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《第一节　幂函数》同步练习
一、基础巩固
知识点1　幂函数的概念
1.下列函数是幂函数的是(　　)
A.y=2x2 B.y=-x-1
C.y= D.y=2x
2.若f(x)=(m2-4m-4)xm是幂函数,则m=　　　　.
知识点2　幂函数的图象与性质
3.(多选)下列结论中正确的是(　　)
A.幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)
B.幂函数的图象不经过第四象限
C.当指数α取1,3,时,幂函数y=xα是增函数
D.当α=-1时,幂函数y=xα在其整个定义域上是减函数
4.如图是幂函数y=xn的部分图象,已知n取,2,-2,-这四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为(　　)
A.2,,-,-2 B.-2,-,,2
C.-,-2,2, D.2,,-2,-
5.[2022江苏省泰州中学高一上月考]已知幂函数y=(p∈Z)的图象关于y轴对称(如图所示),则(　　)
A.p为奇数,且p>0
B.p为奇数,且p<0
C.p为偶数,且p>0
D.p为偶数,且p<0
7.已知a=(-3,b=2.,c=(-1.4,则a,b,c的大小关系为　　　　(用“>”连接).
8.[2022上海长宁区期末]已知α∈{-2,-1,-,,,1,2,3}.若函数f(x)=xα在(0,+∞)上单调递减,且图象关于y轴对称,则α=　　　　.
9.已知幂函数f(x)=(2m2+m-2)x2m+1在其定义域上是增函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(2-a)二、能力提升
1.[2022广东广州执信中学高一月考]已知点(n,8)在幂函数f(x)=(m-2)xm的图象上,则函数f(x)在区间[n,n+1]上的值域为(　　)
A.[-8,27] B.[2,3]
C.[4,9] D.[8,27]
2.[2022辽宁沈阳市郊联体高一期末]已知幂函数f(x)=x3m-7(m∈N)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,则m的值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.[2022辽宁大连高一期末]已知幂函数y=xa与y=xb的部分图象如图所示,直线x=m2,x=m(0A. B.1 C. D.2
4.(多选)[2022广东实验中学高一上期中]已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则(　　)
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x≥4,则f(x)≥2
D.若x2>x1>0,则5.[2022江苏镇江高一上期末]设幂函数f(x)同时具有以下两个性质:①函数f(x)的图象经过第二象限;②对于任意两个不同的正数a,b,都有<0恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数f(x)=　　　　.
6.[2022广东广雅中学高一上期中]若幂函数f(x)的图象过点(8,2),则函数y=f(x-1)-[f(x)]2的最大值为　　　　.
7.已知函数f(x)=x2(x≠0),g(x)=x-2,若定义函数h(x)=求函数h(x)的最大值及单调区间.
8.已知幂函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,且 f(f())=8.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若函数g(x)=[f(x)-ax(a∈R)在[1,2]上的最小值为-,求实数a的值.
参考答案
一、基础巩固
1.C　形如y=xα(α为常数且α∈R)的函数为幂函数,所以函数y==x-3为幂函数,函数y=2x2,y=-x-1,y=2x均不是幂函数.
2.5或-1
3.BC 4.A
5.D　因为函数y=的图象关于y轴对称,所以函数y=为偶函数,即p为偶数.又函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,所以<0,所以p<0.
6.B
7.b>c>a
8.-2
9.(1)因为f(x)=(2m2+m-2)x2m+1是幂函数,
所以2m2+m-2=1,解得m=-或m=1.
又f(x)在其定义域上是增函数,所以2m+1>0,即m>-,
所以m=1,所以f(x)=x3.
(2)因为f(x)为R上的增函数,f(2-a)所以2-a2,
所以实数a的取值范围是{a|a<-3或a>2}.
二、能力提升
1.D　因为函数f(x)=(m-2)xm是幂函数,所以m-2=1,解得m=3,所以f(x)=x3.因为点(n,8)在f(x)的图象上,所以f(n)=n3=8,解得n=2.因为f(x)=x3在R上单调递增,所以函数f(x)=x3在[2,3]上的值域为[8,27].
2.C　由幂函数f(x)=x3m-7(m∈N)的图象关于y轴对称,知函数f(x)为偶函数,则3m-7为偶数.又由f(x)的图象与x轴、y轴均无交点,得3m-7<0,所以m=1.
3.B　因为AB=CD,所以(m2)a-(m2)b=(ma+mb)(ma-mb)=ma-mb,又由题图可知ma>mb,即ma-mb>0,所以ma+mb=1.
4.ACD　 设f(x)=xα,则f(9)=9α=3,解得α=,所以f(x)=,f(x)的定义域为[0,+∞).f(x)在[0,+∞)上单调递增,A正确.f(x)的定义域不关于原点对称,B错误.当x≥4时,f(x)≥f(4)==2,C正确.当x2>x1>0时,[]2-[f()]2==-<0,又f(x)≥0,所以5.(答案不唯一)
6.-
7.由题意,得h(x)=函数h(x)的图象如图所示.由图可知,函数h(x)的最大值为1,单调递增区间为(-∞,-1],(0,1],单调递减区间为[-1,0),[1,+∞).
8.(1)设f(x)=xα,则f()=()α=,f(f())=()α=.
因为f(f())=8,所以=23,
所以=3,即α=±3.
当α=3时,f(x)=x3在(-∞,0)上是增函数,不满足题意,舍去;
当α=-3时,f(x)=x-3在(-∞,0)上是减函数,满足题意.
所以f(x)=x-3.
(2)由(1),知f(x)=x-3,其定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
又f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),
所以函数f(x)=x-3是奇函数.
(3)由(1),得g(x)=(x-3-ax=x2-ax=(x-)2-,
所以函数g(x)的图象的对称轴为直线x=.
①当1<<2,即2所以g(x)min=g()=-=-,
解得a=±1,不满足2②当≤1,即a≤2时,g(x)在[1,2]上是增函数,
所以g(x)min=g(1)=1-a=-,解得a=,满足a≤2,所以a=;
③当≥2,即a≥4时,g(x)在[1,2]上是减函数,
所以g(x)min=g(2)=4-2a=-,解得a=,不满足a≥4.
综上所述,a=.

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