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向量
一、选择题
1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足，，，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析：，，，．
，
因此，．
故选：D．
2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，∴,∴，解得，
即，则．
3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：，所以，
所以．
4．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为
(，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美
人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金
分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是 (　　)
A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm
【答案】B
解析：如图，，
，则，，，
所以身高，
又，所以，身高，
故，故选B．
5．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知向量，满足，，则 (　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
解析：，故选B．
6．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)在中,为边上的中线，为的中点，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：在中，为边上的中线，为的中点，，故选A．
7．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图
则，，，，连结，过点作于点
在中，有
即
所以圆的方程为
可设
由可得
所以，所以
其中，
所以的最大值为，故选A．
法二：通过点作于点，由，，可求得
又由，可求得
由等和线定理可知，当点的切线（即）与平行时，取得最大值
又点到的距离与点到直线的距离相等，均为
而此时点到直线的距离为
所以，所以的最大值为，故选A．
另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A．
法三：如图，建立平面直角坐标系
设
根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是
，若满足
即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A．
法四：由题意，画出右图．
设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系
则点坐标为．∵，．∴．切于点．
∴⊥．∴是中斜边上的高．
即的半径为．∵在上．∴点的轨迹方程为．
设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：
而，，．
∵
∴，．
两式相加得：
(其中，)
当且仅当，时，取得最大值3．
8．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生
转化与化归思想和运算求解能力
【解析】解法一：建系法
连接，，，．，∴∴∴，∴ ∴最小值为
解法二：均值法
∵，∴
由上图可知：；两边平方可得
∵ ，∴
∴ ，∴最小值为
解法三：配凑法
∵
∴
∴最小值为
9．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量,,则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意,得,所以,故选A.
10．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知向量，且，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得：，所以，又
所以，所以，故选D．
11．(2015高考数学新课标1理科)设D为ABC所在平面内一点，则 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
解析：由题知=，故选A．
考点：平面向量的线性运算
12．(2014高考数学课标2理科)设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab= (　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
解析：因为
两式相加得：所以，故选A．
二、填空题
13．(2021年高考全国甲卷理科)已知向量．若，则________．
【答案】．
解析：,
，解得,
故答案为：．
14．(2021年高考全国乙卷理科)已知向量，若，则__________．
【答案】
解析：因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
15．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设为单位向量，且，则______________．
【答案】
【解析】因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
16．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．
【答案】
解析：由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：．
故答案为：．
17．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知，为单位向量，且，若，则___________．
【答案】．
【解析】因为，，所以，
，所以，所以．
18．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，则．
【答案】
解析：依题意可得，又，
所以，解得．
19．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量,的夹角为,,,则__________．
【答案】
【解析】法一:
所以．
法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为．
法三:坐标法
依题意,可设,,所以
所以．
20．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设向量，，且，则 ．
【答案】
【解析】由已知得：
∴，解得．
21．(2015高考数学新课标2理科)设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
【答案】
解析：因为向量与平行，所以，则所以．
22．(2014高考数学课标1理科)已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为______．
【答案】
解析:∵,∴O为线段BC中点,故BC为的直径,
∴,∴与的夹角为．
23．(2013高考数学新课标2理科)已知正方形的边长为2，为的中点，则＝________．
【答案】2
解析：由题意知：
24．(2013高考数学新课标1理科)已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t=_____．
【答案】　2
解析：=====0，解得=．
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- 1 -解三角形
1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求周长的最大值．
【答案】（1）；（2）．
解析：（1）由正弦定理可得：，
，
，
（2）由余弦定理得：，
即．
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为．
2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1);(2)．
【官方解析】
(1)由题设及正弦定理得，
因为，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此．
(2)由题设及(1)知的面积．
由正弦定理得．
由于为锐角三角形，故，．由(1)知，
所以，故，从而．
因此面积的取值范围是．
3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)的内角的对边分别为．设．
(1)求；
(2)若，求．
【答案】解析：（1）由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．因为，所以．
（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
4．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)在平面四边形中，，， ,．
(1)求; (2)若,求．
【答案】解析：（1）在中，由正弦定理得．
由题设知，，所以．
由题设知，，所以．
（2）由题设及（1）知，．
在中，由余弦定理得
．
所以．
5．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)的内角的对边分别为,已知的面积为．
(1)求; (2)若,,求的周长．
【答案】(1);(2)的周长为．
【分析】(1)由三角形面积公式建立等式,再利用正弦定理将边化成角,从而得出的值;(2)由和,计算出,从而求出角,根据题设和余弦定理可以求出和的值,从而可求出的周长．
【解析】(1)由题设得,即．
由正弦定理得．
故．
(2)由题设及(1)得,即．
所以,故．
由题设得,即．
由余弦定理得,即,得．
故的周长为．
6．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)(12分)的内角的对边分别为．已知，，．
(1)求；
(2)设为边上一点，且，求的面积．
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)由可得,因为,故．
由余弦定理可知:即
整理可得,解得(舍去)或．
(2)法一:设,则在中,由勾股定理可得
在中,有
由余弦定理可得
即即
所以,解得
所以．
法二:依题意易知
又因为,
所以
所以．
法三:∵,
由余弦定理．
∵,即为直角三角形,
则,得．
由勾股定理．
又,则,
．
7．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)(12分)的内角的对边分别为 ,已知．
(1)求
(2)若 , 面积为2,求
【答案】(1)；(2)．
（Ⅰ）
【基本解法1】
由题设及，故
上式两边平方，整理得
解得
【基本解法2】
由题设及，所以，又，所以，
（Ⅱ）由，故
又
由余弦定理及得
所以b=2
8．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本题满分为12分)的内角的对边分别为，已知
(I)求；
(II)若，的面积为，求的周长．
【答案】 (I)；(II)
【官方解答】(I)由已知及正弦定理得：
即 故 ∴
可得 ∴
(II) 由已知得，又所以
由已知及余定理得：，，从而
∴周长为．
【民间解答】(I)
由正弦定理得：
∵， ∴
∴， ∵ ∴
(II) 由余弦定理得：，，
∴ ∴ ，
∴周长为
9．(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分)中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，，求和的长．
【答案】
解析：（Ⅰ），，因为，，所以．由正弦定理可得．
（Ⅱ）因为，所以．在和中，由余弦定理得
，．
．由（Ⅰ）知，所以．
考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．
10．(2013高考数学新课标2理科)中内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
解析：（1）由已知及正弦定理得
又
由，可得
又
（2）的面积．
由已知及余弦定理得
又，故，
当且仅当时，等号成立．
因此的面积的最大值为
11．(2013高考数学新课标1理科)如图，在中，，，P为内一点，
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】（1）　　（2）
解析：（Ⅰ）由已知得，，∴，在中，由余弦定理得==，∴PA=；
（Ⅱ）设，由已知得,，在中，由正弦定理得，，化简得，，
∴=，∴=．
12．(2012高考数学新课标理科)已知分别为三个内角的对边，
(1)求 (2)若，的面积为，求．
【答案】(1) (2)=2．
解析：由及正弦定理得
∵，∴
∴，
又，
∴．
(Ⅱ)的面积==,故=4，
而 故=8，解得=2．
