资源简介

高考数学典型题集锦
目录
专题 1 一网打尽 7→ 数列求和之错位相减 23 题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1
专题 2 一网打尽 7→ 线性规划题型分类 84 题· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5
类型 1 截距问题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5
类型 2 面积问题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6
类型 3 最优解问题· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7
类型 4 斜率问题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8
类型 5 距离问题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8
类型 6 整点问题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9
类型 7 含参数问题· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10
类型 8 非线性问题· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11
类型 9 其它有关问题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12
专题 3 一网打尽 7→ 均值不等式的应用 81 题· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15
专题 4 挑战压轴题 7→ 导数中的构造函数 (选择填空) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23
专题 5 挑战压轴题 →7 导数中的数列不等式· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 25
专题 一 一网打尽 7→ 数列求和之错位相减 23 题
本文收集整理了 23 道数列求和中有关错位相减的题目, 这些题目均来自于近年各省高考真题, 试题质量
好, 导向好, 对同学们应该能有所帮助.
所选题目总体上以先易后难的次序排列, 便于同学们循序渐进地掌握这一重要的题型.
错位相减, 都是套路, 熟练即可.
另外, 错位相减并非只适用于等差乘以等比型的数列求和.
题目 1. 已知等差数列 {an} 满足 a2 = 0, a6 + a8 = 10.
(1) 求数列 {{an} 的}通项公式;
(2) an求数列
2n
的前 n 项和.
1
解析 (1)an = 2 n. (2)
n
Sn = .
2n 1
题目 2. 已知 {an} 是递增的等差数列, a2, a4 是方程 x2 5x+ 6 = 0 的根.
(1) 求 {an}{的通a }项公式;(2) n求数列 的前 n 项和.
2n
n+ 2 n+ 4
解析 (1)an = . (2)Sn = 2 .
2 2n+1
题目 3. 已知 {an} 是各项均为正数的等比数列,{bn} 是等差数列, 且 a1 = b1 = 1, b2 + b3 = 2a3, a5 3b2 = 7.
(1) 求 {an} 和 {bn} 的通项公式;
(2) 设 cn = anbn, 求数列 {cn} 的前 n 项和 Sn.
解析 (1)a = 2n 1n , bn = 2n 1. (2)Sn = (2n 3) · 2n + 3.
(2) 由 (1) 可知 cn = (2n 1) · 2n 1, 所以
Sn = c1 + c2 + c3 + · · ·+ cn 1 + cn
= 1 · 20 + 3 · 21 + 5 · 22 + · · ·+ (2n 3) · 2n 2 + (2n 1) · 2n 1
所以 2Sn = 1 · 21 + 3 · 22 + · · ·+ (2n 5) · 2n 2 + (2n 3) · 2n 1 + (2n 1) · 2n
所以 S = 1 + 2(21n + 22 + · · ·+ 2n 2 + 2n 1) (2n 1) · 2n
= · 2(1 2
n 1)
1 + 2 (2n 1) · 2n
1 2
= 1 + 2 · (2n 2) (2n 1) · 2n
= (3 2n) · 2n 3
所以 Sn = (2n 3) · 2n + 3
题目 4. 设 {an} 是等差数列,{bn} 是各项都为正数的等比数列, 且 a1 = b1 = 1, a3 + b5 = 21, a5 + b3 = 13.
(1) 求 {an}{, {bn}}的通项公式;
(2) an求数列 的前 n 项和 Sn.
bn
解析 (1)a = 2n 1, b = 2n 1n n . (2)
2n+ 3
Sn = 6 .
2n 1
1
题目 5. 设正项等比数列 {an} 的首项 a1 = , 前 n 项和为 S , 且 210S (210n 30 + 1)S20 + S10 = 0.
2
(1) 求 {an} 的通项;
(2) 求 {nSn} 的前 n 项和 Tn.
(1) 1 n(n+ 1) n+ 2解析 an = . (2)Tn n = + 2.2 2 2n
1.
题目 6. 设等差数列 {an} 的公差为 d, 前 n 项和为 Sn, 等比数列 {bn} 的公比为 q. 已知 b1 = a1, b2 = 2, q =
d, S10 = 100.
(1) 求数列 {an}, {bn} 的通项公式;
(2) an当 d > 1 时, 记 cn = , 求数列 {cn} 的前 n 项和 Tn.
bn ( )n 1
解析 (1) 1 2 2n+ 3an = 2n 1, b = 2n 1n 或 an = (2n+ 79), bn = 9 · . (2)Tn = 6 .
9 9 2n 1
题目 7. 设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn = 2n2, {bn} 为等比数列, 且 a1 = b1, b2(a2 a1) = b1.
(1) 求数列 {an} 和 {bn} 的通项公式;
(2) an设 cn = , 求数列 {cn} 的前 n 项和 Tn.
bn
2 (6n 5) · 4n + 5
解析 (1)an = 4n 2, bn =
4n
. (2)T
1 n
= .
9
题目 8. 数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, a1 = 1, an+1 = 2Sn.
(1) 求数列 {an} 的通项 an;
(2) 求数列{ {nan} 的前 n 项和 Tn. ( )
1, n = 1, 1 1
解析 (1)an = (2)Tn = + n · 3
n 1.
2 · 3n 2, n > 2. 2 2
题目 9. 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn = 3n2 + 8n, {bn} 是等差数列, 且 an = bn + bn+1.
(1) 求数列 {bn} 的通项公式;
(2) (a + 1)
n+1
n
令 cn = , 求数列 {cn} 的前 n 项和 Tn n.(bn + 2)
解析 (1)an = 6n+ 5, bn = 3n+ 1. (2)cn = (3n+ 3)2n+1, T = 3n · 2n+2n .
题目 10. 设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn. 已知 2S = 3nn + 3.
(1) 求 {an} 的通项公式;
(2) 若数列{ {bn} 满足 anbn = log3 an, 求 {bn} 的前 n 项和 Tn.
3, n = 1,
解析 (1) 13 6n+ 3an =
3n
(2)T = .
1 n, n > 1. 12 4 · 3n
题目 11. 在数列 {an} 中,a1 = 1, an+1 = 2a nn + 2 .
(1) an设 bn = . 证明: 数列 {bn} 是等差数列;2n 1
(2) 求数列 {an} 的前 n 项和 Sn.
解析 (2)an = n · 2n 1, S nn = (n 1) · 2 + 1.
题目 12. { } 2 2a{ n已知数列 an 的首}项 a1 = , an+1 = .3 an + 1
(1) 证明: 1{数列} 1 是等比数列;an
(2) n数列 的前 n 项和 Sn.
an
解析 (2) n+ 2Sn = .
2n
2.
( )
题目 13. 在数列 { 1 n+ 1an} 中,a1 = 1, an+1 = 1 + an + .
n 2n
(1) an设 bn = , 求数列 {bn} 的通项公式;
n
(2) 求数列 {an} 的前 n 项和 Sn.
解析 (1)bn = 2
1
. (2)
n+ 2
Sn = n(n+ 1) + 4.
2n 1 2n 1
题目 14. 设数列 {a } 满足 a = 2, a a = 3 · 22n 1n 1 n+1 n .
(1) 求数列 {an} 的通项公式;
(2) 令 bn = nan, 求数列的前 n 项和 Sn
(1) 2n 1. (2) (3n 1)2
2n+1 + 2
解析 an = 2 Sn = .
9
1
题目 15. 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn = n2 + kn(k ∈ N ), 且 Sn 的最大值为 8.
2
(1) 确定常数{ k, 并求}an;
(2) 9 2an求数列 的前 n 项和 Tn.
