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第1节　函数及其表示
知识梳理
1.函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1交点.
2.注意以下几个特殊函数的定义域
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y＝tan x的定义域为.
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一函数.(　　)
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)
(3)f(x)＝＋是一个函数.(　　)
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(2)错误.值域C B，不一定有C＝B.
(3)错误.f(x)＝＋中x不存在.
(4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数.
2.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案　B
解析　A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].
3.(多选题)下列各组函数是同一函数的是(　　)
A.f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B.f(x)＝与g(x)＝x
C.f(x)＝与g(x)＝
D.f(x)＝x与g(x)＝
答案　AC
4.(2021·长沙检测)已知函数f(x)＝则f＝(　　)
A.－1 B.2 C. D.
答案　D
解析　∵f＝log3<0，
∴f＝f＝3(log3)＝.
5.(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln x的定义域是__________.
答案　(0，＋∞)
解析　要使函数有意义，需满足
所以函数的定义域为(0，＋∞).
6.(2020·临沂月考)已知f()＝x－1，则f(x)＝________.
答案　x2－1(x≥0)
解析　令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，
故f(x)＝x2－1(x≥0).
考点一　求函数的定义域
1.(2020·江南十校联考)函数f(x)＝＋ln(3x－1)的定义域为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　要使函数f(x)＝＋ln(3x－1)有意义，
∴函数f(x)的定义域为.
2.(2021·青岛检测)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A.(－∞，－2)∪(－2，3] B.(－8，－2)∪(－2，1]
C.∪(－2，0] D.
答案　C
解析　∵f(x)的定义域为[－8，1]，
∴解得－≤x≤0，且x≠－2.
∴g(x)的定义域为∪(－2，0].
3.函数y＝＋log2(tan x－1)的定义域是________.
答案　
解析　要使函数y＝＋log2(tan x－1)有意义，则1－x2≥0，且tan x－1>0，且x≠kπ＋(k∈Z).
∴－1≤x≤1且＋kπ解得则函数的定义域为.
4.已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.(－12，0]
C.(－12，0) D.
答案　B
解析　因为函数f(x)＝的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立.当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12感悟升华　1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
考点二　求函数的解析式
【例1】 (1)已知f＝lg x，则f(x)＝________.
(2)(2021·黄冈检测)已知f＝x4＋，则f(x)＝________.
(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.
答案　(1)lg(x>1)　(2)x2－2，x∈[2，＋∞)
(3)＋
解析　(1)(换元法)令t＝＋1(t>1)，则x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1).
(2)(配凑法)∵f＝－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞).
(3)(构造法)在f(x)＝2f·－1中，
将x换成，则换成x，
得f＝2f(x)·－1，
由解得f(x)＝＋.
感悟升华　求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.
(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式.
(4)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).
【训练1】 (1)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________.
(2)若f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，则f(x)＝________.
(3)已知f(1－sin x)＝cos2x，则f(x)＝________.
答案　(1)x2＋2x＋1　(2)3x　(3)2x－x2，x∈[0，2]
解析　(1)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，
∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2.
所以f(x)＝x2＋2x＋c＝0，且有两个相等实根.
∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)(构造法)因为2f(x)＋f(－x)＝3x，①
所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
(3)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].
即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].
考点三　分段函数
角度1　分段函数求值
【例2】(2020·河南部分重点高中联考)已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　A
解析　由于f(x)＝
所以f(－1)＝(－1)2＋1＝2，故f(f(－1))＝f(2)＝22－2＝2.
角度2　分段函数与方程、不等式问题
【例3】 (1)(2021·重庆诊断)已知函数f(x)＝则f(x)A.(－1，＋∞) B.(－1，1)
C. D.
(2)(多选题)已知f(x)＝若f(x)＝1，则x的值是(　　)
A.－1 B. C.－ D.1
答案　(1)C　(2)AD
解析　(1)当x≤0时，x＋1≤1，f(x)等价于x2－1<(x＋1)2－1，解得－当01，此时f(x)＝x2－1≤0，
f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，
∴0当x>1时，f(x)综上知，不等式f(x)(2)由得x＝－1；
由得x＝1；
由知无解.
感悟升华　1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
提醒　当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.
