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专题1.1 集合
新课程考试要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
核心素养 逻辑推理、数学运算、直观想象能力
【知识梳理】
1.元素与集合
(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及其记法：
数集 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集
符号 N N*或(N＋) Z Q R C
2.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A B或B A.
(2)真子集：若A B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B.
(4)空集的性质： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
文字语言 符号语言 图形语言 记法
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且x A} UA
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA.
4.集合的运算性质
(1)并集运算性质：A∪B A；A∪B B；A∪A＝A；A∪ ＝A；A∪B＝B∪A.
(2)交集运算性质：A∩B A；A∩B B；A∩A＝A；A∩ ＝ ；A∩B＝B∩A.
(3)补集运算性质： U( UA)＝A； UU＝ ； U ＝U；A∩( UA)＝ ；A∪( UA)＝U.
(4)重要等价关系：A∩B＝A A B A∪B＝B；A∩B＝A∪B A＝B.
特别提醒:
1. 子集的传递性：A B，B C，则A C.
2. 子集个数：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
3. 元素个数：记含有限个元素的集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).
4. 德摩根定律：又称反演律，即 U(A∪B)＝( UA)∩( UB)， U(A∩B)＝( UA)∪( UB).
5. 五个关系式：A B，A∩B＝A，A∪B＝B， UB UA以及A∩( UB)＝ 是两两等价的.
【重难点突破】
考点一、集合的基本概念
与集合元素有关问题的思路：
（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．
（2）看这些元素满足什么限制条件．
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性
（一）根据元素与集合的关系求参数
【典例精析】
1．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）已知集合，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
2．（2022·海南·模拟预测）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（二）利用集合中元素的性质求集合元素个数
【典例精析】
4．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练】
5．（2022·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知集合则集合的元素个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
（三）集合元素互异性的应用
【典例精析】
7．（2022·广东广州·三模）若，则的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
【变式训练】
8．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
9．（2022·江西赣州·一模（理））设集合，.若，则实数n的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
考点二、 集合间的基本关系
(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．
(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
（一）判断集合的子集（真子集）的个数
【典例精析】
10．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则的非空子集个数为（ ）
A．15 B．14 C．7 D．6
【变式训练】
11．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
12．（2022·江西·新余市第一中学三模（理））已知集合，，则的子集个数为（ ）
A． B． C． D．
（二）判断两个集合的包含关系
【典例精析】
13．（2022·山东聊城·三模）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
14．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（理））已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知集合M、N、P满足，则集合M、N、P之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
（三）根据集合的包含关系求参数
【典例精析】
16．（2022·上海金山·二模）已知集合，若，则实数的值为__________.
【变式训练】
17．（2022·福建南平·三模）设集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·海南海口·模拟预测）已知集合，，若，则实数a＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
考点三、集合的基本运算
如何解集合运算问题
(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.
(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决.
(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.
【典例精析】
19．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
20．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知全集为，设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
考点四、利用集合的运算求参数
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
【典例精析】
22．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
23．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）设全集，集合，，则实数的值为（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．0或2
考点五、Venn图的应用
韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所呈现的集合关系进行运算.
集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍.
【典例精析】
25．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
26．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））设全集，集合，，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．（2022·上海·模拟预测）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（ ）
A． B．
C． D．
考点六、集合的新定义问题
解决集合新定义问题的方法
(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用.
(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的.
【典例精析】
28．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
29．（2022·河南·二模（文））已知：，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
30．（2022·山西省运城中学校模拟预测（文））定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．16 B．18 C．14 D．8
参考答案
1．C
【详解】，，，即，
则实数a的取值范围是，
故选:C.
2．B
【分析】先求出集合，再根据集合中和，即可求出结果.
【详解】因为集合，所以，
在集合中，由，得，即，
又，所以，，，即.
故选：B.
3．D
【分析】利用元素与集合的关系求解.
【详解】因为，
所以，
解得．
故选：D．
4．B
【分析】把代入，根据方程的根的个数分析即可
【详解】集合，，
把代入，得，即，有唯一解，故集合中元素的个数为1．
故选：B
5．C
【分析】根据题意写出集合C的元素，可得答案.