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- 1 -三角恒等变换与三角函数
一、选择题
1．(2021年高考全国甲卷理科)若，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：
，
，，，解得，
，．
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出．
2．(2021年高考全国乙卷理科)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高 (　　)
(　　)
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【答案】A
解析：如图所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
3．(2021年高考全国乙卷理科)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）
A． B． C． D．
4．(2021年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为() (　　)
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
解析：
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以，
所以．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．
5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为 (　　)
(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题．
6．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若α为第四象限角，则 (　　)
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
解析：方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D．
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D．
7．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知，且，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又．
故选：A．
8．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= (　　)
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
解析：，，
令，则，整理得，解得，即．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题．
9．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：在中，，，
根据余弦定理：
可得，即
由
故．
故选：A．
10．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在有且仅有3个极大值点②在有且仅有2个极小值点
③在单调递增④的取值范围是
其中所有正确结论的编号是 (　　)
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】在有且仅有3个极大值点，分别对应，故①正确．
在有2个或3个极小值点，分别对应和，故②不正确．
因为当时，，由在有且仅有5个零点．则，解得，故④正确．
由，得，，所以在单调递增，故③正确．
综上所述，本题选D．
11．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴.,∴，，
∴，又，∴，，又，∴，故选B．
12．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A.
【点评】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；③函数，再利用降幂公式及三角函数公式法求三角函数的周期，例如，，所以周期.
13．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)关于函数有下述四个结论：
①是偶函数②在区间单调递增
③在有4个零点④的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 (　　)
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
解析：作出函数的图象如图所示，
由图可知，是偶函数，①正确，在区间单调递减，②错误，
在有3个零点，③错误；的最大值为2，④正确，故选C．
14．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)的内角的对边分别为，若的面积为，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
解析：由余弦定理可得，
所以由
所以，而，所以，故选C．
15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)若，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：，故选B．
16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若在是减函数，则的最大值是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：由已知，得，即，解得，即，所以，得，
所以的最大值是，故选A．
17．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)在中，，，，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：因为，
所以，所以，故选A．
18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知曲线,,则下面结论正确的是 (　　)
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
【答案】D
【解析】因为函数名不同,所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名,则,则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为,再将曲线向左平移个单位得到,故选D．
19．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，则下列结论错误的是 (　　)
A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在单调递减
【答案】D
【解析】函数的周期为，，故A正确；又函数的对称轴为，即，，当时，得，故B正确；由，所以函数的零点为，当时，，故C正确；由，解得，所以函数的单调递减区间为，而，故D错误．
【考点】函数的性质
20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中,,边上的高等于,则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设边上的高线为,则,所以,.由余弦定理,知,故选C.
21．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若,则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由,得,或,
所以,故选A.
22．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，故选D．
23．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
24．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 (　　)
(A)11(B)9(C)7(D)5
【答案】B 【解析】由题意知：，则，其中
在单调，
接下来用排除法：若，此时
在递增，在递减，不满足在单调
若，此时，满足在单调递减
故选B．
25．(2015高考数学新课标1理科)函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
解析：由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D．
考点：三角函数图像与性质
26．(2015高考数学新课标1理科) (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析：原式= ==，故选D．
考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式．
27．(2014高考数学课标2理科)设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
28．(2014高考数学课标2理科)钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC= (　　)
A．5 B． C．2 D．1
【答案】B
解析：有面积公式得：，解得，因为钝角三角形，所以，
由余弦定理得：，所以，选B。
29．(2014高考数学课标1理科)设,,且,则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析:∵,∴
,
∴,即,选B
30．(2012高考数学新课标理科)已知，函数在上单调递减。则的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：∵y=sinx在上单调递减
∴
∴
而函数在上单调递减
∴
即得且，根据答案特征只能是k=0，
二、填空题
31．(2021年高考全国甲卷理科)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
解析：由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以．
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2．
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．
故答案为：2．
32．(2021年高考全国乙卷理科)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
解析：由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）．
故答案为：．
33．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．
【答案】
【解析】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得．
故答案为：．
34．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)关于函数f(x)=有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称．
②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x=对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
解析：对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误．
故答案为：②③．
35．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为　　．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），所以，
36．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)函数在的零点个数为．
【答案】
解析：由，，解得，
由即
由，可得，故函数在的零点个数为．
37．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，，则__________．
【答案】
解析：因为，
所以，，
相加得，所以．
38．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)函数()的最大值是 ．
【解析】解法一：换元法
∵ ，
∴
设，，∴
函数对称轴为，∴
39．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.
【答案】
【解析】因为
，，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到.
