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苏教版（2019）高中数学一轮复习第4讲《函数的概念与单调性》(解析版）
一、【考情分析】（新高考1卷）
年份 考点 题号 题型 分值 难度
2021 函数的单调性 4 单选题 5 ★
函数的单调性 7 单选题 5 ★★★
函数的单调性 15 填空题 5 ★★★
函数的单调性 22 解答题 12 ★★★★★
2022 函数的单调性 7 单选题 5 ★★★★★
函数的单调性 10 多选题 5 ★★★
函数的单调性 22 解答题 12 ★★★★★
二、【知识梳理】
概 念 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：.
本质 任意性、唯一性
三要素 定义域、值域、对应法则
表示 方法 解析式法、表格法、图象法 分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集、值域是各段值域的并集
性 质 单调性 1、__________叫单调增函数，__________叫单调减函数 2、奇函数在关于原点对称的两个区间上有__________的单调性 偶函数在关于原点对称的两个区间上有__________的单调性 3、增＋增＝增；减＋减＝减；增－减＝增；减－增=减 4、复合函数：同增异减
二 级 结 论 单调性 对于函数，设 （1）若满足，则是单调_______函数 （2）若满足，则是单调_______函数 （3）若满足，则是单调_______函数
三、【真题再现】
1、（2022北京卷）函数的定义域是_________．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；故答案为：
2、（2022浙江卷）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【答案】 ①. ②.
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.故答案为：，.
3、（2022北京卷）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. 1
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 .
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，综上可得；故答案为：0（答案不唯一），1
四、【考点精讲】
考点1 函数的定义域
【例题1-1】（2020北京卷）函数的定义域是____________．
【答案】
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得，故答案为：
【例题1-2】（2021·全国高三专题练习）若集合，函数的定义域为B，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得，，所以.
故选：C.
【例题1-3】（2021·新疆实验）已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的定义域是，，满足，解得，
的定义域是．故选：．
【变式1-1】（2021·兴义市第二高级中学）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,，解得的定义域为.故选：C.
【变式1-2】（多选题）（2021山东高三月考）已知函数的定义域为，值域为，则（）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是
【答案】BC
【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据值域为，即可判断选项B，令，
求得范围即为定义域，由可得值域，即可判断选项C，由的值域为可得，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：令可得，所以函数的定义域为，故A不正确；
对于选项B：因为值域为，，所以的值域为，可得函数的值域为，故选项B正确；
对于选项C：令，因为可得恒成立，所以函数的定义域为，因为，所以函数的值域为，故选项C正确；
对于选项D：若函数的值域是，则，此时无法判断其定义域是否为，故选项D不正确，故选：BC
【变式1-3】（2021·天津市第一中学滨海学校）设，则的定义域为_______.
【答案】
【解析】由得，故且，
, 或解得：.
故答案为：
考点2 函数的解析式
【例题2-1】（多选）（2020·辽宁阜新市）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】设，由题意可知，
所以，解得或，所以或.故选：AD.
【例题2-2】（2021·贵州安顺市）已知函数满足，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数满足，
设，则，由知，
故原函数可转化为，，
即的解析式为.故选：A.
【变式2-1】已知函数是一次函数，若，则＝________；
【答案】或
【解析】设，则，
又，所以，即，解得或，
所以或.故答案为：或.
【变式2-2】（2020·河津中学高三月考）若对，都有，且函数在R上单调递增，则_______.
【答案】4
【解析】因为函数在R上单调递增，故可设，即，
由，得，所以，由此可知，所以.故答案为：4
考点3 函数的值域
【例题3-1】（2021·云南昆明市函数的值域为（ ）
A．(-∞，-2] B．[2，+∞)
C．(-∞，-2] [2，+∞) D．[-2，2]
【答案】C
【解析】当时，，
当时，，
所以函数的值域为，，故选：C．
【例题3-2】（2019上海卷）下列函数中，值域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果.
【解析】选项：值域为，错误 选项：值域为，正确
选项：值域为，错误 选项：值域为，错误，本题正确选项：
【变式3-1】（2020·全国高三专题练习）函数的值域是___________.
【答案】
【解析】因为，设,,
在上单调递增,所以
故答案为：.
【变式3-2】（2021北京人大附中高三其他模拟）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.
