2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷(Word解析版)

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2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷(Word解析版)

资源简介

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名:
___________
班级:
___________
考号:
___________
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绝密★启用前
2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷
第I卷(选择题)
一、单选题(本大题共12小题,共60.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
设集合,,则( )
A. B. C. D.
已知,则( )
A. B. C. D.
已知向量,若,则( )
A. B. C. D.
不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
以为焦点,轴为准线的抛物线的方程是( )
A. B. C. D.
底面积为,侧面积为的圆锥的体积是( )
A. B. C. D.
设和是函数的两个极值点.若,则( )
A. B. C. D.
已知函数若,则( )
A. B.
C. D.
函数的反函数是( )
A. B.
C. D.
设等比数列的首项为,公比为,前项和为令,若也是等比数列,则( )
A. B. C. D.
若双曲线:的一条渐近线与直线垂直,则的离心率为( )
A. B. C. D.
在,,,,,,,,中任取个不同的数,则这个数的和能被整除的概率是( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)
曲线在点处的切线的方程为 .
已知为坐标原点,点在圆上,则的最小值为______.
若,则______.
设函数,且是增函数,若,则______.
在正三棱柱中,,,则异面直线与所成角的大小为______.
设是定义域为的奇函数,是定义域为的偶函数.若,则______.
三、解答题(本大题共4小题,共60.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
本小题分
记的内角,,的对边分别为,,,已知,,.
求;
求.
本小题分
设是首项为,公差不为的等差数列,且,,成等比数列.
求的通项公式;
令,求数列的前项和.
本小题分
甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛,先赢得局的运动员获胜,并结束比赛.设各局比赛的结果相互独立,每局比赛甲赢的概率为,乙赢的概率为.
求甲获胜的概率;
设为结束比赛所需要的局数,求随机变量的分布列及数学期望.
本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为,,直线交于,两点,,四边形的面积为.
求;
求的方程.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:集合,

则,
故选:.
先求出集合,再利用交集运算求解即可.
此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2.【答案】
【解析】解:,

故选:.
根据已知条件,结合共轭复数的定义,以及复数的四则运算,即可求解.
本题主要考查共轭复数的定义,以及复数的四则运算,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:,,.

,.
故选:.
由已知可得,计算即可.
本题考查两向量共线的坐标运算,属基础题.
4.【答案】
【解析】解:不等式,
即,,
即,,
解得.
故选:.
将分式不等式化简,求解即可.
本题考查不等式的解法,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:以为焦点,轴为准线的抛物线中,
所以顶点坐标为焦点与准线与轴的交点的中点的横坐标为,
即该抛物线的方程为:,
故选:.
由抛物线的焦点坐标及抛物线的准线方程可得的值,进而求出顶点的坐标,可得抛物线的方程.
本题考查抛物线的平移及抛物线的方程的求法,属于基础题.
6.【答案】
【解析】解:设圆锥的底面半径为,母线长为,
由题意可得,解得,,
圆锥的高.
圆锥的体积是.
故选:.
设圆锥的底面半径为,母线长为,由已知列式求得与,再由勾股定理求圆锥的高,然后代入圆锥体积公式求解.
本题考查圆锥体积的求法,考查运算求解能力,是基础题.
7.【答案】
【解析】解:函数,

又和是函数的两个极值点,
则和是方程的两根,
故,,
又,
则,
即,
则,
故选:.
先求出,又和是函数的两个极值点,则和是方程的两根,再利用韦达定理可解.
本题考查利用导数研究函数极值问题,属于中档题.
8.【答案】
【解析】解:函数,,
函数的一条对称轴为,即或,故或.
不妨时,
时,不成立;当时,成立,
故,
故选:.
由题意,可得函数的一条对称轴为,即或再检验选项,可得结论.
本题主要考查正弦函数的图象和性质,属于中档题.
9.【答案】
【解析】解:由可得:,
因为,所以,则,
所以原函数的反函数为.
故选:.
根据的范围求出的范围,再反解出,然后根据反函数的定义即可求解.
本题考查了求解函数的反函数的问题,考查了学生的运算能力,属于基础题.
10.【答案】
【解析】解:由题意可知,,,,
,若也是等比数列,
,即,即,解得或舍去.
故选:.
由题意可知,,,,再结合等比数列的性质,即可求解.
本题主要考查等比数列的性质,属于基础题.
11.【答案】
【解析】解:由双曲线:的方程可得渐近线方程为,
由题意可得,
所以双曲线的离心率,
故选:.
由双曲线的方程可得渐近线的方程,由题意可得渐近线的斜率,进而求出,的关系,再求离心率的值.
本题考查双曲线的性质的应用及直线相互垂直的性质的应用,属于基础题.
12.【答案】
【解析】在,,,,,,,,中任取个不同的数,
基本事件总数,
,,被除余;,,被除余;,,刚好被除,
若要使选取的三个数字和能被整除,
则需要从每一组中选取一个数字,或者从一组中选取三个数字,
这个数的和能被整除的不同情况有:

这个数的和能被整除的概率为.
故选:.
基本事件总数,,,被除余;,,被除余;,,刚好被除,若要使选取的三个数字和能被整除,则需要从每一组中选取一个数字,或者从一组中选取三个数字,由此能求出结果.
本题考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究在曲线上某点的切线方程,是基础题.
求出原函数的导函数,得到函数在时的导数值,即切线的斜率,然后由直线的点斜式方程得答案.
【解答】
解:由,得,

即曲线在点处的切线的斜率为,
则曲线在点处的切线方程为,整理得:.
故答案为:.

14.【答案】
【解析】解:如图,
令,,得,,即,

则当时,有最小值为.
故答案为:.
由圆的参数方程可得的坐标,再由两点间的距离公式写出,结合三角函数求最值.
本题考查圆的应用,考查圆的参数方程,考查运算求解能力,是基础题.
15.【答案】
【解析】解:由,得.
故答案为:.
由已知直接利用二倍角的正切求解.
本题考查三角函数的化简求值,考查倍角公式的应用,是基础题.
16.【答案】
【解析】解:函数,且,


或,
函数,且是增函数,

故答案为:.
先利用指数幂的运算化简求出,再利用指数函数的单调性求解即可.
本题考查指数函数的单调性和指数幂的运算,属于基础题.
17.【答案】
【解析】解:如图所示,分别取、的中点、,由正三棱柱的性质可得、、,两两垂直,
建立空间直角坐标系.
则,,,
,,
,,
异面直线与所成角的大小为.
故答案为:.
通过建立空间直角坐标系,利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角.
本题考查异面直线所成角的求法,属中档题.
18.【答案】
【解析】解:由是定义域为的奇函数,可得;
由是定义域为的偶函数,可得.
若,则,

可得,
即有.
故答案为:.
由函数的奇偶性的定义和指数的运算性质,解方程可得所求值.
本题考查函数的奇偶性的定义和运用,体现了方程思想和数学运算等核心素养,属于基础题.
19.【答案】解:,
由正弦定理可得,,
由余弦定理可得,,即,解得,

,,,

【解析】根据已知条件,结合正弦定理,以及余弦定理,即可求解.
根据的结论,以及正弦定理,即可求解.
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于基础题.
20.【答案】解:已知是首项为,公差不为的等差数列,
又,,成等比数列,
则,
即,
又,
即,
则;
由可得:,
则,
则当为偶数时,,
当为奇数时,,
即.
【解析】由已知条件可得:,求得,然后求通项公式即可;
由可得:,则,然后分两种情况讨论:当为偶数时,当为奇数时,然后求和即可.
本题考查了等差数列通项公式的求法,重点考查了捆绑求和法,属基础题.
21.【答案】解:由已知可得,比赛三局且甲获胜的概率为,
比赛四局且甲获胜的概率为,
比赛五局且甲获胜的概率为,
所以甲获胜的概率为.
随机变量的取值为,,,
则,


所以随机变量的分布列为:
则随机变量的数学期望为.
【解析】由题意分别求得三局、四局、五局比赛甲获胜的概率,然后相加可得甲获胜的概率;
由题意可知的取值为,,,计算相应的概率值可得分布列,进一步计算数学期望即可.
本题主要考查事件的独立性,离散型随机变量及其分布列,分布列的均值的计算等知识,属于基础题.
22.【答案】解:由对称性知,,
不妨取点在第一象限,设,则,解得,,
因为四边形的面积为,
所以,
所以.
设椭圆的方程为,
由知,,
代入椭圆方程有,
又,
所以,,
故椭圆的方程为.
【解析】由对称性知,不妨取点在第一象限,先求得点的坐标,再利用四边形的面积为,可得的值;
设椭圆的方程为,代入点的坐标,并结合,求得,的值,即可.
本题考查椭圆的几何性质,椭圆方程的求法,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
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