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超强圆锥曲线结论总结
结论 1：过圆 x2 + y2 = 2a2上任意点 P 作圆 x2 + y2 = a2的两条切线,则两条切线垂直.
x2 y2
结论 2：过圆 x2 + y2 = a2 + b2 上任意点 P 作椭圆 + = 1(a > b > 0)的两条切线,
a2 b2
则两条切线垂直.
x2 y2
结论 3：过圆 x2 + y2 = a2 b2(a > b > 0)上任意点 P 作双曲线 = 1的两条切线,
a2 b2
则两条切线垂直.
结论 4：过圆 x2 + y2 = a2 上任意不同两点 A,B 作圆的切线,如果切线垂直且相交于 P ,
则动点 P 的轨迹为圆：x2 + y2 = 2a2 .
x2 y2
结论 5：过椭圆 + = 1(a > b > 0)上任意不同两点 A,B 作椭圆的切线,如果切线垂
a2 b2
直且相交于 P ,则动点 P 的轨迹为圆 x2 + y2 = a2 + b2 .
x2 2
结论 6：过双曲线 y = 1(a > b > 0)上任意不同两点 A,B 作双曲线的切线,如果切
a2 b2
线垂直.且相交于 P ,则动点 P 的轨迹为圆 x2 + y2 = a2 b2 .
x2 y2
结论 7：点 M (x0, y0) 在椭圆 + = 1(a > b > 0) 上, 过点 M 作椭圆的切线方程为
a2 b2
x0x y0y
+ = 1 .
a2 b2
x2 y2
结论 8：点M (x0, y0)在椭圆 + = 1外,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为A,B
a2 b2
x x y y
则切点弦 AB 的直线方程为 0 0+ = 1 .
a2 b2
x2 y2
结论 8：(补充)点M (x0, y0)在椭圆 + = 1内,过点M 作椭圆的弦 AB (不过椭圆中
a2 b2
x x y y
心),分别过 A,B 作椭圆的切线,则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线： 0 0+ = 1 .
a2 b2
x2 y2
结论 9：点M (x0, y0)在双曲线 = 1(a > 0, b > 0)上,过点M 作双曲线的切线方
a2 b2
x0x程为 y0y = 1 .
a2 b2
x2 y2
结论 10：点M (x0, y0)在双曲线 = 1(a > 0, b > 0)外,过点M 作双曲线的两条切
a2 b2
x x y y
线,切点分别为 A,B 则切点弦 0 0AB 的直线方程为 = 1 .
a2 b2
x2 2
结论 10：(补充)点M (x0, y0)在双曲线
y
= 1(a > 0, b > 0)内,过点M 作双曲线的
a2 b2
弦 AB (不过双曲线中心),分别过 A,B作双曲线的切线,则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直
x
线： 0
x y0y = 1 .
a2 b2
结论 11：点 M (x0, y0) 在抛物线 y2 = 2px(p > 0) 上, 过点 M 作抛物线的切线方程为
y0y = p (x+ x0) .
结论 12：点M (x0, y0)在抛物线 y2 = 2px(p > 0)外,过点M 作抛物线的两条切线,切点
分别为 A,B 则切点弦 AB 的直线方程为 y0y = p (x+ x0) .
结论 12：(补充)点 M (x0, y0)在抛物线 y2 = 2px(p > 0)内,过点 M 作抛物线的弦 AB ,
分别过 A,B 作抛物线的切线,则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：y0y = p (x+ x0) .
(x m)2 (y n)2
结论 13：点M (x0, y0)在椭圆 + = 1上,过点M 作椭圆的切线方程为
a2 b2
(x0 m) (x m) (y0 n) (y n)
+ = 1 .
a2 b2
(x m)2 (y n)
2
结论 14：点M (x0, y0)在双曲线 = 1上,过点M 作双曲线的切线方
a2 b2
(x0 m) (x m) (y0 n) (y n)程为 = 1 .
a2 b2
结论 15：点M (x , y )在抛物线 (y n)20 0 = 2p(x m)上,过点M 作抛物线的切线方程为
(y0 n) (y n) = p (x+ x0 2m) .
(x m)2 (y n)2
结论 16：点M (x0, y0)在椭圆 + = 1外,过点M 作椭圆的两条切线,切
a2 b2
(x0 m) (x m) (y0 n) (y n)点分别为 A,B 则切点弦 AB 的直线方程为 + = 1 .
a2 b2
(x m)2 (y n)2
结论 17：点M (x0, y0)在双曲线 = 1外,过点M 作双曲线的两条切
a2 b2
(x m) (x m) (y n) (y n)
线,切点分别为 A,B ,则切点弦 AB 的直线方程为 0 0 = 1. .
a2 b2
结论 18：点M (x0, y0)在抛物线 (y n)2 = 2p(x m)外,过点M 作抛物线的两条切线,
切点分别为 A,B 则切点弦 AB 的直线方程为 (y0 n) (y n) = p (x+ x0 2m) .
(x m)2 (y n)2
结论 16：(补充) 点 M (x0, y0) 在椭圆 + = 1 内, 过点 M 作椭圆的
a2 b2
弦 AB (不过椭圆中心), 分别过 A,B 作椭圆的切线, 则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：
(x0 m) (x m) (y0 n) (y n)
+ = 1 .
a2 b2
(x m)2 (y n)
2
结论 17：(补充)点M (x0, y0)在双曲线 = 1内,过点M 作双曲线的
a2 b2
弦 AB (不过双曲线中心),分别过 A,B作双曲线的切线,则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直
(x0 m) (x m) (y线： 0 n) (y n) = 1 .
a2 b2
结论 18：(补充)点M (x0, y0)在抛物线 (y n)2 = 2p(x m)内,过点M 作抛物线的弦AB
, 分别过 A,B 作抛物线的切线, 则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：(y0 n) (y n) =
p (x+ x0 2m) .
结论 19：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线,切点分别为 A,B ,则切点弦 AB 的直
线必过相应的焦点 F ,且MF 垂直切点弦 AB .
结论 20：过双曲线准线上一点 M 作双曲线的两条切线, 切点分别为 A,B 则切点弦 AB
的直线必过相应的焦点 F ,且MF 垂直切点弦 AB .
结论 21：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线,切点分别为 A,B ,则切点弦 AB
的直线必过焦点 F ,且MF 垂直切点弦 AB .