A．的值域为 B．
C． D．以上选项都不对
【答案】B
【分析】设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，然后对A选项，根据黎曼函数在上的定义分析即可求解；对B、C选项：分①，；②，；③或分析讨论即可．
【详解】解：设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，
对A选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数，故选项A错误；
对B、C选项：①当，，则，；
②当，，则，＝0；
③当或，则，，
所以选项B正确，选项C、D错误，故选：B.
考点4 函数的单调性
【例题4-1】（2021全国甲卷文）下列函数中是增函数的为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.
【例题4-2】（2021上海高三二模）设函数的定义域为.若对于内的任意，，都有，则称函数为“Z函数”.有下列函数：①；②；③；④.其中“Z函数”的序号是___________(写出所有的正确序号)
【答案】③④
【分析】新定义说是增函数的意思，判断各函数的是否为增函数可得．
【详解】当时，，由，得，，所以在定义域内是增函数，
①是常数函数，②是减函数，③是增函数，④是增函数，故答案为：③④
【例题4-3】（2021·上海中学高三一模）函数的单调递增区间为___________．
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数的单调性和的单调性,结合复合函数的单调性的判断可得出选项.
【详解】因为，所以所以函数的定义域为，
设，所以在上单调递减，在上单调递增，而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为.故填：．
【例题4-4】（2021·海南高三模拟）已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中）的解集为（）
A．B．或C．D．或
【答案】A
【解析】先判断函数单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得，解不等式即得解.
【详解】任取，由已知得，即，所以函数单调递减．
由可得，
即，所以，
即，即，
又因为，所以，此时原不等式解集为．故选：A
【变式4-1】（2021新沂市第一中学高三其他模拟）设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是　　
A．在上为减函数 B．在上为增函数
C．在上为增函数 D．在上为减函数
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项：对于、、举出反例，可得其错误，对于，由单调性的定义分析可得正确，即可得答案．
【详解】解：根据题意，在上为增函数，依次分析选项：
对于，若，则，在上不是减函数，错误；
对于，若，则，在上不是增函数，错误；
对于，若，则，在上不是增函数，错误；
对于，函数在上为增函数，则对于任意的、，设，必有，对于，则有，
则在上为减函数，正确；故选：D.
【变式4-2】（2021·江苏省高三月考）函数的单调减区间为_________________
【答案】和
【分析】根据绝对值的意义原函数转化为分段函数，利用二次函数图象与性质求解.
【详解】因为，
所以当时，二次函数开口向下，对称轴为，函数在上单调递减，
当时，二次函数开口向上，对称轴为，函数在上单调递减.
故答案为：和
【变式4-3】（2021·吉林高三二模）下列区间中，函数在其上为增函数的是
A．（－ B． C． D．
【答案】D
【详解】，只有是增函数，
因此的增区间为，故选D．
【变式4-4】（2021·铅山县第一中学高一模拟）已知函数满足对一切都有，且，当时有．
（1）求的值；（2）判断并证明函数在R上的单调性；
（3）解不等式：．
【答案】（1）；（2）在R上是减函数；证明见解析；（3），或．
【分析】（1）先令求得，再令可求；
（2）利用定义，任取，化简判断的正负可得；
（3）设，可将不等式化为，解得，再利用单调性求解.
【详解】解：（1）令，得，则，
再令，得，即，从而．
（2）任取，
．
，即．在R上是减函数．
（3）由条件知，，
设，则，即，
整理，得，解得，
而，不等式即为，
又因为在R上是减函数，，即，
，从而所求不等式的解集为或．
【变式4-5】（2020·广东中山市）已知函数，对任意且，都有，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】因为，所以函数为偶函数，又对任意，且，都有，可知在上单调递增，
又时，，则在上恒成立，
即在上恒成立，令，，则，
当时，，单调递增，当时，单调递减，
故当时，取得极小值也是最小值，
所求即．故答案为：，．
考点5 运用单调性解不等式
【例题5-1】（2021·江西高三）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】易得函数在R上单调递增，
则由可得，解得，故不等式的解集为.故选：A．
【例题5-2】（2021·宁夏固原市·高三一模）已知函数，且，则实数的取值范围是（）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用导数判断函数的单调性，再解不等式即可.