40．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)的内角的对边分别为，若，，，则．
【答案】
【解析】由平方关系可得：
所以
再由正弦定理得：．
41．(2015高考数学新课标1理科)在平面四边形中，，B，则的取值范围是 ．
【答案】（，）
解析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）．
42．(2014高考数学课标2理科)函数的最大值为_________．
【答案】1
解析：
所以最大值为1
43．(2014高考数学课标1理科)已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为__________．
【答案】
解析:由且 ,
即,由及正弦定理得:
∴,故,∴,∴
,∴,
44．(2013高考数学新课标2理科)设为第二象限角，若，则＝________．
【答案】
解析：由得到，解得，所以
45．(2013高考数学新课标1理科)设当时，函数取得最大值，则 =______．
【答案】
解析：∵==
令=，，则==，
当=，即=时，取最大值，此时=，∴===．
PAGE
- 1 -导数大题
一、解答题
1．(2021年高考全国甲卷理科)已知且，函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）．
解析：（1）当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
（2）,设函数,
则,令，得,
在内,单调递增；
在上,单调递减；
,
又，当趋近于时，趋近于0，
所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,
所以的取值范围是．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解．
2．(2021年高考全国乙卷理科)设函数，已知是函数的极值点．
(1)求a；
(2)设函数．证明:．
【答案】；证明见详解
解析：（1）由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
（2）由（1）得，，且，
当时，要证，，，即证，化简得；
同理，当时，要证，，，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，假设能取到，则，故；
当时，，单增，假设能取到，则，故；
综上所述，在恒成立
【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题．
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数．
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围．
【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增．（2）
【解析】(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增．
(2)由得，，其中，
①．当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②．当时，分离参数a得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数f(x)=sin2xsin2x．
(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
(2)证明：；
(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增．（2）证明见解析；（3）证明见解析．
解析：(1)由函数的解析式可得：，则：
，
在上的根为：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增
(2)注意到，
故函数是周期为的函数，
结合(1)的结论，计算可得：，
，，
据此可得：，，
即．
(3)结合(2)的结论有：
．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
(1)求b．
(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【答案】（1）；（2）证明见解析
解析：（1）因为，
由题意，，即
则；
（2）由（1）可得，
，
令，得或；令，得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
且，
若所有零点中存在一个绝对值大于1零点，则或，
即或．
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
综上，所有零点的绝对值都不大于1．
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题．
6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见详解；(2)或．
【官方解析】
(1)．
令，得或．
若，则当时，；当时，．故 在单调递增，在单调递减；
若时，在单调递增；
若，则当时，；当时，．故 在单调递增，在单调递减．
(2)满足题设条件的存在．
(ⅰ)当时，由(1)知，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为．此时满足题设条件当且仅当，即．
(ⅱ)当时，由(1)知，在单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为．此时满足题设条件当且仅当，即．
(ⅲ)当时，由(1)知，在的最小值为，最大值为或．
若，则，与矛盾．
若，则或或，与矛盾．
综上，当且仅当或，在最小值为，最大值为1．
【点评】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，计算量略大．
7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数．
讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．
【答案】函数在和上是单调增函数，证明见解析；证明见解析.
【官方解析】
的定义域为.
因为，所以在和上是单调递增.
因为，，
所以在有唯一零点，即．
又，，故在有唯一零点．
综上，有且仅有两个零点．
因为，故点在曲线上．
由题设知，即，
故直线的斜率．
曲线在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线的切线．
【分析】对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性；
先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时，证明曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.
【解析】函数的定义域为，，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；
当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；
当时，，
因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点
综上所述，函数的定义域内有2个零点；
因为是的一个零点，所以
，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.设曲线的切点为，过切点为切线，，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，
当切线的斜率等于直线的斜率时，即，
切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.
【点评】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.
8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知函数，为的导数．证明：
(1)在区间存在唯一极大值点；
(2)有且仅有2个零点．
【答案】解：（1）设，则，．当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为．
则当时，；当时，．
所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点．
（2）的定义域为．
（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点．
（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减．
又，，所以当时，．从而在没有零点．
（iii）当时，，所以在单调递减．而，，所以在有唯一零点．
（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点．
综上，有且仅有2个零点．
9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知函数．
(1)若，证明：当时，，当时，；
(2)若是的极大值点，求．
【答案】【官方解析】当时，，
设函数，则
当时，；当时，，故当时，
所以在上单调递增
又，故当时，；当时，．
