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第二十二章 二次函数（同步练习）
1．在平面直角坐标系中，设二次函数，已知点 P(p，m)和 Q(1， n)在二次函数的图象上，若 m＜n，则 p 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．画二次函数的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 2 3 2 …
关于此函数有以下说法：①函数图象开口向上；②当时，y随x的增大而减小；③当时，．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：
x … －3 －2 －1 0 1 3 …
y … －27 －13 －3 3 5 －3 …
下列结论：①a＜0；②方程ax2＋bx＋c＝3的解为x1＝0， x2＝2；③当x＞2时，y＜0．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．① C．②③ D．①②
5．如图，二次函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点为B．有下列结论：①；②；③若，则；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向上 B．对称轴是x=-3
C．当x>-4 时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为(-2，-3)
7．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
8．二次函数y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t＝a＋b＋1，则t值的变化范围是（ ）
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．﹣1＜t＜1
9．如图，二次函数（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b＋c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列关于函数的四个命题：①当时，有最小值6；②若为实数，且，则时的函数值大于时的函数值；③若，且是整数，当时，的整数值有()个；④若函数图象过点和，则. 其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
11．请写出一个 开口向下，并且与y轴交于点（0,1）的抛物线的表达式_________
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A的左侧，点C在点A的右侧）．线段BC的长为________________．
13．函数的图像是开口向下的抛物线，则________.
14．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，若无论x取何值，S总取，中的最大值，则S的最小值是___________．
15．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，则a的值为______．
16．在平面直角坐标系中，设二次函数是实数）．
（1）当时，若点在该函数图象上，求的值．
（2）若二次函数图象的顶点在某条 （A．直线 B．双曲线 C．抛物线）上，且表达式为 ．
（3）已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
17．某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，请解答下列问题：
（1）旅馆将每间房的日租金提高多少元，客房日租金的收入为19200元？
（2）旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？
18．阅读如下材料，完成下列问题：
材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．
材料二：对实数a，b，若，则．
完成问题：
（1）求的最小值；
（2）求的最大值；
19．如图，已知抛物线与轴交于，两点，（点在点的左边），与轴交于点.
（1）求点，，的坐标；
（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由.
20．如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A( 1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连BC，交对称轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上的一点，连接，，求的面积的最大值以及此时点的坐标；
（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，点是新抛物线的对称轴上的一点，点是坐标平面内一点．当以、、、四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点的坐标的过程．
参考答案：
1．C
【详解】
设二次函数与轴的交点分别为，
则为二次函数与坐标轴的交点坐标
∴函数的对称轴为：
设关于对称的点为
在二次函数的图象上， m＜n
．
故选C．
2．C
【详解】
解：由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，
∴函数图象开口向下，故①错误，不符合题意；
∵y=2时，x=1或x=3，
∴函数的对称轴为直线x=2，
∵开口向下，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故②正确，符合题意；
∵对称轴为直线x=2，
当x=4时，，
∴x=0时，，故③正确，符合题意；
∴正确的选项有②③；
故选：C．
3．C
【详解】
试题分析：
4．D
【详解】
解：①由图表中数据可知：x＝ 1和3时，函数值为 3，所以，抛物线的对称轴为直线x＝1，而x＝1时，y＝5最大，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，a＜0；故①正确；
②∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝1，在（0，3）的对称点是（2，3），∴方程ax2＋bx＋c＝3的解为x1＝0，x2＝2；故②正确；
③∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向下，对称轴为x＝1，（0，3）的对称点是（2，3），∴当x＞2时，y＜3；故③错误；
所以，正确结论的序号为①②
故选D．
5．D
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，故①正确；
二次函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，
由图可知抛物线与x轴的另一个交点为，
∴，故②正确；
∵抛物线与x轴交于点，
∴，
∴，
由①知，即，
∴．
∵，
∴，
∴，故③正确；
由图可知，二次函数的图象开口向下，有最大值，最大值为n，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故④正确．
综上所述，正确的有①②③④共4个．
故选D．
6．B
【详解】
解：二次函数y=-2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（-3，0），对称轴为直线x=-3，当x>-3时，y随x的增大而减小，
故B正确，A、C、D不正确，
故选：B．
7．C
【详解】
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
抛物线的对称轴为直线x=-=1，即
∴ab<0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2-4ac>0，所以②正确；
∵x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，
而c<0，
∴a+b+2c<0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴b=-2a，
而x=-1时，y>0，即a-b+c>0，
∴a+2a+c>0，即所以④错误．
故选C．
8．B
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋1的顶点在第一象限，
且经过点（﹣1，0），
∴a﹣b＋1＝0，a＜0，b＞0，
由a＝b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b＝a＋1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，
∴由①＋②得：﹣1＜a＋b＜1，
在不等式两边同时加1得0＜a＋b＋1＜2，
∵a＋b＋1＝t代入得0＜t＜2，
∴0＜t＜2．
故选：B．
9．B
【详解】
解：∵对称轴为x=1，∴，，．故结论①正确，符合题意．
∵点B坐标为（－1，0），∴当x=－2时，4a－2b＋c＜0，故结论②正确，符合题意．
∵图象开口向下，∴a＜0．
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴c＞0．
∴ac＜0，故结论③错误，不符合题意．
∵对称轴为x=1，点B坐标为（－1，0），
∴A点坐标为：（3，0）．
∴当y＜0时，x＜－1或x＞3．故结论④错误，不符合题意．
故选B．
10．B
【详解】
解：∵y=x2﹣4x+6=（x﹣2）2+2，∴当x=2时，y有最小值2，故①错误；
当x=2+n时，y=（2+n）2﹣4（2+n）+6=n2+2，
当x=n时，y=n2﹣4n+6．
∵n2+2－（n2﹣4n+6）=4n－4=4（n－1），∴当n＞1时，4（n－1）＞0，∴时的函数值大于x=n时的函数值，故②正确；
∵抛物线y=x2﹣4x+6的对称轴为x=2，a=1＞0，∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
当x=n+1时，y=（n+1）2﹣4（n+1）+6，
当x=n时，y=n2﹣4n+6，
（n+1）2﹣4（n+1）+6﹣[n2﹣4n+6]=2n﹣3．
∵n是整数，∴2n﹣3是整数，∴y的整数值有（2n﹣2）个；故③正确；
∵抛物线y=x2﹣4x+6的对称轴为x=2，1＞0，∴当x＞2时，y随x的增大而增大，x＜2时，y随x的增大而减小，∴无法判断a＜b，故④错误．
故选B．
11．（答案不唯一）
【详解】
∵抛物线开口向下，并且与y轴交于点（0,1）
∴二次函数的一般表达式中，a<0，c=1，
∴二次函数表达式可以为：（答案不唯一）.
