不毛之地运用专业知识成功地种植谷
物，使几千万人脱离因饥荒而亡的命运。此刻热气球即将坠毁，必须丢出一个人以减轻载重，
使其余 2 人得以生存。请问，该丢下哪一位科学家？问题刊出后，因为奖金的数额相当庞
大，各地答复的信件如雪片飞来。在这些答复的信中，每个人皆竭尽所能，甚至天马行空地
阐述他们认为必须丢下哪位科学家的见解。
最后结果揭晓，巨额奖金得主是一个小男孩。他的答案是——将最胖的那位科学家丢出
去。小男孩睿智而幽默的答案，是否给我们以足够的提醒：单纯的思考方式，往往比钻牛角
尖更能获得良好的成功。任何疑难问题的最好的解决方法，只有一种，就是能真正切合该问
题所需求的，而非惑于问题本身的盲目探讨。
一位农场主巡视谷仓时，不慎将—只名贵的手表遗失在谷仓里。他遍寻不获，便定下赏
价，承诺谁能找到手表，就给他 50 美元。人们在重赏之下，都卖力地四处翻找，可是谷仓
内到处都是成堆的谷粒，要在这当中找寻—只小小的手表，谈何容易。许多人一直忙到太阳
下山，仍一无所获，只好放弃了 50 美元的诱惑而回家了。仓库里只剩下一个贫困的小孩，
仍不死心，希望能在天完全黑下来之前找到它，以换得赏金。谷仓中慢慢变得漆黑，小孩虽
然害怕，仍不愿放弃，不停地摸索着，突然他发现在人声安静下来之后，有一个奇特的声音。
那声音滴答、滴答不停地响着，小孩顿时停下所有的动作，谷仓内更安静了，滴答声也变得
十分清晰，是手表的声音。终于，小孩循着声音，在漆黑的大谷仓中找到了那只名贵的手表。
这个小孩成功的法则其实很简单：专注地对待一件事，你总会打开成功的门栓。
在喧闹的尘世中生活久了，我们会忘记曾经有过的简单的日子。心灵不再像从前一样纯净，
而是充斥了很多自寻烦恼的细胞。有人把这种变化解释为成熟，然而就是这种自以为是的成
熟，使我们在生活的道路上人为地设置了很多不必要的路障。把 2个孩子的故事结合起来，
也就是等于告诉我们一个成功的法则，那就是专注与单纯。其实，它原本就存在于每个人的
心中，重要的是你要循着你内心正面的引导，真正地去寻找它，并且不要被复杂的能力所带
来的困惑，而要专注、单纯地思考
例题精讲
【试题来源】
【题目】
如右图，一个 ▽ =（ ）个 ○？
【答案】3个
【解析】
方法一：3个□和 3 个▽一样重，可以知道 1个□和一个▽也一样重；也就是 2个▽和 6个
○一样重，可知 1个▽就等于 3个○。
方法二：把天平图改写成算式：
因为，○+○+○+○+○+○=□+□
所以，□=○+○+○
又因为，▽+▽+▽=□+□+□
所以，▽=□
得到：▽=○+○+○
方法三：我是用替换的方法：
把□→▽，因此，□→▽，□→▽，□→▽
因为， 所以，
从中得出：▽=○+○+○
【知识点】等量代换
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
最大的球的重量是（ ）克。
30 克
图 1 图 2
图 3
【答案】80 克
【解析】
方法一：
发现图（1）中，左边比右边多一个花皮球，所以一个花皮球就是 30 克。那么 2 个花
皮球就是 60 克，3 个白皮球与 2 个花皮球一样重，可知一个白皮球为 20 克。根据图
（3），最大的球就是 80 克。
方法二：用算式来解：
由图（1）得： + + = + + 30
所以 = 30 （克）
由图（2）得： + + =60（克）
所以， =20（克）
由图（3）得：最大的球=4×20=80(克)
【知识点】等量代换
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
△ + □ = 9
△ + △ + □ + □ + □ = 25
△ = ( ) ; □ = ( )
【答案】2；7
【解析】
方法一：因为△ + □ = 9，我们就可把△+△+□+□+□=25中的△+□换成 9，变成
9+△+□+□=25；再替换一次，变成 9+9+□=25，可以得出□=7；再根据△+□=9和求
出的□=7，可以求出△=2。
方法二：1个△加 1个□等于 9，那么 2个△加 2个□的和
就是 18。因为 2个△加 3个□等于 25，所以 18+□=25。
由此得出 1 个□是 7，那么一个△就是 2了。
解：2×9=18
□：25-18=7
△：9-7=2
答：△ = 2；□ = 7。
【知识点】等量代换
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
已知 △ + ○=24 ○ = ○ + △。那么△和○各代表多少？
【答案】8；16
【解析】
将两个等式编号：
（1） △+○=24
（2） ○=△+△
将（1）式中的○用（2）式中的 2 个△代替
得 △+△+△=24
所以 △=24÷3=8
○=8+8=16
【知识点】等量代换
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
1个苹果和几个草莓一样重？
【答案】4个
【解析】
由第二幅图知道，1 个苹果和 2个梨一样重，1个梨和 2个草
莓一样重，那么 2个梨和 4个草莓一样重。
所以 1个苹果=2个梨=4 个草莓。
【知识点】等量代换
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
根据图，想一想，一只猫相当于几只小甲壳虫的重量？
【答案】24 只
【解析】