（2）（i）若，由（1）知，当时，
这与是的极大值点矛盾
（ii）若，设函数
由于当时，，故与符号相同
又，故是的极大值点，当且仅当是的极大值点
如果，则当，且时，，故不是的极大值点
如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点
如果，则
则当时，；当时，
所以是的极大值点，从而是的极大值点
综上．
【民间解析】（1）法一：当时，
函数的定义域为，此时
记
则
所以函数在上单调递增，而
所以当时，，此时
当时，，此时
法二：当时，，
则，
①当时，，此时单调递减
所以时，，故函数在上单调递增
所以时，
②当时，，此时单调递增
所以时，，所以函数在上单调递增
所以当时，
综上所述若，证明：当时，，当时，．
（2）法一：由
可得
所以
因为是的极大值点
所以，当时，；当时，
又
设，则，
所以在上单调递增，所以当时，；当时，
所以当时，
设，则
当时，；当时，
所以函数在上单调递减；在上单调递增
所以任意时，
所以若时，，此时不存在极值，故
由（1）知，当时，；当时，
显然，当时，
①当时，则
若，则，使得当时，，此时不满足题意，故，即
②当时，则
若，则，使得当时，，此时，不满足题意，故，即
综上，，所以．
法二：
记，
当，时，
所以在上单调递增，所以当时，即
所以在上单调递增，与是的极大值点不符合；
当时，，显然可知递减
①，解得，则有，，递增；
时，，递减，所以，故递减，又
则，，，递增；，，，递减
此时为的极大值点，符合题意
②当时，有，
所以在有唯一零点，记为，则，，递增
则，递增，所以，即，递增，不符合题意；
③当时，有，
所以在有唯一零点，记为，则，，递减
则，递减，所以，即，递减，不符合题意
综上可知．
法三：（2）尝试一：（极大值点的第二充要条件：已知函数在处各阶导数都存在且连续，是函数的极大值点的一个充要条件为前阶导数等于0，第阶导数小于0。）
，
，
，由得
下证：当时，是的极大值点，
，所以在单增，在单减
进而有，从而在单减，
当时，，当时，
从而在单增，在单减，所以是的极大值点。
点评：计算量很大，但不失为一种基本方法，激励热爱数学的学生不拘泥于老师所教，就着自己的兴趣，不断学习，学而致知。基于此，还可以从大学的角度给出一种解法。通过在阶的帕德逼近可得，且两个函数在处两个函数可以无限制逼近，估计这也是考试中心构造这个函数的方法。由此可以迅速得到，我们也可以根据帕德逼近把此题的对数函数改为指数函数和三角函数，构造出相应的题目。尝试一难点在于的各阶导数太复杂，由帕德逼近优化其解法。
法四：引理1：若与在处函数值和导数值都相同，则在处导数为．
证明：，
因为，且，代入化简即证：
引理2：已知函数在处各阶导数都存在且连续，是函数的极大值点的一个充要条件为前阶导数等于0，第阶导数小于0。
，
令，
则易得，，，
由引理1知，等价于，从而迅速求得。
当时，
尝试二：若是的极大值点，注意到，
则存在充分接近于的，使得当时，，当时，
得到一个恒成立问题，其基本方法之一有分离参数法。
对任意的，都有，进而有
①当时，，
当时，
②当时，，
当时，
综上：．
10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)
已知函数．
(1)若，证明：当时，；
(2)若在只有一个零点，求．
【答案】解析：（1）当时，等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．而，故当时，，即．
（2）设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点．
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点．
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点．因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，证明：．
【答案】解:（1）的定义域为，．
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减．
（ii）若，令得，或．
当时，；
当时，．所以在单调递减，在单调递增．
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当．
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则．由于
，
所以等价于．
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，．
所以，即．
12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知函数．
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围．
【答案】(1)详见解析;(2)．
【分析】(1)讨论的单调性,首先进行求导,发现式子特点后要及时进行因式分解,再对按、进行讨论,写出函数的单调区间;(2)根据第(1)问,若,至多有一个零点,若,当时,取得最小值,求出最小值,根据,进行讨论,可知当有个零点,设正整数满足,则,由于,因此在有一个零点,所以的取值范围为．
【解析】(1)的定义域为,
(ⅰ)若,则,所以在单调递减．
(ⅱ)若,则由得．
当时,;当时,
所以在单调递减,在单调递增．
(2)(ⅰ)若,由(1)知,至多有一个零点．
(ⅱ)若,由(1)知,当时,取得最小值,最小值为．
①当时,由于,故只有一个零点;
②当时,由于,即,故没有零点;
③当时,,即．
又,故在有一个零点．
设正整数满足,则．
由于,因此在有一个零点．
综上,的取值范围为．
【民间解析】:(1)函数的定义域为,且
注意到
当时,,所以恒成立
此时函数在上单调递减
当,由,由
所以函数在上单调递减,在上单调递增
综上可知
①时,在上单调递减;
②时,函数在上单调递减,在上单调递增
(2)由(1)可知,时,在上单调递减
此时至多一个零点,不符合题意
当时,函数在上单调递减,在上单调递增
此时函数的最小值为
要使有两个零点,首先必须有即
令,则有,故在上单调递增,而
所以
另一方面取
而,在单调递增
所以函数在上有唯一一个零点,在没有零点
此时当时,
所以,而在上单调递减
所以函数在上没有零点,在上有唯一零点
综上可知当时,函数有两个零点．
【考点】含参函数的单调性,利用函数零点求参数的取值范围．
【点评】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化．已知函数有个零点求参数的取值范围,第一种方法是分离参数,构造不含参数的函数,研究其单调性、极值、最值,判断与其交点的个数,从而求出的范围;第二种方法是直接对含参函数进行研究,研究其单调性、极值、最值,注意点是:若有个零点,且函数先减后增,则只需其最小值小于,且后面还需验证有最小值的两边存在大于的点．
13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)(12分)已知函数．
(1)若，求的值；
(2)设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ),
则,且
当时,,在上单调增,所以时,,不满足题意;
当时,
当时,,则在上单调递减;
当时,,则在上单调递增．
①若,在上单调递增∴当时矛盾
②若,在上单调递减∴当时矛盾
③若,在上单调递减,在上单调递增∴满足题意
综上所述．
(Ⅱ)当时即
则有当且仅当时等号成立
∴,
一方面:,
即．
另一方面:
当时,
∵,,
∴的最小值为．
【考点】导数研究函数的单调性;导数研究函数的最值;利用导数证明不等式
【点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
14．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)(12分)已知函数且．
(1)求 ；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且．
【答案】(1)；(2)证明略．
【命题意图】本题考查函数的极值，导数的应用．
【基本解法】(1)法一．
由题知：，且 ，
所以：．
即当时，；当时，；
当时，成立．
令，，当时，，
递减，，所以：，即：．所以：；
当时，，
递增，，所以：，即：．所以：；
综上：．
法二．洛必达法则
由题知：，且 ，
所以：．
即当时，；当时，；
当时，成立．
令，．
令，．
当时，,递增，；
所以，递减，．
所以：；
当时，,递减，；
所以，递减，．
所以：；
故．
由(1)知：，．
设，则．
当时，；当时，．
所以在递减，在递增．
又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；
当时，．
又，所以是的唯一极大值点．
由得，故．
由得．
因为是在的唯一极大值点，由，得
所以．
15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数,其中,记的最大值为.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求;
(Ⅲ)证明.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)见解析.
【解析】(Ⅰ).
(Ⅱ)当时,
因此,.
当时,将变形为.
令,则是在上的最大值
,
且当 时,取得极小值,极小值为.
令,解得(舍去),.
(i)当时,在内无极值点,,,
所以.
(ii)当时,由,知.
又,所以.
综上,.
(Ⅲ)由(Ⅰ)得.
当时,.
当时,,所以.
当时,,所以.
