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外接球186题
1.(2021·天津南开区.期中)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000
多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图P
ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD,PA=5,AB=3,BC=4,则该阳马的外接球的表面积为
()
D
B
A.125v2m
B.50π
C.100m
500π
3
D.
3
【答案】B
【解析】连接AC,BD,交于O1,取PC中点O,连接OO1,如图所示，
因为0，O1分别为PC,AC的中点，
所以OO1∥PA,
又PA⊥平面ABCD,
所以O0O1⊥平面ABCD,
所以O到A,B,C,D的距离都相等，
又P0=0C,
所以0为该四棱锥的外接球的球心，
在Rt△PAC中，PA=5,AC=VAB2+BCZ=V32+4=5,
所以PC=VPA2+ACz=V52+52=5V2,
所以该四棱锥的外接球的半径R=PS=52,
2
2
所以该阳马的外接球的表面积S=4mR2=4m×(2)=50m。
故选：B.
【知识点】球的表面积与体积
2.(2020天津.单元测试)长、宽、高分别为2，√3，V5的长方体的外接球的表面积为()
A.4π
B.12π
C.24π
D.48π
【答案】B
【解析】长方体的体对角线即为外接球的直径2R,
因为长方体的长、宽、高分别为2，V3,V5,
所以(2R)2=22+(3)+(⑤=12，R2=3,
所以外接球的表面积为4πR2=12π.
【知识点】球的表面积与体积
3.(2020天津.同步练习)正方体的内切球与其外接球的体积之比为()
A.1:V3
B.1:3
C.1:3V3
D.1:9
【答案】C
【解析】设正方体的棱长为α，则其内切球的半径为，
所以V为=π份-g,
正方体的外接球的半径为号a,
所以%=停a)'-,
所以V内：V外=1：33.
【知识点】球的表面积与体积
4.(2021深圳市盐田区·期末)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥
称之为阳马.若四棱锥P-ABCD为阳马，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,AB=2,
AD=4,二面角P-BC-A为60°，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为()
A.16π
B.20π
C.
π
D.32π
【答案】D
【知识点】组合体、球的表面积与体积
5.(2021深圳市南山区·期末)如图所示，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD,AD=CD=V6,
AC⊥BC,∠B=60°，现将△ACD沿AC边折起，并连接BD,当三棱锥D-ABC的体积最
大时，其外接球的表面积为()

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