2n
解析 (1) 9 n+ 2k = 4, an = n. (2)Tn = 4 .2 2n 1
题目 16. 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn = kcn k(其中 c, k 为常数), 且 a2 = 4, a6 = 8a3.
(1) 求 an;
(2) 求数列 {nan} 的前 n 项和 Tn.
解析 (1)an = 2n. (2)Tn = 2 + (n 1)2n+1.
题目 17. 已知数列 {an} 的前 n 项和为 S 2n, 且 Sn = 2n + n, 数列 {bn} 满足 an = 4 log2 bn + 3.
(1) 求 an, bn;
(2) 求数列 {anbn} 的前 n 项和 Tn.
解析 (1)an = 4n 1, b = 2n 1n . (2)Tn = (4n 5)2n + 5.
题目 18. 已知首项都是 1 的两个数列 {an}, {bn}(bn = 0, n ∈ N ), 满足 anbn+1 an+1bn + 2bn+1bn = 0.
(1) an令 cn = , 求数列 {cn} 的通项公式;
bn
(2) 若 bn = 3n 1, 求数列 {an} 的前 n 项和 Sn.
解析 (1)cn = 2n 1. (2)Sn = (n 1)3n + 1.
题目 19. 数列 {an}{满足} a1 = 1, nan+1 = (n+ 1)an + n(n+ 1).
(1) an证明: 数列 是等差数列;
n
(2) √设 bn = 3n · an, 求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn.
n+1
解析 (2) n (2n 1) · 3 + 3bn = n · 3 , Sn = .
4
题目 20. 已知数列 {an}满足 an+2 = qan(q为实数,且 q = 1, n ∈ N ), a1 = 1, a2 = 2,且 a2+a3, a3+a4, a4+a5
成等差数列.
(1) 求 q 的值和 {an} 的通项公式;
(2) log2 a2n设 b = (n ∈ N n ), 求数列 {bn} 的前 n 项和.
a2n 1
3.
{
n 1
2 2 , n为奇数,
(1) n+ 2解析 an = n (2)Sn = 4 .
2 2 , n为偶数. 2n+1 { }
题目 21. 1 n已知数列 {an} 是首项为正数的等差数列, 数列 的前 n 项和为 .
an · an+1 2n+ 1
(1) 求数列 {an} 的通项公式;
(2) 设 bn = (an + 1) · 2an , 求数列 {bn} 的前 n 项和 Tn.
n+1
解析 (1)an = 2n 1. (2)
4 + (3n 1) · 4
Tn = .
9
题目 22. n设数列 {a } 满足 a + 3a + 32a + · · ·+ 3n 1a = , n ∈ N n 1 2 3 n .
3
(1) 求数列 {an} 的通项;
(2) n设 bn = , 求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn.
an
1
解析 (1)an = . (2)
2n 1
S = · 3n+1 3n + .
3n 4 4
1 1 1
题目 23. 已知数列 {an}和 {bn}满足 a1 = 2, b1 = 1, a n+1 = 2an, b1+ b2+ b3+· · ·+ bn = bn+1 1(n ∈ N ).
2 3 n
(1) 求 an 与 bn;
(2) 记数列 {anbn} 的前 n 项和为 Tn, 求 Tn.
解析 (1)an = 2n, bn = n. (2)Tn = (n 1) · 2n+1 + 2.
4.
专题 二 一网打尽 7→ 线性规划题型分类 84 题
类型 一 截距问题
x+ 2y 4 6 0
题目 24. 若实数 x, y 满足 x y 1 6 0 , 则 x+ y 的取值范围是
x > 1 2x+ y 12 6 0
题目 25. 若 x, y 满足条件 3x 2y + 10 > 0 , 则 x+ 2y 的取值范围是
x 4y + 10 6 0 x+ 2y 4 6 0
题目 26. 若实数 x, y 满足 x y 1 6 0 , 则 2x+y 的取值范围是
x{> 1
6 ( )x ( )2x y 0 y
27. 1 1题目 已知正数 x, y 满足 , 则 z = · 的最小值为
x 3y + 5 > 0 4 2
题目 28. 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 已知 a5 ∈ [1, 4], a6 ∈ [2, 3], 则 S6 的取值范围是
题目 29. 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 若 S4 > 10, S5 6 15, 则 a4 的最大值为
题目 [30. 各] 项均为正数的等比数列 {an} 中, 若 a1 > 1, a2 6 2, a3 > 3, 则 a4 的取值范围是
9
解析 , 8 .
2
题目 31. 已知数列 {an} 是等差[数列,]且 a1 ∈ [0, 1], a2 ∈ [1[, 2] , a]3 ∈ [2, 3], 则 a4 的取值范围是 ( )
A. 8 13 5 9[3, 4] B. , C. , D. [2, 5]
3 3 2 2
解析C. x+ 2y 4 6 0
题目 32. 若实数 x, y 满足 x y 1 6 0 , 则 |x 2y + 1| 的取值范围是
x > 1 a b+ 1 > 0
题目 33. 已知实数 a, b 满足 2a b 1 < 0 , z = |a b 1|, 则 z 的取值范围是
[ ] 2a+ 2b 1 > 0
1
解析 , 2 .
2
题目 34. (2012 年上海文) 满 足约束条件 |x|+ 2|y| 6 2 的目标函数 z = y x 的最小值是 x+ 2y > 2
题目 35. 若实数 x, y 满足 2x+ y 6 4 , 则目标函数 z = 3|x|+ |y 3| 的取值范围是 ( )[ ] 4x[ y >] 1
A. 3 , 9 B. 3 , 6 C. [ 2, 3] D. [1, 6]
2 2
5.
解析A. x y 6 0
题目 36. 已知实数 x, y 满足 x+ y 4 6 0 , 则 |3x+ y 4|+ |x+ 2y + 8| 的最小值是 ( )
x > 0
A. 11 B. 12 C. 16 D. 18 x+ 2y 4 6 0
# #
题目 37. 若 P (a, b) 是约束条件 x y 1 6 0 所表示的平面区域内的点, Q(3, 2), 则 OP · OQ 的取值范
x > 1
围是 {
2x+ y 4 6 0
38. # # 题目 设 O 为坐标原点, M (1, 2), 若 N (x, y) 满足 , 则 OM ·ON 的最大值为 ( )
x y + 2 > 0
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
解析B.
x 4y + 3 6 0 # #
题目 39. 已知 A (2, 0), 点 P 的坐标 (x, y) 满足 OP ·OA3x+ 5y 6 25 , 则 ∣∣∣ ∣∣∣ 的最大值是# x 1 > 0 OA
x 4y 6 3 ∣ ∣
题目 40. ∣ # ∣已知O是坐标原点, M(2, 1), N(x, y)满足 3x+ 5y 6 25 ,则 ∣ON ∣ cos∠MON 的最大值为
x > 1
√
12 5
解析 .
5
2x y + 2 > 0
题目 41. 若实数 x, y 满足 2x+ y 4 < 0 , 则 (x 2)2 + (y 2)2 的取值范围是 ( )
[ ) x+ y 2 > 0√ [ ) ( ] [ ]
A. 2 5 4 4 4, 2 B. , 4 C. , 4 D. , 4
5 5 5 5
解析C.
类型 二 面积问题
x+ y 1 > 0
题目 42. 若不等式组 x 1 6 0 表示的平面区域面积等于 2, 则 a =
ax y + 1 > 0
解析 a = 3. x > 0
43. 4题目 在平面直角坐标系中, 不等式组 x+ 3y > 4 所表示的平面区域被直线 y = kx + 分为面积相等3
3x+ y 6 4
的两部分, 则 k=
7
解析 k = .
3
6.