16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本小题满分12分)(I)讨论函数 的单调性，并证明当时，；
(II)证明：当 时，函数 有最小值．设的最小值为，求函数的值域．
【答案】（1）略；（2）．
分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；
（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解．
【解析】（Ⅰ）的定义域为．
且仅当时，，所以在单调递增，
因此当时，
所以
（II）
由（I）知，单调递增，对任意
因此，存在唯一使得即，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
因此在处取得最小值，最小值为
于是，由单调递增
所以，由得
因为单调递增，对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上，当时，有最小值，的值域是．
17．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本小题满分12分)已知函数有两个零点．
(I)求a的取值范围；
(II)设是的两个零点，证明：．
【答案】(I)； (II)见解析
【官方解答】(I)由已知得：
①若，那么，只有唯一的零点，不合题意；
②若，则当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
又，，取b满足且，则
，
故存在两个零点．
③设，由得或．
若，则，故当时，，因此在单调递增．
又当时，，所以不存在两个零点．
若，则，故当时
；当时，
因此在单调递减，在单调递增．
又当时，，所以不存在两个零点．
综上的取值范围为．
(II)不妨设．由(I)知
在单调递减
所以，即．
由于，而
所以
设，则
所以当时，，则，故当时，
从而，故．
【民间解答】(I)由已知得：
①若，那么，只有唯一的零点，不合题意；
②若，那么，
所以当时，，单调递增
当时，，单调递减
即：
↓ 极小值 ↑
故在上至多一个零点，在上至多一个零点
由于，，则，
根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点．
而当时，，，
故
则的两根，，
因为，故当或时，
因此，当且时，
又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点．
此时，在上有且只有两个零点，满足题意．
③若，则，
当时，，，
即，单调递增；
当时，，
即，单调递减；
当时，，，即，单调递增．
即：
0 0 +
↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
而极大值
故当时，在处取到最大值
那么恒成立，即无解
而当时，单调递增，至多一个零点
此时在上至多一个零点，不合题意．
④若，那么
当时，，，即，
单调递增
当时，，，即，单调递增
又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．
⑤若，则
当时，，，即，单调递增
当时，，，即，单调递减
当时，，，即，单调递增
即：
0 0
↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
故当时，在处取到最大值
那么恒成立，即无解
当时，单调递增，至多一个零点
此时在上至多一个零点，不合题意．
综上所述，当且仅当时符合题意，即的取值范围为．
(II) 由已知得：，不难发现，，
故可整理得：
设，则
那么
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
设，构造代数式：
设，
则，故单调递增，有．
因此，对于任意的，．
由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有
令，则有
而，，在上单调递增，因此：
整理得：．
18．(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分)设函数．
(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；
(Ⅱ)若对于任意，都有，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．
解析：（Ⅰ）．
若，则当时，，；当时，，．
若，则当时，，；当时，，．
所以，在单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．
考点：导数的综合应用．
19．(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)当为何值时，轴为曲线 的切线；
(Ⅱ)用 表示中的最小值，设函数 ，讨论零点的个数．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点．
分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论．
解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得．
因此，当时，轴是曲线的切线．
（Ⅱ）当时，，从而，
∴在（1，+∞）无零点．
当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点．
当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数．
（ⅰ）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点．
（ⅱ）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=．
①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点．
②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；
③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点．…10分
综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点．
考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想
20．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)
已知函数=．
(Ⅰ)讨论的单调性；
(Ⅱ)设，当时，, 求的最大值；
(Ⅲ)已知，估计ln2的近似值(精确到0．001)
【答案】解析：
（Ⅰ），等号仅当时成立
所以在上单调递增．
（Ⅱ）
当时，，等号仅当时成立，所以在上单调递增，而，故．
当时，若满足，即时，，而，故，．
综上的最大值为2．
（Ⅲ）由（2）知，
当时，，得
当时，
，得
所以
考点：（1）利用导数判断函数的单调性；（2）利用导数研究不等式问题；（3）最值问题
难度：D
备注：高频考点
21．(2014高考数学课标1理科)设函数,曲线在点处的切线．
(1)求;
(2)证明:．
【答案】解析:(1)函数的定义域为,
由题意可得,故．
(2)由(1)知,从而等价于
设函数,则,所以当时,,当时,,故在单调递减,在上单调递增,从而在上的最小值为 ．
设函数,则,所以当时,,当时,故在上单调递增,在单调递减,从而在的最小值为
．
综上:当时,,即．
考点:(1)利用导数的定义求函数的导数;(2)导数的几何意义(切线方程问题);(3)利用导数研究不等式问题;(4)等价转换思想
难度:D
备注:高频考点
22．(2013高考数学新课标2理科)已知函数．
(1)设是的极值点，求，并讨论的单调性；
(2)当时，证明．
【答案】（1）（2） 见解析；
解析：（1）
所以，
，
显然在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
（2）证明　令，
则．
，
所以是增函数，至多只有一个实数根，
又，
所以的唯一实根在区间内，
设的根为t，则有，
所以，，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，
当 时，有，
所以．
考点：（1）3．2．4导数与函数最值；（2）3．2．7导数与函数放缩
难度： D
备注：高频考点，典型题
23．(2013高考数学新课标1理科)已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线
(Ⅰ)求，，，的值
(Ⅱ)若≥－2时，≤，求的取值范围。
【答案】（1）=4，=2，=2，=2　　（2）[1,]．
解析：（Ⅰ）由已知得，
而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
设函数==（），
==，
有题设可得≥0，即，
令=0得，=，=－2，
（1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时，＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而==≥0，
∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，
(2)若，则=，
∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0，
∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，
(3)若，则==＜0，
∴当≥－2时，≤不可能恒成立，
综上所述，的取值范围为[1,]．
考点：（1）3．1．3导数的几何意义；（2）3．2．4导数与函数最值；（3）3．3．1利用导数研究“恒能恰”成立及参数求解问题．
难度：Ｃ
备注：高频考点
24．(2012高考数学新课标理科)已知函数满足满足．
(1)求的解析式及单调区间；
(2)若，求的最大值．
【答案】（１）增区间为,减区间为　（２）
解析: (Ⅰ),令得,,
再由,令得．
所以的解析式为．
,易知是上的增函数,且．
所以
所以函数的增区间为,减区间为．
(Ⅱ)若恒成立,
即恒成立，
,
(1)当时,恒成立, 为上的增函数,且当时, ,不合题意;
(2)当时,恒成立, 则,;
(3)当时, 为增函数,由得,
故
当时, 取最小值．
依题意有,
即,
,,
令,则,
,
所以当时, 取最大值．
故当时, 取最大值．
综上, 若，则 的最大值为．
PAGE
- 1 -3.导数小题
一、选择题
1．(2021年高考全国乙卷理科)设，若为函数的极大值点，则
AB．C．D．
【答案】D
解析：若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故．
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的．依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的．
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故．
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故．
综上所述，成立．
故选：D
2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数的图像在点处的切线方程为 (　　)
A． B． C． D．
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即．
故选：B．
3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 (　　)
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
解析：设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即．
故选：D．
4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线在点处的切线方程为，则 (　　)
A． B． C． D．
【解析】由，根据导数的几何意义易得，解得，从而得到切点坐标为，将其代入切线方程，得，解得，故选D．
5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 (　　)
解析：函数，若为奇函数，可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为：1，则曲线在点处的切线方程为：，故选D．
6．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若是函数的极值点，则的极小值为 (　　)
A． B． C． D．1
∵ ∴ 导函数
∵ ∴
∴ 导函数
令，∴ ，
当变化时，，随变化情况如下表：
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
从上表可知：极小值为．
7．(2015高考数学新课标2理科)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 (　　)
A． B．
C． D．
解析：记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．
8．(2015高考数学新课标1理科)设函数,其中，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是 (　　)
A．B．C．D．
解析：设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方．
因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，
当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D．
考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题
9．(2014高考数学课标2理科)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：因为，所以切线的斜率为，解得，选D
10．(2014高考数学课标1理科)已知函数=,若存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为 (　　)
A．(2,+∞) B．(-∞,-2) C．(1,+∞) D．(-∞,-1)
解析1:由已知,,令,得或,
当时,;
且,有小于零的零点,不符合题意．
当时,
要使有唯一的零点且>0,只需,即,．选B
解析2:由已知,=有唯一的正零点,等价于
有唯一的正零根,令,则问题又等价于有唯一的正零根,即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记,,由
