资源简介

第1节　随机抽样
知识梳理
1.不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.
2.最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
3.分层随机抽样的相关概念
(1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
4.样本平均数的计算公式
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数＝＋__＝＋
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
诊断自测
1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(　　)
(2)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．(　　)
(3)简单随机抽样是一种不放回抽样．(　　)
(4)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．总体 B．个体
C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本
答案　A
解析　由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.
3．一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例分层随机抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n的样本，已知某部门有m名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________．
答案　
解析　每个个体被抽到的概率是，设这个部门抽取了x个员工，则＝，∴x＝.
4．(2020·上饶一模)总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为(　　)
附：第6行至第9行的随机数表如下：
26357900337091601620388277574950
32114919730649167677873399746732
27486198716441487086288885191620
74770111163024042979799196835125
A．3 B．16 C．38 D．20
答案　D
解析　按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，超出00～49及重复的不选，则编号依次为33，16，20，38，49，32，…，则选出的第3个个体的编号为20，故选D.
5．(2020·百校大联考)在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都进行网上上课．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层随机抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为(　　)
A．800 B．750 C．700 D．650
答案　D
解析　设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x－2，2x－4.
由题意可得2x＋(2x－2)＋(2x－4)＝72，∴x＝13.
设我校高三年级的学生人数为N，且高三抽取26人，
由分层随机抽样，得＝，∴N＝650(人)．
6．(2018·全国Ⅲ卷改编)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样和分层随机抽样，则最合适的抽样方法是________．
答案　分层随机抽样
解析　因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层随机抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价．
考点一　简单随机抽样及其应用
1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
答案　D
解析　A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．故选D.
2．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)
A.， B.，
C.， D.，
答案　A
解析　在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为，故选A.
3．(多选题)(2021·聊城模拟)要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，利用随机数表法抽取50颗种子进行实验．先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________(下面抽取了随机数表第1行至第3行)．(　　)
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
A．774 B．946 C．428 D．572
答案　ACD
解析　依据题意可知：向右读数依次为：774，946，774，428，114，572，042，533，…所以最先检验的4颗种子符合条件的为：774，428，114，572，结合选项知选ACD.
感悟升华　1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．
2．简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．
考点二　分层随机抽样及其应用
角度1　求某层入样的个体数
【例1】某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：
最喜爱 喜爱 一般 不喜欢
4800 7200 6400 1600
电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，为此要进行分层随机抽样，那么在分层随机抽样时，每类人中应抽取的人数分别为(　　)
A．25，25，25，25 B．48，72，64，16
C．20，40，30，10 D．24，36，32，8
答案　D
解析　法一　因为抽样比为＝，所以每类人中应抽取的人数分别为4800×＝24，7200×＝36，6400×＝32，1600×＝8.
法二　最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4800∶7200∶6400∶1600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽取的人数分别为×100＝24，×100＝36，×100＝32，×100＝8.
角度2　求总体或样本容量
【例2】 (1)(2020·东北三省四校联考)某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层随机抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于(　　)
A．12 B．18 C．24 D．36
(2)(2021·重庆调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
答案　(1)D　(2)1800
解析　(1)根据分层随机抽样方法知＝，解得n＝36.
(2)由题设，抽样比为＝.
设甲设备生产的产品为x件，则＝50，∴x＝3000.
故乙设备生产的产品总数为4800－3000＝1800.
角度3　分层随机抽样的平均数
【例3】 为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层随机抽样的方法，从全区320名正科级干部和1 280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况.现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行预测.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下表：
分组 人数 平均成绩
正科级干部组 a 80
副科级干部组 b 70
(1)求a，b；
(2)求这40名科级干部预测成绩的平均分.
解　(1)样本量与总体中的个体数的比为＝，则抽取的正科级干部人数a＝320×＝8，副科级干部人数b＝1 280×＝32.
(2)这40名科级干部预测成绩的平均分＝＝72.
感悟升华　1.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.
2.已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.
3.分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝”.
【训练1】 (1)(2020·郴州二模)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为(　　)
A.240，18 B.200，20
C.240，20 D.200，18
(2)(2021·合肥模拟)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种，10种，30种，20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________.
(3)总体由100人组成，按以往收入情况分成两层，第一层(高收入层)20人；第二层(低收入层)80人.从第一层随机抽2人，得月收入的平均数为14 000元；从第二层抽8人，得月收入的平均数为3 500元，估计100人的月收入的平均数为________元.
答案　(1)A　(2)6　(3)5 600
解析　(1)样本容量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%＝18.