结论 22：AB 为椭圆的焦点弦,则过 A,B 的切线的交点M 必在相应的准线上.
结论 23：AB 为双曲线的焦点弦,则过 A,B 的切线的交点M 必在相应的准线上.
结论 24：AB 为抛物线的焦点弦,则过 A,B 的切线的交点M 必在准线上.
结论 25：点M 是椭圆准线与长轴的交点,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为 A,B ,
则切点弦 AB 就是通径.
结论 26：点 M 是双曲线准线与实轴的交点, 过点 M 作双曲线的两条切线, 切点分别为
2
A,B ,则切点弦 AB 就是通径.
结论 27：M 为抛物线的准线与其对称轴的交点,过点M 作抛物线的两条切线,切点分别
为 A,B ,则切点弦 AB 就是其通径.
结论 28：过抛物线 y2 = 2px(p > 0)的对称轴上任意一点M( m, 0)(m > 0)作抛物线的
两条切线,切点分别为 A,B 则切点弦 AB 所在的直线必过点 N(m, 0) .
x2 y2
结论 29：过椭圆 + = 1(a > 0, b > 0)的对称轴上任意一点M(m,n)作椭圆的两条
a2 b2
切线,切点分别为 A,B . ( )
a2
(1)当 n = 0, |m|> a时,则切点弦 AB 所在的直线必过点 P( , 0 ;m )
b2
(2)当m = 0, |n|> b时,则切点弦 AB 所在的直线必过点 Q 0, .
n
x2 y2
结论 30：过双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的实轴上任意一点M(m, 0()(|m|<)a)作双曲a2 b2
a2
线 (单支)的两条切线,切点分别为 A,B ,则切点弦 AB 所在的直线必过点 P , 0 .
m
结论 31：过抛物线 y2 = 2px(p > 0)外任意一点M 作抛物线的两条切线,切点分别为A,B
,弦 AB 的中点为 N ,则直线MN 必与其对称轴平行.
x2 y2 x2 y2
结论 32：若椭圆 + = 1(a > b > 0)与双曲线 = 1(m > 0, n > 0)共焦点,
a2 b2 m2 n2
则在它们交点处的切线相互垂直.
结论 33：过椭圆外一定点 P 作其一条割线,交点为 A,B ,则满足 |AP |·|BQ|= |AQ|·|BP |
的动点 Q的轨迹就是过 P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.
结论 34：过双曲线外一定点 P 作其一条割线,交点为A,B则满足 |AP |·|BQ|= |AQ|·|BP |
的动点 Q的轨迹就是过 P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.
结论 35：过抛物线外一定点 P 作其一条割线,交点为A,B则满足 |AP |·|BQ|= |AQ|·|BP |
的动点 Q的轨迹就是过 P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.
结论 36：过双曲线外一点 P 作其一条割线,交点为 A,B ,过 A,B分别作双曲线的切线相
交于点 Q ,则动点 Q的轨迹就是过 P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.
结论 37：过椭圆外一点 P 作其一条割线,交点为 A,B 过 A,B 分别作椭圆的切线相交于
点 Q ,则动点 Q的轨迹就是过 P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.
结论 38：过抛物线外一点 P 作其一条割线,交点为 A,B ,过 A,B分别作抛物线的切线相
交于点 Q ,则动点 Q的轨迹就是过 P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.
x2 y2
结论 39：从椭圆 + = 1(a > b > 0)的右焦点向椭圆的动切线引垂线,则垂足的轨迹
a2 b2
为圆：x2 + y2 = a2 .
x2 y
2
结论 40：从双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的右焦点向双曲线的动切线引垂线,则垂足
a2 b2
的轨迹为圆：x2 + y2 = a2 .
x2 y2
结论 41：F 是椭圆 + = 1(a > b > 0)的一个焦点, M 是椭圆上任意一点,则焦半径
a2 b2
MF ∈ [a c, a+ c] .
x2 y2
结论 42：F 是双曲线 = 1(a > b > 0)的右焦点, M 是双曲线上任意一点.
a2 b2
3
(1)当点M 在双曲线右支上,则焦半径MF ≥ c a ;.
(2)当点M 在双曲线左支上,则焦半径MF ≥ c+ a .
结论 43：F 是抛物线 y2 = 2px(p > 0)的焦点, M 是抛物线上任意一点,则焦半径MF =
p p
x0 + ≥ .
2 2
结论 44：椭圆上任一点 M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角 (或者说 M 处的切
线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角),亦即椭圆的光学性质.
结论 45：双曲线上任一点 M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角 (或者说 M 处的
法线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角),亦即双曲线的光学性质.
结论 46：抛物线上任一点 M 处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹
角,亦即抛物线的光学性质.
结论 47：椭圆的准线上任一点M 处的切点弦 PQ过其相应的焦点 F ,且MF⊥PQ .
结论 48：双曲线的准线上任一点M 处的切点弦 PQ过其相应的焦点 F ,且MF⊥PQ .
结论 49：抛物线的准线上任一点M 处的切点弦 PQ过其焦点 F ,且MF⊥PQ .
结论 50：椭圆上任一点 P 处的切线交准线于M,P 与相应的焦点 F 的连线交椭圆于 Q ,
则MQ必与该椭圆相切,且MF⊥PQ .
结论 51：双曲线上任一点 P 处的切线交准线于M,P 与相应的焦点 F 的连线交双曲线于
Q ,则MQ必与该双曲线相切,且MF⊥PQ .
结论 52：抛物线上任一点 P 处的切线交准线于M,P 与焦点 F 的连线交抛物线于 Q ,则
MQ必与该抛物线相切,且MF⊥PQ .
结论 53：焦点在 x轴上的椭圆 (或焦点在 y轴)上三点 P,Q,M 的焦半径成等差数列的充
要条件为 P,Q,M 的横坐标 (纵坐标)成等差数列.
结论 54：焦点在 x轴上的双曲线 (或焦点在 y轴)上三点 P,Q,M 的焦半径成等差数列的
充要条件为 P,Q,M 的横坐标 (纵坐标)成等差数列.
结论 55：焦点在 x轴上的抛物线 (或焦点在 y轴)上三点 P,Q,M 的焦半径成等差数列的
充要条件为 P,Q,M 的横坐标 (纵坐标)成等差数列.