【详解】由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
6．B
【分析】化简集合，由条件确定的元素及其个数.
【详解】由解得，所以.
又
所以，共有7个元素，
故选：B.
7．C
【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值.
【详解】，则，符合题设；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
时，则，符合题设；
∴或均可以.
故选：C
8．A
【分析】化简集合A，由条件可得，经检验即得.
【详解】∵集合，，，
∴或，即，
当时，不合题意，当时，成立，
∴.
故选：A.
9．C
【分析】依据集合元素互异性排除选项AB；代入验证法去判断选项CD，即可求得实数n的值.
【详解】依据集合元素互异性可知，，排除选项AB；
当时，，，
满足.选项C判断正确；
当时，，，
.选项D判断错误.
故选：C
10．C
【分析】先求出的元素，再求非空子集即可.
【详解】因为，又，
所以，所以的元素个数为，其非空子集有个.
故选：C．
11．C
【分析】解方程组可求得，根据元素个数可求得真子集个数.
【详解】由得：或，，
即有个元素，的真子集个数为个.
故选：C.
12．C
【分析】化简集合A、B,再根据集合的交集运算即可.
【详解】，，∴，∴的子集个数为8.
故选：C.
13．A
【分析】先求出集合，再由真子集的定义即可求出答案.
【详解】，所以，所以，
所以，所以 .
故选：A.
14．A
【分析】利用集合的基本关系求解
【详解】解：因为，，
当时，是奇数，是整数，所以．
故选：．
15．B
【分析】根据，得集合关系，进而分析可得答案.
【详解】解：由可知，
所以
故选：B.
16．0
【分析】解方程即得解.
【详解】解：因为，所以（舍去）或，
所以.
故答案为：0
17．D
【分析】直接由求解即可.
【详解】由可得.
故选：D.
18．B
【分析】对于集合，元素对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及，可确定出其中的元素，进而求解.
【详解】对于集合N，因为，
所以N中有两个元素，且乘积为-2，
又因为，所以，
所以．即a＝1．
故选：B.
19．D
【分析】解一元二次不等式得集合，求函数的值域得集合，由集合交集的运算即可求解.
【详解】由不等式，解得或，所以集合或，
由得，因为得，所以，
所以或，
故选：D.
20．A
【分析】先化简集合A、B，再去求即可
【详解】，
，
则.
故选：A.
21．D
【分析】根据对数函数定义域可得，运用集合间的运算处理．
【详解】∵，则
∴
故选：D．
22．C
【分析】根据题意可得，，结合并集理解则分析处理．
【详解】，，
∵，即，
所以，解得．
故选：C．
23．C
【分析】先化简集合，再根据，由或求解.
【详解】解：由题可得集合，
因为，
所以或，
解得或，
所以实数的取值范围是，
故选：C．
24．A
【分析】利用给定条件，结合元素的互异性直接列式计算作答.
【详解】由集合知，，即，而，全集，
因此，，解得，经验证满足条件，
所以实数的值为0.
故选：A
25．C
【分析】求出集合，阴影部分表示为：，再分析求解即可.
【详解】因为，所以，又，全集，
所以图中阴影部分表示的集合为．
故选：C.
26．C
【分析】先求得集合，结合韦恩图得到是的真子集，即可求解.
【详解】由题意，集合，且，
根据给定的韦恩图，可得是的真子集，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
27．A
【分析】根据之间的关系进行判断即可.
【详解】由，解得或，则，
又因为，所以集合与集合有公共元素0，且没有包含关系，
故选项A中的韦恩图是正确的.
故选：A.
28．C
【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.
【详解】因为，，，
所以，
故集合中的元素个数为3，
故选：C.
29．A
【分析】先求出集合，再按照给的定义计算即可.
【详解】由题意知：或，，故.
故选：A.
30．A
【分析】由题设，列举法写出集合，根据所得集合，加总所有元素即可.
【详解】由题设知：，
∴所有元素之和.
故选：A.
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