资源简介

利用展开图求空间距离最值
【知识点讲解】
1、题目特征
①求线段和②几条线段不共面③有一动点与两个定点
2、解题技巧
将线段所在平面展开至同一平面内或将侧面展开，将空间问题转化为平面内两点间距离最小问题。
3、导语
此类问题属于立体几何中的难题。一则是由于方法不常见，另一则是因为即使知道使用此方法也很难计算出答案。但是由于对于此类问题都可以由展开图来解决、方法单一，因此有学习的必要，并在一次后即可掌握此类所有问题。但希望怀着仔细、认真、不放弃的态度做题。另外对于此类问题还可以使用空间中的点对称解决或是建立空间直角坐标系然后用函数的观点来解决。
【例题讲解】
【例1】如图，在三棱柱中，底面，底面为直角三角形，，，，，是上一动点，则的最小值是___________.
课前预习试做：
听课笔记：
【跟踪训练1】在正三棱柱中，，F是线段上的动点，则的最小值为___________.
课前预习试做：
听课笔记：
【跟踪训练2】如图，棱长为3的正方体中，P为棱上一点，且，M为平面内一动点，则MC+MP的最小值为___________.
课前预习试做：
听课笔记：
【对点训练】
一、单选题
1．在棱长均为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．cm B．cm C．9cm D．cm
3．已知正方体，的棱长为2，点为线段（含端点）上的动点，平面，下列说法正确的是（ ）
A．若点为中点，当最小时，
B．当点与重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就越大
C．直线与平面所成角的余弦值的取值范围为
D．若点为的中点，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为
4．在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
5．直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不含端点），则以下各命题中正确的是（ ）
A．平面 B．与不垂直
C．的取值范围为 D．的最小值为
6．已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
8．如下图，正方体中，M为上的动点，平面，则下面说法正确的是（ ）
A．直线AB与平面所成角的正弦值范围为
B．点M与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．点M为的中点时，平面经过点B，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．已知N为中点，当的和最小时，M为的三等分点
9．如图，点M是棱长为1的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．存在无数个点M满足
B．当点M在棱上运动时，的最小值为
C．在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是
D．满足的点M的轨迹是一段圆弧
10．如图所示，在棱长为的正方体中，为线段的中点，，分别为线段，上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 B．存在点，，使得
C．平面与平面所成的角为 D．的最小值为
11．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D．与所成角的取值范围为
12．如图，在长方体中，，在线段上运动，则（ ）
A．平面平面 B．存在点，使得
C．的最大值为 D．的最小值为
13．在长方体中，AB＝3，，P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 B．与平面所成角的正切值的最大值是
C．的最小值为 D．以A为球心，5为半径的球面与侧面的交线长是
14．如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．有无数个点满足
B．当点在棱上运动时，的最小值为
C．若 ，则动点的轨迹长度为
D．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
15．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（ ）
A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，的最小值为
D．当时，存在唯一的点P，使得点P到的距离等于到的距离
16．如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿BC向上翻折，得三棱锥设，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点.下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使 B．存在某个位置，使
C．当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正切值为
D．当时，的最小值为
17．如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的表面积为
B．若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
C．若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为
D．的取值范围为
18．如图，在直三棱柱中，，，，点是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的是( )
A． B．的最小值为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．存在点，使得异面直线与所成角为30°
19．在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开，得到的平面图如图所示.其中，，，M是BB1上的点，则（ ）
A．AM与A1C1是异面直线 B．
C．平面AB1C将三棱柱截成两个四面体 D．的最小值是
20．如图，在直棱柱中，各棱长均为2，，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥外接球的表面积为 B．异面直线与所成角的余弦值为
C．当点M在棱上运动时，最小值为
D．N是平面上一动点，若N到直线与的距离相等，则N的轨迹为抛物线
21．在棱长为2的正方体中，以下结论正确的有（ ）
A．三棱锥外接球的体积是
B．当点在直线上运动时，的最小值是
C．若棱，，的中点分别是，，，过，，三点作正方体的截面，则所得截面面积为
D．若点是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线
22．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C． D．点与不重合时，平面平面
三、填空题
23．如图所示，在直三棱柱中，，是上的一动点，则的最小值为___________.
24．在正三棱锥中，，M是棱PC上的任意一点，则的最小值是___________．
25．如图，正三棱锥P﹣ABC的顶点P为圆柱OO1的上底面的中心，底面ABC为圆柱下底面的内接等边三角形，四边形DEFG为圆柱的轴截面，BODG，，.现有一机器人从点A处开始沿圆柱的表面到达E点，再到达点P处，再从P处沿正三棱锥P﹣ABC的表面返回A处，则其最短的路程约为___________.(参考数据：，结果精确到)
26．如图，棱长为2的正方体中，P为线段的中点，M，N分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为______．
27．在棱长为1的正方体中，点为上的动点，则的最小值为___________.