结论 56：椭圆上一个焦点 F2 关于椭圆上任一点 P 处的切线的对称点为 Q , 则直线 PQ
必过该椭圆的另一个焦点 F1 .
结论 57：双曲线上一个焦点 F2 关于双曲线上任一点 P 处的切线的对称点为 Q ,则直线
PQ必过该双曲线的另一个焦点 F1 .
结论 58：椭圆上任一点 P (非顶点), 过 P 的切线和法线分别与短轴相交于 Q,S 则有
P,Q, S 及两个焦点共于一圆上.
结论 59：双曲线上任一点 P (非顶点),过 P 的切线和法线分别与短轴相交于 Q,S ,则有
P,Q, S 及两个焦点共于一圆上.
结论 60：椭圆上任一点P (非顶点)处的切线与过长轴两个顶点A,A′的切线相交于M,M ′
,则必得到以MM ′为直径的圆经过该椭圆的两个焦点.
结论 61：双曲线上任一点 P (非顶点) 处的切线与过实轴两个顶点 A,A′ 的切线相交于
M,M ′ ,则必得到以MM ′为直径的圆经过该双曲线的两个焦点.
4
结论 62：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆.
结论 63：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆.
结论 64：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切.
结论 65：焦点在 x轴上的椭圆 (或焦点在 y 轴上)上任一点M (非短轴顶点)与短轴的两
个顶点 B,B′的连线分别交 x轴 (或 y轴)于 P,Q ,则 xPxQ = a2 (或 yPyQ = a2 ).
结论 66：焦点在 x轴上的双曲线 (或焦点在 y 轴上)上任一点M (非顶点)与实轴的两个
顶点 B,B′的连线分别交 y轴 (或 x轴)于 P,Q ,则 y y = b2P Q 或 ( xPxQ = b2 ).
结论 67：P 为焦点在 x轴上的椭圆上任一点 (非长轴顶点),则 PF1F2与边 PF2 (或 PF1
)相切的旁切圆与 x轴相切于右顶点 A (或左顶点 A′ ).
结论 68：P 为焦点在 x轴上的双曲线右支 (或左支)上任一点,则 PF1F2 的内切圆与 x
轴相切于右顶点 A (或左顶点 A ’).
x2 y2
结论 69：AB 是过椭圆 + = 1(a > b > 0)的焦点 F 的一条弦 (非通径 ) ,弦 AB 的
a2 b2
|AB| 2
中垂线交 x轴于 N ,则 = .
|NF | e
x2 y2
结论 70：AB 是过双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的焦点 F 的一条弦 (非通径,且为单
a2 b2
|AB| 2
支弦),弦 AB 的中垂线交 x轴于M ,则 = .
|MF | e
结论 71：AB是过抛物线 y2 = 2px(p > 0)的焦点 F 的一条弦 (非通径 ) ,弦 AB的中垂线
|AB|
交 x轴于M ,则 = 2 .
|MF |
结论 72：AB 为抛物线的焦点弦, 分别过 A,B 作抛物线的切线, 则两条切线的交点 P 在
其准线上.
结论 73：AB 为椭圆的焦点弦, 分别过 A,B 作椭圆的切线, 则两条切线的交点 P 在其相
应的准线上.
结论 74：AB 为双曲线的焦点弦, 分别过 A,B 作双曲线的切线, 则两条切线的交点 P 在
其相应的准线上.
结论 75：AB 为过抛物线焦点 F 的焦点弦,以 AB 为直径的圆必与其准线相切.
结论 76：AB为过椭圆焦点 F 的焦点弦,以 AB为直径的圆必与其相应的准线相离 (当然
与另一条准线更相离).
结论 77：AB为过双曲线焦点 F 的焦点弦,以 AB为直径的圆必与其相应的准线相交,截
1
得的圆弧度数为定值,且为 2arccos .
e
结论 78：以圆锥曲线的焦点弦 AB 为直径作圆,若该圆与其相应的准线相切,则该曲线必
为抛物线.
结论 79：以圆雉曲线的焦点弦 AB 为直径作圆,若该圆与其相应的准线相离,则该曲线必
为椭圆.
结论 80：以圆锥曲线的焦点弦 AB 为直径作圆,若该圆与其相应的准线相交,则该曲线必
1
为双曲线,此时截得的圆弧度数为定值,且为 2arccos .
e
结论 81：AB 为过抛物线 y2 = 2px(p > 0) 焦点 F 的焦点弦, A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则
5
|AB|= x1 + x2 + p .
x2 y2
结论 82：AB为过椭圆 + = 1(a > b > 0)焦点 F 的焦点弦, A (x1, y1) , B (x2, y2) ,则
a2 b2
| AB|= 2a e |x1 + x2| .
x2 y2
结论 83：AB为过双曲线 = 1(a > 0, b > 0)焦点 F 的焦点弦, A (x1, y1) , B (x2, y )
a2 b2
2
.若 AB 为单支弦,则 |AB|= e |x1 + x2| 2a ;若 AB 为双支弦,则 | AB|= e|x1 + x2|+2a .
结论 84：F 为抛物线的焦点, A,B是抛物线上不同的两点,直线 AB交其准线 l于M ,则
FM 平分 AFB 的外角.
结论 85：F 为椭圆的一个焦点, A,B 是椭圆上不同的两点,直线 AB交其相应的准线 l于
M ,则 FM 平分 AFB 的外角.
结论 86：F 为双曲线的一个焦点, A,B是双曲线上不同的两点 (同一支上),直线 AB交其
相应的准线 l于M ,则 FM 平分 AFB 的外角.
