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苏教版（2019）高中数学一轮复习第5讲《函数的奇偶性、对称性、周期性》(原卷版）
一、【考情分析】（新高考1卷）
年份 考点 题号 题型 分值 难度
2021 函数的奇偶性 13 填空题 5 ★★
2022 函数的对称性 10 多选题 5 ★★
函数的奇偶性、对称性、周期性 12 多选题 5 ★★★★★
二、【知识梳理】
函 数 的 性 质 奇 偶 性 1、________________________叫奇函数，________________________叫偶函数，如果一个函数是奇函数或函偶数，其定义域必须满足______________________ 2、奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶 偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶； 奇×偶＝奇；奇÷偶＝奇 3、分类(1)____________(2)____________ (3)____________ (4)____________ 4、梳理基本初等函数的奇偶性：____________ 5、复合函数：同奇则奇，有偶则偶 6、若奇函数在处有意义，则有__________
对 称 性 若，则关于__________对称 若，则关于__________对称
周 期 性 1、定义：对定义域内任意，存在非零常数， 2、三角函数的周期：正弦函数：___________余弦函数：___________正切函数：___________ 3、常用结论： 若，则的周期为__________ 若，则的周期为__________ 若，则的周期为__________ 若，则的周期为__________
二 级 结 论 奇 偶 性 1、若是奇函数，则 若是偶函数，则 2、若为奇函数若为偶函数_________ 3、特殊函数：
周 期 性 若，则的周期为__________ 若，则的周期为__________ 若，则的周期为__________ 若的图象关于直线和都对称，则的周期为________ 若的图象关于点和点都对称，则的周期为__________ 若的图象关于和直线都对称，则函数的周期为__________
三、【真题再现】
1、（2022上海卷）若函数f（x）＝，为奇函数，求参数a的值为 　　．
2、（2022北京卷）己知函数，则对任意实数x，有（）
A. B.
C. D.
3、（2022全国甲卷）函数在区间的图象大致为（）
A. B.
C. D.
4、（2022天津卷）函数的图像为（）
A B.
C. D.
5、（2022全国乙卷文）若是奇函数，则_____，______．
6、（2022全国乙卷文）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）
A. B. C. D.
7、（2022全国乙卷理）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（）
A. B. C. D.
8、（2022新高考2卷）已知函数的定义域为R，且，则（）
A. B. C. 0 D. 1
四、【考点精讲】
考点1 函数的奇偶性及其应用
【例题1-1】（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（）
A． B． C． D．
【例题1-2】（2021新高考2卷）已知函数的定义域为R，且是偶函数，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（）.
A． B． C． D．
【例题1-3】（2021·湖北十堰市·高三二模）已知函数是定义在上的偶函数，且，．写出的一个解析式为__________．
【例题1-4】（2021·浙江杭州市·高三月考）（多选题）已知函数的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【变式1-1】已知函数是偶函数，则______.
【变式1-2】（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)= （）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2021·广东肇庆市·高三二模）已知函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【变式1-4】（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，，则函数_____．
【变式1-5】（2021·湖南岳阳市·高三模拟）设函数在内有定义，下列函数必为奇函数的是（）
A． B． C． D．
考点2函数的周期性及其应用
【例题2-1】（2020·四川省泸县第二中学）已知为定义在上的奇函数，，，则（ ）
A． B．0 C．4 D．5
【例题2-2】（2021·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（）
A． B． C． D．
【例题2-3】（2021·山东省高三模拟）已知偶函数满足，则下列说法正确的是（）．
A．函数是以2为周期的周期函数 B．函数是以4为周期的周期函数
C．函数为奇函数 D．函数为偶函数
【例题2-4】（2021·全国高三其他模拟）已知定义域为的函数满足，，则函数的解析式可以是______.
【变式2-1】（2021·全国高三月考）定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021·河北高三模拟）已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为________.
【变式2-3】（2021·重庆高三模拟）定义在R上的奇函数满足：，且当时，，若，则实数m的值为（）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【变式2-4】（2021·江苏南通市·高三一模）已知是定义在上的函数，，且对任意的，都有，，若，则（）
A．2020 B．3 C．2 D．1
考点3函数的对称性及其应用
【例题3-1】（2021·全国高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（）
A． B． C． D．
【例题3-2】（2021·河南高三期中）已知函数满足，函数的图象与的图象的交点为，，…，，则（）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2021·山西晋城市·高三三模）已知函数，现有下列四个命题：
①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于(，0)对称；
④f(x)的图象关于(π，0)对称.其中所有真命题的序号是（）
A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④
【变式3-2】（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知函数的定义域为，且满足，，则的最小正周期为___________，的一个解析式可以为___________.