28．如图，在直棱柱中，各棱长均为，，则下列说法正确的是________
（1）三棱锥外接球的表面积为
（2）异面直线与所成角的余弦值为
（3）当点在棱上运动时，最小值为
（4）是平面上一动点，若到直线与的距离相等，则的轨迹为抛物线
29．在正方体中，，是线段上的一动点，则的最小值为________.
30．棱长为2的正方体中，P为侧面内的动点，且，则下列命题中正确的是___________.（请填入所有正确命题的序号）
①；
②的最小值为
③三棱锥的体积为定值利用展开图求空间距离最值（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
利用展开图求空间距离最值
【知识点讲解】
1、题目特征
①求线段和②几条线段不共面③有一动点与两个定点
2、解题技巧
将线段所在平面展开至同一平面内或将侧面展开，将空间问题转化为平面内两点间距离最
小问题。
3、导语
此类问题属于立体几何中的难题。一则是由于方法不常见，另一则是因为即使知道使用此
方法也很难计算出答案。但是由于对于此类问题都可以由展开图来解决、方法单一，因此有学
习的必要，并在一次后即可掌握此类所有问题。但希望怀着仔细、认真、不放弃的态度做题。
另外对于此类问题还可以使用空间中的点对称解决或是建立空间直角坐标系然后用函数的观
点来解决。
【例题讲解】
【例 1】如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，AA1 底面 A1B1C1，底面为直角三角形， ACB 90 ，AC 2，
BC 1，CC1 3， P是 BC1上一动点，则 A1P PC的最小值是___________.
课前预习试做： 听课笔记：
第 1 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
利用展开图求空间距离最值（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【跟踪训练 1】在正三棱柱 ABC A1B1C1中，AB AA1 2，F是线段 A1B1上的动点，则 AF FC1的
最小值为___________.
课前预习试做： 听课笔记：

【跟踪训练 2】如图，棱长为 3 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为棱CC1上一点，且CP 2PC1 ，
M为平面 BDC1内一动点，则 MC+MP的最小值为___________.
课前预习试做： 听课笔记：
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利用展开图求空间距离最值（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【对点训练】
一、单选题
1．在棱长均为2 3的正四面体 ABCD中，M 为 AC中点，E为 AB中点，P是DM 上的动点，Q是
平面 ECD上的动点，则 AP PQ的最小值是（ ）
5
A 3 11． B． 3 2 C． 3 D4 ． 2 32
2．如图是一块长、宽、高分别为 6cm、4cm、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块
的一个顶点 A处，沿着长方体的表面到长方体上和 A相对的顶点 B处吃食物，那么它需要爬
行的最短路径的长是（ ）
A． 97 cm B． 85 cm C．9cm D． (3 2 13) cm
3．已知正方体 ABCD A1B1C1D1，的棱长为 2，点M 为线段CC1（含端点）上的动点，AM 平面
，下列说法正确的是（ ）
CM
A．若点 N为DD1中点，当 AM MN最小时， 2 2CC1
B．当点M 与C1重合时，若平面 截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就越大
3 2
C．直线 AB与平面 所成角的余弦值的取值范围为 ,
3 2
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利用展开图求空间距离最值（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
D．若点M 为CC 91的中点，平面 过点 B，则平面 截正方体所得截面图形的面积为
2
4．在正方体 ABCD A1B1C1D1中，棱长为 2，E为 BC的中点，点 P在平面 BDD1B1内运动，则 PE PC1
的最小值为（ ）
A．3 B．2 3 C．3 2 D．5
5．直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB AC，AB AC AA1 1，点D是线段 BC1上的动点（不含端点），
则以下各命题中正确的是（ ）
A． AC∥平面 A1BD B．CD与 AC1不垂直

C． ADC

的取值范围为 , D． AD DC4 2 的最小值为 2
6．已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都是 2，点 M在棱 AC上运动，则 A1M BM 的最小值
为（ ）
A 6 2 B 3 2 C 6 2 D 3 2． ． ． ．
2 2
7．如图，棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为线段 AB1的中点，M ，N分别为体对角线 AC1
和棱C1D1上任意一点，则 2PM 2MN的最小值为（ ）
A 2． B． 2 C．2 D．2 2
2
二、多选题
8．如下图，正方体 ABCD A1B1C1D1中，M为CC1上的动点，AM 平面 ，则下面说法正确的是
（ ）
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利用展开图求空间距离最值（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义

3 , 2

A．直线 AB与平面 所成角的正弦值范围为 3 2
B．点 M与点C1重合时，平面 截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．点 M为CC1的中点时，平面 经过点 B，则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．已知 N为DD1中点，当 AM MN的和最小时，M为CC1的三等分点
9．如图，点 M是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中的侧面 ADD1A1上的一个动点（包含边界），
则下列结论正确的是（ ）
A．存在无数个点 M满足CM AD1
B．当点 M在棱DD1上运动时， |MA | MB1 的最小值为 3 1
C．在线段 AD1上存在点 M，使异面直线B1M与CD所成的角是30°
D．满足 |MD | 2 MD1 的点 M的轨迹是一段圆弧
10．如图所示，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为线段 B1C的中点，P，Q分别为线