结论 87：F 为双曲线的一个焦点, A,B 是双曲线上不同的两点 (左右支各一点),直线 AB
交其相应的准线 l于M ,则 FM 平分 AFB .
x2 y2
结论 88：AB 是椭圆 + = 1(a > b > 0)过焦点 F 的弦,点 P 是椭圆上异于 A,B 的
a2 b2
任一点,直线 PAPB 分别交相应于焦点 F 的准线 l于MN ,则点M 与点 N 的纵坐标之积为
b4
定值,且为 .
c2
x2 y2
结论 89：AB 是双曲线 = 1(a > 0, b > 0)过焦点 F 的弦,点 P 是双曲线上异于
a2 b2
A,B任一点,直线 PA、PB分别交相应于焦点 F 的准线 l于MN ,则点M 与点 N 的纵坐标
b4
之积为定值,且为 .
c2
结论 90：AB 是抛物线 y2 = 2px(p > 0)过焦点 F 的弦,点 P 是抛物线上异于 A,B 的任
一点,直线 PAPB 分别交准线 l于MN ,则点M 与点 N 的纵坐标之积为定值,且为 p2 .
x2 y2
结论 91：A,B 为椭圆 + = 1(a > b > 0) 的长轴顶点, P 为椭圆任一点 (非长轴
a2 b2
a2
顶点), 若直线 PAPB 分别交直线 x = (0 < m < a) 于 MN , 则 yM · yN 为定值, 且有
m
b2 (m2 a2)
yM · yN = .
m2
x2 y2
结论 92：A,B 为椭圆 + = 1(a > b > 0)的长轴顶点, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2 → →
a), P 为椭圆任一点 (非长轴顶点), 若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于 MN , 则 EM · FN
m
→ → (a2 2· m ) (a
2 +m2 b2)
为定值,且有 EM FN = .
m2
x2 y2
结论 93：A,B 为椭圆 + = 1(a > b > 0)的长轴顶点, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2 → →
a), P 为椭圆上任一点 (非长轴顶点),若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 EN ·FM
m
→ → (a2 m2) (a2 +m2 b2)
为定值,且有 EN · FM = .
m2
x2 y2
结论 94：A,B 为椭圆 + = 1(a > b > 0)的长轴顶点, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2 → →
a), P 为椭圆任一点 (非长轴顶点), 若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于 MN , 则 FM · FN
m
6
→ → 2 2 2 2 2
· (a m ) (a +m b )为定值,且有 FM FN = .
m2
x2 y2
结论 95：A,B 为椭圆 + = 1(a > b > 0)的长轴顶点, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2 → →
a), P 为椭圆任一点 (非长轴顶点 ) ,若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 EM · EN
m
→ → 2
· (a
2 +m2) b2 (a2 m2)
为定值,且有 EM EN = .
m2
x2 y2
结论 96：A,B 为椭圆 + = 1(a > b > 0)的长轴顶点, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2 → →
a), P 为椭圆任一点 (非长轴顶点 ) ,若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 BM · FN
m
→ → (a2· m
2) (a2 + am b2)
为定值,且有 BM FN = .
m2
x2 y2
结论 97：A,B 为椭圆 + = 1(a > b > 0)的长轴顶点, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2 → →
a), P 为椭圆任一点 (非长轴顶点), 若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于 MN , 则 AM · FN
m
→ →
· (a
2 m2) (a2 am b2)
为定值,且有 AM FN = .
m2
x2 y2
结论 98：A,B 为椭圆 + = 1(a > b > 0)的长轴顶点, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2 → →
a), P 为椭圆任一点 (非长轴顶点), 若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于 MN , 则 AM · BN
m
→ → (a2 m2· ) (a
2 b2)
为定值,且有 AM BN = .
m2
x2 y2
结论 99：A,B 为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的顶点, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2
a), P 为双曲线上任一点 (非实轴顶点),若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 yM · yN
m
b2 (m2 a2)
为定值,且有 yM · yN = .
m2
x2 y2
结论 100：A,B为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的顶点, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2 → →
为双曲线上任一点 (非实轴顶点),若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 EM · FN 为
m
→ → (a2 m2) (a2 + b2 +m2)
定值,且有 EM · FN = .
m2
x2 y2
结论 101：A,B为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的顶点, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2 → →
为双曲线上任一点 (非实轴顶点),若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 EN · FM 为
m
→ → (a2 m2) (a2 + b2 +m2)
定值,且有 EN · FM = .
m2
x2 y2
结论 102：A,B为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的顶点, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2 → →
为双曲线上任一点 (非实轴顶点),若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 FM · FN 为
m
→ →
· (a
2 m2) (a2 + b2 m2)
定值,且有 FM FN = .
m2
x2 y2
结论 103：A,B为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的顶点, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
7
a2 → →
为双曲线上任一点 (非实轴顶点,若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 EM · EN 为
m
→ → 2 2 2
· (a +m ) + b
2 (a2 m2)
定值,且有 EM EN = .
m2
x2 y2
结论 104：A,B为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的顶点, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2 → →
为双曲线上任一点 (非实轴顶点),若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 BM · FN 为
m
→ → (a2 m2) (a2 + b2 + am)
定值,且有 BM · FN = .
m2
x2 y2
结论 105：A,B为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的顶点, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2 → →
为双曲线上任一点 (非实轴顶点),若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 AM · FN 为
m
→ → 2
· (a m
2) (a2 + b2 am)
定值,且有 AM FN = .
m2
x2 y2
结论 106：A,B为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的顶点, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2 → →
为双曲线上任一点 (非实轴顶点),若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 AM ·BN 为
m
→ → (a2 m2) (a2 + b2)
定值,且有 AM · BN = .
m2
x2 y2
结论 107：A,B 为椭圆 + = 1(a > b > 0) 的长轴顶点, P 为椭圆任一点 (非长轴
a2 b2
a2
顶点), 若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于 MN , 则 kAP · kBP 为定值, 且有 kAP · kBP =
m
2
k 2AM · kBN = e
b
1 = .
a2
x2 y2
结论 108：A,B为椭圆 + = 1(a > b > 0)长轴顶点, P 为椭圆任一点 (非长轴顶点),若
a2 b2
a2 2
直线AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 kAN ·kBM 为定值,且有 k 2AN ·kBM = e 1 =
b
m a2
.
x2 y2
结论 109：A,B 为椭圆 + = 1(a > b > 0) 的长轴顶点, P 为椭圆任一点 (非长轴
a2 b2
a2
顶点), 若( 直线)AP,BP 分别交直线 x = 于 MN , 则 kAM · kAN 为定值, 且有 kAM · kAN =ma+m
e2 1 .
a m
x2 y2
结论 110：A,B 为椭圆 + = 1(a > b > 0) 的长轴顶点, P 为椭圆任一点 (非长轴
a2 b2
a2
顶点), 若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于 MN , 则 kBM · kBN 为定值, 且有 kBM · kBN =
m
a m ( )
e2 1 .
a+m
x2 y2
结论 111：A,B为椭圆 + = 1(a > b > 0)的长轴顶点, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2
为椭圆任一点 (非长轴顶点), 若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于 MN , 则 kEM · kFN 为定
m
b2
值,且有 kEM · kFN = .