由第三幅图知道，1 条鱼和 4 只小甲壳虫一样重，那么 3 条鱼和 12 只小甲壳虫一样重，我
们这样想：1 只鸡=3 条鱼=12 只小甲壳虫，那么，2 只鸡=6 条鱼=24 只小甲壳虫。又因为 1
只猫=2只鸡，所以 1只猫=2只鸡=6条鱼=24只小甲壳虫
【知识点】等量代换
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
根据图，想一想，一颗五角星等于几个圆？
？
【答案】6个
【解析】
由图知道，1 个三角=2 个圆，1 颗五角星=3 个三角，那么 3 个三角=6 个圆，所以，1 颗五
角星=3个三角=6个圆，即 1颗五角星=6个圆。
【知识点】等量代换
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
已知 13 个李子的重量等于 2 个苹果和 1个桃子的重量，而 4个李子和 1个苹果的重量等于
1个桃子的重量，问多少个李子的重量等于 1个桃子的重量？
【答案】7个
【解析】
由题意列等式：
13桃=2 苹+1 桃 （1）
4李+1苹=1 桃 （2）
把（2）式代入（1）式得：
13李=2 苹+4 李+1苹
即 9李=3苹
即 3李=1苹 （3）
把（3）式代入（2）式得
4李+3李=1 桃
即 7李=1桃
即 7个李子重量等于 1个桃子的重量。
【知识点】等量代换
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
如果鱼尾重 4 公斤，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾
的重量，问这条鱼有多少公斤重？
【答案】32 公斤
【解析】
依题意列出下列等式：
尾=4 （1）
头=尾+身÷2 （2）
身=头+尾 （3）
由于等式左右两边同乘以一个数，结果仍相等所以把（2）式两边同乘以 2得：
2头=2尾+身 （4）
把（3）式代入（4）式得：
2头=2尾+头+尾
即：头=3尾=3×4=12公斤
身=头+尾=12+4=16公斤
所以，全鱼=头+身+尾=12+16+4=32 公斤
【知识点】等量代换
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
张老师买了 3个足球，2 个篮球，李老师买了 2个足球，4个篮球，他们每人均花了 80元。
问 1个足球多少钱，1个篮球多少钱。
【答案】20；10
【解析】
由题意列等式：
3足+2篮=80元
2足+4篮=80元
张老师比李老师多买 1 个足球，但是比李老师少买 2 个篮球，他们两个人花的钱又是一样
多，所以 1 个足球和 2个篮球的价钱一样。
3足+2篮=80 元
就可以变成
3足+1足=80 元
即 4足=80元
即 1个足球的价钱 80÷4=20 元
1个篮球的价钱 20÷2=10元
【知识点】等量代换
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
一支钢笔的价钱是一支活动铅笔价钱的 5倍，问买 30 支活动铅笔的钱能买几支钢笔？
【答案】6支
【解析】
方法 1：列出下列等式：
1支钢笔=5 支铅笔 （1）
改写成 30支铅笔=6×5支铅笔 （2）
把（1）式代入（2）式得：
30支铅笔=6×1支钢笔=6支钢笔
方法 2：用字母 x代表 1支钢笔的价钱，
用字母 y 代表 1 支铅笔的价钱，
依题意可列出等式：
x=5y
因为 30y=6×5y
用 x代替 5y
得 30y=6x
【知识点】等量代换
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
习题演练
【试题来源】
【题目】 □ □ = ◇ □ = ▲ ▲ ▲ ▲
◇ = （ ）个▲
【答案】8
【解析】8
【知识点】等量代换
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】 看图回答，（ ）杯水可以注满一壶。
【答案】8
【解析】8
【知识点】等量代换
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】. ☆ + ☆ + ☆ + ○ = 22 ；
☆ + ☆ + ☆ + ○ + ○ + ○ = 30
○ = （ ）；☆ = （ ）
【答案】4，6
【解析】4，6
【知识点】等量代换
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】 假若20只兔子可换2只羊，9只羊可换3只猪，8头猪可换2头牛，那么用5头牛可
换多少只兔子？
【答案】600
【解析】600
【知识点】等量代换
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】. 小明去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花去了1元3角5分钱，已知3支铅笔
的价钱与2个笔记本的价钱相等，求1支铅笔和1个笔记本各要多少钱？
【答案】铅笔 10分，笔记本 15分
【解析】铅笔10分，笔记本15分
【知识点】等量代换
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4学科培优 数学