段BD1，D1C1上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A． A1D 平面 PEQ B．存在点 P，Q，使得 PQ / /DE
C．平面 PQE
π 2
与平面 ABCD所成的角为 D． PQ PE4 的最小值为 12
11．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点P,Q分别是线段 BD1, A1D上的动点（含端
点），则下列说法正确的是（ ）
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A． A1P DC1 B． A1P PD
4 6
的最小值为
3

C．直线 BQ与平面 A1DC
6 2 2
1所成角的正弦值的取值范围为 ,4 3
D ． AP与DC1所成角的取值范围为 ,
6 3
12．如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB BC 1,AA1 2，M 在线段 A1B上运动，则（ ）
A．平面D1A1M 平面 A1AM B．存在点M ，使得DC1 D1M
C． AMD 的最大值为90 1 D． AM MD1的最小值为 5 4 5
5
13．在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB＝3， A D A A 1 4，P是线段 BC1上的一动点，则下列说法
正确的是（ ）
A． A1P //平面 AD1C B． A1P与平面 BCC1B
2 2
1所成角的正切值的最大值是
3
C． A1P PC的最小值为 17 2 2 D．以 A为球心，5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线
长是 2π
14．如图，点M 是棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1中的侧面 ADD1A1上的一个动点（包含边界），
则下列结论正确的是（ ）
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A．有无数个点M 满足CM AD1
B．当点M 在棱DD1上运动时，MA MB1的最小值为 3 1
π
C．若MB1 2 ，则动点M 的轨迹长度为 4
D．在线段 AD1上存在点M ，使异面直线MB 1与CD所成的角是30

15．在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P满足DP DD1 DA， [0,1]，u [0,1]，则
（ ）
A．当 时，BP AC
1
1 B．当 时，三棱锥C1 PB2 1
C的体积为定值
C．当 1时， PC PB的最小值为 3 3
D．当 2 2 1时，存在唯一的点 P，使得点 P到 AB的距离等于到DD1的距离
16．如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角 ABC沿 BC向上翻折，得三棱锥 A BCD，
设CD 2，点 E，F分别为棱 BC，BD的中点，M为线段 AE上的动点.下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使 AB CD B．存在某个位置，使 AC CD
C．当三棱锥 A BCD 6体积取得最大值时，AD与平面 ABC成角的正切值为
3
D．当 AB AD时，CM FM 的最小值为 4 2 2
17．如图，在三棱锥P ABC中， AB BC 2，BA BC，PA PB PC 2，O为 AC的中点，
点M 是棱 BC上一动点，则下列结论正确的是（ ）
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A．三棱锥 P ABC的表面积为 7 3 1
B．若M 为棱 BC的中点，则异面直线 PM与 AB 7所成角的余弦值为
7
C．若PC 1与平面 PAM 所成角的正弦值为 ，则二面角M PA C 22 的正弦值为 3
D． PM MA的取值范围为 6 2 7 ,4


18．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 2， AB BC 1， ABC 90 ，点 E是侧棱 BB1上的
一个动点，则下列判断正确的是( )
A． AE BC B． AE EC1的最小值为 5 1
C 6．直线 AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为
6
D．存在点 E，使得异面直线 A1C1与 AE所成角为 30°
19．在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱 ABC A1B1C1展开，得到的平面图如图所示.其中
AB 4， AC 3，BC AA1 5，M是 BB1上的点，则（ ）
A．AM与 A1C1是异面直线 B． AC A1M
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C．平面 AB1C将三棱柱截成两个四面体D． A1M MC的最小值是 106

20．如图，在直棱柱 ABCD A1B1C1D1中，各棱长均为 2， ABC ，则下列说法正确的是（ ）3
A．三棱锥 A1 ABC
28 1
外接球的表面积为 B．异面直线 AB1与 BC3 1所成角的余弦值为 2
C．当点 M在棱BB1上运动时， MD MA1 最小值为 2 5 2 3
D．N是平面 ABCD上一动点，若 N到直线 AA1与 BC的距离相等，则 N的轨迹为抛物线
21．在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，以下结论正确的有（ ）
A．三棱锥 B A1DC1外接球的体积是 4 3π
B．当点Q在直线 BC1上运动时， A1Q QC的最小值是8 4 3
C．若棱 AB， AA1，C1D1的中点分别是 E，F，G，过 E，F，G三点作正方体的截面，则所得
截面面积为3 3
D．若点M 是平面 A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则点M 的轨迹是直线 A1D1
22．如图，棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为线段 A1B上的动点，则下列结论正确的是
（ ）
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A． APD1的最大值为90 B． AP PD1的最小值为 2 2
C．D1P C1D D．点 P与 A1不重合时，平面 A1AP 平面 A1D1P
三、填空题
1
23．如图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 1, AB BC 3， cos ABC , P是 A1B3 上的一
动点，则 AP PC1的最小值为___________.