【详解】因为，所以函数在上单调递减，
由于所以，得故选：D
【例题5-3】（2021·江苏南通市·高三二模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件判定f(x)为偶函数，结合其单调性和特殊值，得到f(x)<13的解集，利用平移变换思想得到f(x-2)<13的解集.
【详解】依题意知为偶函数，其图象关于轴对称，当时，单调递增，且，所以的解集为.将的图象沿轴向右平移个单位长度后可得的图象，所以不等式的解集为.故选:B.
【变式5-1】（2021·西藏拉萨市·高三二模）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知为上的奇函数，且在上单调递减，
由，得，于是得，解得．故选：C．
【变式5-2】（2021·陕西宝鸡市·高三模拟）已知是定义在上的减函数，对任意、，恒成立，若，则的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出，由可得出，由此可得出原不等式的解集.
【详解】因为对任意、，恒成立，
所以，，
则由，得，又是上的减函数，所以，解得．因此，不等式的解集为.故选：B．
【变式5-3】（2021·河南高三模拟）已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可化为，构造函数，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.
【详解】根据题意可知，,可转化为，
所以在[0，+∞)上是增函数，又，
所以为奇函数，所以在R上为增函数，
因为，，所以，
所以，解得，即x的取值范围是.故选：A.
考点6 运用单调性求最值
【例题6-1】（2021北京卷）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数的增减性与最值联系即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】首先考虑充分性，由函数在上单调递增，可推出在x=1处取的最大值，故充分性具备，再考虑必要性，可通过反例（的最大值是，但是在上不单调），判定不具有必要性，故答案选：A.
【例题6-2】（2021·上海高三二模）已知函数最小值为，则____________．
【答案】
【分析】本题首先可通过函数有最小值得出，然后通过基本不等式得出，最后通过函数最小值为求出，通过检验即可得出结果.
【详解】因为函数有最小值，所以，
因为，所以，
因为函数最小值为，所以，解得，当且仅当时取等号，满足题意，故答案为：.
【变式6-1】（2021·全国高三其他模拟）已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】作出分段函数的图象，再结合图形就可以得到的取值范围.
【详解】分别作出、的图象中下图所示，由图可以看出当时，有确定的最大值，所以这时存在，使得对于任意都有.故答案为：.
【变式6-2】（2021·上海高三二模）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________.
【答案】
【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值.
【详解】分以下三种情况讨论：
①若时，即当时，，
所以，函数在上单调递减，且，
当时，，此时，函数无最小值；
②若时，即当时，，
当时，，
当时，.，所以，，整理可得，
，解得（舍去）；
③当时，即当时，，
当时，，
当时，.因为，所以，，整理可得，
，解得或（舍去）.
综上所述，实数的取值集合为.故答案为：.
考点7 分段函数
【例题7-1】（2021浙江卷）已知，函数若，则___________.
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，故答案为：2.
【例题7-2】（2021·山东高三其他模拟）已知函数则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据定义域的范围代入解析式求函数值可得答案.
【详解】由题意可知，.故选：C．
【变式7-1】（2021·福建高三三模）已知函数，若，则______.
【答案】4
【分析】根据题意，由函数的解析式分与两种情况讨论，求出的值，即可得
【详解】根据题意，函数，当时，，无解；
当时，，解可得，符合题意，故，故答案为：4.
【变式7-2】（2021·浙江金华市·高三三模）已知函数，(a>0，a≠1)，若，则m=_______，_________.
【答案】1 2
【分析】根据函数解析式，由，求得m；由，则，求得.
【详解】，解得，
由，则，得，故答案为：1；2.苏教版（2019）高中数学一轮复习第4讲《函数的概念与单调性》(原卷版）
一、【考情分析】（新高考1卷）
年份 考点 题号 题型 分值 难度
2021 函数的单调性 4 单选题 5 ★
函数的单调性 7 单选题 5 ★★★
函数的单调性 15 填空题 5 ★★★
函数的单调性 22 解答题 12 ★★★★★
2022 函数的单调性 7 单选题 5 ★★★★★
函数的单调性 10 多选题 5 ★★★
函数的单调性 22 解答题 12 ★★★★★
二、【知识梳理】
概 念 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：.