,,,
,要使有唯一的正零根,只需,选B
11．(2013高考数学新课标2理科)已知函数，下列结论中错误的是 (　　)
A．
B．函数的图象是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间上单调递减
D．若是的极值点，则
解析：由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间单调递减是错误的，选C．
12．(2013高考数学新课标1理科)已知函数=，若||≥，则的取值范围是 (　　)
A． B． C．[-2,1] D．[-2,0]
解析：∵||=，∴由||≥得，且，
由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D．
二、填空题
13．(2021年高考全国甲卷理科)曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
解析：由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
14．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)曲线在点处的切线方程为．
解析：，
所以曲线在点处的切线方程为．
15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)曲线在点处的切线的斜率为，则．
解析：记，则
依题意有，即，解得．
16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)曲线在点处的切线方程为__________．
17．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数,则的最小值是．
【答案】
解法一：先求的最大值，设
，
即，
故根据奇函数知，
解法二：导数法+周期函数
当；；
解法三：均值不等式法
当且仅当时，
此时，
18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点,,,分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,,,使得重合,得到三棱锥．当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为__________．
【答案】
【解析】如下图,设正三角形的边长为x,则．
,
三棱锥的体积．
令,则,
令, ,,
．
19．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为偶函数,当时,,,则曲线在点处的切线方程是_______________.
【答案】
【解析】当时,,则.又因为是偶函数,所以,所以,则切线斜率为,所以切线方程为,即.
20．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．
【答案】
【解析】设直线与曲线的切点为 ，与曲线的切点为 则 ，所以
所以，所以，所以．
PAGE
- 1 -2.函数性质与基本初等函数
一、选择题
1．(2021年高考全国乙卷理科)设，，．则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：,
所以;
下面比较与的大小关系．
记,则,，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b综上，,
故选：B．
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的．
2．(2021年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数．
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题．
3．(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析：因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
4．(2021年高考全国甲卷理科)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为 (　　)()
A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6
【答案】C
解析：由，当时，，
则．
故选：C．
5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以．
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误．
故选：B．
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题．
6．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是 (　　)
AB．C．D．
【答案】D
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是．
故选：D．
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题．
7．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定．
故选：A．
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想．
8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数，则f(x) (　　)
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
解析：由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论．
9．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0．05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0．95，则至少需要志愿者 (　　)
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
解析：由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，
，,故需要志愿者名．
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题．
10．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则 (　　)
Aa【答案】A
解析：由题意可知、、，
，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得．
综上所述，．
故选：A．
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题．
11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0．95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为 (　　)(ln19≈3)
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
解析：，所以，则，
所以，，解得．
故选：C．
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题．
12．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】是上的偶函数，．
，又在(0，+∞)单调递减，，
，故选C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小是解决本题的关键．
13．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)函数在的图像大致为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又，排除选项A、D，故选B．
【点评】本题通过判断函数的奇偶性，缩小选项范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．在解决图象类问题时，我们时常关注的是对称性、奇偶性，特殊值，求导判断函数单调性，极限思想等方法。
14．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵时，，，∴，即右移个单位，图像变为原来的倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，∴（舍），∴，，∴时，成立，即，∴，故选B ．
(说明：以上图形是来自@正确云)
【点评】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．
易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
15．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：．设．由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得．将其代入到中，可得，所以，故．
【点评】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
16．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)函数在的图象大致为 (　　)
【答案】D
解析：显然为奇函数，故排除A，当在轴右侧开始取值时，，排除C，
又，故选D．
17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)函数的图象大致为 (　　)
【答案】D
解析：易知函数为偶函数，而，所以当时，；当时，，所以函数在、上单调递增，在、上单调递减，故选D．
18．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 (　　)
A． B．0 C．2 D．50
【答案】C
解析：因为是定义域为的奇函数，且满足，
所以，即，所以，，因此是周期函数且．
又，
且，所以，
所以，故选C．
19．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)函数的图象大致为 (　　)
【答案】B
解析：因为，，所以为奇函数，排除A；，排除D；
因为，当时，，函数单调递增，排除C．故选B．
20．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数，．若存在个零点，则的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
解析：由得，作出函数和的图象如图
当直线的截距，即时，两个函数的图象都有2个交点，即函数存在2个零点，故实数的取值范围是，故选C．
21．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设为正数,且,则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令,则,,
∴,则
,则,故选D．
【考点】指、对数运算性质
【点评】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,在用这个常数表示出对应的,通过作差或作商进行比较大小．对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式和与的对数表示．
22．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为为奇函数且在上单调递减,要使成立,则满足,所以由得,即使成立的满足,选D．
【考点】函数的奇偶性、单调性
【点评】奇偶性与单调性的综合问题,要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题,若在上为单调递增的奇函数,且,则,反之亦成立．
23．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知函数有唯一零点，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：，设，
当时，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，若，函数和没有交点，当时，时，函数和有一个交点，即，所以，故选C．
法二：由条件，，得：
所以，即为的对称轴
由题意，有唯一零点，∴的零点只能为即
解得．
【考点】函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想
【点评】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用．
24．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图．
根据该折线图,下列结论错误的是 (　　)
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
【答案】A
【解析】观察折线图,每年7月到8月折线图呈下降趋势,月接待游客量减少,故选项A说法错误;
折线图整体呈现出增长的趋势,年接待游客量逐年增加,故选项B说法正确;
每年的接待游客量七、八月份达到最高点,即各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故选项C说法正确;
每年1月至6月的折线图比较平稳,月接待游客量波动性较小,而每年7月至12月的折线图不平稳,波动性较大,故选项D说法正确．
故选A．
【考点】折线图
【点评】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,就得到一条折线,我们称这条折线为本组数据的频率折线图,频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距,即折线图是频率分布直方图的近似,他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律．
25．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知,,,则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为,,故选A.