24．在正三棱锥P ABC中， PB 2AC 2 6，M是棱 PC上的任意一点，则 AM MB的最小
值是___________．
25．如图，正三棱锥 P﹣ABC的顶点 P为圆柱 OO1的上底面的中心，底面 ABC为圆柱下底面
的内接等边三角形，四边形 DEFG为圆柱的轴截面，BO DG， AB 2 3，PA 2 2 .现有一机
器人从点 A处开始沿圆柱的表面到达 E点，再到达点 P处，再从 P处沿正三棱锥 P﹣ABC的
表面返回 A处，则其最短的路程约为___________.(参考数据： 3, 5 2.24, 2 1.41，结果精
确到0.01 )
26．如图，棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为线段 AB1的中点，M，N分别为线段 AC1和
棱 B1C1上任意一点，则 2PM 2MN的最小值为______．
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27．在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E为CC1上的动点，则D1E EB的最小值为
___________.

28．如图，在直棱柱 ABCD A1B1C1D1中，各棱长均为 2， ABC ，则下列说法正确的是________3
（1）三棱锥 A1 ABC
28
外接球的表面积为 3
（2）异面直线 AB BC 11与 1所成角的余弦值为 2
（3）当点M 在棱 BB1上运动时， MD MA1 最小值为 2 5 2 3
（4）N是平面 ABCD上一动点，若N到直线 AA1与 BC的距离相等，则N的轨迹为抛物线
29．在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 2， P是线段 BC1上的一动点，则 A1P PC的最小值为
________.
30．棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D 中，P为侧面 ADD1A1内的动点，且PC B1D，则下列命
题中正确的是___________.（请填入所有正确命题的序号）
①PC AD；
② A1P PC的最小值为 6 2
③三棱锥C1 A1BP的体积为定值
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【知识点讲解】
1、题目特征
①求线段和②几条线段不共面③有一动点与两个定点
2、解题技巧
将线段所在平面展开至同一平面内或将侧面展开，将空间问题转化为平面内两点间距离最小问题。
3、导语
此类问题属于立体几何中的难题。一则是由于方法不常见，另一则是因为即使知道使用此方法也很难计算出答案。但是由于对于此类问题都可以由展开图来解决、方法单一，因此有学习的必要，并在一次后即可掌握此类所有问题。但希望怀着仔细、认真、不放弃的态度做题。另外对于此类问题还可以使用空间中的点对称解决或是建立空间直角坐标系然后用函数的观点来解决。
【例题讲解】
【例1】如图，在三棱柱中，底面，底面为直角三角形，，，，，是上一动点，则的最小值是___________.
【答案】或
【详解】连接，沿将展开至与在同一个平面内，如图所示，
连接，则的长度就是所求的最小值.
在三棱柱中，底面，底面为直角三角形，
，，，，
则，，，，，
即，，所以.
在中，由余弦定理得，
故的最小值是.故答案为：
【跟踪训练1】在正三棱柱中，，F是线段上的动点，则的最小值为___________.
【答案】或
【详解】依题意，把正三棱柱的上底面与侧面矩形放在同一平面内，连接，交于点F，如图，
此时点F可使取最小值，大小为，而，
，
所以的最小值为.
【跟踪训练2】如图，棱长为3的正方体中，P为棱上一点，且，M为平面内一动点，则MC+MP的最小值为___________.
【答案】
【详解】连接，与平面交于点E，易知平面，
作点C关于平面的对称点N，易知，
连接NP，由，得，且，
∴，当M为NP与平面的交点时取等号，
则MC+MP的最小值为.故答案为：.