{ x+ 2y 3 6 00 6 x 6 3
题目 44. 已知点 P (m,n) 在不等式组 所表示的平面区域内, 不等式组 x > 0 表示的0 6 y 6 4
y > 0
平面区域为 A, 则 P ∈ A 的概率是
3
解析 .
16
类型 三 最优解问题
x+ 2y 4 6 0
题目 45. 已知实数 x, y 满足 x y 1 6 0 ,
x > 1
(1) 若 z = ax+ y 的最小值是 1, 则实数 3a+ b 的值是
(2) 若 z = ax+ y 仅在 (2, 1) 处取得最大值, 则实数 3a+ b 的取值范围是
(3) 若 z = ax+ y 取得最大值的最优解有无穷多个解, 则实数 3a+ b 的值是
(4) 若 x ∈ [ 1, 1] 恒成立, 则 3a+ b 的取值范围是 x+ y > 5
题目 46. 已知 x, y 满足以下约束条件 x y + 5 6 0 , 使 z = x+ ay (a > 0) 取得最小值的最优解有无数个,
x 6 3
则 a 的值为 ( )
A. 3 B. 3 C. 1 D. 1
解析D. {
1 6 x+ y 6 4
题目 47. 已知 x, y 满足约束条件 6 6 , 若目标函数 z = ax+ y (a > 0) 仅在点 (3, 1) 处取得最大 2 x y 2
值, 则 a 的取值范围为
解析 (1,+∞).
x+ 2y 3 6 0
题目 48. 已知变量 x, y 满足约束条件 x+ 3y 3 > 0 , 若目标函数 z = ax+ y 仅在点 (3, 0) 处取到最大值,
y 1 6 0
则实数 a 的取值范围
x+ y 3 6 0
题目 49. 若线性目标函数 z = x+ y 在线性约束条件 2x y 6 0 下取得最大值时的最优解只有一个, 则
y 6 a
a 的取值范围是
解析 ( ∞, 2].
题目 50. 已知点 A (5, 3) , B (2, 1) , C (1, 5),设 ABC 围成的平面区域为M . 若使目标函数 z = ax+y (a > 0)
取得最小值的最优解有无穷多个, 则 a 的值是 ( )
A. 4 B. 2 C.
1 D. 2
2 3 y 6 x
题目 51. 如果实数 x, y 满足 3y > x , 则目标函数 z = ax+ by(ab = 0), 在 x = 2, y = 2 取得最大值的充
x+ y 6 4
要条件是 ( )
A. |a| 6 b B. |a| 6 |b| C. |a| > b D. |a| > |b|
7.
类型 四 斜率问题
x y 2 6 0
题目 52. y设实数 x, y 满足 x+ 2y 4 > 0 , 则 的最大值是x 2y 3 6 0 x+ 2y 4 6 0
53. 6 , x+ 2y + 3题目 若实数 x, y 满足 x y 1 0 则 的取值范围是x+ 1 x > 1 x+ 2y 4 6 0
题目 54. x+ 2y若实数 x, y 满足 x y 1 6 0 , 则 的取值范围是3x+ y
x > 1
x+ 2y 4 6 0
题目 55. 若实数 x, y 满足 x y 1 6 0 , x+ 1则 的取值范围是y 2{x > 1
x2 + y2 6 4
题目 56. y + 3若实数 x, y 满足 > , 则 的取值范围x 0 x+ 1
类型 距离问题 x+ 2y 4 6 0
题目 57. 若实数 x, y 满足 x y 1 6 0 , 则 x2 4x+ y2 的取值范围是 x > 1 2x+ y 2 > 0
题目 58. 已知 x, y 满足 x 2y + 4 > 0 , 则 z = x2 + y2 的最大值和最小值分别是 ( )
3x y 3 6 0
√ √
A. 13,1 B. 13,2 C. 4 D. 2 5 13, 13, 5 5 x y + 2 > 0
题目 59. 不等式组 x+ y + 2 > 0 表示的平面区域为 D, 若圆 O : x2 + y2 = r2 上所有的点都在区域 D 内,
2x y 2 6 0
则圆 O 面积的最大值是
4π
解析 .
5 x+ y 6 4
2 2
题目 60. 设不等式组 y x > 0 表示的平面区域为 D. 若圆 C : (x+ 1) + (y + 1) = r2 (r > 0) 不经过区
x 1 > 0
域 D 上的点, 则 r 的取值范围是 ( )
√ √ √ √ √ √ √ √
A. [2 2, 2 5] B. (2 2, 3 2] C. (3 2, 2 5] D. (0, 2 2) ∪ (2 5,+∞)
解析D. 4x+ 3y 12 > 0
题目 61. 已知不等式组 k x > 0 (x, y, k ∈ R,且k > 0) 所表示的平面区域在圆 (x 3)2 + y2 6
x+ 3y 6 12
25(x, y ∈ R) 的内部, 则 k 的取值范围是 ( )
8.
A. (0, 3] B. (0, 6] C. (0, 5] D. [1, 6]
解析B.
2x y + 2 > 0
题目 62. 点 P 在平面区域 x+ y 2 6 0 上, 点 Q 在 x2 + (y + 2)2 = 1 上, 则 |PQ| 的最小值为 ( )
2y 1 > 0
√ √
A. 3 B. √4 1 C. 2 2 1 D. 2 1
2 5 x+ 2y 4 > 0
题目 63. 如果实数 x, y 满足条件 x y2 > 0 , 且 (x+ a)2 + y2 的最小值为 6, 则正数 a =
2x+ y 3 6 0
√
解析 2
x > 2,
题目 64. 平面上满足约束条件 x+ y 6 0, 的点 (x, y) 形成的区域为 D, 区域 D 关于直线 y = 2x 对称
x y 10 6 0
的区域为 E, 则这两个区域中距离最近的两个点之间的距离为
类型 整点问题
题目 65. 满足 |x|+ |y| 6 2 的点 (x, y) 中整点 (横纵坐标都是整数) 有 ( )
A. 9 个 B. 10 个 C. 13 个 D. 14 个 2x y 3 > 0
题目 66. 已知整数 x, y 满足 2x+ 3y 6 < 0 , 则 x+ y 取得最大值时的 (x, y) 是
3x 5y 15 < 0
解析 (2, 0) 或 (3, 1). 5x 11y > 22
题目 67. 已知整数 x, y 满足 2x+ 3y > 9 , 则 z = x+ y 的最大值是 ( )
2x 6 11
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
14x+ 9y 6 51
题目 68. 已知 x, y 满足 6x+ 3y 6 1 , 则 x+ y 取得最大值时的 (x, y) 是
x, y ∈ N
解析 (2, 2) 或 (3, 1).
x > 0
题目 69. 设 n ∈ N , 已知不等式组 y > 0 所表示的平面区域为 Dn, 若 Dn 内的整点个数为 an, 则
y 6 nx+ 3n
an 的解析式是
解析 an = 3n.
9.
