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第2节　函数的单调性与最值
知识梳理
1.函数的单调性
(1)增函数与减函数
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
1.有关单调性的常用结论
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
3.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，].
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　)
(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　)
(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(2)此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，
＋∞).
(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.
(4)若f(x)＝x，在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞).
2.下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)
A.y＝－x B.y＝x2－x
C.y＝ln x－x D.y＝ex
答案　A
解析　易知A中y＝－x在(0，＋∞)内是减函数，
B，C中函数y＝x2－x与y＝ln x－x在(0，＋∞)内不单调，
D中y＝ex在(0，＋∞)内是增函数.
3.函数y＝在区间[2，3]上的最大值是________.
答案　2
解析　函数y＝＝1＋在[2，3]上递减，
当x＝2时，y＝取得最大值＝2.
4.(2021·长沙检测)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－2) B.(－∞，1)
C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)
答案　D
解析　由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数.
要求函数f(x)的单调递增区间，即求t＝x2－2x－8的单调递增区间.
∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).
5.(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　)
A.是偶函数，且在单调递增
B.是奇函数，且在单调递减
C.是偶函数，且在单调递增
D.是奇函数，且在单调递减
答案　D
解析　f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为，关于原点对称，
又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A，C；
又当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln ＝ln ，
∵y＝1＋在上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减.故选D.
6.(2021·聊城检测)函数f(x)＝9x2＋的最小值为________.
答案　9
解析　∵f(x)的定义域为[1，＋∞)，
且y＝9x2与y＝在[1，＋∞)内均为增函数，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9.
考点一　确定函数的单调性(区间)
1.(2019·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A.y＝x B.y＝2－x
C.y＝logx D.y＝
答案　A
解析　由图象知，只有y＝x在(0，＋∞)上单调递增.
故选A.
2.函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C.(－2，3) D.
答案　A
解析　由－x2＋x＋6>0，得－2则本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质，得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为，故选A.
3.(2021·重庆联考)下列函数的图象既关于直线x＝1对称，又在区间[－1，0]上为增函数的是(　　)
A.y＝sin πx B.y＝|x－1|
C.y＝cos πx D.y＝ex＋e－x
答案　C
解析　A中，当x＝1时，y＝sin π＝0≠±1，所以y＝sin πx不关于直线x＝1对称，则A错误.
B中，y＝|x－1|＝在区间[－1，0]上为减函数，则B错误.
D中，y＝f(x)＝ex＋e－x，则f(0)＝2，f(2)＝e2＋e－2，则f(0)≠f(2)，所以y＝ex＋e－x不关于直线x＝1对称，则D错误.
4.设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.
答案　[0，1)
解析　由题意知g(x)＝
函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的递减区间是[0，1).
感悟升华　1.函数单调性的判断方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法.
2.函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
考点二　函数的最值(值域)
【例1】 (1)函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.
(2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.
答案　(1)3　(2)1
解析　(1)由于y＝在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.
(2)法一　在同一坐标系中，
作函数f(x)，g(x)的图象，
依题意，h(x)的图象如图所示的实线部分.
易知点A(2，1)为图象的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
法二　依题意，h(x)＝
当0当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，
因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
感悟升华　1.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【训练1】 (1)已知1≤x≤5，则下列函数中，最小值为4的是(　　)
A.y＝4x＋ B.y＝x＋
C.y＝－x2＋2x＋3 D.y＝5＋ln x－
(2)(多选题)(2021·淄博质检)对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列说法中正确的是(　　)
A.f(－3.9)＝f(4.1)
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)的最小值为0
D.方程f(x)－＝0有无数个根
答案　(1)D　(2)ACD
解析　(1)函数y＝4x＋在[1，5]上递增，所以4x＋≥5，A不符合题意；因为x≥1，所以y＝x＋＝x＋1＋－1≥4－1＝3(当且仅当x＝1时取等号)，故其最小值不为4，B不符合题意；
y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其最大值为4(当x＝1时取得)，最小值是f(5)＝－12，C不符合题意.
易知函数y＝5＋ln x－在(0，＋∞)上递增，所以在区间[1，5]上也是增函数，其最小值为f(1)＝5＋ln 1－＝4，D符合题意.
(2)f(－3.9)＝－3.9－[－3.9]＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－[4.1]＝4.1－4＝0.1，A正确；显然x－1＜[x]≤x，因此0≤x－[x]＜1，∴f(x)无最大值，但有最小值且最小值为0，B错误，C正确；方程f(x)－＝0的解为x＝k＋(k∈Z)，D正确.故选ACD.