【对点训练】
一、单选题
1．在棱长均为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．cm B．cm C．9cm D．cm
3．已知正方体，的棱长为2，点为线段（含端点）上的动点，平面，下列说法正确的是（ ）
A．若点为中点，当最小时，
B．当点与重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就越大
C．直线与平面所成角的余弦值的取值范围为
D．若点为的中点，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为
4．在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
5．直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不含端点），则以下各命题中正确的是（ ）
A．平面 B．与不垂直
C．的取值范围为 D．的最小值为
6．已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
8．如下图，正方体中，M为上的动点，平面，则下面说法正确的是（ ）
A．直线AB与平面所成角的正弦值范围为
B．点M与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．点M为的中点时，平面经过点B，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．已知N为中点，当的和最小时，M为的三等分点
9．如图，点M是棱长为1的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．存在无数个点M满足
B．当点M在棱上运动时，的最小值为
C．在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是
D．满足的点M的轨迹是一段圆弧
10．如图所示，在棱长为的正方体中，为线段的中点，，分别为线段，上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 B．存在点，，使得
C．平面与平面所成的角为 D．的最小值为
11．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D．与所成角的取值范围为
12．如图，在长方体中，，在线段上运动，则（ ）
A．平面平面 B．存在点，使得
C．的最大值为 D．的最小值为
13．在长方体中，AB＝3，，P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 B．与平面所成角的正切值的最大值是
C．的最小值为 D．以A为球心，5为半径的球面与侧面的交线长是
14．如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．有无数个点满足
B．当点在棱上运动时，的最小值为
C．若 ，则动点的轨迹长度为
D．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
15．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（ ）
A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，的最小值为
D．当时，存在唯一的点P，使得点P到的距离等于到的距离
16．如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿BC向上翻折，得三棱锥设，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点.下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使 B．存在某个位置，使
C．当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正切值为
D．当时，的最小值为
17．如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的表面积为
B．若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
C．若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为
D．的取值范围为
18．如图，在直三棱柱中，，，，点是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的是( )
A． B．的最小值为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．存在点，使得异面直线与所成角为30°
19．在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开，得到的平面图如图所示.其中，，，M是BB1上的点，则（ ）
A．AM与A1C1是异面直线 B．
C．平面AB1C将三棱柱截成两个四面体 D．的最小值是
20．如图，在直棱柱中，各棱长均为2，，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥外接球的表面积为 B．异面直线与所成角的余弦值为
C．当点M在棱上运动时，最小值为
D．N是平面上一动点，若N到直线与的距离相等，则N的轨迹为抛物线
21．在棱长为2的正方体中，以下结论正确的有（ ）
A．三棱锥外接球的体积是
B．当点在直线上运动时，的最小值是
C．若棱，，的中点分别是，，，过，，三点作正方体的截面，则所得截面面积为
D．若点是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线
22．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C． D．点与不重合时，平面平面
三、填空题
23．如图所示，在直三棱柱中，，是上的一动点，则的最小值为___________.
24．在正三棱锥中，，M是棱PC上的任意一点，则的最小值是___________．
25．如图，正三棱锥P﹣ABC的顶点P为圆柱OO1的上底面的中心，底面ABC为圆柱下底面的内接等边三角形，四边形DEFG为圆柱的轴截面，BODG，，.现有一机器人从点A处开始沿圆柱的表面到达E点，再到达点P处，再从P处沿正三棱锥P﹣ABC的表面返回A处，则其最短的路程约为___________.(参考数据：，结果精确到)
26．如图，棱长为2的正方体中，P为线段的中点，M，N分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为______．
27．在棱长为1的正方体中，点为上的动点，则的最小值为___________.
28．如图，在直棱柱中，各棱长均为，，则下列说法正确的是________
（1）三棱锥外接球的表面积为
（2）异面直线与所成角的余弦值为
（3）当点在棱上运动时，最小值为
（4）是平面上一动点，若到直线与的距离相等，则的轨迹为抛物线
29．在正方体中，，是线段上的一动点，则的最小值为________.
30．棱长为2的正方体中，P为侧面内的动点，且，则下列命题中正确的是___________.（请填入所有正确命题的序号）
①；
②的最小值为
③三棱锥的体积为定值
【参考答案】
1．A【详解】由题知,在正四面体中,为中点,
,平面,设中点为,连,
为中点,,且,
平面,即为在平面上的射影,
沿展开平面,使之与平面重合,
此时,的最小值即为点到的距离,
故过点作于点,又,
,,
,
,
故选:A.