【变式3-3】（2021·安徽高三模拟）定义在的单调函数对任意恒有，且时，，则实数m的取值范围是（）
A．B．C． D．
考点4 奇偶性、周期性、对称性之间的关系
【例题4-1】（2021·全国高三二模）已知函数为偶函数，且，则下列结论一定正确的是（）
A．的图象关于点中心对称 B．是周期为的周期函数
C．的图象关于直线轴对称 D．为偶函数
【例题4-2】（2021·重庆南开中学高三其他模拟）已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（）
A．的周期B．的最大值为4C．D．为偶函数
【变式4-1】（2021·广西壮族自治区高三月考）定义在上的奇函数满足，当时，，则在上( )
A．是减函数，且 B．是增函数，且
C．是减函数，且 D．是增函数，且
【变式4-2】（2021·江西宜春市·高三模拟）已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，则______.
【变式4-3】（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三模拟）已知函数的图象既关于点中心对称又关于点中心对称，则（）
A．是周期函数B．是奇函数
C．既没有最大值又没有最小值D．函数是周期函数
考点5 运用奇偶性、周期性、对称性解不等式
【例题5-1】（2021·广东广州市·高三二模）已知函数，且，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【例题5-2】（2021·江苏泰州市·高三其他模拟）已知函数，则的解集为（）
A． B． C． D．
【变式5-1】1．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三模拟）设函数，则满足的取值范围是（）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2021·辽宁铁岭市·高三二模）设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.
【变式5-3】（2021·福建高三三模）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（）
A．B．C．D．
考点6 函数性质的综合运用
【例题6-1】（2020·海南高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）
A． B． C． D．
【例题6-2】（2021·广东高三专题练习）已知函数是上的偶函数，对任意的都有，当且时，都有，给出下列命题：
①；②函数在上是递增的；③函数的图像关于直线对称；
④函数在上有四个零点.其中所有真命题的序号是___________.
【例题6-3】（2021·湖北襄阳市·襄阳四中高三一模）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学 经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点.给出下列四个结论正确的是（）
A．若，则存在唯一个周期为1的周期点；
B．若，则存在周期为2的周期点；
C．若，则不存在周期为3的周期点；
D．若，则对任意正整数，都不是的周期为的周期点.
【变式6-1】（2021·全国高三其他模拟）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（）
A．B．C． D．
【变式6-2】（2021·全国高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列四个结论中：①图象关于直线对称；②；③在上为减函数；④.其中正确的个数（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-3】（2021·江苏苏州市·高三三模）定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立，则称函数f(x)为“k距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”．则（）
A．一次函数均为“k距周期函数”B．存在某些二次函数为“k距周期函数”
C．若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f（1）=1，则f(x)=x
D．若g(x)是周期为2函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]苏教版（2019）高中数学一轮复习第5讲《函数的奇偶性、对称性、周期性》(解析版）
一、【考情分析】（新高考1卷）
年份 考点 题号 题型 分值 难度
2021 函数的奇偶性 13 填空题 5 ★★
2022 函数的对称性 10 多选题 5 ★★
函数的奇偶性、对称性、周期性 12 多选题 5 ★★★★★
二、【知识梳理】
函 数 的 性 质 奇 偶 性 1、________________________叫奇函数，________________________叫偶函数，如果一个函数是奇函数或函偶数，其定义域必须满足______________________ 2、奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶 偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶； 奇×偶＝奇；奇÷偶＝奇 3、分类(1)____________(2)____________ (3)____________ (4)____________ 4、梳理基本初等函数的奇偶性：____________ 5、复合函数：同奇则奇，有偶则偶 6、若奇函数在处有意义，则有__________
对 称 性 若，则关于__________对称 若，则关于__________对称
周 期 性 1、定义：对定义域内任意，存在非零常数， 2、三角函数的周期：正弦函数：___________余弦函数：___________正切函数：___________ 3、常用结论： 若，则的周期为__________ 若，则的周期为__________ 若，则的周期为__________ 若，则的周期为__________
二 级 结 论 奇 偶 性 1、若是奇函数，则 若是偶函数，则 2、若为奇函数若为偶函数_________ 3、特殊函数：
周 期 性 若，则的周期为__________ 若，则的周期为__________ 若，则的周期为__________ 若的图象关于直线和都对称，则的周期为________ 若的图象关于点和点都对称，则的周期为__________ 若的图象关于和直线都对称，则函数的周期为__________
三、【真题再现】
1、（2022上海卷）若函数f（x）＝，为奇函数，求参数a的值为 　　．
【分析】由题意，利用奇函数的定义可得 f（﹣x）＝﹣f（x），故有 f（﹣1）＝﹣f（1），由此求得a的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝，为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（﹣1）＝﹣f（1），∴﹣a2﹣1＝﹣（a+1），即 a（a﹣1）＝0，求得a＝0或a＝1．
当a＝0时，f（x）＝，不是奇函数，故a≠0；
当a＝1时，f（x）＝，是奇函数，故满足条件，
综上，a＝1．
2、（2022北京卷）己知函数，则对任意实数x，有（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；故选：C．
3、（2022全国甲卷）函数在区间的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.
