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10.2　事件的相互独立性
知识点1　相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝__P(A)P(B)__成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
知识点2　相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，则事件__A__与事件____相互独立，事件____与事件__B__相互独立，事件____与事件____相互独立.
[知识解读]　1．公式的推广
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
2．两个事件独立与互斥的区别
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提.
3．相互独立事件与互斥事件的概率计算
概率 A，B互斥 A，B相互独立
P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P() 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
P(A∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()P()P(B)
说明：①(A)∪(B)，表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生.
②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)∪(B)可简写为A∪B.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　相互独立事件的判断
典例1　下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
(1)1 000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是二等奖；
(2)甲，乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖；
(3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲，乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(4)容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.
[解析]　(1)一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件.
(2)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙是否中奖没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件.
(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件.
(4)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若前一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件，也不是互斥事件.
[归纳提升]　两种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.
【对点练习】 　(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　A　)
A．相互独立但不互斥　　 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥　　 D．既不相互独立也不互斥
(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　B　)
A．互斥但不相互独立　　 B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立　　 D．既不相互独立也不互斥
[解析]　(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与事件B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与事件B可能同时发生，所以事件A与事件B不是互斥事件.
(2)事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本点空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}.
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，
即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.
题型二　相互独立事件的概率计算
典例2　甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响.
(1)求3人同时被选中的概率；
(2)求3人中至少有1人被选中的概率；
(3)求3人均未被选中的概率.
[解析]　设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)3人同时被选中的概率
P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)3人中有2人被选中的概率
P2＝P(AB∪AC∪BC)
＝××＋××＋××＝.
3人中只有1人被选中的概率
P3＝P(A)∪B∪C)＝××＋××＋××＝.
故3人中至少有1人被选中的概率为
P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(3)法一：三人均未被选中的概率
P＝P()＝××＝.
法二：由例2(2)知，
三人至少有1人被选中的概率为，
∴P＝1－＝.
[归纳提升]　1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积.
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生.
3．明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
【对点练习】 　某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：
(1)两件产品都是正品的概率；
(2)恰有一件是正品的概率；
(3)至少有一件是正品的概率.
[解析]　用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则C＝(A)∪(B)，D＝C∪(AB).
(1)由题意知，A与B是相互独立事件，
P(B)＝1－P()＝1－0.05＝0.95，P(A)＝0.96，
所以两件都是正品的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912．
(2)由于事件A与B互斥，所以恰有一件是正品的概率为
P(C)＝P[(A)∪(B)]＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.96×0.05＋0.04×0.95
＝0.086．
(3)由于事件AB与C互斥，
所以P(D)＝P[(AB)∪C]
＝P(AB)＋P(C)
＝0.912＋0.086＝0.998．
题型三　相互独立事件概率的综合应用
典例3　计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
[解析]　(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则
P(A)＝×＝，
P(B)＝×＝，
P(C)＝×＝.
因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，
由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则
P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
[归纳提升]　求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
【对点练习】 　三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
[解析]　记T1正常工作为事件A，T2正常工作为事件B，T3正常工作为事件C，
则P(A)＝，P(B)＝P(C)＝，
电路不发生故障，即T1正常工作且T2，T3至少有一个正常工作，T2，T3至少有一个正常工作的概率
P1＝1－×＝，
所以整个电路不发生故障的概率为
P＝P(A)×P1＝×＝.
易错警示
混淆互斥事件和独立事件的概念
典例4　甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
[错解]　记A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，则P(两人恰好都命中2次)＝P(A)＋P(B)＝3×0.82×0.2＋3×0.72×0.3＝0.825．
[错因分析]　错误地把相互独立事件当成互斥事件来考虑，将“两人恰好都命中2次的概率”理解成A＝“甲恰好命中2次”与B＝“乙恰好命中2次”的概率之和.
[正解]　记A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，A，B为相互独立事件，两人恰好都命中2次的概率为P(AB)，则P(AB)＝P(A)P(B)＝3×0.82×0.2×3×0.72×0.3≈0.169．
[误区警示]　首先理解清楚互斥事件与相互独立事件的概念，并且区分计算概率的公式.A，B为互斥事件时，有概率公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，A，B为独立事件时，有概率公式为P(AB)＝P(A)P(B).
【对点练习】 　打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次.若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是(　D　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[解析]　由题意知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，两人打靶相互独立，同时中靶的概率P＝×＝.故选D．

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