2．B【详解】第一种情况：把所看的前面和上面组成一个平面，如图所示，
则这个长方形的长和宽分别为和，所以所走的路程最短线段为；
第二种情况：把看到的左面与上面组成一个长方形，如图所示，
则这个长方形的长和宽分别为和，所以所走的路程最短线段为；
第三种情况：把看到的前面与右面组成一个长方形，如图所示，
则这个长方形的长和宽分别为和，所以所走的路程最短线段为；
3．D【详解】解：对于A：将矩形与正方形展开到一个平面内（如图所示），
若最小，则、、三点共线，因为，
所以，所以，
即，故A错误；
对于B：当点与点重合时，连接、、、、，（如图所示），
在正方体中，平面，
平面，所以，又因为，且，所以平面，
又平面，所以，同理可证，
因为，所以平面，
易知是边长为的等边三角形，
其面积为，周长为；
设、、、、、分别是、、、、、的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，即B错误；
对于C：直线与平面所成角的正弦值，即为直线与平面的垂线所成角的余弦值，即，如图所示：连接
在正方体中，，，所以，在中，，
点为线段（含端点）上的动点，故，即
所以，所以直线与平面所成角的正弦的取值范围为，故C错误；对于D，取中点为，连接,,则,设平面与侧面的交线为,为平面与的交点，由于平面，∴，∴,又∵平面，平面，∴,又∵,∴平面,∴,又∵在正方形中为的中点，∴为的中点；
设平面与侧面的交线为,为平面与的交点，同理可得为的中点，连接,于是截面为，计算得,,,
所以截面为为等腰梯形，
底边上的高为,
截面为的面积为，故D正确；
4．A【详解】解：取的中点F，连接，如下图：
因为E为的中点，所以点E、F关于平面对称，所以，最小值为.
5．A【详解】依题作图，并将其补成正方体，如图,
对于，因为，点是线段上的动点（不含端点）, 平面即平面,
故平面，平面，所以平面，故正确；
对于，当为的中点，与重合，连接 ,
由 平面 , 平面 ,则,又 ,
故 平面平面,故,
同理可证,即,故错；对于，判断以为直径的球与的交点情况，
取中点，则，当时，，
所以以为直径的球与没有交点,D点在球外，所以，故错；
对于，将面翻折至与共面，此时点与重合，
所以的最小值为，故不正确，
6．A【详解】如图，将三棱柱的上底面ABC
沿AC展开至与平面共面，此时．
因为，且，由余弦定理可得，
解得，所以的最小值为．
7．C【详解】设是的中点，，所以，
所以.对任一点，的最小值是到直线的距离，
过作，交于，过作，交于，连接，
由于，所以平面，所以，
由于，所以平面，所以，
则，所以.，
，所以，
当三点共线，也即是的中点，是与的交点时，
取得最小值为，所以的最小值为.
8．AC【详解】对于A选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、设点，
平面，则为平面的一个法向量，且，，
，
所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；
对于B选项，当与重合时，连接、、、，
在正方体中，平面，平面，，
四边形是正方形，则，，平面，
平面，，同理可证，
，平面，
易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.
设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误；
对于C选项，设平面交棱于点，点，，
平面，平面，，即，得，，
所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，，
而，，且，
由空间中两点间的距离公式可得，，，所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；
对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：
若最短，则、、三点共线，
，，
，所以，点不是棱的中点，D选项错误.
9．AD【详解】对A，若M在上，此时必有，证明如下：平面，
所以，又，所以平面，所以，所以A正确；
对B，如图，旋转面使之与面共面，
连接交于，此时最短为，大小为，故B错误，
对C，当在和交点处时，
此时直线与所成的角即直线与所成角，
此时此异面直线所成最小，其正切值为，
即最小角大于，故不存在，即C错误，
对D，在面上建立直角坐标系，设，设，
由整理可得：，
根据解析式可得M的轨迹是圆的一部分，故D正确，
10．AC【详解】
对于A，连接，则为线段的中点，易得平面为平面，
显然平面，平面，
则，又，，平面，
则平面，即平面，A正确；
对于B，由A知，平面，又平面，则，
若存在点，，使得，则，
连接，又为线段的中点，则，显然，矛盾，
则不存在点，，使得，B错误；
对于C，由A知，平面即平面，即平面，
则平面平面，连接，又，
平面，平面，则，
即为平面与平面所成角的平面角，
又，则平面与平面所成的角为，C正确；
对于D，在平面中，作关于的对称点，，
过作交于点，作交于点，
又，则，
所以，所以，
又因为，
所以的最小值为，D错误.