类型 含参数问题
x > 0, y > 0
题目 70. 在约束条件 y + x 6 s 下, 当 3 6 s 6 5 时, z = 3x+ 2y 的最大值的变化范围是 ( )
y + 2x 6 4
A. [6, 15] B. [7, 15] C. [6, 8] D. [7, 8]
解析D. x > 0
题目 71. 已知点 P (x, y) 满足 y 6 x , 若 z = x+ 3y 的最大值是 8, 则实数 k =
2x+ y + k 6 0
解析 k = 6. x > 0, y > 0
题目 72. y + 3已知 x, y 满足 x y , 若目标函数 z = 的最小值为 1, 则 a =+ 6 1 x
3a 4a
解析 a = 1. 2x+ y 2 > 0
题目 73. 已知不等式组 x 2y + 4 > 0 所表示的平面区域为 M , 若函数 y = k(x+ 1) + 1 的图象经过区域
3x y 3 6 0
M , 则实数 k 的取值范围 x 2y + 1 > 0
题目 74. 已知不等式组 x 6 2 表示的平面区域为 D, 若函数 y = |x 1|+m 的图像上存在区域 D
x+ y 1 > 0
上的点, 则实数 m 的取值 范围是 x > 1 a+ b+ c
题目 75. 已知 x, y 满足 x+ y 6 4 , 且 2x+ y 的最大值 7, 最小值 1, 则 =a
ax+ by + c 6 0 x 6 2
题目 76. 已知实数 x, y 满足 2x y > 0 , 且目标函数 z = y 3x 的最大值为 1, 最小值为 5, 则
ax+ by + c > 0
a+ 2b+ 3c
的值为
a
解析 6. x 6 2
题目 77. 已知实数 x, y 满足 2x y > 0 , 且目标函数 z = y 3x 的最大值为 1, 最小值为 5, 则
ax+ by + c 6 0
a+ 2b+ 3c
的值为
a+ b
解析 3. x > 0
题目 78. (08 浙江卷 17) 若 a > 0, b > 0, 且当 y > 0 时, 恒有 ax+ by 6 1, 则以 (a, b) 为坐标点 P (a, b)
x+ y 6 1
所形成的平面区域的面积等于
解析 1.
10.
类型 八 非线性问题 x+ 2y 4 6 0
题目 79. 若函数 y = 2x + h 图象上存在点 (x, y) 满足约束条件 x y 1 6 0 , 则实数 h 的取值范围
x > 1
是 x+ y 3 6 0
题目 80. (2012 年福建理) 若直线 y = 2x 上存在点 (x, y) 满足约束条件 x 2y 3 6 0 , 则实数 m 的最大
x > m
值为 ( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 2
2 2
解析B.
2x+ y 2 > 0
题目 81. 已知实数 x, y 满足 x 2y + 4 > 0 , 则 z = xy 的最大值
3x y 3 6 0 x+ 2y 4 6 0
题目 82. 已知实数 x, y 满足 x y 1 6 0 , 则 x2 + y 的取值范围是

x > 1
y 6 x+ 3
2
题目 83. x已知实数 x, y 满足 x 6 3 , 则 的取值范围是y
x+ 5y > 4
解析 [2, 45].
x y + 2 > 0
题目 84. 已知不等式组 x+ y 4 > 0 , 求下列目标函数的最值或取值范围.
2x y 5 6 0
(1) 求 z = x+ 2y 4 的最大值.
(2) 求 z = x2 + y2 10y + 25 的最小值.
(3) 2y + 1求 z = 的取值范围.
x+ 1[ ]
解析 (1)21. (2)9 .(3) 3 7, .
2 4 2 5x+ 3y 6 15
题目 85. 已知 x, y 满足约束条件 y 6 x+ 1 .
x 5y > 3
(1) 求 u = x2 + y2 + 4x 8y + 20 的最小值.
(2) y + 2求 w = 的最大值.
x 2
解析 (1)25 . (2)2 .
2
11.
类型 其它有关问题
题目 86. 关于 x 的方程 x2 b 2+ ax + 2b = 0 的两个实数根分别位于区间 (0, 1), (1, 2) 内, 且 a, b ∈ R, 则
a 1
的取值范围是 ( ) ( ) ( ) ( )
A. 1 B. 1 C. 1 1( , 1) , 1 , D. 1 1,
2 4 2 4 2 2
解析B.
2 3
题目 87. x设实数 x, y 满足 3 6 xy2 6 8, 4 6 6 9, x则 的最大值是
y y4
解析 27.
题目[88. ]三个正数 a, b, c 满足 [a 6 6 , 6 6 ,
b
b]+ c 2a b a+ c [2b 则] 的取值范围是 ( )a
A. 2 3 B. 2 3, , 2 C. 1, D. [1, 2]
3 2 3 2
b
题目 89. 已知正数 a, b, c 满足:5c 3a 6 b 6 4c a, c ln b > a+ c ln c, 则 的取值范围是
a
解析 [e, 7].
x+ 2y 4 6 0
题目 90. 若 P (a+ b, a b) 是约束条件 x y 1 6 0 所表示的平面区域内的点, 则 2a + b 的取值范围
x > 1
是
题目 91. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知平面区域 A = {(x, y)|x + y 6 1, x > 0, y > 0}, 则平面区域
B = {(x+ y, x y)|(x, y) ∈ A} 的面积为
解析 1. m+ n 1 6 0
题目 92. 已知实数 m,n 满足条件 1 6 m < 1 , 则函数 y = mx+ n 的图像经过第一, 二, 三象限的概率 1 6 n 6 1
是
1
解析 .
7 2x y + 1 > 0
题目 93. (2013 年北京理) 设关于 x, y 的不等式组 x+m < 0 表示的平面区域内存在点 P (x0, y0) 满
y m > 0
足 x(0 2y0 =)2, 则 m 的取值范(围是 ) ( ) ( ) ( )
A. ∞, 4 B. ∞ 1, C. ∞ 2, D. ∞, 5
3 3 3 3
解析C.
题目 94. 函数 y = f(x) 为定义在 R 上的减函数, 函数 y = f(x 1) 的图像关于点 (1,0) 对称, 已知实数 x, y
满足不等式 f(x2 # # 2x) + f(2y y2) 6 0, M(1, 2), N(x, y), O 为坐标原点, 则当 1 6 x 6 4 时, OM ·ON 的取
值范围为 ( )
12.
A. [12,+∞) B. [0, 3] C. [3, 12] D. [0, 12]
解析D.
题目 95. 设关于的一元二次方程为 x2 + 2ax+ b2 = 0, 若 a 是从区间 [0, 3] 任取一个数,b 是从区间 [0, 2] 任取
的一个数, 求上述方程有实根的概率.
2
解析 .
3
x 6 my + n√ √√
题目 96. 14 3已知直线 l : x = my + n (n > 0) 过点 A(4, 4 3), 若可行域 3x y > 0 的外接圆直径为 ,3
y > 0
则 n =
解析 3 或 5. 2x y > 0
题目 97. 已知实数 x, y 满足不等式 x+ y 4 > 0 .
x 6 3
(1) y则 的取值范围是
x
(2) 2x+ y则 的取值范围是
x
3 3
(3) 2x + y则 的取值范围是
x2y
∣∣∣∣
题目 98. 已知 A = (x, y) ∣∣∣
x 2y + 5 > 0

3 x > 0 , B = {(x, y)|x2 + y2 6 25}, A B, 则实数 m 的取值范围
mx+ y > 0
是 [ ]
4
解析 0, .
3
题目 99. x+ y 2已知点 P (x, y) 到原点的距离为 1, 则 的最大值为
x y + 2
题目 100. 在平面直角坐标系中, 设 A,B,C 是圆 x2 + y2 = 1 上相异三点, 若存在正实数 λ, , 使得
# # #
OC = λOA+ OB, 则 λ2 + ( 3)2 的取值范围
解析 (2,+∞).
题目 101. 已知 A = {(x, y) |x+ y 6 2, x > 0, y > 0}, B = {(x y, x + 2y)|(x, y) ∈ A}, 若 (m,n) ∈ B, 则
2m n 的最小值为
解析 zmin = 8. x+ y 6 4
题目 102. > , 1 1已知实数 x, y 满足 x 1 则 + 的取值范围是x y
y > 1
题目 103. 1 a已知函数 f(x) = x2 + ax+ + + b 存在零点, 则 a2 + b2 的最小值是
x2 x
13.