本质 任意性、唯一性
三要素 定义域、值域、对应法则
表示 方法 解析式法、表格法、图象法 分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集、值域是各段值域的并集
性 质 单调性 1、__________叫单调增函数，__________叫单调减函数 2、奇函数在关于原点对称的两个区间上有__________的单调性 偶函数在关于原点对称的两个区间上有__________的单调性 3、增＋增＝增；减＋减＝减；增－减＝增；减－增=减 4、复合函数：同增异减
二 级 结 论 单调性 对于函数，设 （1）若满足，则是单调_______函数 （2）若满足，则是单调_______函数 （3）若满足，则是单调_______函数
三、【真题再现】
1、（2022北京卷）函数的定义域是_________．
2、（2022浙江卷）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
3、（2022北京卷）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
四、【考点精讲】
考点1 函数的定义域
【例题1-1】（2020北京卷）函数的定义域是____________．
【例题1-2】（2021·全国高三专题练习）若集合，函数的定义域为B，则（ ）
A． B． C． D．
【例题1-3】（2021·新疆实验）已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021·兴义市第二高级中学）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（多选题）（2021山东高三月考）已知函数的定义域为，值域为，则（）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是
【变式1-3】（2021·天津市第一中学滨海学校）设，则的定义域为_______.
考点2 函数的解析式
【例题2-1】（多选）（2020·辽宁阜新市）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【例题2-2】（2021·贵州安顺市）已知函数满足，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】已知函数是一次函数，若，则＝________；
【变式2-2】（2020·河津中学高三月考）若对，都有，且函数在R上单调递增，则_______.
考点3 函数的值域
【例题3-1】（2021·云南昆明市函数的值域为（ ）
A．(-∞，-2] B．[2，+∞)
C．(-∞，-2] [2，+∞) D．[-2，2]
【例题3-2】（2019上海卷）下列函数中，值域为的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2020·全国高三专题练习）函数的值域是___________.
【变式3-2】（2021北京人大附中高三其他模拟）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.
A．的值域为 B．
C． D．以上选项都不对
考点4 函数的单调性
【例题4-1】（2021全国甲卷文）下列函数中是增函数的为（）
A． B． C． D．
【例题4-2】（2021上海高三二模）设函数的定义域为.若对于内的任意，，都有，则称函数为“Z函数”.有下列函数：①；②；③；④.其中“Z函数”的序号是___________(写出所有的正确序号)
【例题4-3】（2021·上海中学高三一模）函数的单调递增区间为___________．
【例题4-4】（2021·海南高三模拟）已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中）的解集为（）
A．B．或C．D．或
【变式4-1】（2021新沂市第一中学高三其他模拟）设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是　　
A．在上为减函数 B．在上为增函数
C．在上为增函数 D．在上为减函数
【变式4-2】（2021·江苏省高三月考）函数的单调减区间为_________________
【变式4-3】（2021·吉林高三二模）下列区间中，函数在其上为增函数的是
A．（－ B． C． D．
【变式4-4】（2021·铅山县第一中学高一模拟）已知函数满足对一切都有，且，当时有．
（1）求的值；（2）判断并证明函数在R上的单调性；
（3）解不等式：．
【变式4-5】（2020·广东中山市）已知函数，对任意且，都有，则实数的取值范围是
考点5 运用单调性解不等式
【例题5-1】（2021·江西高三）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【例题5-2】（2021·宁夏固原市·高三一模）已知函数，且，则实数的取值范围是（）．
A． B． C． D．
【例题5-3】（2021·江苏南通市·高三二模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2021·西藏拉萨市·高三二模）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2021·陕西宝鸡市·高三模拟）已知是定义在上的减函数，对任意、，恒成立，若，则的解集为（）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2021·河南高三模拟）已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（）
A． B． C． D．
考点6 运用单调性求最值
【例题6-1】（2021北京卷）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【例题6-2】（2021·上海高三二模）已知函数最小值为，则____________．
【变式6-1】（2021·全国高三其他模拟）已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是___________.
【变式6-2】（2021·上海高三二模）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________.
考点7 分段函数
【例题7-1】（2021浙江卷）已知，函数若，则___________.
【例题7-2】（2021·山东高三其他模拟）已知函数则（）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2021·福建高三三模）已知函数，若，则______.
【变式7-2】（2021·浙江金华市·高三三模）已知函数，(a>0，a≠1)，若，则m=_______，_________.

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