故选：A.
4、（2022天津卷）函数的图像为（）
A B.
C. D.
【答案】D
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D.
5、（2022全国乙卷文）若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ①. ； ②. ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
6、（2022全国乙卷文）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.
7、（2022全国乙卷理）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以，因为，所以.所以故选：D
8、（2022新高考2卷）已知函数的定义域为R，且，则（）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
四、【考点精讲】
考点1 函数的奇偶性及其应用
【例题1-1】（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B
【例题1-2】（2021新高考2卷）已知函数的定义域为R，且是偶函数，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】方法一（常规推导）：∵是偶函数，则
∵是奇函数，则
令，则是奇函数，可得：
∴，故答案选B.
方法二（构造特殊函数法）：由是偶函数，且是奇函数。
构造函数符合题意，故选B.
【例题1-3】（2021·湖北十堰市·高三二模）已知函数是定义在上的偶函数，且，．写出的一个解析式为__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】二次函数，显然满足，所以该函数是偶函数，
由，由，所以，故答案为：
【例题1-4】（2021·浙江杭州市·高三月考）（多选题）已知函数的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】AD
【解析】由奇偶性的定义逐一证明即可.
【详解】对于A，，，即是奇函数，故A正确；
对于B，，，即是偶函数，故B错误；
对于C，，，即是奇函数，故C错误；
对于D，，，即是偶函数，故D正确；故选：AD
【变式1-1】已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，故答案为：1
【变式1-2】（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)= （）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】是奇函数，x≥0时，．
当时，，，得．故选D．
【变式1-3】（2021·广东肇庆市·高三二模）已知函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】函数的定义域为且
因为为奇函数，所以定义域关于原点对称，则，
所以，
因为，满足为奇函数，故选：D.
【变式1-4】（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，，则函数_____．
【答案】
【解析】因为，所以，
又分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以；
所以，则 ，两式相加得，
，所以.故答案为:.
【变式1-5】（2021·湖南岳阳市·高三模拟）设函数在内有定义，下列函数必为奇函数的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性的定义依次判断即可.
【详解】对A，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故A错误；
对B，中，，所以函数为奇函数，故B正确；
对C，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故C错误；
对D，为偶函数，故D错误.故选：B.
考点2函数的周期性及其应用
【例题2-1】（2020·四川省泸县第二中学）已知为定义在上的奇函数，，，则（ ）
A． B．0 C．4 D．5
【答案】A
【解析】由题意，函数满足，可得，所以函数是周期为的函数，又由函数为定义在上的奇函数，且，
所以.故选：A.
【例题2-2】（2021·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．
所以．故选：D．
【例题2-3】（2021·山东省高三模拟）已知偶函数满足，则下列说法正确的是（）．
A．函数是以2为周期的周期函数 B．函数是以4为周期的周期函数
C．函数为奇函数 D．函数为偶函数
【答案】BC
【解析】对于选项,∵函数为偶函数，∴．
∵，∴，
则，即，∴，
故函数是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确；
对于选项,令，则．
在中，将换为，得，
∴，∴，
则函数为奇函数，所以选项C正确．
对于选项,由题意不妨取满足条件的函数，
则为奇函数，所以选项D错误．故选：BC.