等量代换
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
等量代换。用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。 “等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础.数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础。
知识梳理
1本讲通过图形和文字形式锻炼学生的代数思想，在授课过程中，尽量用图形文字来表示数字，对高水平的学生可以尝试使用字母。
2.重点难点解析
寻找等量关系
3.竞赛考点挖掘
较难等量代换和代数方法的综合
4．英国某家报纸曾举办一项高额奖金的有奖征答活动。题目是：在一个充气不足的热气球上，载着3位关系人类兴亡的科学家。第一位是环保专家，他的研究可拯救无数人免于因环境污染而面临死亡的噩运。第二位是原子专家，他有能力防止全球性的原子战争，使地球免于遭受灭亡的绝境。第三位是粮食专家，他能在不毛之地运用专业知识成功地种植谷物，使几千万人脱离因饥荒而亡的命运。此刻热气球即将坠毁，必须丢出一个人以减轻载重，使其余2人得以生存。请问，该丢下哪一位科学家？问题刊出后，因为奖金的数额相当庞大，各地答复的信件如雪片飞来。在这些答复的信中，每个人皆竭尽所能，甚至天马行空地阐述他们认为必须丢下哪位科学家的见解。
最后结果揭晓，巨额奖金得主是一个小男孩。他的答案是——将最胖的那位科学家丢出去。小男孩睿智而幽默的答案，是否给我们以足够的提醒：单纯的思考方式，往往比钻牛角尖更能获得良好的成功。任何疑难问题的最好的解决方法，只有一种，就是能真正切合该问题所需求的，而非惑于问题本身的盲目探讨。
一位农场主巡视谷仓时，不慎将—只名贵的手表遗失在谷仓里。他遍寻不获，便定下赏价，承诺谁能找到手表，就给他50美元。人们在重赏之下，都卖力地四处翻找，可是谷仓内到处都是成堆的谷粒，要在这当中找寻—只小小的手表，谈何容易。许多人一直忙到太阳下山，仍一无所获，只好放弃了50美元的诱惑而回家了。仓库里只剩下一个贫困的小孩，仍不死心，希望能在天完全黑下来之前找到它，以换得赏金。谷仓中慢慢变得漆黑，小孩虽然害怕，仍不愿放弃，不停地摸索着，突然他发现在人声安静下来之后，有一个奇特的声音。那声音滴答、滴答不停地响着，小孩顿时停下所有的动作，谷仓内更安静了，滴答声也变得十分清晰，是手表的声音。终于，小孩循着声音，在漆黑的大谷仓中找到了那只名贵的手表。这个小孩成功的法则其实很简单：专注地对待一件事，你总会打开成功的门栓。
在喧闹的尘世中生活久了，我们会忘记曾经有过的简单的日子。心灵不再像从前一样纯净，而是充斥了很多自寻烦恼的细胞。有人把这种变化解释为成熟，然而就是这种自以为是的成熟，使我们在生活的道路上人为地设置了很多不必要的路障。把2个孩子的故事结合起来，也就是等于告诉我们一个成功的法则，那就是专注与单纯。其实，它原本就存在于每个人的心中，重要的是你要循着你内心正面的引导，真正地去寻找它，并且不要被复杂的能力所带来的困惑，而要专注、单纯地思考
例题精讲
【试题来源】
【题目】
如右图，一个 ▽ =（ ）个 ○？
【试题来源】
【题目】
最大的球的重量是（ ）克。
【试题来源】
【题目】△ + □ = 9
△ + △ + □ + □ + □ = 25
△ = ( ) ; □ = ( )
【试题来源】
【题目】已知 △ + ○=24 ○ = ○ + △。那么△和○各代表多少？
【试题来源】
【题目】1个苹果和几个草莓一样重？
【试题来源】
【题目】根据图，想一想，一只猫相当于几只小甲壳虫的重量？
【试题来源】
【题目】根据图，想一想，一颗五角星等于几个圆？
【试题来源】
【题目】已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量，问多少个李子的重量等于1个桃子的重量？
【试题来源】
【题目】如果鱼尾重4公斤，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量，问这条鱼有多少公斤重？
【试题来源】
【题目】张老师买了3个足球，2个篮球，李老师买了2个足球，4个篮球，他们每人均花了80元。问1个足球多少钱，1个篮球多少钱。
【试题来源】
【题目】一支钢笔的价钱是一支活动铅笔价钱的5倍，问买30支活动铅笔的钱能买几支钢笔？
习题演练
【试题来源】
【题目】 □ □ = ◇ □ = ▲ ▲ ▲ ▲
◇ = （ ）个▲
【试题来源】
【题目】 看图回答，（ ）杯水可以注满一壶。
【试题来源】
【题目】 ☆ + ☆ + ☆ + ○ = 22 ；
☆ + ☆ + ☆ + ○ + ○ + ○ = 30
○ = （ ）；☆ = （ ）
【试题来源】
【题目】 假若20只兔子可换2只羊，9只羊可换3只猪，8头猪可换2头牛，那么用5头牛可换多少只兔子？
【试题来源】
【题目】 小明去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花去了1元3角5分钱，已知3支铅笔的价钱与2个笔记本的价钱相等，求1支铅笔和1个笔记本各要多少钱？

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