11．ABD【详解】如图1，，,,平面，平面，，所以A是正确的；如图2，将平面和平面展成平面可知
的最小值就是，所以B正确；
如图3，平面，平面，，
同理可证，，可得平面，
设平面，直线在面的投影为，
则直线与平面所成角为，则，，所以C是错误的；
如图4，设，与所成角的最小角为，此时，则，与所成角的最大角是直线或与的夹角，此时，所以D是正确.
12．AD【详解】
对于A，易得平面，又平面，则平面平面，A正确；
对于B，连接，若存在点，使得，因为平面，平面，则，
又，平面，则平面，又平面，则，
又，则，又，显然不垂直，故不存在点，使得，B错误；
对于C，连接，易得，则，
当时，易得，当时，易得为钝角，由余弦定理得，
即，即为钝角，C错误；
对于D，将平面绕旋转至与平面共面，如图所示，易得的最小值即为，
作交延长线于，易得，又，则，
，即的最小值为，D正确.
13．ACD【详解】对于A，如图，
在长方体中，，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，所以平面平面，平面，所以平面，所以A正确；
对于B，因为平面，所以与平面所成角为，如图，
当时，最小，的正切值最大，，所以B错误；
对于C，将沿翻折与在同一个平面，且点，C在直线的异侧，如图，
此时，，,,
所以，所以，
故，
解得，所以的最小值为，所以C正确；
对于D，如图，
由于平面，所以交线为以B为圆心，半径为4的四分之一圆周，
所以交线长为，所以D正确，
14．AC【详解】对于选项A，若M在上，此时必有，
证明如下：由正方体的性质得平面，.
又，，所以平面，CM在平面 内，
所以，故A正确；
对于选项B，旋转平面使之与平面共面，如图中, 连接交于点M，
此时最短为，大小为，故B错误；
对于选项C，当点在平面内时，由面，面，则，
所以有 ，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，
从而动点轨迹长度为，所以C正确.
对于选项D，因为，所以直线与所成的角即直线与所成角,即或其补角，由在线段上存在点知，， ,
由，得：，即最小值大于，故D错误；
15．ABD【详解】当时，的轨迹为线段，连接，则，
又平面，，∴平面，，
同理可得，
故平面，平面，所以，故A正确；
当时，点的轨迹为线段（为的中点），直线平面，故三棱锥的体积为定值，故B正确；
当时，点轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知，由余弦定理可得，故C错误；
当时，点轨迹为以为为圆心，1为半径的四分之一圆弧，
由点P到的距离等于到的距离，即点P到点的距离等于到的距离，
则点轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线上，
故存在唯一的点P，使得点P到的距离等于到的距离，故D正确.
16．ABCD【详解】解：当平面与平面垂直时，
，平面与平面的交线为，平面，平面，
，，故AB正确；
当三棱锥体积取得最大值时，顶点A到底面距离最大，
即平面与平面垂直时，
由上面可知，平面，故AD与平面ABC成角为，
因为，所以，，，，故C正确；
当时,因为为的中点，所以，则，
又因为的中点，所以，又，所以，
所以，如图将沿旋转，使其与在同一平面内，
则当三点共线时，最小，即的最小值为，
在中，，则，
所以，所以的最小值为，故D正确.
17．ABD【详解】连结OB.在三棱锥中，，，.
所以,,且,.所以，所以.
又因为，所以面ABC.可以以O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，，所以,,,.
对于A：在三棱锥中，，，，
所以底面三角形为直角三角形，其面积为；
为边长为2的等边三角形，所以面积为；
和为腰长为2，底边为的等腰三角形，所以面积均为；
所以三棱锥的表面积为.故A正确；
对于B：为棱的中点，所以,所以,.
所以异面直线与所成角的余弦值为.故B正确；对于C：点是棱上一动点，不妨设，（） .
所以.
设为面PAM的一个法向量，则，不妨设y=1，则
.因为与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得：取，则
显然，面PAC的一个法向量为.
设二面角的平面角为，所以，
所以.故C错误；
对于D:如图示，把平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面.
当M与B重合时，；当M与C重合时，最大；
连结AP交BC于M1，由两点之间直线最短可知，当M位于M1时，最小.
此时，，所以.
由余弦定理得：
.所以的取值范围为.
18．AC【详解】对于A，由题可知平面，平面，，
又∵，，∴平面，平面，，故A正确；
对于B，将矩形沿翻折到与矩形在同一个平面，如图，
则，故B错误；
对于C，由A项可知平面，同理可知平面，∴为直线与平面所成角，∴，故C正确；
对于D，∵∥AC，∴∠CAE为异面直线与所成角或其补角，
设BE=x，0≤x≤2，则，，
则若∠CAE=30°或150°时，在△ACE中，由余弦定理得，
，经验证，无论∠CAE=30°还是150°，x均无解，故不存在E使得异面直线与所成角为30°，故D错误；
19．ABD【详解】由题设，可得如下直三棱柱：
由直三棱柱的结构特征知：AM与A1C1是异面直线，A正确；
因为，，且，则面，又面，故，B正确；由图知：面AB1C将三棱柱截成四棱锥和三棱锥，一个五面体和一个四面体，C错误：将面和面展开展开为一个平面，如下图：
当共线时，最小为，D正确.