(2)抽样比为＝，则抽取的植物油类种数是10×＝2，抽取的果蔬类食品种数是20×＝4，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2＋4＝6.
(3)样本平均数为＝＋＝5 600元.所以估计100人的月收入的平均数为
5 600元.
A级　基础巩固
一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选题)(2021·武汉调研)下列抽样方法不是简单随机抽样的是(　　)
A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B．某可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
C．某连队从120名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动
D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号)
答案　AC
解析　对于A，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故A中的抽样方法不是简单随机抽样；对于B，一次性抽取与逐个不放回地抽取是等价的，故B中的抽样方法是简单随机抽样；对于C，挑选的50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C中的抽样方法不是简单随机抽样；对于D，易知D中的抽样方法是简单随机抽样．
2．(多选题)(2020·泰安质检)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是(　　)
A．应采用分层随机抽样抽取
B．应采用抽签法抽取
C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
答案　ACD
解析　因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以采用分层随机抽样，选项A正确；因为总体量较大，故不宜采用抽签法，选项B错误；抽样比为＝，三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆，选项C正确．分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同．故选项D正确．故答案为ACD.
3．(2020·首都师范大学附属中学月考)从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，…，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为(　　)
(注：表为随机数表的第1行与第2行)
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676
A.24 B．36 C．46 D．47
答案　A
解析　由题知，从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46，24.
4．(多选题)(2021·襄阳联考)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有(　　)
A．应该采用分层随机抽样法
B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C．乙被抽到的可能性比甲大
D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
答案　ABD
解析　由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法．由于比例为＝，因此高一年级1000人中应抽取100人，高二年级1350人中应抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是，因此只有C不正确，故应选ABD.
5.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢数学的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢数学的频率．已知该年级男、女生各500名(所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢数学的学生中按分层随机抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为(　　)
A．16 B．32
C．24 D．8
答案　C
解析　由题中等高条形图可知喜欢数学的女生和男生的人数比为1∶3，，所以抽取的男生人数为24.故选C.
6．某中学400名教师的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名教师作样本，若用分层随机抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取(　　)
A．40人 B．200人 C．20人D．10人
答案　C
解析　由题图知，40岁以下年龄段的人数为400×50%＝200，若采用分层随机抽样应抽取200×＝20(人)．
7．(多选题)(2021·淄博模拟)港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为5∶2∶3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则(　　)
A．老年旅客抽到100人
B．中年旅客抽到20人
C．n＝200
D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200人
答案　AC
解析　由题意，香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为5∶2∶3，若青年旅客抽到60人，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，所以＝，解得n＝200人，则老年旅客抽到60×＝100人，中年旅客抽到60×＝40人，则老年旅客和中年旅客人数之和为160.
8.为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为
1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m.由此可估计我国13岁男孩的平均身高为(　　)
A.1.57 m B.1.56 m
C.1.55 m D.1.54 m
答案　B
解析　由题意知这500名13岁男孩的平均身高是
(1.6×300＋1.5×200)＝1.56 (m).
二、填空题
9．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________(下面摘取了随机数表第7行至第9行)．
87 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
答案　068
解析　由随机数表知，前4个样本的个体编号分别是331，572，455，068.
10．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________．
答案　13
解析　依题意得＝，故n＝13.
11．(2020·海南质检)《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出(所得结果四舍五入，保留整数)钱数为________．
答案　32
解析　因为甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱．要按照各人带钱多少的比例进行关税．
则乙应付：×350＝32≈32钱．
12．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格．由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C产品的数量是________．
产品类别 A B C
产品数量(件) 1300
样本容量(件) 130
答案　800
解析　设A，C产品数量分别为x件、y件，
则由题意可得解得
B级　能力提升
13.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示.现用分层随机抽样的方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时.
答案　50　1 015
解析　由分层随机抽样可知，
第一分厂应抽取100×50%＝50(件).
由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为
1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时).
14．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　　)
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　A
解析　①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样．故选A.
15．甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层随机抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
甲校：
分组 [70，80) [80，90) [90，100) [100，110)
频数 3 4 8 15
分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
频数 15 x 3 2
乙校：
分组 [70，80) [80，90) [90，100) [100，110)
频数 1 2 8 9
分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
频数 10 10 y 3
则x，y的值分别为(　　)
A．12，7 B．10，7 C．10，8 D．11，9
答案　B
解析　从甲校抽取110×＝60(人)，从乙校抽取110×＝50(人)，故x＝10，y＝7.
16．某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层随机抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为________．
答案　1200
解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
所以＝b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的.根据分层随机抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的，即为×3600＝1200.

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