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高考解答题六大专题
专题二：数列（解析版）
经典例题（一）-高考真题（2022年）
（一）、 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
经典例题（二）-高考真题（2021年）
（一）、已知数列{}满足=1，
(1)记=，写出，，并求数列的通项公式；
(2)求的前20项和
配套专题训练（解析版）
1．已知数列的前项和为，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
2．已知数列满足：，．
（1）求证数列是等比数列；
（2）若数列满足，求的最大值．
3．已知等差数列满足：，，成等差数列，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）在任意相邻两项与，2，之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求满足的的最大值．
4．数列中，且，其中为的前项和．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
5．已知数列的前项和为，，，且．
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．
已知数列满足___，求的前项和．
．
6．已知等比数列的前项和，其中为常数．
（1）求的值；
（2）设，若数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求的值．
7．已知等比数列的各项均为整数，公比为，且，数列中有连续四项在集合，，36，48，中．
（1）求，并写出数列的一个通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：数列中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．
8．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值．
9．已知等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为．若，为偶数），求的值．
10．设正项数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
11．已知数列的前项和为，，
条件①：；条件②：．
请在上面的两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，完成下列两问的解答：
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，求．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知个圆，，，与轴和直线均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆，，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记个圆的面积之和为，求证：．
13．已知数列中，，，其前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
14．（1）写出一个等差数列的通项公式，使满足①，②是等差数列，其中是的前项和．（写出一个就可以，不必证明）
（2）对于（1）中的，设，求数列的前项和．
15．已知数列，其前项和为，且满足，．
（1）求；
（2）求满足的最小整数．高考解答题六大专题
专题二：数列（解析版）
经典例题（一）-高考真题（2022年）
（一）、 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【小问1详解】
∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
【小问2详解】
∴
经典例题（二）-高考真题（2021年）
（一）、已知数列{}满足=1，
(1)记=，写出，，并求数列的通项公式；
(2)求的前20项和
（1）解：由题意得b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=5
∵b1=a2=a1+1,∴a2-a1=1.
b2=a4=a3+1=a2+3 ∴a4-a2=3.
同理a6-a4=3
……
bn=a2n-a2n-2=3.
叠加可知a2n-a1=1+3(n-1)
∴a2n=3n-1
∴bn=3n-1.验证可得b1=a2=2，符合上式.
（2）解：∵a2n=a2n-1+1
∴a2n-1=a2n-1=3n-2.
∴设{an}前20项和为S20
∴S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)
=145+155=300
配套专题训练（解析版）
1．已知数列的前项和为，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
【答案】（1），，，；（2）见解析
【详解】（1）解：由题意，当时，，
即，解得，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
化简整理，得，
数列是首项为，公比为的等比数列，
则，，
，．
（2）证明：由（1）得，
，
，
，，
，即，
，
故．
2．已知数列满足：，．
（1）求证数列是等比数列；
（2）若数列满足，求的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）2
【详解】（1）证明：因为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以数列是等比数列；
（2）由（1）得，所以，
则，
因为
，
所以，即数列为递减数列，
所以的最大值为．
3．已知等差数列满足：，，成等差数列，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）在任意相邻两项与，2，之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求满足的的最大值．
【答案】（1）；（2）211
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，，成等差数列，可得，
即为，可得，
，，成等比数列，可得，
即为，解得，
所以；
（2）由于任意相邻两项与，2，之间有个2，
当时，取中前6项，以及个2，
可得；
当时，取中前7项，以及个2，
可得．
所以中前261项去掉倒数50个2，可得．
则满足的的最大值为211．
4．数列中，且，其中为的前项和．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）见解析；（2）；
【详解】（1）由，取，有，得，
当时，，
两式相减得，
即，
，
两式再相减得，
即，
为等差数列，又，
则；
证明：（2）要证，
即证，
，
．
故．
5．已知数列的前项和为，，，且．
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．
已知数列满足___，求的前项和．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，
，
两式相减得：，即，，
又当时，有，，，，
数列：是首项为4，公比为2的等比数列，
，两边除以得：，
又，
数列是首项为2，公差为1的等差数列，
，
；
（2）解：若选①：
，
，
又，
两式相减得：，
整理得：．
若选②：
，
．
若选③：
，
．
6．已知等比数列的前项和，其中为常数．
（1）求的值；
（2）设，若数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求的值．
【答案】（1）；（2）11302
【详解】（1）因为，
所以当时，．
当时，，故．
当时，，故．
因为是等比数列，所以，化简得，解得，
此时．
当时，，
当时，，，
所以满足题意．
（2）因为，所以．
因为，，，，，，
，，，
所以
．
7．已知等比数列的各项均为整数，公比为，且，数列中有连续四项在集合，，36，48，中．
（1）求，并写出数列的一个通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：数列中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）等比数列的各项均为整数，公比为，且，数列中有连续四项在集合，，36，48，中，
根据观察得知：，，36，48，中的，48，，192，这四项构成公比为的等比数列；
所以．
证明：（2）由（1）的通项公式，
根据等比数列的前项和公式：，
所以，，
则，，
故，
故，，，构成等差数列；
8．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值．
【答案】（1）；（2）当时，取得最小值，且其最小值为
【详解】（1）数列满足，①
当时，有，变形可得，
当时，有，②，
①②可得：，变形可得：，
则数列是以为首项，公比为2的等比数列，故，
（2）根据题意，，
当时，，
数列为等差数列，且首项，公差；
则，
则当时，取得最小值，且其最小值为．
9．已知等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为．若，为偶数），求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，即，
解得，，
所以，
所以数列的通项公式为：；
（2）由（1）得，，
所以．
因为，为偶数），
所以，即，解得，
又为偶数，
所以．
10．设正项数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）当时，，由，得．
因为数列为正项数列，所以，所以．
因为当时，，①
所以当时，，②
①②，得，
即，
所以，
因为数列的各项均正，所以，
所以当时，，
故数列是公差为1的等差数列，
故数列的通项公式为；
（2）证明：，
则
．
11．已知数列的前项和为，，
条件①：；条件②：．
请在上面的两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，完成下列两问的解答：
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，求．
【答案】见解析
【详解】，
（1）选择条件①：；
则，
时，．
．
时也成立，．
选择条件②：．
时，，
相减可得：，
即，
时，，．
数列是等比数列，首项为1，公比为2，
．
（2），
．
数列的前项和，
，
，
．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知个圆，，，与轴和直线均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆，，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记个圆的面积之和为，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）设直线与轴、轴分别交于点，，
根据题意可知，点到轴的距离和到直线的距离均为半径，
所以圆心都在的平分线上，且，
所以，则，
设圆在轴上的切点为，2，3，，
在△和△中，因为，，，
所以，，
因为相邻两圆外切，所以，
所以，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
因为，所以；
（2）证明：如图，记圆的面积为，则，
由（1）可知，，代入上式可得，，
从而这个圆的面积之和．
13．已知数列中，，，其前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）由，
可得，
即为，
由，可得，
上式对也成立，
所以，；
（2），
则
．
14．（1）写出一个等差数列的通项公式，使满足①，②是等差数列，其中是的前项和．（写出一个就可以，不必证明）
（2）对于（1）中的，设，求数列的前项和．
【答案】见解析
【详解】（1），；
（2），
，①
，②
①②可得
，
化简可得．
15．已知数列，其前项和为，且满足，．
（1）求；
（2）求满足的最小整数．
【答案】（1）；（2）5
【详解】数列，其前项和为，且满足，．
，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，
（2），
，
，
，
，
，又因为指数函数的增长速度快，
故满足的最小整数为5．

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