a2 +m2
8
x2 y2
结论 112：A,B为椭圆 + = 1(a > b > 0)的长轴顶点, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2
为椭圆任一点 (非长轴顶点), 若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于 MN , 则 kEN · kFM 为定
m
值, .
x2 y2
结论 113：A , B为椭圆 + = 1(a > b > 0)的任一直径 (中心弦 ), P 为椭圆上任一点
a2 b2
b2
(不与 A,B 点重合 ) ,则 kPA · kPB 为定值,且有 k · k = = e2PA PB 1 .
a2
x2 y2
结论 114：A,B为椭圆 + = 1(a > b > 0)的任一弦 (不过原点且不与对称轴平行 ),M
a2 b2
b2
为弦 AB的中点,若 kOM 与 kAB 均存在,则 kOM · kAB 为定值,且有 kOM · kAB = = e2 1 .
a2
x2 y2
结论 115：AB 为椭圆 + = 1(a > b > 0)的任一弦 (不与对称轴平行 ) , 若平行于
a2 b2
b2
AB 的弦的中点的轨迹为直线 PQ ,则有 k 2PQ · kAB = = e 1 .
a2
x2 y2
结论 116：过椭圆 + = 1(a > b > 0)上任意一点 P (不是其顶点 )作椭圆的切线 PA
a2 b2
b2
,则有 kPA · kOP = = e2 1 .
a2
x2 y2
结论 117：椭圆 + = 1(a > b > 0)及定点 F (m, 0), ( a < m < a) ,过 F 的弦的端点
a2 b2
a2 a2
为 A,B ,过点 A,B 分别作直线 x = 的垂线,垂足分别为 D,C ,直线 x = 与 x轴相交于
m m
E ,则直线 AC 与 BD恒过 EF 的中点,且有 kAE + kBE = 0 .
x2 y2
结论 118：椭圆 + = 1(a > b > 0)及定点F (m, 0), (m = ±c) ,过F 任作一条弦AB,E
a2 b2
a2
为椭圆上任一点,连接 AE,BE ,且分别与准线 x = 相交于 P,Q ,则有 kFP · kFQ = 1 .
m
x2 y2
结论 119：椭圆 + = 1(a > b > 0) 及定点 F (m, 0), ( a < m < a,m = 0) , 过 F
a2 b2
a2
任作一条弦 AB,E 为椭圆上任一点, 连接 AEBE , 且分别与直线 x = 相交于 P,Q , 则有
m
b2
kFP · kFQ = .
m2 a2
x2 y2
结论 120A,B 为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的顶点, P 为双曲线上任一点 (非实轴
a2 b2
a2
顶点), 若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于 MN , 则 kAP · kBP 为定值, 且有 kAP · kBP =
m
b2
k 2AM · kBN = e 1 = .
a2
x2 y2
结论 121：A,B为双曲线 + = 1(a > b > 0)的顶点, P 为双曲线上任一点 (非实轴顶
a2 b2
a2
点),若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 kAN · kBM 为定值,且有 k 2AN · kBM = e 1
m
.
x2 y2
结论 122：A,B 双曲线 + = 1(a > b > 0) 的顶点, P 为双曲线上任一点 (非实轴
a2 b2
a2
顶点), 若( 直线)AP,BP 分别交直线 x = 于 MN , 则 kAM · kAN 为定值, 且有 kAM · kAN =ma+m
e2 1 .
a m
9
x2 y2
结论 123：A,B 为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的顶点, P 为双曲线上任一点 (非实
a2 b2
a2
轴顶点(),若直线) APBP 分别交直线 x = 于MN ,则 kBM · kBN 为定值,且有 kBM · kBN = ma m
e2 1 .
a+m
x2 y2
结论 124：A,B为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的顶点, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2
为双曲线上任一点 (非实轴顶点),若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 kEM · kFN 为
m
2
定值,且有 kEM ·
b
kFN = .
a2 +m2
x2 y2
结论 125：A,B为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的顶点, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2
为双曲线上任一点 (非长轴顶点),若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于MN ,则 kEN · kFM 为
m
b2
定值,且有 kEN · kFM = .
a2 +m2
x2 y2
结论 126：AB 为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的任一直径, P 为双曲线上任一点 (不
a2 b2
b2
与 A,B 点重合 ) ,则 kPA · kPB 为定值,且有 kPA · k = = e2PB 1 .
a2
x2 y2
结论 127：AB 为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的任一弦 (不过原点且不与对称轴平
a2 b2
b2
行 ),M 为弦 AB 的中点,若 kOM 与 kAB 均存在,则 kAB · kOM 为定值,且有 kAB · kOM = .
a2
x2 y2
结论 128：AB 为双曲线 = 1(a > 0, b > 0)的任一弦 (不与对称轴平行 ) ,若平行
a2 b2
b2
于 AB 的弦的中点的轨迹为直线 PQ ,则有 kAB · kPQ = = e2 1 .
a2
x2 2
结论 129：过双曲线 y = 1(a > 0, b > 0)上任意一点 P (不是其顶点)作双曲线的切
a2 b2
b2
线 PA ,则有 kPA · k 2OP = = e 1 .
a2
x2 y2
结论 130：双曲线 = 1(a > 0, b > 0)及定点 F (m, 0), (m > a或 m < a) ,过 F
a2 b2
a2 a2
的弦的 山端点为 A,B ,过 A,B 分别作直线 x = 的垂线,垂足分别为 D,C ,直线 x =
m m
与 x轴相交于 E ,则直线 AC 与 BD恒过 EF 的中点,且有 kAE + kBE = 0 .
x2 y2
结论 131：双曲线 = 1(a > 0, b > 0) 及定点 F (m, 0), (m = ±c) , 过 F 任作
a2 b2
a2
一条弦 AB,E 为双曲线上任一点, 连接 AE,BE , 且分别与准线 x = 相交于 P,Q , 则有
m
kFP · kFQ = 1 .
x2 y2
结论 132：双曲线 = 1(a > 0, b > 0)及定点 F (m, 0), (m > a或 m < a) ,过 F
a2 b2
a2
任作一条弦 AB,E 为双曲线上任一点,连接 AE,BE ,且分别与直线 x = 相交于 P,Q ,则
m
b2
有 kFP · kFQ = .
a2 m2
结论 133：抛物线 y2 = 2px(p > 0)及定点 F (m, 0), (m > 0) ,过 F 的弦的端点为 A,B 过
10
A,B 分别作直线 x = m的垂线,垂足分别为 D,C ,直线 x = m与 x轴相交于 E ,则直线
AC 与 BD恒过 EF 的中点,且有 kAE + kBE = 0 . ( p)
结论 134：抛物线 y2 = 2px(p > 0)及定点 F (m, 0), m = ,过 F 任作一条弦 AB,E 为
2
抛物线上任一点,连接 AEBE ,分别与准线 x = m相交 P,Q ,则 kFP · kFQ = 1 .