【例题2-4】（2021·全国高三其他模拟）已知定义域为的函数满足，，则函数的解析式可以是______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由，得，即，则，所以，所以，
所以函数的一个周期为，故函数的一个解析式可以是.
故答案为：（答案不唯一）
【变式2-1】（2021·全国高三月考）定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由满足，得，
所以函数的最小正周期，且当时，为偶函数，
所以.故选：A.
【变式2-2】（2021·河北高三模拟）已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为________.
【答案】
【分析】推导出当时，，利用函数的周期性和奇偶性可求得结果.
【详解】当时，，又因为函数是定义在上的偶函数，
则，
，因此，.故答案为：.
【变式2-3】（2021·重庆高三模拟）定义在R上的奇函数满足：，且当时，，若，则实数m的值为（）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】B
【解析】由为奇函数知，
∴，即，
∴，∴是周期为3的周期函数，
故，即，∴.故选：B.
【变式2-4】（2021·江苏南通市·高三一模）已知是定义在上的函数，，且对任意的，都有，，若，则（）
A．2020 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题由不等式和，带入后得到即，即，可得，可得周期为1，即可得解.
【详解】因为对任意的，都有，，
所以，即.
又对任意的，，
所以，即，
所以，即，
所以，从而是周期为1的周期函数.
又，所以.故选：D
考点3函数的对称性及其应用
【例题3-1】（2021·全国高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一：由奇偶性得到，由对称性知道关于对称，得到
法二：由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】法一：∵是定义域为R的奇函数，且，∴，
∵，∴关于对称，故
法二：由题意可得：，
而，故.故选：C.
【例题3-2】（2021·河南高三期中）已知函数满足，函数的图象与的图象的交点为，，…，，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件得，两个函数均关于点(0,3)对称，从而求得交点的横坐标和及纵坐标和.
【详解】由可知的图象关于点对称，
又因为的图象也关于点对称，所以两个函数的图象的交点关于点对称，
即，，所以，故选：．
【变式3-1】（2021·山西晋城市·高三三模）已知函数，现有下列四个命题：
①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于(，0)对称；
④f(x)的图象关于(π，0)对称.其中所有真命题的序号是（）
A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④
【答案】C
【分析】利用函数的对称性和周期的判断方法直接对选项进行逐一判断即可得出答案.
【详解】因为与的最小正周期均为π，所以f(x)的最小正周期是π.
因为，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称.
因为，所以f(x)的图象关于(，0)对称.
因为，所以f(x)的图象关于(π，0)对称.
所以①②③④均正确，故选：C
【变式3-2】（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知函数的定义域为，且满足，，则的最小正周期为___________，的一个解析式可以为___________.
【答案】 (答案不唯一)
【分析】通过得出，即可求出的最小正周期；通过得出函数关于点对称，然后列举一个满足关于点对称以及最小正周期为的方程即可.
【详解】因为，所以，的最小正周期为.
因为，所以函数关于点对称，
满足关于点对称以及最小正周期为的方程可以为.
故答案为：；（答案不唯一）.
【变式3-3】（2021·安徽高三模拟）定义在的单调函数对任意恒有，且时，，则实数m的取值范围是（）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数对称性，利用在时是单调的，结合二次函数性质解得参数m的取值范围，再验证的正负情况，并结合对称性，得到结果.
【详解】由，可知函数关于点中心对称.
因为对任意的，是单调函数，所以时，是单调的，而二次函数开口向上，对称轴为，
故当时，即，在时是单调递减的，根据对称性可知，函数在上也是单调递减的，又由，知在上是单调递减的；
当，即，在时是单调递增的，根据对称性可知，函数在上也是单调递增的，又由，知在上是单调递增的.
综上可得，实数m的取值范围是．故选：B.
考点4 奇偶性、周期性、对称性之间的关系
【例题4-1】（2021·全国高三二模）已知函数为偶函数，且，则下列结论一定正确的是（）
A．的图象关于点中心对称 B．是周期为的周期函数
C．的图象关于直线轴对称 D．为偶函数
【答案】AD
【分析】由，可知的图象关于点中心对称；结合函数为偶函数可得是周期为以及关于直线轴对称，结合周期，对称中心和对称轴可判断出为偶函数
【详解】因为，所以的图象关于点中心对称，
又因为函数为偶函数，所以是周期为的周期函数，且它的图象关于点中心对称和关于直线轴对称，所以为偶函数.故选：AD.