26．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为C．B点表示四月的平均最低气温约为C．下面叙述不正确的是 (　　)
A．各月的平均最低气温都在C以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于C的月份有5个
【答案】D
【解析】由图可知C均在阴影框内,所以各月的平均最低气温都在C以上,A正确;由图可知在七月的平均温差大于C,而一月的平均温差小于C,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在C,基本相同,C正确;由图可知平均最高气温高于C的月份有3个或2个,所以D不正确.故选D.
27．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的图像的对称中心为
又函数满足，所以图像的对称中心为：
所以，故选Ｂ
【点评】零点代数和问题系属研究对称性，确定交点的个数即可获解．
28．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则 (　　)
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】对A： 由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；对B： 由于，∴函数在上单调递减，
∴，B错误；对C： 要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和
构造函数，则，在上单调递增，因此
又由得，∴，C正确
对D： 要比较和，只需比较和
而函数在上单调递增，故
又由得，∴，D错误
故选C．
29．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)函数在[–2,2]的图像大致为 (　　)
【答案】D
【解析1】函数在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D．
【解析2】，排除A
，排除B
时，，当时，
因此在单调递减，排除C 故选D．
30．(2015高考数学新课标2理科)如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为 (　　)
(　　)
【答案】B
解析：由已知得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即时，，当时，；当点在边上运动时，即时，，从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．
考点：函数的图象和性质．
31．(2015高考数学新课标2理科)设函数, (　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
解析：由已知得，又，所以，故，故选C．
考点：分段函数．
32．(2014高考数学课标1理科)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为 (　　)
AB
(　　)
CD
【答案】B
解析:如图:过M作MD⊥OP于D,则 PM=,OM=,在中,MD=
,∴,选B．
．
考点:(1)函数图像的应用 (2)倍角公式的应用 (3)数形结合思想
难度:B
备注:高频考点
33．(2014高考数学课标1理科)设函数,的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是 (　　)
A．是偶函数 B．||是奇函数
C．||是奇函数 D．||是奇函数
【答案】C
解析:设,则,∵是奇函数,是偶函数,∴,为奇函数,选C．
考点:(1)函数奇偶性的判断(2)函数与方程的思想
难度:A
备注:概念题
34．(2013高考数学新课标2理科)设则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析： ,显然
考点：（1）2．5．1对数式的化简与求值；（2）2．5．2对数函数的图象与性质
难度： B
备注：高频考点
35．(2012高考数学新课标理科)设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：由反函数的概念可知：函数与函数互为反函数，图象关于对称
而函数上的点到直线的距离为
设函数，则，令解得
初判断知：在处取得最小值
∴
∴
由图象关于对称得：最小值为．
考点：（1）2．5．4反函数及应用；（2）8．2．3距离公式的应用；（3）3．2．4导数与函数最值．
难度：C
备注：高频考点
36．(2012高考数学新课标理科)已知函数，则的图象大致为 (　　)
【答案】B
解析：设g(x)=ln(1+x)-x
则
∴g（x）在（-1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数
∴g（x）＜g（0）=0
∴f（x）=
得：x＞0或-1＜x＜0均有f（x）＜0
排除A，C，D
故选 B
考点：（1）3．2．2导数与函数单调性；（2）3．2．4导数与函数最值
难度：B
备注：高频考点
二、填空题
37．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知是奇函数，且当时，．若，则　 　．
【答案】.