结论 135：抛物线 y2 = 2px(p > 0)及定点 F (m, 0), (m > 0) ,过 F 任作一条弦 AB,E 为
p
抛物线上任一点,连接 AEBE 分别与直线 x = m(相交)P,Q ,则 kFP · kFQ = .2mp
结论 136：过抛物线 y2 = 2px(p > 0)的焦点 F , 0 的弦 (焦点弦)与抛物线相交于A,B
2
,过 B 作直线 BC 与 x轴平行,且交准线于 C ,则直线 AC 必过原点 (即其准线与 x轴交点 E
与焦点 F 的线段的中点).
x2 y2
结论 137：AB 为椭圆 + = 1(a > b > 0)的焦点 F 的弦,其相应的准线与 x轴交点
a2 b2
为 E ,过 A,B 作 x轴的平行线与其相应的准线分别相交于M,N ,则直线 AN,BM 均过线段
EF 的中点.
x2 2
结论 138：AB 为双曲线 y = 1(a > 0, b > 0)的焦点 F 的弦,其相应的准线与 x轴
a2 b2
交点为 E ,过 A,B 作 x轴的平行线与其相应的准线分别相交于M,N ,则直线 AN,BM 均过
线段 EF 的中点.
结论 139：过圆锥物线 (可以是非标准状态下)焦点弦的一个 山端点向其相应的准线作
垂线,垂足与另一个弦的端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点.
x2 y2
结论 140：AB 为垂直于椭圆 + = 1(a > 0, b > 0, a = b)长轴上的动弦,其准线与 x
a2 b2
轴相交于 Q ,则直线 AF 与 BQ (或直线 BF 与 AQ )的交点M 必在该椭圆上.
x2 y
2
结论 141：AB 为垂直于双曲线 = λ(λ = 0)实轴的动弦,其准线与 x轴相交于 Q
a2 b2
,则直线 AF 与 BQ (或直线 BF 与 AQ )的交点(M 必在)该双曲线上.
结论 142：AB为垂直于抛物线 y2 = tx或 x2 = ty (t = 0)对称轴的动弦,其准线与 x轴
相交于 Q ,则直线 AF 与 BQ (或直线 BF 与 AQ )的交点M 必在该抛物线上.
结论 143：AB为垂直于圆锥曲线的长轴 (椭圆)(或实轴 (双曲线)或对称轴 (抛物线))的动
弦,其准线与 x轴相交于 Q ,则直线 AF 与 BQ (或直线 BF 与 AQ )的交点M 必在该圆锥曲
线上.
结论 144：圆锥曲线的焦点弦 AM (不为通径, 若双曲线则为单支弦), 则在 x轴上有且只
有一点 Q使 AQF = MQF .
结论 145：过 F 任作圆锥曲线的一条弦 AB (若是双曲线则为单支弦),分别过 A,B作准线
l的垂线 (Q 是其相应准线与 x轴的交点),垂足为 A1B1 ,则直线 AB1与直线 A1B 都经过 QF
的中点 K ,即 A、KB1及 BKA1三点共线.
结论 146：若 AMBM 是圆锥曲线过点 F 且关于长轴 (椭圆)对称的两条动弦 (或实轴 (
双曲线)或对称轴 (抛物线)),则四线 AM1BN1NB1MA1共点于 K .
x2 y2
结论 147：A,B分别为椭圆 + = 1(a > b > 0)的右顶点和左顶点,P 为椭圆任一点 (非
a2 b2
a2
长轴顶点),若直线 AP,BP 分别交直线 x = 于M,N ,则以线段MN 为直径的圆必过两个
m
11
( √ ) ) ( √ ) )
a2 + b a2 m2 a2 b a2 m2
定点,且椭圆外定点为 Q , 0 及椭圆内定点为 R , 0 .
m m
x2 2
结论 148：A,B 分别为双曲线 y = 1(a > 0, b > 0) 的右顶点和左顶点, P 为双曲
a2 b2
a2
线上任一点 (非实轴顶点), 若直线 AP,BP 分别交直(线 x = (m > a)) 于)M,N , 则以线段m√
a2 + b a2 m2
MN 为(直径的圆必过两个) 定)点,且双曲线内定点为Q , 0 及双曲线外定点m√
a2 b a2 m2
为 R , 0 .
m
x2 y2
结论 149：过直线 x = m(m = 0)上但在椭圆 (+ =)1(a > b > 0)外一点M 向椭圆引a2 b2
a2 b2m2
两条切线,切点分别为 A,B ,则直线 AB必过定点 N , 0 ,且有 kAB · kMN =
m a2 (a2 m2)
.
x2 y2
结论 150：过直线 x = m(m = 0) 上但在双曲线 = 1 外 (即双曲(线中心)所在区a2 b2
a2
域) 一点 M 向双曲线引两条切线, 切点分别为 A,B , 则直线 AB 必过定点 N , 0 , 且有
m
2 2
kAB ·
b m
kMN = .
a2 (m2 a2)
结论 151：过直线 x = m 上但在抛物线 y2 = 2px(p > 0) 外 (即抛物线准线所在区
域) 一点 M 向抛物线引两条切线, 切点分别为 A,B , 则直线 AB 必过定点 N( m, 0) , 且有
· pkAB kMN = .
2m
结论 152：设点M 是圆锥曲线的准线上一点 (不在双曲线的渐近线上),过点M 向圆锥曲
线引两条切线,切点分别为 A,B ,则直线 AB 必过准线对应的焦点 F ,且 FM⊥AB .
x2 y2
结论 153：过直线 mx + ny = 1上但在椭圆 + = 1(a > b > 0)外一点M 向椭圆引
a2( b2 )
两条切线,切点分别为 A,B 则直线 AB 必过定点 N ma2, nb2 .
x2 y2
结论 154：过直线mx+ny = 1上但在双曲线 = 1(a > 0, b > 0)外 (即双(曲线中心a2 b2 )
所在区域)一点M 向双曲线引两条切线,切点分别为 A,B ,则直线 AB必过定点N ma2, nb2
.