考点三　函数单调性的应用
角度1　利用单调性比较大小
【例2】 (1)(2021·武汉模拟)已知函数f(x)＝－，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.cC.b(2)(2021·福州质检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且当x≥0时，f(x)＝－2－x，设a＝f(－31.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(log30.2)，则(　　)
A.c>b>a B.a>b>c
C.c>a>b D.a>c>b
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)函数f(x)＝－是R上的减函数，
又log38<2<21.3<21.4＝40.7，
∴f(40.7)(2)由f(－x)－f(x)＝0，知f(x)是偶函数，
易知f(x)＝－2－x在[0，＋∞)上单调递增.
因为a＝f(－31.2)＝f(31.2)，c＝f(log30.2)＝f＝f(－log35)＝f(log35)，且31.2>3，1＝log33log35>3－0.2>0，所以f(31.2)>f(log35)>f(3－0.2)，即a>c>b.
角度2　求解函数不等式
【例3】 (1)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________.
(2)(2021·青岛联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，若不等式f(ax＋2)≤f(－1)对于任意x∈[1，2]恒成立，则a的最大值为________.
答案　(1)(－，－2)∪(2，)　(2)－1
解析　(1)因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)(2)由于f(x)满足f(x)＝f(－x)，可知f(x)的图象关于y轴对称，
∵f(x)在(－∞，0]上单调递减，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增.
根据f(x)的图象特征可得－1≤ax＋2≤1在[1，2]上恒成立，
得－≤a≤－在[1，2]上恒成立，
所以－≤a≤－1，故a的最大值为－1.
角度3　求参数的值或取值范围
【例4】 (1)(2020·九江三校联考)已知函数f(x)＝若不等式a≤f(x)≤b的解集恰好为[a，b]，则b－a＝________.
(2)(2021·衡水中学检测)已知函数f(x)＝对任意x1，x2∈(－∞，
＋∞)，x1≠x2，都有>0，则实数a的取值范围为________.
答案　(1)4　(2)
解析　(1)易知f(x)在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增，且x<2时，22－x>
22－2＝1，
∴f(x)min＝f(2)＝1，
又a≤f(x)≤b的解集恰好为[a，b].
∴必然有a≤1，此时22－1＝2，所以b≥2.
依题设，b2－3b＋4＝b，解得b＝4或b＝(舍).
令22－x＝4，得x＝0，所以a＝0，于是b－a＝4.
(2)依题设，函数f(x)＝在R上单调递增，
∴解得0故实数a的取值范围是.
感悟升华　1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.
3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
【训练2】 (1)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(　　)
A.f>f(2－)>f(2－)
B.f>f(2－)>f(2－)
C.f(2－)>f(2－)>f
D.f(2－)>f(2－)>f
(2)如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)因为f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f＝f(－log34)＝f(log34).
又因为log34>1>2－>2－>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(log34)即f(2)对任意x1≠x2，都有>0，
所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.
所以解得≤a<2.
故实数a的取值范围是.
构造函数破解不等式(方程)问题
对于结构相同(相似)的不等式(方程)，通常考虑变形，构造函数，利用基本初等函数的性质，寻找变量之间的关系，达到解题目的.考查的核心素养是逻辑推理与数学抽象.
【典例】(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a答案　B
解析　由指数和对数的运算性质可得
2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.
令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，
∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)素养升华　1.破解此类题的关键：一是细审题，盯题眼，如本题的题眼为“2a＋log2a＝4b＋2log4b”；二是巧构造，即会构造函数，注意活用基本初等函数的单调性进行判断；三是会放缩，即会利用放缩法比较大小.
2.(1)本题主要考查利用函数的单调性，比较大小等知识；(2)逻辑推理是解决数学问题最常用、最重要的手段，将题目变形“22b＋log2b<22b＋log2(2b)”时要充分借助选项与提供的信息.
【训练】(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)
A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0
C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
答案　A
解析　原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，
设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，
所以f(x)在R上单调递增.
即f(x)0，所以A正确，B不正确.
因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.
A级　基础巩固
一、选择题
1.(2021·青岛一中月考)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　)
A.(－∞，－2) B.(2，＋∞)
C.(－∞，0) D.(0，＋∞)
答案　A
解析　f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，
令t＝x2－4，易知t＝x2－4在(－∞，－2)上单调递减，
又y＝logt是减函数，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2).