12．10
【详解】
解：设抛物线y＝a（x+2）2+b-1的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣3）2+b的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．
由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，
∵抛物线y＝a（x+2）2+b-1的对称轴为直线x＝﹣2，抛物线y＝a（x﹣3）2+b的对称轴为直线x＝3，
∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[3﹣（﹣2）]＝10．
故答案为：10．
13．-1.
【详解】
试题分析：根据题意可得二次项系数a＜0，未知数的次数为2，由此可得出m的值．
试题解析：∵二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，
∴，
解得：m=-1．
14．2
【详解】
∵二次函数与一次函数的图象相交于点和，
∴当x＞8时，＞，且的最小值为2，
∴S=，且S的最小值为2；
∴当x＜-2时，＞，且的最小值为4，
∴S=，且S的最小值为4；
∴当-2≤x≤8时，＞，
∴S=，
∴，
解得，
∴S==，
∴S随x的增大而减小，
∴当x=8时，有最小值，且为=2，
∴S的最小值为2，
综上所述，S的最小值为2，
故答案为：2．
15．-1
【详解】
解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，
∴a2-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为-1．
故答案为-1．
16．（1）﹣3；（2）A，y＝﹣+1；（3）证明见解析
【详解】
解：（1）当时，则，
∵点在该函数图象上，
∴；
（2）若顶点是，设①，②，
由①得，由②得，
∴，
∴顶点在一条直线上，故选A，且表达式为．
证明（3）∵点，都在该二次函数图象上，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．（1）当每间客房日租金提高0元或40元时，客房日租金总金额为19200元；（2）旅馆每间房的日租金提高20元时，旅馆客房日租金的总收入达到最高．
【详解】
（1）设旅馆每间房的日租金提10x元，
根据题意，得：（120-6x）（160+10x）=19200，
解得x1=0，或x2=4，
当x1=0时10x=0；当x2=4时，10x=40，；
即当日租金不变或提高40元时，客房日租金总金额为19200元．
答：当每间客房日租金提高0元或40元时，客房日租金总金额为19200元．
（2）设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间．设装修后客房日租金总收入为y，
则y=（160+10x）（120-6x），
即y=-60（x-2）2+19440．
∵x≥0，且120-6x＞0，
∴0≤x＜20．
当x=2时，ymax=19440，即10x=20元，
答：旅馆每间房的日租金提高20元时，旅馆客房日租金的总收入达到最高．
18．（1）-5；（2）
【详解】
解：（1）
∵，
∴，
∴当时，原式的最小值为-5；
（2）
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当，有最大值．
19．（1），，；（2）或
【详解】
解：（1）：（1）∵抛物线y=-x2+4x+5中，令y=0，则-x2+4x+5=0，即-（x-5）（x+1）=0，
解得x=5，x=-1；
∴A（-1，0），B（5，0）；
令x=0，得y=5，
∴C（0，5）．
∴，，；
（2）∵，，∴直线的解析式为：
设，则，，∴，
由题意可得：，即,或,即.
①当,即时，解得，（舍去）；
②当即时，解得，（舍去），
∴或
20．（1）y=-x2+2x+3；（2）△PCD的面积最大值为， P（，）；（3）点F的坐标为(2，2)或(2，)或(2，) ．
【详解】
解：（1）由题意可得：
，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）过点P作直线PN⊥x轴于点N，交直线BC于点M，
令x=0，则y=3，
∴点C 的坐标为(0，3)，
抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=-，
设直线BC的解析式为：y=kx+3，则有：
kx+3=0，
解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∴点D的坐标为(1，2)，
设P（x， -x2+2x+3），则M（x，-x+3），
∴PM=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x．
∴S△PCD=PM （xD-xC）=(-x2+3x)=-，
∴当x=时，△PCD的面积最大，最大值为，
此时P（，）；
（3）将抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4向右平移1个单位得到新抛物线，
则新抛物线的解析式为y=-(x-1-1)2+4=-(x-2)2+4，对称轴为直线x=2，
解方程-(x-1)2+4=-(x-2)2+4，得x=，
∴点E的坐标为(，)，
∴DE=，
①当DF为对角线时，如图，四边形DEF1G1是菱形，
由对称性质可得，点F1的坐标为(2，2)；
②当DG为对角线时，如图，四边形DEG2F2是菱形，
设点F的坐标为(2，m)，
由DF2=，
解得：或，
∴点F2的坐标为(2，)，点F3的坐标为(2，)，
综上，点F的坐标为(2，2)或(2，)或(2，) ．

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