题目 104. 已知函数 f(x) = ax2 + bx (a = 0) 满足 1 6 f ( 1) 6 2 6 f (1) 6 4 且 ac2 + bc b = 0, 则实数 c
的取值范围是
3x y 6 6 0
题目 105. 2 3已知实数 x, y 满足 x y + 2 > 0 , 目标函数 z = ax+ by (a > 0, b > 0)的最大值为 12, 则 +a b
x > 0, y > 0
的最小值为 ( )
A. 25 B. 8 C. 11 D. 4
6 3 3
m nx+ y > 0
题目 106. 若点 (1, 1) 在关于 x, y 的不等式组 2mx ny 4 6 0 所表示的平面区域内, 则 m2 + n2 的取值
nx > 3y 3m
范围[是 ] [ ] [ ] [ ] ( )
A. 9 B. 17, 61 , 85 C. 16 , 64 D. 1 , 63
10 5 5 2
解析A.
107. . # # # 题目 已知点 A(1, 1), B(3, 0), C(2, 1) 若平面区域 D 由所有满足 AP = λAB + AC(0 6 6 1 6 λ 6
2) 的点 P 组成, 则 D 的面积为
解析 3.
14.
专题 三 一网打尽 7→ 均值不等式的应用 81 题
题目 108. 9已知 x > 0, 则 y = x+ 的最小值是
x
解析 6.
x 2
题目 109. 函数 y = 8 (x > 0) 的最大值是
2 x
解析 6.
2
题目 110. , t 4t+ 1已知 t > 0 则函数 y = 的最小值为
t
解析 2.
2
111. , a + 3ab+ 4b
2
题目 已知 ab > 0 则 的最小值是
ab
解析 7.
题目 112. 2 3已知 + = 2(x > 0, y > 0), 则 xy 的最小值是
x y
解析 6.
题目 113. 5 3已知 x, y > 0, + = 1, 则 xy 的最小值
x y
解析 60.
题目 114. 729已知 m > 0, n > 0, 则 81m2 + n2 + 取得最小值时, m n 的值等于 ( )
8mn
A. 4 B. 4 C. 8 D. 8
解析A.
题目 115. 1 |a|设 a+ b = 2, b > 0, 则 + 的最小值是
2|a| b
3
解析 .
4
2
题目 116. x + 13函数 y = √ 的最小值是
x2 + 4
解析 6.
2
题目 117. x + 15函数 y = √ 的最小值是
x2 + 9
解析 5.
题目 118. , 4x当 x > 0 时 则 y = 的最大值为
x2 + 1
解析 2.
x2 + 5
题目 119. 函数 y = √ 的最小值为
x2 + 4
15.
5
解析 .
2
√
2
题目 120. 6 x + 1函数 y = 的最大值是
x2 + 4
√
解析 3.
x2 + 8
题目 121. 函数 y = (x > 1) 的最小值是
x 1
解析 8
√
题目 122. 2 x函数 y = 的最大值是
x+ 4
1
解析 .
2
123. 3x题目 函数 y = (x < 0) 的值域是 ( )
x2 + x+ 1
A. ( 1, 0) B. [ 3, 0) C. [ 3, 1] D. ( ∞, 0)
解析B. ( ]
题目 124. 1若不等式 x2 + ax+ 1 > 0 对一切 x ∈ 0, 恒成立, 则 a 的最小值为
2
解析 2.
题目 125. (1) 若 x > 0, 4则 y = x+ 的最小值是
x+ 1
(2) 1若 x > 1, 则 y = 2x 1 + 的最小值是
x 1
(3) 2若 x > 1, 则 y = x+ 的最小值是
2x 1
(4) 1若 y = x+ (x > 2) 在 x = n 处取得最小值, 则 n =
x 2
(1)3. (2)5. (3)5解析 . (4)3.
2
题目 126. 5 1已知 x < , 求 y = 4x 2 + 的最大值为
4 4x 5
解析 1.
题目 127. 4函数 y = x2 + 的最小值是
x2 + 1
解析 3.
4
题目 128. 已知 x > y > 0, 则 x2 + 的最小值为
y(x y)
解析 8.
题目 129. 1 1设 a > b > 0, 则 a2 + + 的最小值为 ( )
ab a(a b)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
16.
解析D.
√
130. √ √题目 若正(数 x, y 满)足 x+ y 6 a x+ y 恒成立, 则实数 a 的最小值是√ √ √ 2 √ √x+ y
. 6 x+ y x+ y
√
解析 2 由 可得 √ 6 2.
2 2 x+ y
题目 131. (1) 1 4已知 x, y > 0, x+ y = 1, 则 + 的最小值是
x y
(2) 1 4已知 x, y > 0, + = 1,(则 x+)y 的最小值是x y
(3) 1 4已知 x, y > 0, 则 (x+ y) + 的最小值是
x y
(4) 4 1设 0 < x < 1, 则 + 的最小值是
x 1 (x )
(5) 2 9 1函数 f(x) = + 0 < x < 的最小值为
x 1 2x 2
(5) 1 9函数 y = 2 + cos 的最小值是sin x 2 x
解析 (1)9. (2)9. (3)9. (4)9. (5)25. (4)16.
1 4
题目 132. 已知 a > 0, b > 0, a+ b = 2, 则 y = + 的最小值是 ( )
a b
A. 7 B. 4 C. 9 D. 5
2 2
题目 133. 2 3设 x, y > 0 且 + = 1, 则 2x+ 3y 的最小值为
x y
解析 25
题目 134. 1 3设 a, b 均为正数, 且 3a+ b = 2, 则 + 的最小值是
a b
解析 6.
题目 135. 2 1已知 x > 0, y > 0, 且 + = 1, 若 x+ 2y > m2 + 2m 恒成立, 则实数 m 的取值范围是 ( )
x y
A. m > 4 或 m 6 2 B. m > 2 或 m 6 4 C. 2 < m < 4 D. 4 < m < 2
解析D. ( )
题目 136. 1 a已知不等式 (x+ y) + > 9 对任意正数 x, y 恒成立, 则正数 a 的最小值为 ( )
x y
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解析B. ( )( )
题目 137. 1 1已知 x, y ∈ R, 且 xy = 0, 则 x2 + + 4y2 的最小值为
y2 x2
解析 9.
题目 138. 1 1已知 x > 0, y > 0, x+ y = 1, 则 x2 + y2 + + 的最小值是
x2 y2
17.
17
解析 .
2 ( )2 ( )2
题目 139. 1 1已知 x > 0, y > 0, 则 x+ + y + 的最小值是
2y 2x
解析 4.
1 1 n
题目 140. 设 x > y > z, n ∈ N , 且 + > 恒成立, 则 n 的最大值为 ( )
x y y z x z
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析C. ( )
题目 141. 2 1如果对 x > 0, y > 0, 有 (x+ 4y) + > m 恒成立, 那么实数 m 的取值范围是 ( )
x 2y
A. ( ∞, 4] B. (8,+∞) C. ( ∞, 0) D. ( ∞, 8]
解析D.
题目 142. (1) 已知 x, y, a, b 是正数, a ba, b 是常数, 且 + = 1, 则 x+ y 的最小值为
x y
(2) a b已知 x, y, a, b 是正数, a, b 是常数, 且 + = 1, 则 bx+ ay 的最小值为
x y
√ √
解析 (1)( a+ b)2. (2)4ab.
题目 143. (1) 已知 x > 0, y > 0, x+ y + xy = 24, 则 xy 的最大值为
(2) 已知 x > 0, y > 0, x+ 3y + xy = 9, 则 x+ 3y 的最小值为
(3) 已知 x > 0, y > 0, 4xy x 2y = 4，则 xy 的最小值为
解析 (1)16. (2)6. (3)2.
题目 144. 已知 x > 0, y > 0, x+ 2y + 2xy = 6, 则 x+ 2y 的最小值是
解析 4.