【例题4-2】（2021·重庆南开中学高三其他模拟）已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（）
A．的周期B．的最大值为4C．D．为偶函数
【答案】ABD
【分析】由函数的图象关于直线对称，得，又，所以，，从而可得，进而根据周期性、对称性、时的解析式即可求解.
【详解】解：函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
对有，函数的图象关于中心对称，
，即，
又，即，，
，即，，
的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；
当时，，，
当时，，，即，当时，，
又函数的图象关于直线对称，在一个周期上，，
在上的最大值为4，选项B正确；
，选项C错误.故选：ABD.
【变式4-1】（2021·广西壮族自治区高三月考）定义在上的奇函数满足，当时，，则在上( )
A．是减函数，且 B．是增函数，且
C．是减函数，且 D．是增函数，且
【答案】B
【解析】定义在上的奇函数满足，∴，
∴，即函数周期是4.在上的图象和在上的图象相同，
当时，，∴此时单调递增，且.
∵是奇函数，∴当时，单调递增，且，
即当时，单调递增，且，故选:B.
【变式4-2】（2021·江西宜春市·高三模拟）已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，则______.
【答案】2
【分析】先根据条件求出其周期为4，再结合周期性可得，即可求解结论．
【详解】定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，
且，
；.
即；①.②
②①得；故函数f(x)周期为4,
故答案为：2．
【变式4-3】（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三模拟）已知函数的图象既关于点中心对称又关于点中心对称，则（）
A．是周期函数B．是奇函数
C．既没有最大值又没有最小值D．函数是周期函数
【答案】BCD
【分析】根据对称性，结合奇偶性定义证明它是奇函数，判断B，用反证法（反例）说明函数不是周期函数，函数无最值，判断AC，根据周期性定义判断D．
【详解】由题意，，
因此，
所以是奇函数，B正确．
例如满足题意，但恒成立，因此在上是增函数，不是周期函数，A错；
因为是奇函数，所以若是函数的最小值，则是函数的的最大值，
设，则，与是最大值矛盾，因此函数无最大值，同理也无最小值．C正确；是奇函数，，则也是奇函数，的图象关于点和对称，
，所以的图象关于对称，同理也关于对称．因此是周期函数，4就是一个周期．D正确．故选：BCD．
考点5 运用奇偶性、周期性、对称性解不等式
【例题5-1】（2021·广东广州市·高三二模）已知函数，且，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断出的奇偶性，再利用导数判断出是单调性，再利奇偶性和单调性可得答案.
【详解】因为，，所以是奇函数，
，令，
则，令，则，
当时，，所以是增函数，，即，
所以当时是增函数，，所以，
在上是增函数，因为是奇函数，所以在上是增函数，
由，得，
所以，解得.故选：B.
【点睛】本题考查了利用单调性解不等式问题，解题的关键点是利用导数判断出函数的单调性，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.
【例题5-2】（2021·江苏泰州市·高三其他模拟）已知函数，则的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先探究得到：当或时，；当时，. 然后将不等式等价为或，进而可得结果.
【详解】显然，函数是定义域为的偶函数.
当时，，所以是减函数，且；
所以当时，是增函数，且.
因此，当或时，；当时，.
所以，或或
或.故的解集为.故选：A.
【点睛】本题的关键点是探究得到：当或时，；当时，.
【变式5-1】1．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三模拟）设函数，则满足的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，利用导数可判断的单调性，结合题意，化简整理，即可得答案.
【详解】由题意得：所以为奇函数，
又，因为，当且仅当x=0时等号成立，
所以所以在上单调递增，
所以，
所以，解得故选
【变式5-2】（2021·辽宁铁岭市·高三二模）设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据是奇函数判断函数的对称中心，等价于，
等价于，即可得到关于x的不等式，求出x的范围.
【详解】因为是奇函数，故图像关于对称，
由题设，因为在上单调递减，
所以等价于，
因此不等式等价于，
即，即且，解得取值范围为.故答案为：
【变式5-3】（2021·福建高三三模）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件判断函数关于对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.
【详解】解：∵，
∴，∴函数关于对称，
又，
∵，∴，
∴恒成立，则是增函数，∵，
∴，∴，得，故选：A.
【点睛】根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，需灵活应用基本不等式求最值，综合性强，属中档题.