【训练2】 (1)(多选题)(2021·烟台调研)函数f(x)＝则关于函数f(x)的说法正确的是(　　)
A.定义域为R B.值域为(－3，＋∞)
C.在R上为增函数 D.只有一个零点
(2)(2020·郑州调研)已知函数f(x)＝若f(－1)＝3，则不等式f(x)≤5的解集为(　　)
A.[－2，1] B.[－3，3]
C.[－2，2] D.[－2，3]
答案　(1)ACD　(2)D
解析　(1)f(x)＝∴f(x)的定义域为R，值域为(－3，e－3)∪[0，＋∞)，且e－3<0，∴f(x)在R上为增函数，且f(1)＝0，∴f(x)只有一个零点.故ACD正确，B不正确.
(2)∵f(x)＝f(－1)＝3，
又∵f(－1)＝a－1＋1＝3，则a＝.
所以f(x)＝
由f(x)≤5，
∴当x>0时，2x－1≤5，解得0当x≤0时，＋1≤5，－2≤x≤0.
综上，不等式f(x)≤5的解集为[－2，3].
函数值域的求法与抽象函数问题
一、函数的值域
求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法.
【例1】求下列函数的值域：
(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；
(2)y＝；
(3)y＝2x－；
(4)y＝＋.
解　(1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
由x∈[0，3)，
再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6).
(2)(分离常数法)y＝＝＝2＋，
显然≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
(3)(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，
∴y＝2(t2＋1)－t＝2＋，
由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为.
(4)函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均为增函数，
∴y＝＋在[1，＋∞)上为单调递增函数，
∴当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞).
二、抽象函数
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y＝f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.
【例2】 (1)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(8)＝3，则f()＝________.
(2)设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x1，x2，都有f(x1)＋f(x2)＝2ff，f(π)＝－1，则f(0)＝________.
答案　(1)　(2)1
解析　(1)因为f(8)＝3，所以f(2×4)＝f(2)＋f(4)＝f(2)＋f(2×2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)＝3，所以f(2)＝1.
因为f(2)＝f(×)＝f()＋f()＝2f()，所以2f()＝1，所以f()＝.
(2)令x1＝x2＝π，
则f(π)＋f(π)＝2f(π)f(0)，∴f(0)＝1.
【例3】 (1)(2021·山东名校模拟)已知函数f(x)＝ln(－x－x2)，则函数f(2x＋1)的定义域为________.
(2)若函数f(2x)的定义域是[－1，1]，则f(log2x)的定义域为________.
答案　(1)　(2)[，4]
解析　(1)由题意知，－x－x2＞0，
∴－1＜x＜0，即f(x)的定义域为(－1，0).
∴－1＜2x＋1＜0，则－1＜x＜－.
(2)对于函数y＝f(2x)，－1≤x≤1，
∴2－1≤2x≤2.
则对于函数y＝f(log2x)，2－1≤log2x≤2，
∴≤x≤4.
故y＝f(log2x)的定义域为[，4].
【例4】 (多选题)(2021·潍坊调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，则函数f(x)满足(　　)
A.f(0)＝0
B.y＝f(x)是奇函数
C.f(x)在[m，n]上有最大值f(n)
D.f(x－1)＞0的解集为{x|x＜1}
答案　ABD
解析　令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，故f(0)＝0，选项A正确；
令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
即f(x)＝－f(－x)，
故函数f(x)为奇函数，选项B正确；
设x1＜x2，则x1－x2＜0，
由题意可得，f(x1－x2)＞0，
即f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，故函数f(x)为R上的减函数，
∴f(x)在[m，n]上的最大值为f(m)，选项C错误；
f(x－1)＞0等价于f(x－1)＞f(0)，
又f(x)为R上的减函数，故x－1＜0，
解得x＜1，选项D正确.故选ABD.
A级　基础巩固
一、选择题
1.(多选题)(2020·武汉质检)下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是(　　)
A.f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln x
B.f(x)＝x，g(x)＝()2
C.f(x)＝x，g(x)＝
D.f(x)＝x，g(x)＝logaax(a＞0且a≠1)
答案　CD
解析　对于选项A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；
对于选项B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；
对于选项C，g(x)＝＝x，两函数的定义域和对应关系相同，是同一个函数；
对于选项D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一个函数.
2.(多选题)下列所给图象可以是函数图象的是(　　)
答案　CD
解析　图象A关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，图象B中x0对应2个y，所以A，B均不是函数图象；图象C，D可以是函数图象.