题目 145. 若正实数 x, y 满足 2x+ y + 6 = xy, 则 xy 的最小值是
解析 18.
题目 146. 若正数 x, y 满足 x+ 3y = 5xy, 则 3x+ 4y 的最小值是 ( )
A. 24 B. 28 C. 5 D. 6
5 5
解析C.
题目 147. 已知 a+ 4b = ab, a, b 均为正数, 则使 a+ b > m 恒成立的 m 的取值范围是 ( )
A. m < 9 B. m 6 9 C. m < 8 D. m 6 8
解析A
题目 148. 1 1已知正整数 a, b 满足 4a+ b = 30, 使得 + 取最小值时, 则实数对 (a, b) 是 ( )
a b
A. (5, 10) B. (6, 6) C. (10, 5) D. (7, 2)
解析A.
18.
2
题目 149. y已知 x, y, z > 0, 且 x 2y + 3z = 0, 则 的最小值是 .
xz
解析 3.
题目 150. 若正数 x, y 满足 x2 + 3xy 1 = 0, 则 x+ y 的最小值是
1 x2 1 x 2x 1
解析由 y = 可得 x+ y = x+ = + .
3x 3x 3 3 3x
题目 151. 若实数 x, y 满足 x2 + xy + y2 = 1, 则 x+ y 的最大值是
√
2 3
解析
3
题目 152. 已知 x, y ∈ R, 若 4x2 + y2 + xy = 1, 则 2x+ y 的最大值为
√
2 10
解析 .
5
题目 153. 若 a, b, c > 0 且 a2 + 2ab+ 2ac+ 4bc = 12, 则 a+ b+ c 的最小值是
√
解析 2 3
√
题目 154. 若 a, b, c > 0 且 a(a+ b+ c) + bc = 4 2 3, 则 2a+ b+ c 的最小值为
√
解析 2 3 2.
题目 155. 已知 m,n, k 是正数, 且满足 mnk(m+ n+ k) = 4 , 则 (m+ n)(m+ k) 的最小值是
解析 4
√
题目 156. √设 x > 0, y > 0, x+ y = 1, 则 x+ y 最大值是
√
解析 2.
题目 157. 设 x > 0, y > 0, x+ y = 6, 则 x2 + y2 最小值是
解析 18.
题目 158. 设 x > 0, y > 0, x2 + 2y2 = 2, 则 2x+ y 最大值是
解析 3.
1 x2 4y2
题目 159. 对任意实数 x > 1, y > , 不等式 + > 1 恒成立, 则实数 a 的最大值是 ( )
2 a2(2y 1) a2(x 1)
√ √
A. 142 B. 4 C. D. 2 2
2
解析D.
题目 160. 一个直角三角形的周长是 2, 则其斜边长的最小值为 ( )
A. √ 2 B. √ 2 C. 2√ D. 2√
2 + 1 2 1 3 + 3 3 3
解析A.
设两直角边为 a, b, 斜边为 c, 则 c2 = a2√+ b2.
a2 + b2 √ √ 2
由 a+ b+ c = 2 可得 2 c = a+ b 6 2 = 2c, 可化为 c+ 2c 2 > 0, 解得 c > √ .
2 2 + 1
19.
√
题目 161. 如果 a > b > 1, A = lg · lg lg a+ lg b a+ ba b,B = , C = lg , 那么 ( )
2 2
A. C < A < B B. A < B < C C. B < A < C D. A < C < B
解析B. √
题目 162. 已知 x 为正实数且 x2 + y2 = 2, 则 x 1 + y2 的最大值为
3
解析 .
2
y2 √
题目 163. 已知 x 为正实数且 x2 + = 1, 则 x 1 + y2 的最大值为
2
√
3 2
解析 .
4
√
题目 164. 已知 a, b > 0, 且 2a+ b = 1, 则 t = 2 ab 4a2 b2 的最大值为 ( )
√ √ √ √
A. 2 1 B. 2 C. D. 2 + 11 2 + 1
2 2
√ √ √
解析A. t = 2 ab 4a2 b2 = 2 ab (2a+ b)2 + 4ab = (2 ab+ 1)2 2
165. π题目 当 0 < x < 时, 函数 y = cos2 x sinx 的最大值是
2 ( √
1 2 2 2
)3
解析由 y2 = cos4 x sin2 x = · cos2 x · cos2 · sin2 6 1 · cos x+ cos x+ 2 sin x 4 2 3x 2 x = 可得 y 6 .
2 2 3 27 9
题目 166. 若不等式 x2 + 2xy 6 a(x2 + y2) 对于一切正数 x, y 恒成立, 则实数 a 的最小值为
√
5 + 1
解析 .
2
题目 167. 1 1 1设 a, b, c 都是正数, 那么三个数 a+ , b+ , c+ ( )
b c a
A. 都不大于 2 B. 都不小于 2 C. 至少有一个不大于 2 D. 至少有一个不小于 2
解析D.
题目 168. 设 a, b是两个不相等的实数,在① a2+3ab > 2b2; ② a5+b5 > a3b2+a2b3;③ a2+b2 > 2(a b 1);
a b
④ + 这四个式子中, 恒成立的有 ( )
b a
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
解析A.
√
题目 169. 1 1设 a > 0, b > 0, 若 3 是 3a 与 3b 的等比中项, 则 + 的最小值为 ( )
a b
A. 8 B. 4 C. 1 D. 1
4
解析B.
题目 170. 已知正项等比数列 {an} :
√ 1 4
满足 a7 = a6 +2a5, 若存在两项 am, an 使得 aman = 4a1, 则 + 的
m n
最小值为
20.
3
解析 .
2
题目 171. 4 1已知直线 ax + by + c 1 = 0(bc > 0) 经过圆 x2 + y2 2y 5 = 0 的圆心, 则 + 的最小值
b c
是
解析 9
题目 172. 1 2若直线 ax+ 2by 2 = 0(a > 0, b > 0) 始终平分圆 x2 + y2 4x 2y 8 = 0 的周长, 则 + 的
a b
最小值为 ( )
√ √
A. 1 B. 5 C. 4 2 D. 3 + 2 2
解析D.
题目 173. x+ 2已知不等式 < 0 的解集为 {x|a < x < b}, 点 A(a, b) 在直线 mx + ny + 1 = 0 上, 其中
x+ 1
mn > 0, 2 1则 + 的最小值为
m n
解析 9.
题目 174. 已知点 P (x, y) 在经过 A(3, 0), B(1, 1) 两点的直线上, 则 2x + 4y 的最小值为 ( )
√ √
A. 2 2 B. 4 2 C. 16 D. 不存在
解析A.
题目 175. 函数 y = loga(x+ 3) 1(a > 0, a = 1) 的图象恒过点 A, 若点 A 在直线 mx+ ny + 1 = 0 上, 其中
, 1 2mn > 0 则 + 的最小值为
m n
解析 8
题目 176. 设函数 f(x) = |2 x2|, 若 0 < a < b, 且 f(a) = f(b), 则 ab 的取值范围是 ( )
√ √
A. (0, 2] B. (0, 2) C. (0, 2 2] D. (0, 2 2)
解析B.
2
题目 177. 已知 x > 0, y > 0, x, a, b, y 成等差数列, , (a+ b)x, c, d, y 成等比数列 则 的最小值是 ( )
cd
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
解析D.
题目 178. 若 2x + 2y = 1, 则 x+ y 的取值范围是 ( )
A. [0, 2] B. [ 2, 0] C. [ 2,+∞) D. ( ∞, 2]
解析D.
√
题目 179. 设 x, y ∈ R 1 1, a > 1, b > 1, 若 ax = by = 3, a+ b = 2 3, 则 + 的最大值为 ( )
x y
A. 2 B. 3 C. 1 D. 1
2 2
解析C.