结论 155：过直线 mx + ny = 1上但在抛物线 y2 = 2px(p > 0)外 (即抛(物线准线所)在区
1 pn
域)一点M 向抛物线引两条切线,切点分别为 A,B ,则直线 AB 必过定点 N , .
m m
x2 y2
结论 156：A,B ,是椭圆 + = 1(a > b > 0)的左右顶点,点 P 是直线 x = t(|t| = a, t =
a2 b2
0)上的一个动点 ( P 不(在椭圆)上 ) ,直线 PA及 PB 分别与椭圆相交于M,N ,则直线MN 必
a2
与 x轴相交于定点 Q , 0 .
t
x2 y2
结论 157：A,B 是在双曲线 = 1(a > 0, b > 0) 的顶点, 点 P 是直线 x = t(|t| =
a2 b2
a, t = 0)上的一个动点 ( P 不在(双曲线)上),直线 PA及 PB 分别与双曲线相交于M,N ,则直
a2
线MN 必与 x轴相交于定点 Q , 0 .
t
12
结论 158：A,B 是抛物线 y2 = 2px(p > 0)上异于顶点 O的两个动点,若直线 AB 过定点
N(2p, 0) ,则 OA⊥OB ,且 A,B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值.
结论 159：A,B 是抛物线 y2 = 2px(p > 0)上异于顶点 O的两个动点,若 OA⊥OB ,则直
线 AB 必过定点 N(2p, 0) ,且 A,B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值.
结论 160：A,B 是抛物线 y2 = 2px(p > 0)上异于顶点 O的两个动点,若 OA⊥OB ,过 O
作 OM⊥AB ,则动点M 的轨迹方程为 x2 + y2 2px = 0(x = 0) .
结论 161：A,B 是抛物线 y2 = 2px(p > 0) 上异于顶点 O 的两个动点, 若 OA⊥OB , 则
(S AOB)min = 4p
2 .
结论 162：过抛物线 y2 = 2px(p > 0)上任一点M (x0, y0)作两条弦MA,MB ,则MA⊥MB
的充要条件是直线 AB 过定点 N (x0 + 2p, y0) .
结论 163：过抛物线 y2 = 2px(p > 0) 上任一点( M (x0, y0) 作)两条弦 MA,MB , 则
kMAkMB = λ(λ =
2p
0)的充要条件是直线 AB 过定点 N x0 , y0 .
λ
x2 y2
结论 164：过椭圆 + = 1(a > b >( 0) 上任一点 M (x0,)y0) 作两条弦 MA,MB , 则a2 b2
a2 b2 b2 a2
MA⊥MB 的充要条件是直线 AB 过定点 N x0, y0 .
a2 + b2 a2 + b2
特别地, (1() 当 M 为左、右)顶点时, 即 x0 = ±a, y0 = 0 时, MA⊥MB 的充要条件是直线
±a (a2 b2)
AB 过定点 N , 0 .
( a2 + b2(2)当M 为上、下)顶点时,即 x0 = 0, y0 = ±b时, MA⊥MB 的充要条件是直线 AB 过定
±b (b2 a2)
点 N 0, .
b2 + a2
x2 y2
结论 165：过双曲线 = 1(a > 0, b(> 0)上任一点M (x0,)y0)作两条弦MA,MB ,a2 b2
⊥ a
2 + b2 b2 + a2
则MA MB 的充要条件是直线 AB 过定点 N x , y .
( ) a2
0
b2 b2 2 0a
特别地,当 M 为左、右顶点时,即 x0 = ±a, y0 = 0时, MA⊥MB 的充要条件是直线 AB
±a (a2 + b2)
过定点 N , 0 .
a2 b2
结论 166：过二次曲线：Ax2+By2+Cx+Dy = E(A,B,C,D,E为常(数,A+B = 0 )上任一 )
⊥ 2Ax0 + C 2By0 +D点M (x0, y0)作两条弦MA,MB ,若MA MB ,则直线AB恒过定点N x0 , y0
A+B A+B
.
值得注意的是：在结论 166中.
(1)令 A = D = 0, B = 1, C = 2p, x0 = y0 = 0就是结论 159;.
(2)令 A = D = 0, B = 1, C = 2p就是结论 162;.
(3)令 A = a2, B = b2, C = D = 0就得到结论 164;.
(4)令 A = b2, B = a2, C = D = 0就得到结论 165.
x2 y2
结论 167：A,B 是椭圆 + = 1(a > b > 0) 上不同的两个动点, 若 OA⊥OB , 则
a2 b2
1 1 a2 + b2
+ = .
|OA|2 |OB|2 a2b2
13
( ) x
2 y2
结论 168：A,B 是椭圆 ( + = 1(a)> b > 0√) 上不同的两个动点, 若 OA⊥OB , 则有a2 b2
1 1 a+ b 1 1 2 (a2 + b2)
+ = , + = .
|OA| |OB| min ab |OA| |OB| max ab
x2 y2
结论 169：A,B 是双曲线 = 1(b > a > 0)上不同的两个动点 (在同一支上),若若
a2 b2
1 1 b2 a2
OA⊥OB ,则有 + = .
|OA|2 |OB|2 a2b2
结论 170：在抛物线 y2 = 2px(p > 0)的对称轴上存在一个定点M(p, 0) ,使得过该点的任
1 1 1
意弦 AB 恒有 + = .
|MA|2 |MB|2 p2 ( √ )
x2 y2 a2 b2
结论 171：在椭圆 + = 1(a > b > 0)的长轴上存在定点M ±a , 0 ,使得
a2 b2 a2 + b2
1 1 a2 + b2
过该点的任意弦 AB 恒有 + = .
|MA|2 |MB|2 b4 ( √ )
x2 y2 a2 ± b
2
结论 172：在双曲线 = 1的实轴上存在定点 M a , 0 , 使得过该点
a2 b2 a2 + b2
1 1 a2 b2
的任意弦 AB 恒有 + = .
|MA|2 |MB|2 b4
x2 y2
结论 173：过椭圆 + = 1(a > b > 0)的焦点 F 作一条直线与椭圆相交于M,N ,与
a2 b2
→ → → → 2a2
y轴相交于 P ,若 PM = λMF, PN = NF ,则 λ+ 为定值,且. λ+ = .