考点6 函数性质的综合运用
【例题6-1】（2020·海南高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：或或
解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.
【例题6-2】（2021·广东高三专题练习）已知函数是上的偶函数，对任意的都有，当且时，都有，给出下列命题：
①；②函数在上是递增的；③函数的图像关于直线对称；
④函数在上有四个零点.其中所有真命题的序号是___________.
【答案】①③④
【分析】利用赋值法，令，结合偶函数的定义，即可判定①正确；利用单调性的定义以及偶函数再对称区间上单调性，判断选项②错误；利用所给的恒等式进行变形，再结合偶函数的性质，推出，即可判定③正确；利用赋值求出上的的个数，可判定④正确.
【详解】因为函数对任意的都有，
令，则，所以，
又函数是上的偶函数，所以，所以①正确；
因为当且时，都有，
则当时，，当时，，所以在上单调递增，
因为是偶函数，所以在上单调递减，
因为，则有，即，
又是偶函数，则，得，所以函数关于对称，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以②错误；
因为，即，
再根据，可得，所以，
所以关于对称，由是偶函数可得关于对称可得所以③正确；
因为，则，因为是偶函数，所以，
所以，所以函数在上有四个零点，所以④正确.
故答案为：①③④
【例题6-3】（2021·湖北襄阳市·襄阳四中高三一模）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学 经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点.给出下列四个结论正确的是（）
A．若，则存在唯一个周期为1的周期点；
B．若，则存在周期为2的周期点；
C．若，则不存在周期为3的周期点；
D．若，则对任意正整数，都不是的周期为的周期点.
【答案】AD
【分析】由周期点的定义，可得直线与存在交点．分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论．
【详解】解：对于，令，2，3，，
若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点．
对于①，若为周期为1的周期点，，故A正确；
对于②，若为周期为2的周期点，则，解得, ，
但，解得，所以不存在在周期为2的周期点，故B错误；
对于③，当时，易见有两个周期点；
当时，即，
可得时，周期点有4个，同理，时，周期点有8个，故③错误；
对于④，，所以，即，
所以不是周期点，故D正确．故选：AD．
【点睛】本题考查了周期点的概念，解题的关键是紧扣定义进行计算即可.
【变式6-1】（2021·全国高三其他模拟）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】先通过已知分析得到函数的单调性，等价于或再结合函数的图象解不等式得解.
【详解】
因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称．
由在上单调递减，得在上单调递增，且，
所以当或时，，当时，．函数的图象如图所示，
等价于或即或
解得或，故选：B．
【点睛】由函数的奇偶性延伸到其图象的对称性问题的常见结论：（1）若函数为奇函数（或偶函数），则函数的图象关于点中心对称（或关于直线对称）；（2）若函数为奇函数（或偶函数），则函数的图象关于点中心对称（或关于直线对称）．
【变式6-2】（2021·全国高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列四个结论中：①图象关于直线对称；②；③在上为减函数；④.其中正确的个数（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据已知求得函数的周期以及单调区间，逐个选项判断即可得结论.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以，所以对称轴为，
因为，所以，所以周期为4，
所以对称轴，故不符合，所以①不正确；
，因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，所以②正确；因为且时，都有，
所以，即，
所以在上为增函数，所以在上为增函数，
所以在上为增函数，所以③不正确；
因为，，
所以，所以④不正确，即正确的个数为1个，故选：A.
【点睛】本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为奇函数结合，得到和，从而得到函数的对称性和周期性，根据条件得出，得到函数的单调性.
【变式6-3】（2021·江苏苏州市·高三三模）定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立，则称函数f(x)为“k距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”．则（）
A．一次函数均为“k距周期函数”B．存在某些二次函数为“k距周期函数”
C．若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f（1）=1，则f(x)=x
D．若g(x)是周期为2函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]
【答案】AD
【分析】根据新定义进行证明判断A，假设二次函数是“k距周期函数”，然后由新定义推理判断B，用反例判断C，根据周期函数的定义求解判断D．
【详解】A．设一次函数为，则，其中，A正确；B．设二次函数为（），
，
若是“k距周期函数”，则，则，不满足新定义，B错误；
C．设，则是“1距周期函数”，且类周期为1，，C错；
D．设，则，即，
则，D正确．故选：AD．
【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，然后根据新定义解决问题．新定义的实质是恒成立（），因此可转化恒等式进行分析．

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