3.(2021·长沙检测)设f(x)＝则f(5)的值为(　　)
A.10 B.11 C.12 D.13
答案　B
解析　∵f(x)＝
∴f(5)＝f[f(11)]＝f(9)＝f[f(15)]＝f(13)＝11.
4.若函数f(x)＝x＋log2(x－a)的定义域为(1，＋∞)，则f(3a)＝(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　C
解析　∵f(x)＝x＋log2(x－a)的定义域为(1，＋∞)，
∴a＝1，∴f(3a)＝3＋log22＝4.
5.(2020·陕西师大附中质检)已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A.[0，1] B.(0，1) C.[0，1) D.(0，1]
答案　B
解析　由函数f(x)的定义域为[－1，1]，
令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1，
又由1－x>0且1－x≠1，解得x<1且x≠0，
所以函数g(x)的定义域为(0，1).
6.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0A. B.{－1，0，1}
C.{－1，0，1，2} D.{0，1，2}
答案　B
解析　令t＝2x，t∈(1，4)，
则可设f(x)＝g(t)＝t2－3t＋4，t∈(1，4)，
由二次函数性质，－≤g(t)<.
因此[g(t)]∈{－1，0，1}.
则函数y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}.
7.已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
答案　D
解析　由f(x)的定义域，知a>0.
当0解得a＝，则f＝f(4)＝8，
当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，无解.
综上可知，f＝8.
8.已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为(　　)
A.(1，＋∞) 　 B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 　 D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　当a＝0时，显然不成立.
当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a2－2a>0，解得a>2.
当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于－a2－2a<0，解得a<－2.
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
二、填空题
9.函数f(x)＝ln＋的定义域为________.
答案　(0，1]
解析　要使函数f(x)有意义，
则 0∴f(x)的定义域为(0，1].
10.已知函数f(x)满足f＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________.
答案　
解析　令x＝2，可得f＋f(－2)＝4，①
令x＝－，可得f(－2)－2f＝－1，②
联立①②解得f(－2)＝.
11.函数f(x)＝的值域为________.
答案　(－5，3]
解析　当x≤2时，f(x)＝2x－5单调递增，则－5当x>2时，sin x∈[－1，1]，则f(x)＝3sin x∈[－3，3].
故f(x)的值域是(－5，3].
12.已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.
答案　0　2－3
解析　由题意知f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
所以f[f(－3)]＝f(1)＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x)min＝2－3<0；
当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.
∴f(x)的最小值为2－3.
B级　能力提升
13.(2021·济南检测)如下折线图统计了2020年2月27日至2020年3月11日共14天全国(不含湖北)新冠肺炎新增确诊人数和新增疑似人数，记2020年2月27日至2020年3月11日的日期为t(t∈N*)，t的取值如下表，
日期 2.27 2.28 2.29 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
新增确诊人数记为f(t)，新增疑似人数记为g(t)，则下列结论正确的是(　　)
A.f(t)与g(t)的值域相同
B.f(9)>g(10)
C. t0∈N*，使f(t0)＝g(t0)
D. t∈N*，f(t)答案　D
解析　由题图纵轴可知f(t)与g(t)的值域不相同；f(9)＝3014.设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A.(－∞，－1] B.(0，＋∞)
C.(－1，0) D.(－∞，0)
答案　D
解析　当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.
作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，当且仅当或
解得x<－1或－1≤x<0，即x<0.
15.(多选题)(2020·重庆质检)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是(　　)
A.y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B.y＝x＋
C.y＝－log3x
D.y＝
答案　AD
解析　根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应.
因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调.
对于选项A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故A可以构造“同值函数”；
对于选项B，y＝x＋，为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B不可以构造“同值函数”；
对于选项C，y＝－log3x，为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C不可以构造“同值函数”；
对于选项D，y＝，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，
故D可以构造“同值函数”.
所以能够被用来构造“同值函数”的是A，D.
16.设函数f(x)＝若对任意的a∈R都有f[f(a)]＝2f(a)成立，则λ的取值范围是________.
答案　[2，＋∞)
解析　当a≥1时，2a≥2.
∴f[f(a)]＝f(2a)＝22a＝2f(a)恒成立.
当a<1时，f[f(a)]＝f(－a＋λ)＝2f(a)＝2λ－a，
∴λ－a≥1，即λ≥a＋1恒成立，
由题意λ≥(a＋1)max，∴λ≥2，
综上，λ的取值范围是[2，＋∞).

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