b2
x2 y2
结论 174：过双曲线 = 1(a > 0, b > 0) 的焦点 F 作一条直线与双曲线相交于
a2 b2
→ → → → 2a2
M,N ,与 y轴相交于 P ,若 PM = λMF, PN = NF ,则 λ+ 为定值,且 λ+ = .
b2
结论 175：过抛物线 y2 = 2px(p > 0)的焦点 F 作一条直线与椭圆相交于 M,N ,与 y 轴
→ → → →
相交于 P ,若 PM = λMF, PN = NF ,则 λ+ 为定值,且 λ+ = 1 .
x2 y2
结论 176：过椭圆 + = 1(a > b > 0)的焦点 F 作一条直线与椭圆相交于M,N ,与
a
2 2
→ b → → →
相应准线相交于 P ,若 PM = λMF, PN = NF ,则 λ+ 为定值,且 λ+ = 0 .
x2 y2
结论 177：过双曲线 = 1(a > 0, b > 0) 的焦点 F 作一条直线与双曲线相交于
a2 b2 → → → →
M,N ,与相应准线相交于 P ,若 PM = λMF, PN = NF ,则 λ+ 为定值,且 λ+ = 0 .
结论 178：过抛物线 y2 = 2px(p > 0)的焦点 F 作一条直线与抛物线相交于 M,N ,与准
→ → → →
线相交于 P ,若 PM = λMF, PN = NF ,则 λ+ 为定值,且 λ+ = 0 .
x2 y2
结论 179：MN 是垂直椭圆 + = 1(a > b > 0)长轴的动弦, P 是椭圆上异于顶点的
a2 b2 → → → →
动点, 直线 MP,NP 分别交 x 轴于 E,F , 若 PE = λEM,PF = FN , 则 λ + 为定值, 且
λ+ = 0 .
x2 y2
结论 180：MN 是垂直双曲线 = 1(a > 0, b > 0)实轴的动弦, P 是双曲线上异于
a2 b2 → → → →
顶点的动点,直线 MP,NP 分别交 x轴于 E,F ,若 PE = λEM,PF = FN ,则 λ + 为定
值,且 λ+ = 0 .
结论 181：MN 是垂直抛物线 y2 = 2px(p > 0)对称轴的动弦, P 是抛物线上异于顶点的
14
→ → → →
动点, 直线 MP,NP 分别交 x 轴于 E,F , 若 PE = λEM,PF = FN , 则 λ + 为定值, 且
λ+ = 0 .
x2 y2
结论 182：MN 是垂直椭圆 + = 1(a > b > 0)长轴的动弦, P 是椭圆上异于顶点的
a2 b2 → → → →
动点,直.线MP,NP 分别交 x轴于 E,F,A为长轴顶点,若 OE = λEA,OF = FA ,则 λ+
为定值,且 λ+ = 1 .
x2 y2
结论 183：MN 是垂直双曲线 = 1(a > 0, b > 0)实轴的动弦, P 是椭双曲线上异
a2 b2 → → → →
于顶点的动点,直线MP,NP 分别交 x轴于 E,F,A为长轴顶点,若 OE = λEA,OF = FA ,
则 λ+ 为定值,且 λ+ = 1 .
结论 184：MN 是垂直抛物线 y2 = 2px(p > 0)对称轴的动弦, P 是抛物线上异于顶点的
→ → → →
动点,直线MP,NP 分别交 x轴于 E,F,A为长轴顶点,若 OE = λEA,OF = FA ,则 λ +
1 1
为定值,且 + = 2 .
λ
x2 y2
结论 185(补充)：点 P 是椭圆 + = 1(a > b > 0) 上任意一点, 弦 PAPB 分别过定
a2 b2 → → → →
点 M( m, 0) 、N(m, 0), (0 < m < a) , 且 PM = λMA,PN = NB , 则 λ + 为定值, 且
2 (a2 +m2)
λ+ = .
a2 m2
x2 y2
结论 186(补充)：点 P 是双曲线 = 1(a > 0, b > 0) 上任意一点, 弦 PAPB 分别
a2 b2 → → → →
过定点 M( m, 0), N(m, 0), (0 < m < a) ,且 PM = λMA,PN = NB ,则 λ + 为定值,且
2 (a2 +m2)
λ+ = .
a2 m2
结论 187：(补充)：MP 是圆 Cx2 + y2 = r2(r > 0)上任意两点,点M 关于 x轴对称点为
N ,若直线 PMPN 分别交 x轴分别相交于点 A(m, 0)、B(n, 0) ,则mn为定值,且mn = r2 .
x2 y2
结论 188：(补充)：MP 是椭圆 C + = 1(a > b > 0) 上任意两点, 点 M 关于 x 轴
a2 b2
对称点为 N , 若直线 PM,PN 分别交 x 轴分别相交于点 A(m, 0)B(n, 0) , 则 mn 为定值, 且
mn = a2 .
x2 y2
结论 189：(补充)：MP 是双曲线 C = 1(a > 0, b > 0)上任意两点,点M 关于 x
a2 b2
轴对称点为N ,若直线 PM,PN 分别交 x轴分别相交于点 A(m, 0), B(n, 0) ,则mn为定值,且
mn = a2 .
x2 y2
结论 190(补充)：A,B 是椭圆 C + = 1(a > b > 0)上关于 x轴对称的任意两个不同
a2 b2
的点,点 P (m, 0)是( x轴上)的定点,直线 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,则直线 AE 恒过 x轴上的
a2
定点,且定点为 Q , 0 .
m
x2 y2
结论 191(补充)：A,B 是双曲线 C = 1(a > 0, b > 0)上关于 x轴对称的任意两个
a2 b2
不同的点,点 P (m, 0)是 x(轴上)的定点,直线 PB 交双曲线 C 于另一点 E ,则直线 AE 恒过 x
a2
轴上的定点,且定点为 Q , 0 .
m
结论 192 (补充)：A,B 是抛物线 Cy2 = 2px(p > 0)上关于 x轴对称的任意两个不同的点,
点 P (m, 0)是 x轴上的定点,直线 PB 交抛物线 C 于另一点 E ,则直线 AE 恒过 x轴上的定
点,且定点为 Q( m, 0) .
15

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