【解析】因为是奇函数，且当时，．又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
【点评】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
38．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，则满足的的取值范围是 ．
【答案】
【解析】法一：因为
当时，；
当时，；
当时，由，可解得
综上可知满足的的取值范围是．
法二：，，即
由图象变换可画出与的图象如下：
由图可知，满足的解为．
法三：当且时，由得，得，又因为是上的增函数，所以当增大时，增大，所以满足的的取值范围是．
【考点】分段函数；分类讨论的思想
【点评】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
39．(2015高考数学新课标1理科)若函数为偶函数，则
【答案】1
解析：由题知是奇函数，所以 =，解得=1．
考点：函数的奇偶性
40．(2014高考数学课标2理科)已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是__________．
【答案】
解析：因为是偶函数，所以不等式，因为在上单调递减，所以，解得
考点：（1）函数单调性的应用；（2）函数奇偶性的应用；（3）绝对值不等式的解法
难度：C
备注：典型题
41．(2013高考数学新课标1理科)若函数=的图像关于直线=－2对称，则的最大值是______．
【答案】16
解析：由图像关于直线=－2对称，则
0==，
0==，解得=8，=15，
∴=，
∴==
=
当∈(－∞,)∪(－2, )时，＞0，
当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，
∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，==16．
考点:（1）2．3．4函数的对称性；（2）3．2．4导数与函数最值．
难度：Ｃ
备注：高频考点
C
B
A
D
PAGE
- 1 -1.集合
1．(2021年高考全国乙卷理科)已知集合，，则 (　　)
A． B． C． D．
2．(2021年高考全国甲卷理科)设集合，则 (　　)
A． B． C． D．
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a= (　　)
A．–4 B．–2 C．2 D．4
4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知集合U={ 2， 1，0，1，2，3}，A={ 1，0，1}，B={1，2}，则 (　　)
A．{ 2，3} B．{ 2，2，3} C．{ 2， 1，0，3} D．{ 2， 1，0，2，3}
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合，，则中元素的个数为 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题．
6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合，，则 (　　)
A． B． C． D．
7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设集合，，则 (　　)
A． B． C． D．
8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知集合，，则 (　　)
A． B． C． D．
9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知集合，，则 (　　)
A． B． C． D．
10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知集合，则中元素的个数为 (　　)
A．9 B．8 C．5 D．4
11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)己知集合,则 (　　)
A． B．
C． D．
12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知集合,,则 (　　)
A． B． C． D．
13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合A=,B=,则AB中元素的个数为 (　　)．
A．3 B．2 C．1 D．0
14．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)设集合，．若，则 (　　)
A． B． C． D．
14.【答案】C
【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目
的．
【解析】解法一：常规解法
∵ ∴ 1是方程的一个根，即，∴
故
解法二：韦达定理法
∵ ∴ 1是方程的一个根，∴ 利用伟大定理可知：，解得：
，故
解法三：排除法
∵集合中的元素必是方程方程的根，∴ ，从四个选项A﹑B﹑C﹑D
看只有C选项满足题意．
【知识拓展】集合属于新课标必考点，属于函数范畴，常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义
相结合，集合考点有二：1．集合间的基本关系；2．集合的基本运算．
15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)设集合,,则 (　　)
A． B． C． D．
15.【答案】D
【解析】由解得或,所以,所以,故选D.
16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知集合，，则 (　　)
A． B． C． D．
17．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合，，则 (　　)
(A)(B)(C)(D)
18．(2015高考数学新课标2理科)已知集合，,则 (　　)
A． B． C． D．
19．(2014高考数学课标2理科)设集合，，则 (　　)
A． B．｛2｝ C．｛0，1｝ D．｛1，2｝
20．(2014高考数学课标1理科)已知集合A={|},B=,则= (　　)
A．[-2,-1] B．[-1,2) C．[-1,1] D．[1,2)
备注:高频考点
21．(2013高考数学新课标2理科)已知集合，则 (　　)
A． B． C． D．
22．(2013高考数学新课标1理科)已知集合A=，B=，则 (　　)
A． B． C． D．
23．(2012高考数学新课标理科)已知集合；,则中所含元素的个数为 (　　)
A．3 B．6 C．8 D．10
答案
1.【答案】C
解析：任取，则，其中，所以，，故，
因此，．
故选：C．
2.【答案】B
解析：因为，所以,
故选：B．
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解．
3.【答案】B
【解析】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：．
由于，故：，解得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
4.【答案】A
解析：由题意可得：，则．
故选：A
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题．
5.【答案】C
解析：由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】因为，，所以，故选A．
【点评】本题考查了集合交集的求法，是基础题．
7.【答案】A
【解析】或，，
故，故选A．
【点评】本题主要考查一元二次不等式，一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题．
本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
8.【答案】C
解析：
．
9.【答案】C
解析：，，故，故选C．
10.【答案】A
解析：，故选A．
11.【答案】B
解析：集合，可得，则，故选：B．
12.【答案】A
【解析】由得,所以,故,故选A．
【考点】集合的运算,指数运算性质．
【点评】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图进行处理．
13.【答案】B
【解析】法1:集合中的元素为点集,由题意,结合表示以为圆心,1为半径的单位圆上所有点组成的集合,集合表示直线上所有点组成的集合,联立圆与直线的方程,可得圆与直线相交于两点,,所以中有两个元素．
法2:结合图形,易知交点个数为2,即的元素个数为2．
故选B
【考点】交集运算;集合中的表示方法．
【点评】求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正确求解集合运算的两个先决条件．集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
16.【答案】C
【解析】，又，所以，故选C．
17.【答案】D
【解析】，．
故．故选D．
18.【答案】A
解析：由已知得，故，故选A．
考点：集合的运算．
19.【答案】D
解析：因为 ，所以，故选D．
考点：（1）集合的基本运算；（2）一元二次不等式的解法，
难度：B
备注：常考题
20.【答案】A
解析:∵A={|}=,B=,
∴=,选A．
考点:(1)集合间的基本运算;(2)一元二次不等式的解法;(3)数形结合思想
难度:A
21.【答案】A
解析：化简集合得，则．
考点：（1）7．2．1一元二次不等式的解法；（2）1．1．3集合的基本运算．
难度：A
备注：高频考点
22.【答案】D
解析:,故选B．
考点: （1）1．1．3集合的基本运算；（2）7．2．1一元二次不等式的解法．
难度：Ａ
备注：高频考点
23.【答案】D
解析：以x为标准进行分类：
当x=5时，满足的y的可能取值为1,2,3,4，共有4个，（确定y的个数）
当x=4时，满足的y的可能取值为1,2,3，共有3个，（确定y的个数）
当x=3时，满足的y的可能取值为1,2，共有2个，（确定y的个数）
当x=2时，满足的y的可能取值为1，共有1个，（确定y的个数）
得中所含元素（x，y）的个数为4+3+2+1=10个。（确定中元素的个数）
考点：1．1．1集合的基本概念．
难度：A
备注：高频考点．
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