资源简介

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名：
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班级：
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考号：
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绝密★启用前
2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
设集合，，则( )
A. B. C. D.
已知，则( )
A. B. C. D.
已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
以为焦点，轴为准线的抛物线的方程是( )
A. B. C. D.
底面积为，侧面积为的圆锥的体积是( )
A. B. C. D.
设和是函数的两个极值点．若，则( )
A. B. C. D.
已知函数若，则( )
A. B.
C. D.
函数的反函数是( )
A. B.
C. D.
设等比数列的首项为，公比为，前项和为令，若也是等比数列，则( )
A. B. C. D.
若双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为( )
A. B. C. D.
在，，，，，，，，中任取个不同的数，则这个数的和能被整除的概率是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
曲线在点处的切线的方程为 ．
已知为坐标原点，点在圆上，则的最小值为______．
若，则______．
设函数，且是增函数，若，则______．
在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为______．
设是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数．若，则______．
三、解答题（本大题共4小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，，．
求；
求．
本小题分
设是首项为，公差不为的等差数列，且，，成等比数列．
求的通项公式；
令，求数列的前项和．
本小题分
甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为．
求甲获胜的概率；
设为结束比赛所需要的局数，求随机变量的分布列及数学期望．
本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交于，两点，，四边形的面积为．
求；
求的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
，
则，
故选：．
先求出集合，再利用交集运算求解即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，．
，
，．
故选：．
由已知可得，计算即可．
本题考查两向量共线的坐标运算，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：不等式，
即，，
即，，
解得．
故选：．
将分式不等式化简，求解即可．
本题考查不等式的解法，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：以为焦点，轴为准线的抛物线中，
所以顶点坐标为焦点与准线与轴的交点的中点的横坐标为，
即该抛物线的方程为：，
故选：．
由抛物线的焦点坐标及抛物线的准线方程可得的值，进而求出顶点的坐标，可得抛物线的方程．
本题考查抛物线的平移及抛物线的方程的求法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
由题意可得，解得，，
圆锥的高．
圆锥的体积是．
故选：．
设圆锥的底面半径为，母线长为，由已知列式求得与，再由勾股定理求圆锥的高，然后代入圆锥体积公式求解．
本题考查圆锥体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数，
，
又和是函数的两个极值点，
则和是方程的两根，
故，，
又，
则，
即，
则，
故选：．
先求出，又和是函数的两个极值点，则和是方程的两根，再利用韦达定理可解．
本题考查利用导数研究函数极值问题，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：函数，，
函数的一条对称轴为，即或，故或．
不妨时，
时，不成立；当时，成立，
故，
故选：．
由题意，可得函数的一条对称轴为，即或再检验选项，可得结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由可得：，
因为，所以，则，
所以原函数的反函数为．
故选：．
根据的范围求出的范围，再反解出，然后根据反函数的定义即可求解．
本题考查了求解函数的反函数的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，，
，若也是等比数列，
，即，即，解得或舍去．
故选：．
由题意可知，，，，再结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由双曲线：的方程可得渐近线方程为，
由题意可得，
所以双曲线的离心率，
故选：．
由双曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得渐近线的斜率，进而求出，的关系，再求离心率的值．
本题考查双曲线的性质的应用及直线相互垂直的性质的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】在，，，，，，，，中任取个不同的数，
基本事件总数，
，，被除余；，，被除余；，，刚好被除，
若要使选取的三个数字和能被整除，
则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，
这个数的和能被整除的不同情况有：
，
这个数的和能被整除的概率为．
故选：．
基本事件总数，，，被除余；，，被除余；，，刚好被除，若要使选取的三个数字和能被整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，由此能求出结果．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究在曲线上某点的切线方程，是基础题．
求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值，即切线的斜率，然后由直线的点斜式方程得答案．
【解答】
解：由，得，
，
即曲线在点处的切线的斜率为，
则曲线在点处的切线方程为，整理得：．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】解：如图，
令，，得，，即，
，
则当时，有最小值为．
故答案为：．
由圆的参数方程可得的坐标，再由两点间的距离公式写出，结合三角函数求最值．
本题考查圆的应用，考查圆的参数方程，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由，得．
故答案为：．
由已知直接利用二倍角的正切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：函数，且，
，
，
或，
函数，且是增函数，
，
故答案为：．
先利用指数幂的运算化简求出，再利用指数函数的单调性求解即可．
本题考查指数函数的单调性和指数幂的运算，属于基础题．
17.【答案】
【解析】解：如图所示，分别取、的中点、，由正三棱柱的性质可得、、，两两垂直，
建立空间直角坐标系．
则，，，
，，
，，
异面直线与所成角的大小为．
故答案为：．
通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角．
本题考查异面直线所成角的求法，属中档题．
18.【答案】
【解析】解：由是定义域为的奇函数，可得；
由是定义域为的偶函数，可得．
若，则，
又
可得，
即有．
故答案为：．
由函数的奇偶性的定义和指数的运算性质，解方程可得所求值．
本题考查函数的奇偶性的定义和运用，体现了方程思想和数学运算等核心素养，属于基础题．
19.【答案】解：，
由正弦定理可得，，
由余弦定理可得，，即，解得，
．
，，，
．
【解析】根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．
根据的结论，以及正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．
20.【答案】解：已知是首项为，公差不为的等差数列，
又，，成等比数列，
则，
即，
又，
即，
则；
由可得：，
则，
则当为偶数时，，
当为奇数时，，
即．
【解析】由已知条件可得：，求得，然后求通项公式即可；
由可得：，则，然后分两种情况讨论：当为偶数时，当为奇数时，然后求和即可．
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了捆绑求和法，属基础题．
21.【答案】解：由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为，
比赛四局且甲获胜的概率为，
比赛五局且甲获胜的概率为，
所以甲获胜的概率为．
随机变量的取值为，，，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为：
则随机变量的数学期望为．
【解析】由题意分别求得三局、四局、五局比赛甲获胜的概率，然后相加可得甲获胜的概率；
由题意可知的取值为，，，计算相应的概率值可得分布列，进一步计算数学期望即可．
本题主要考查事件的独立性，离散型随机变量及其分布列，分布列的均值的计算等知识，属于基础题．
22.【答案】解：由对称性知，，
不妨取点在第一象限，设，则，解得，，
因为四边形的面积为，
所以，
所以．
设椭圆的方程为，
由知，，
代入椭圆方程有，
又，
所以，，
故椭圆的方程为．
【解析】由对称性知，不妨取点在第一象限，先求得点的坐标，再利用四边形的面积为，可得的值；
设椭圆的方程为，代入点的坐标，并结合，求得，的值，即可．
本题考查椭圆的几何性质，椭圆方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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