2.(2021·宜宾调研)下列函数中，同时满足：①图象关于y轴对称；② x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，>0的是(　　)
A.f(x)＝x－1 B.f(x)＝log2|x|
C.f(x)＝cos x D.f(x)＝2x＋1
答案　B
解析　满足条件的函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，
∵f(x)＝x－1为奇函数，f(x)＝2x＋1非奇非偶，
f(x)＝cos x为周期函数，且在(0，＋∞)上不单调，
∴A，C，D项均不正确，
只有f(x)＝log2|x|为偶函数，且在(0，＋∞)上递增.
3.(2021·南昌四校联考)已知函数f(x)＝3x－2cos x，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.aC.b答案　D
解析　对f(x)＝3x－2cos x求导得f′(x)＝3＋2sin x，则有f′(x)＝3＋2sin x>0在R上恒成立，则f(x)在R上为增函数.
又2＝log24所以b4.若函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是(　　)
A.(1，2) B.(－1，2)
C.[1，2) D.[－1，2)
答案　D
解析　函数y＝＝＝－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f(2)＝0，所以n＝2.
根据题意，x∈(m，n]时，ymin＝0.
∴m的取值范围是[－1，2).
5.已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由分段函数f(x)在R上单调递减，可得0∴实数a的取值范围是.
6.定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x，2x－3，6－x}，则M的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
答案　C
解析　画出函数M＝max{2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在A(2，4)处取得最小值22＝6－2＝4，
故M的最小值为4.
二、填空题
7.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为________.
答案　
解析　由f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x为奇函数，又易证在定义域R上，f(x)是增函数，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等价于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，则2x＋1>－x＋2，即x>，故不等式的解集为.
8.函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.
答案　
解析　y＝|x|(1－x)
＝
＝
函数的大致图象如图所示.
由图易知函数的单调递增区间是.
9.(2021·山东师大附中调研)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，
＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.
答案　(－∞，1]
解析　f(x)＝当x≥a时，f(x)单调递增，当x又f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以a≤1.
三、解答题
10.函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求方程f(x)＝0的解；
(2)若函数f(x)的最小值为－1，求a的值.
解　(1)由得－3∴f(x)的定义域为(－3，1).
则f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，x∈(－3，1)，
令f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，
解得x＝－1－或x＝－1＋，
经检验，均满足原方程成立.
故f(x)＝0的解为x＝－1±.
(2)由(1)得f(x)＝loga[－(x＋1)2＋4]，x∈(－3，1)，
由于0<－(x＋1)2＋4≤4，且a∈(0，1)，
∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
由题意可得loga4＝－1，解得a＝，满足条件.
所以a的值为.
11.已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)解　(1)f(0)＝a－＝a－1.
(2)f(x)在R上单调递增.证明如下：
∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋
＝，
∵y＝2x在R上单调递增且x1∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在R上单调递增.
(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－a＋，解得a＝1.
∴f(ax)又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.
∴x的取值范围是(－∞，2).
B级　能力提升
12.(多选题)(2021·长沙调研)函数f(x)的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[a，b] D，使得函数f(x)满足：①f(x)在[a，b]内是单调函数；②f(x)在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y＝f(x)的k级“理想区间”.下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)＝x2存在1级“理想区间”
B.函数f(x)＝ex不存在2级“理想区间”
C.函数f(x)＝(x≥0)存在3级“理想区间”
D.函数f(x)＝tan x，x∈不存在4级“理想区间”
答案　ABC
解析　易知[0，1]是f(x)＝x2的1级“理想区间”，故A正确；由于g(x)＝ex－2x无零点，因此f(x)＝ex不存在2级“理想区间”，故B正确；由h(x)＝－3x＝0(x≥0)，得x＝0或x＝，则是f(x)＝(x≥0)的一个3级“理想区间”，C正确；易知y＝tan x的图象与直线y＝4x在内有三个交点，因此f(x)＝tan x有4级“理想区间”，故D错误.
13.设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
答案　(－∞，1]∪[4，＋∞)
解析　作函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
14.已知函数f(x)＝lg(a>0，且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围.
解　(1)由x＋－2＞0，得＞0，
当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，
当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}.
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，
∴g′(x)＝1－＝>0.
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数.
则f(x)min＝f(2)＝lg.
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立.
∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).
由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
故a>2时，恒有f(x)>0.
故a的取值范围为(2，＋∞).

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