题目 180. 设 x, y 是满足 2x+ y = 20 的正数, 则 lgx+ lg y 的最大值是 ( )
21.
A. 50 B. 2 C. 1 + lg 5 D. 1
解析A.
题目 181. 1 9已知二次函数 f(x) = ax2 4x+ c 的值域是 [0,+∞), 则 + 的最小值是 ( )
c a
A. 3 B. 9 C. 5 D. 6
2
解析B.
题目 182. c a已知二次函数 f(x) = ax2 + 2x+ c 的值域是 [0,+∞), 则 + 的最小值是 ( )
a2 + 1 c2 + 1
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
2
解析B.
题目 183. 若实数 a, b, c 满足 2a + 2b = 2a+b, 2a + 2b + 2c = 2a+b+c, 则 c 的最大值是
4
解析 log2 .3
题目 184. 过点 P (1, 2) 的直线 l 与 x 轴, y 轴的正半轴交于 A,B 两点, 当 △AOB 的面积最小时, 求 l 的方
程.
解析 2x+ y 4 = 0.
题目 185. 在 △ a+ bABC 中, 角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c,∠C = 90 , 则 的取值范围是 ( )
c
√ √ √
A. (1, 2) B. (1, 2) C. (1, 2] D. [1, 2]
解析C.
# # √
题目 186. 已知 P 是 △ABC 内一点, 且 AB ·AC = 2 3,∠BAC = 30 , 若 △PBC,△PCA 和 △PAB 的面
1
积分别为 , x, y, 1 4则 + 的最小值是 ( )
2 x y
A. 9 B. 16 C. 18 D. 24
解析C.
√
题目 187. # # 已知 P 是 △ABC 内一点, 且 AB ·AC = 2 3,∠BAC = 30 , 若 △PBC,△PCA 和 △PAB 的面
积分别为 x, y, z, 1 4 9则 + + 的最小值是
x y z
解析 36.
题目 188. 已知点 P 是 △ABC 的中位线 EF 上任意一点, 且 EF //BC. 设 △ABC,△PBC,△PCA,△PAB
的面积分别为 S, S1, S2, S3, 记 S1 = λ1 · S, S2 = λ2 · S, S3 = λ3 · S, 定义 M(P ) = (λ1, λ2, λ3). 当 λ2 · λ3 取得
最大(值时, M)(P ) 等于 ( ) ( ) ( ) ( )
A. 1 1 1 B. 1 1 1 C. 1 1 1 D. 1 1 1, , , , , , , ,
2 4 4 4 4 2 3 3 3 4 2 4
解析A.
22.
专题 四 挑战压轴题 7→ 导数中的构造函数 (选择填空)
题目 189. 已知定义在 R 上函数 f(x) 的导函数为 f ′(x) 满足 f(1) = 0, 且当 x > 0 时总有 xf ′(x) < f(x), 则
不等式 f(x) > 0 的解集是
解析 ( ∞, 1) ∪ (0, 1).
题目 190. 已知定义在 R 上函数 f(x) 的导函数为 f ′(x) 满足 f ′(x) < f(x), 且 f(x+ 2) 是偶函数, f(4) = 1,
则不等式 f(x) < ex 的解集是
解析 (0,+∞).
题目 191. 已知定义在 R 上函数 f(x) 的导函数为 f ′(x) 满足 f ′(x) < f(x), 且 f(x+ 1) 是偶函数, f(2) = 1,
则不等式 f(x) < ex 的解集是
解析 (0,+∞).
题目 192. 已知函数 f(x) 的定义域是 (0,+∞), 满足 f ′(x) f(x) > ex lnx 恒成立, 且 f(2) = e2 2, 则不
等式 f(x) > ex 2 的解集是
解析 [2,+∞).
题目 193. 已知奇函数 f(x)的导函数为 f ′(x),当 x ∈ (0,+∞)时, xf ′(x) f(x) = x. 若 f(e) = e,则 f(x) > 0
的解集是 ( )
A. ( ∞, e) ∪ (0, e) B. ( e, 0) ∪ (e,+∞) C. ( ∞, 1) ∪ (0, 1) D. ( 1, 0) ∪ (1,+∞)
解析C.
2
题目 194. x已知定义在 R 上的函数 f(x) 的导函数是 f ′(x), 对于任意的 x ∈ R, 都有 f( x) + f(x) = , 且
2
当 x > 0 时, f ′(x) > x, 则不等式 f(2 x) f(x) > 2 2x 的解集是
解析 ( ∞, 1].
题目 195. 已知定义在 (0,+∞) 上的函数 f(x) 满足 2f(x) < xf ′(x) < 3f(x) 恒成立, 则 ( )
A. f(2) f(2)2 < < 3 B. 3 < < 4 C. f(2)4 < < 8 D. f(2)8 < < 16
f(1) f(1) f(1) f(1)
解析选 C.
题目 196. lnx 1已知函数 f(x) 的导函数为 f ′(x), 满足 xf ′(x) + f(x) = , 且 f(e) = e , 则函数 f(x) ( )x
A. 有极大值, 无极小值 B. 有极大值, 无极小值
C. 既有极大值, 又有极小值 D. 无极值
解析D.
x 2
题目 197. e e已知函数 f(x) 的导函数为 f ′(x), 满足 x2f ′(x) + 2xf(x) = , 且 f(2) = , 则 x > 0 时, 函数
x 8
f(x) ( )
A. 有极大值, 无极小值 B. 有极大值, 无极小值
C. 既有极大值, 又有极小值 D. 无极值
解析D.
题目 198. f(x)已知定义在 (0,+∞) 上的函数 f(x) 满足 f ′(x) lnx = x , 则函数 f(x) ( )
x
23.
A. 有极大值, 无极小值 B. 有极大值, 无极小值
C. 既有极大值, 又有极小值 D. 无极值
解析选 D.
题目 199. 函数 f(x) 的导函数为 f ′(x), lnx满足 xf ′(x) + 2f(x) = , 且 f(e 1) = , 则 f(x) 在 (0,+∞) 上的
x 2e
单调性为 ( )
A. 先增后减 B. 单调递增 C. 单调递减 D. 先减后增
解析C. ( π)
题目 2(00). 定义在( 0,) 上的函(数)f(x) 满足(f()x) < f ′(x) tan(x 恒)成立(, 则有 ( )2π √ π π √ π √ π π) √ ( ) (A. B. π π)f > 3f f < 3f C. 3f > f D. 3f < f
6 3 6 3 6 3 6 3
解析D.
题目 201. 已知 f(x) 是定义在 R 上的可导函数, f(x) > f ′(x) 对于 x ∈ R 恒成立. 则 ( )
A. e2017f(2018) < e2018f(2017) B. e2017f(2018) = e2018f(2017)
C. e2017f(2018) > e2018f(2017) D. e2017f(2018) 与 e2018f(2017) 的大小不能确定
解析A.
题目 202. 设函数 f(x) 在 R 上的导函数是 f ′(x), 且 2f(x) + xf ′(x) > x2, 则下列不等式在 R 上恒成立的是
( )
A. f(x) > 0 B. f(x) < 0 C. f(x) > x D. f(x) < x
解析A.
题目 203. 若定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(0) = 1, 其导函数 f ′(x) 满足 f ′(x) > k > 1, 则下列结论中一
定错误(的)是 ( ) ( ) ( ) ( )
A. 1 1 B. 1 1 1 1 1 1f < f > C. f < D. f >
k k k k 1 k 1 k 1 k 1 k 1
解析C.
