资源简介

10.3.2　随机模拟
知识点　频率的稳定性与随机模拟
1．频率的稳定性
大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有__随机性__.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会__缩小__，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的__稳定性__.因此我们可以用频率fn(A)估计__概率P(A)__.
2．随机数的产生
(1)标号：把n个__大小、形状__相同的小球分别标上1,2,3，…，n.
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们__充分搅拌__.
(3)摸取：从中摸出__一个__.
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.
3．伪随机数的产生
(1)规则：依照确定的算法.
(2)特点：具有周期性(周期很长).
(3)性质：它们具有类似__随机数__的性质.
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为__伪随机数__.
4．产生随机数的常用方法
①__用计算器产生__；②__用计算机产生__；③__抽签法__.
5．随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的__频率__来估计__概率__，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.
[知识解读]　1．频率与概率的关系
概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.
说明：(1)频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同.而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关.
(2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
2．用随机模拟法估计概率
(1)随机模拟法估计概率的思想
随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.
(2)随机模拟法的优点
不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去.
(3)随机模拟法的步骤
①建立概率模型；
②进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；
③统计试验结果.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　频率与概率的关系
典例1　下列说法正确的是(　A　)
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；
②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P(A)＝；
③含百分比的数是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；
⑤概率是频率的稳定值.
A．①④⑤　　 B．①②
C．②③　　 D．②③⑤
[解析]　根据频率与概率的定义，可知①正确；概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误；概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误；根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确.故选A．
[归纳提升]　(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
【对点练习】 　下列说法一定正确的是(　D　)
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
[解析]　A错误，概率小不代表一定不发生；B错误，概率不等同于频率；C错误，概率是预测，不必然出现；D正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关.
题型二　用随机事件的频率估计其概率
典例2　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 频数 频率
[700,900) 48
[900,1 100) 121
[1 100,1 300) 208
[1 300,1 500) 223
[1 500,1 700) 193
[1 700,1 900) 165
[1 900，＋∞) 42
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.
[解析]　(1)利用频率的定义可得：[700,900)的频率是0.048；[900,1 100)的频率是0.121；[1 100,1 300)的频率是0.208；[1 300,1 500)的频率是0.223；[1 500,1 700)的频率是0.193；[1 700,1 900)的频率是0.165；[1 900，＋∞)的频率是0.042．
所以频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042．
(2)样本中使用寿命不足1 500小时的灯管的频率是
0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，
所以估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率是0.6．
[归纳提升]　由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生.从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
【对点练习】 　假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率.
[解析]　(1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200 h的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大干200 h的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为.
题型三　简单的随机模拟试验的应用
典例3　一份测试题包括6道选择题，每题4个选项且只有一个选项是正确的，如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率.(已知计算机或计算器做模拟试验可以模拟每次猜对的概率是25%)
[解析]　我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数，我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%，因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组，例如，产生25组随机数：
330130　302220　133020　022011　313121
222330　231022　001003　213322　030032
100211　022210　231330　321202　031210
232111　210010　212020　230331　112000
102330　200313　303321　012033　321230
就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，即共有4组数，我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为＝0.16．
[归纳提升]　用随机数模拟法求事件概率的方法
在使用整数随机数模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.
(1)试验的基本结果是等可能时，样本点的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点.
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
【对点练习】 　一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
[解析]　用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组.如下，产生20组随机数：
666　743　671　464　571　561　156　567　732　375
716　116　614　445　117　573　552　274　114　662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的都是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为＝0.1．
易错警示
对频率与概率的关系理解不清
典例4　某同学掷一枚质地均匀的硬币10次，共有8次反面向上，于是他指出：“掷一枚质地均匀的硬币，出现反面向上的概率应为0.8”.你认为他的结论正确吗？为什么？
[错解]　正确.掷硬币10次，有8次反面向上，则出现反面向上的概率P＝＝0.8．
[错因分析]　得出概率为0.8，显然是对概率的统计性定义的曲解.事实上，概率定义中用频率的近似值刻画概率，要求试验次数足够多.
[正解]　不正确.因为概率是事物的本质属性，不随试验次数的改变而改变，用频率的近似值刻画概率时，要求试验次数足够多.
[误区警示]　随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，即称为这一事件发生的概率的近似值，而概率是一个确定的常数，与试验的次数无关.
【对点练习】 　“某彩票的中奖概率为”意味着(　D　)
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
[解析]　某彩票的中奖率为，意味着中奖的可能性为，可能中奖，也可能不中奖.

展开更多......

收起↑