20．ACD【详解】对于A，由题可知是边长为2的等边三角形，则外接圆半径，
由得外接球表面积为，所以A选项正确．
对于B，连接，因为，所以即为异面直线与所成角，
由题可知，，由余弦定理得
，所以，所以B选项错误．
对于C，分别将四边形与沿着棱展开得到四边形，
的最小值即为，所以C选项正确．
对于D，N到直线与直线的距离相等，又，即为N到直线的距离，
即N到点A与直线的距离相等，根据抛物线的定义，所以D选项正确．
21．ACD【详解】对于A：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
因为正方体的外接球的直径即为正方体的体对角线，
即，，所以外接球的体积是，故选项A正确；
对于B：把沿翻折到与在同一个平面（如图所示），
连接，则是的最小值，其中是边长为的等边三角形，
是直角边为的等腰直角三角形，所以，
即的最小值是，
对于C：分别取棱，，的中点，，，连接，，，，，，则易知过，，三点的截面是正六边形，且边长为，
所以截面面积为．
对于D：因为是平面上到点和距离相等的点，
所以点的轨迹是平面与线段的垂直平分平面的交线，
即点的轨迹是平面与平面的交线，所以点的轨迹是直线，
22．BCD【详解】对于A，在正方体中，连接，如图，而，则，令，
在中，，由余弦定理得，
而是矩形，则，中，，
，当时，，即是钝角，A不正确；对于B，把与矩形展开在同一平面内，连接交于点，如图，
在中，，由余弦定理得：，
因点P在线段上，，当且仅当点P与重合时取“=”，
所以的最小值为，B正确；
对于C，因平面，平面，则，正方形中，，
，平面，于是得平面，又平面，因此，，C正确；对于D，因平面，而平面，于是得平面平面，即平面平面，D正确.
23．
【详解】由余弦定理得：，
，由勾股定理得：，同理，
所以△是等边三角形，因为，，所以，则，
将△与△展开到同一平面内，如图，
连接，与交于点P，此时取得最小值，
因为，由勾股定理得：
24．【详解】如图，借助于侧面展开图，则可得
的最小值即为，此时
在△中∵，则
∴，则的最小值为
故答案为：．
25．【详解】因为，所以，
所以，又因为，所以，所以，
所以（劣弧）的长为，由图可知，当从到经过的路程最短时，总路程最短，
将圆柱侧面展开，从到的最短距离为线段的长度，
此时，
所以最短路程为，
26．4【详解】
在 边上取点 ，使得 ，由正方体的对称性可知 ，
过M点作平面 的垂线得垂足H，连接 ，则有 ，
，
显然，当P，M，H三点共线的时候 最小，即当M是 中点的时候， ， ，最小值为4；
27．
【详解】
如图，将正方形、铺平在同一平面上，
当三点共线时，最小，最小值为，
28．（1）（3）（4）
【详解】对于（1），，，是边长为的正三角形，
的外接圆半径三棱锥外接球半径，
三棱锥外接球表面积，（1）正确；对于（2），连接，
，，四边形为平行四边形，，
异面直线与所成角即为直线与所成角，即，
，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为，（2）错误；
对于（3），将四边形与沿着棱展开得四边形，
则的最小值即为，（3）正确；
对于（4），平面，平面，，则即为点到直线的距离，
点到直线与的距离相等，点到定点的距离与到定直线的距离相等，符合抛物线定义，则的轨迹为抛物线，（4）正确.
故答案为：（1）（3）（4）.
29．或
【详解】
如图，连接、，将△沿翻折到与△在同一个平面，如下图：
已知△为等边三角形，△为等腰三角形，两个三角形有公共边，
则当P是中点时，、P、三点共线，此时取最小值．
故答案为：﹒
30．②③
【详解】解：连接、、、，在正方体中，
因为平面，所以，又，所以平面,
所以，同理可得，又，
所以平面，因为P为侧面内的动点，且，
所以点P的轨迹为线段，
对①：若，则平面，从而有，与相矛盾，故①错误；
对②：设的中点为E，则，，
所以，即的最小值为，故②正确；
对③：在正方体中，，
又 平面平面，所以，而，
所以⊥平面，所以为定值，故③正确.故答案为：②③

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