题目 204. 函数 f(x) 和 g(x)(g(x) = 0) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x < 0 时, f ′(x)g(x)
f(x)g′
f(x)
(x) < 0, 且 f( 2) = 0, 则不等式 < 0 的解集为
g(x)
解析 ( 2, 0) ∪ (2,+∞).
题目 205. 已知定义域为 R的函数 f(x)满足 f(x+y) = eyf(x)+exf(y),且 f ′(0) = 1,对于下列说法: ①函数
f(x) 有且仅有一个零点, ②函数 f(x) 是奇函数, ③函数 f(x) 存在极值, ④函数 f(x) 满足 ex = f ′(x) f(x).
其中正确说法的序号是
解析①③④.
题目 206. 已知可导函数 f(x) 的定义域为 R, 对于任意的 x ∈ R, 都有 f(x) + f(2 x) = (x 1)2 + 1, 且当
x ∈ (1,+∞) 时, 总有 f ′(x) 6 x. 若 f(t) f(6 t) 6 6t 18, 则实数 t 的取值范围是
解析 [3,+∞).
24.
专题 五 挑战压轴题 7→ 导数中的数列不等式
题目 207. (1) 1证明: 1 6 lnx 6 x 1.
x
(2) : 1 1 · · · 1 ln 1 1证明 + + + < (n+ 1) < 1 + (+ · · ·+ (n ∈ N
).
2 3 n+ 1 2 )n
(2) 1 ln ln 1
1
n ln 1 1 x解析 < (n+ 1) n < 1 < 1 + < < ln(1 + x) < x(x > 0).n+ 1 n 1 + n n 1 + x
n
题目 208. b已知函数 f(x) = ax+ + c(a > 0) 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为 y = x 1 .
x
(1) 用 a 表示出 b, c ;
(2) 若 f(x) > lnx 在 [1,+∞) 上恒成立, 求 a 的取值范围;
(3) : 1 1证明 1 + + + · · · 1 n+ > ln(n+ 1) + (n ∈ N ).
2 3 n ( )2(n+ 1() 1 ) ( )
(3) 1 ln ln 1 1 1 1 1 1解析 > (n+ 1) n+ + n
n 2 n n+ 1 2( n 1)+ 1 > ln 1 + nn
ln x(x+ 2) 1 1(x+ 1) < (0 < x 6 1) lnx < x (1 < x 6 2)
2(x+ 1) 2 x
题目 209. (1) 2 2 2证明: + + + · · · 2+ < ln(n+ 1)(n ∈ N ).
3 5 7 2n+ 1
(2) 1 1 1 1证明: + + + · · ·+ < lnn(n ∈ N ( ,)n > 2).3 4 5 2n
2 n+ 1 2 · 1
解析 (1) < ln n < ln 1 2x 2(x 1)1 + < ln(1 + x) < lnx(x > 1).
2n+ 1 n 2 + 1 n 2 + x 1 + x
n
(2)1 1 1+ + + · · · 1 2 2 2 2+ < + + + · · ·+ < lnn. 以下同 (1).
3 4 5 2n 3 5 7 2n 1
题目 210. 已知函数 f(x) = ln(x 1) k(x 1) + 1(k ∈ R).
(1) 求函数 f(x) 的单调区间;
(2) 若 f(x) 6 0 恒成立, 试确定实数 k 的取值范围;
(3) : ln 2 ln 3 ln 4 · · · lnn n(n 1)证明 + + + + < (n ∈ N , n > 1).
3 4 5 n+ 1 4
解析 (3) lnn n 1< ln 1x < (x2 1) lnx2 < x2 1 lnx < x 1(x > 1).
n+ 1 2 2
题目 211. 已知函数 f(x) = a lnx ax 3(a = 0).
(1) 讨论函数 f(x) 的单调性;
(2) 若 f(x) + (a+ 1)x+ 4 e 6 0 对于任意 x ∈ [e, e2] 恒成立, 求实数 a 的取值范围;
(3) 证明: ln(22 + 1) + ln(32 + 1) + · · ·+ ln(n(2 + 1) <)1 + 2 lnn! (n ∈ N( , n > 2)).
解析 (3) ln 1 1 1 1 1 1(n2 + 1) < + 2 lnn ln 1 + < ln 1 + < ln(1 + x) < x.
n n 1 n2 n2 n n2 n2
题目 212. 证明: [(n+ 1)!]2 > (n+ 1) · en 1(n ∈ N ). ( )
解析 2 ln[(n+ 1)!] > n 1 + ln(n+ 1) 2 ln 1 1(n+ 1) > 1 + ln(n+ 1) lnn
n n+ 1
ln 1 1(n2 + n) > 1 lnx > 1 (x > 1).
n2 + n x
25.
题目 213. 已知函数 f(x) = ln ax, g(x) = x+ (a ∈ R).
x
(1) 若 x > 1 时, f(x) 6 g(x) 恒成立, 求实数 a 的取值范围.
(2) : ln 2 × ln 3 × ln 4证明 × · · · × lnn 1< (n ∈ N , n > 2).
2 3 4 n n
ln 2 × ln 3 × ln 4 × · · · × lnn 1 × 2 × 3 × · · · × n 1解析 < lnn < n 1.
2 3 4 n 2 3 4 n
题目 214. 已知函数 f(x) = lnx+ x2 ax.
(1) 若函数 f(x) 在其定义域上为增函数, 求 a 的取值范围;
(2) 1设 an = 1 + (n ∈ N ), 求证: 3(a1 + a2 + · · ·+ an() (a
2 + a2 + · · ·+ a21) 2 n) < ln(n+ 1) + 2n.n
解析 (2) 3a 2n an < ln(n+ 1) ln
1 1 1
n+ 2 < ln 1 + x x2 < ln(1 + x)(x > 0).
n n2 n
题目 215. 证明: ln 1 1 12 < + + · · ·+ < ln 3(n ∈ N ).
n+ 1 n+ 2 3n
解析先证左边
1 1 1 1 1 1
设 f(n) = + + · · ·+ , 则 f(n+ 1) = + + · · ·+ .
n+ 1 n+ 2 3n n+ 2 n+ 3 3n+ 3
1 1 1 1 1 1 2所以 f(n+ 1) f(n) = + + = + > 0.
3n+ 1 3n+ 2 3n+ 3 n+ 1 3n+ 1 3n+ 2 3n+ 3
因此 f(n) 在 N 5上递增, 则 f(n)min = f((1))= .63
5 ln 3> 2 > ln 82 16 < e3 16 < 16× 27 < 83 432 < 512.
6 4 3
再证右边 ( )
lnx 6 1 x 1 1 1x 1 lnx > 1 ln(1 + x) > ln 1 + > 6 ln n+ k + 1
∑ ∑ x 1 + x x 1 + x 1 + n+ k n+ k2n 2n
1 6 ln n+ k + 1 ln 3n+ 1= < ln 3.
1 + n+ k n+ k n+ 1
k=1 k=1
216. : 1 1 1
n
题目 证明 1 + + + · · ·+ > ln e (n ∈ N ).
2 3 n n!
1 1
解析 lnx 6 x 1 lnx > 1 > 1 lnn, 累加即得.
x n
题目 217. 已知函数 f(x) = lnx x+ 1.
(1) 求 f(x() 的)最大值n ( ; )n
1 2 (n)n(2) e证明: + + · · ·+ < e (n ∈ N ).n n n 1 ( )n
(2)ln 6 ln k k k n k解析 x( x) 1 6 1 = (1 6 k 6 n) 6 e
k n
∑ ∑ n n n nn n n
k
n n
6 ek n = e n(e1 + e2 + · · ·+ en) = e n · e(1 e ) e(1 e ) e
n 1 e = e < . 1 e 1
k=1 k=1
26.

展开更多......

收起↑